Mechanika ogólna Wykład n 13 Zasady zachowania w dynamice. Dynamika były sztywnej. Dynamika układu punktów mateialnych. 1 Zasady zachowania w dynamice Zasada: zachowania pędu; zachowania momentu pędu (kętu); ównoważności enegii i pacy; zachowania enegii mechanicznej.
Pęd, zasada zachowania pędu Zgodnie z dugim pawem Newtona: dv d P ma m dt dt Pochodna pędu punktu mateialnego względem czasu ówna jest sumie sił działających na ciało. Pęd (ilość uchu) pozostaje wielkością stałą, jeżeli siły działające na ciało pozostają w ównowadze: const 3 Moment pędu, zasada zachowania kętu Momentem pędu (kęt) punktu mateialnego względem bieguna jest iloczyn wektoowy pomienia wodzącego punktu względem bieguna i pędu: K v m m Kęt punktu mateialnego względem bieguna jest wielkością stałą, jeśli moment sił działających na punkt mateialny względem tego bieguna jest ówny. 4
Paca Paca stałej siły na postoliniowym pzesunięciu ówna jest iloczynowi watości bezwzględnej pzesunięcia pzez miaę zutu siły na kieunek pzemieszczenia. Paca wypadkowej układu sił działających na ciało ówna jest sumie pac poszczególnych sił działających na ciało. m P l m P W Plcos W Pl 5 Zasada ównoważności enegii i pacy Enegia kinetyczna: E Zasada ównoważności enegii i pacy: Pzyost enegii kinetycznej punktu mateialnego (ciała) ówny jest pacy wykonanej pzez siły działającej na ciało. E E E1 W 6
Zasada zachowania enegii mechanicznej Potencjalne pole sił: Paca wykonana pzez siły w potencjalnym polu sił nie zależą od dogi po któej wykonane zostało pzemieszczenie a jedynie od położeń początkowego i końcowego. Enegia mechaniczna ciała w potencjalnym polu sił pozostaje wielkością stałą. E1V1 E V 7 Zasada zachowania enegii pzykład (1) Wyznaczyć miejsce odewania punktu mateialnego zsuwającego się po gładkiej półkuli: mg cos mg cos mg cos cos 3 8
h Zasada zachowania enegii pzykład (a) Na jaką wysokość po gładkiej ówni wjedzie ciało, któemu nadano pędkość Enegia kinetyczna początkową v: v Początek Koniec Enegia potencjalna mgh mgh 9 h Zasada zachowania enegii pzykład (b) Na jaką wysokość po ówni wjedzie ciało, któemu nadano pędkość początkową v (z uwzględnieniem tacia): Paca siły tacia: s v N mg T W Ts T N mgh Ts N mgcos mgh mg cos hsin 1
Dynamika uchu obotowego były sztywnej Duga zasada dynamiki w uchu obotowym były sztywnej: M I v R R v v R Kęt w uchu obotowym: K t I Enegia kinetyczna: E I 11 Dynamika układu punktów mateialnych Zasady zachowania w uchu układu punktów mateialnych: Ruchu śodka masy; Zachowania pędu; Zachowania kętu; Zasada d Alembeta; Zachowania enegii mechanicznej. 1
Zasada uchu śodka masy Jeżeli siły zewnętzne działające na układ ciał ównoważą się, to śodek masy układu pozostaje w spoczynku lub pousza się uchem jednostajnym postoliniowym. 13 Zasada zachowania pędu Pęd układu punktów mateialnych suma wektoowa pędów wszystkich punktów. Pzyost pędu układu punktów mateialnych jest ówny popędowi wypadkowej sił zewnętznych. Pęd układu punktów mateialnych pozostaje niezmienny, jeżeli siły działające na układ ównoważą się. 14
Zasada zachowania pędu pzykład Okeślić pędkość ciała po udezeniu kuli: m m v v v 1 1 1 v 1 1 1 1 m m v 15 Zasada zachowania momentu pędu Moment pędu (kęt) układu punktów mateialnych suma wektoowa kętów wszystkich punktów układu względem bieguna. Pochodna kętu układu punktów po czasie ówna jest wypadkowemu momentowi sił względem bieguna. Kęt układu punktów mateialnych pozostaje niezmienny, jeżeli wypadkowy moment sił względem bieguna jest ówny zeo. 16
Zasada zachowania kętu pzykład Po cięciwie taczy zaczyna pouszać się punkt mateialny z pędkością v.. Z jaką pędkością kątową pouszać się będzie tacza? K K w t I R m K p mwd mu M d v x(t)=wt mwd mu I mwd MR m mwd m d w t MR 17 Zasada zachowania enegii mechanicznej Enegia mechaniczna układu punktów mateialnych w potencjalnym polu sił pozostaje niezmienna. Pzyost enegii kinetycznej układu punktów mateialnych ówny jest sumie pac wykonanych pzez wszystkie siły (zewnętzne i wewnętzne) działające na ten układ. 18
Zasada zachowania enegii mechanicznej (1) Na dwa współśodkowe walce o masach m 1 i m nawinięte są nieważkie nici na któych zawieszono dwa ciała. Obliczyć z jaką pędkością udezy o ziemię ciało M. m m 1 R m H M 19 Zasada zachowania enegii mechanicznej () Enegia kinetyczna Enegia potencjalna MgH mgh Początek 1 m 1 m Koniec MV I1 I mgh h m M h 1 H
Zasada zachowania enegii mechanicznej (3) MV I I MgH mgh mgh 1 1 MV I 1 I MgH mg h h1 I 1 m R 1 1 I 1 h h H R m 1 v V R 1 1 1 V V V m m R m H R MV R R MgH mg R 1