Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne Ekonomeria-ćw.cz-SSW dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Kaedra Nauk Ekonomicznych Wydział Zarządzania i Ekonomii Poliechniki Gdańskiej EKONOMETRIA - ELEMENTY EKONOMETRII STOSOWANEJ CZĘŚĆ II MATERIAŁY DO PRACY WŁASNEJ - CZĘŚĆ II BADANIE ISTOTNOŚCI ZMIENNYCH, AUTOKORELACJA, MODELE MULTIPLIKATYWNE 8. Badanie isoności zmiennych w modelu regresji liniowej Rozparywany model [por. (16) i (36.a) i (61)]: (79) y = + 1x1 + x + Pełny zapis oszacowanej posaci modelu (79) uwzględniający błędy szacunku paramerów [por.: (77)]: (8) yˆ ˆ ˆ ˆ = + 1 x1 + 1 x [ S( ˆ )] [ S( ˆ 1 )] [ S( ˆ )] Dowodzi się, że jeżeli zmienna losowa ma rozkład normalny o średniej warości równej zero (E =) i sałej wariancji (E = σ =cons.), o zmienna losowa: ˆ i i (81) i = S( ˆ i ) ma rozkład -Sudena o [n-(k+1)] sopniach swobody. Wykorzysując powyższą prawidłowość dokonać możemy weryfikacji hipoezy zerowej (H ) zakładającej zerową warość parameru i na rzecz hipoezy alernaywnej (H 1 ) uznającej dodanią lub ujemną warość egoż parameru, co zapiszemy nasępująco: H : = i H1 : i W warunkach hipoezy zerowej saysyka (81) przyjmie nasępującą posać: ˆ i (8) i =, ( = ) ( ˆ i S i ) Obliczoną na podsawie (8) warość empiryczną i konfronujemy z warością kryyczną α odczyaną z ablic rozkładu -Sudena dla liczby swobody [n-(k+1)] oraz arbiralnie usalonego poziomu isoności α (alfa). Konfronacja a prowadzić może do jednej z dwu nasępujących syuacji decyzyjnych: A: i > α B: i α Obecnie powiemy, że: W przypadku A odrzucamy hipoezę zerową (H ) na rzecz hipoezy alernaywnej (H 1 ). Oznacza o, że paramer i saysycznie isonie różni się od zera. Możemy ym samym uznać, że zmienna x i wysępująca przy paramerze i saysycznie isonie oddziałuje na zmienną objaśnianą y. W przypadku B nie mamy podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej (H ). Oznacza o, że paramer i nie różni się w sensie saysycznym isonie od zera. Powinniśmy ym samym uznać, że zmienna x i wysępująca przy paramerze i w sensie saysycznym nieisonie oddziałuje na zmienną objaśnianą y. Przykład 4. (konynuacja przykładu 1, i 3 z części I) Rozważ nasępujący model i jego oszacowaną posać dla n=8 obserwacji: y = + 1x +, gdzie: y : kwaralne koszy produkcji w milionach złoych x : kwaralna produkcja elewizorów w yś. szuk yˆ = 1, +,8 x, (pod ocenami zamieszczono średnie błędy szacunku paramerów) (,3) (,1) 1
Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne Wiedząc, że warośćkryyczna saysyki -Sudena dla 6-ciu sopni swobody i założonego poziomu isoności α=,5 wynosi: α=,5 = 1,943: 1. Posawić hipoezę zerową i alernaywną doyczącą parameru 1 i wyjaśnić sens posawionych hipoez,. Wyznaczyć warość empiryczną saysyki 1 w warunkach posawionej hipoezy zerowej. 3. Zbadać isoność oddziaływania zmiennej x na zmienną y w założonych warunkach 4. Przedyskuować problem wysąpienia rozwiązania przeciwnego wobec rozwiązania orzymanego w punkcie 3. Ad 1 Hipoeza zerowa i alernaywna: H : 1 = H : 1 W warunkach, gdy nie ma podsaw do odrzucenia H powiemy, że paramer 1 saysycznie nieisonie różni się od zera. Tym samym musielibyśmy uznać, że wzros zmiennej x (produkcji elewizorów) nie wywoła żadnych isonych zmian zmiennej y (w zakresie koszów produkcji). Oznaczałoby o, że zmienna x w sensie saysycznym nieisonie oddziałuje na zmienną y. Innymi słowy właściwości maeriału saysycznego nie pozwalają na wiarygodną, nie obdarzoną dużymi błędami ocenę parameru srukuralnego. W przypadku odrzucenia hipoezy zerowej na rzecz hipoezy alernaywnej powiedzielibyśmy, że paramer 1 saysycznie isonie różni się od zera. Tym samym moglibyśmy uznać, że wzros zmiennej x (produkcji elewizorów) wywołuje saysycznie isony wpływ na zmienną y (koszy produkcji). Ad Warość empiryczna saysyki 1 w warunkach posawionej hipoezy zerowej: ˆ ˆ 1 [ 1 = ] 1,8 1 = = = = 38,1 S( ˆ ) ( ˆ ),1 1 S 1 Ad 3 Na podsawie dokonanych obliczeń swierdzamy, że: = 38,1 38,1 1 = Oznacza o, że: 38,1 > 1,943, 1 = α = ym samym hipoezę zerową odrzucamy na rzecz hipoezy alernaywnej. Powiemy więc, że w rozważanym przypadku paramer 1 saysycznie isonie różni się od zera. Mamy ym samym prawo uznać, że zmienna x (poziom produkcji elewizorów) wywołuje saysycznie isony wpływ na zmienną y (koszy produkcji). Należy zaznaczyć, iż w rozważanym przypadku prawdopodobieńswo uznania hipoezy fałszywej za prawdziwą jes równe α=,5. Ad 4 Gdybyśmy swierdzili, że: 1 α = 1,943 musielibyśmy przychylić się w kierunku hipoezy zerowej. W ych warunkach powiedzielibyśmy, że nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej. Wskazywałoby o, że paramer 1 saysycznie nieisonie różni się od zera. Tym samym musielibyśmy uznać, że wzros zmiennej x (produkcji elewizorów) nie wywoła żadnych isonych zmian zmiennej y (w zakresie koszów produkcji). (parz punk 1). 9. Auokorelacja składników losowych pojęcie, przyczyny i pomiar 9.1. Pojecie auokorelacji składników losowych Rozparywany model [por. (16) i (36.a), (61) (79)]: (83) y = + 1x1 + x + Auokorelacja składników losowych wysąpi wedy, gdy składniki zakłócające z kolejnych okresów oddziaływają na siebie. Siłę ego związku określa współczynnik auokorelacji składników losowych. Podsawę auokorelacji wyznacza współczynnik auokorelacji pierwszego rzędu: cov(, 1) E( 1) (84) ρ 1 = = ; ( E E 1 cons.) = = δ = var( ) E 9.. Podsawowe przyczyny auokorelacji składników losowych: a) niewłaściwa posać analiyczna modelu ( np. posać liniowa modelu zamias nieliniowej), b) nieuwzględnienie w modelu isonych w sensie ekonomicznym zmiennych objaśniających, kóre w okresie próby saysycznej wykazywały nielosową zmienność ( wyraźne endencje zmian), c) niewłaściwe określenie w modelu opóźnień czasowych w zbiorze zmiennych objaśniających lub ich nieuwzględnienie w przypadku, gdy isnieją ku emu przesłanki, d) powolne wygasanie efeków działania składnika zakłócającego (losowego),
Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne e) w przypadku posługiwania się danymi miesięcznymi, kwaralnymi lub półrocznymi - nieuwzględnienie w modelu funkcji określającej efeky sezonowe lub niewyeliminowanie sezonowości w danych saysycznych (np. zasosowanie przyrosów rocznych zmiennych). 9.3. Pomiar auokorelacji składników losowych: Z uwagi na fak, iż składniki losowe nie są obserwowalne, przy pomiarze auokorelacji składników losowych posługujemy się reszami modelu, uznając je za ocenę ich realizacji. W rezulacie ocenę współczynnika auokorelacji definiuje się nasępująco: n = ( ˆ ˆ 1) (85) ˆ ρ 1 = n ˆ = 1 W prakyce, przy weryfikacji auokorelacji składników losowych nie korzysa się z powyższego wyrażenia, gdyż saysyki opare na nim nie uwzględniałyby liczby zmiennych objaśniających w modelu. Tych mankamenów pozbawiona jes saysyka Durbina-Wasona: (86) DW = n = ( ˆ ˆ 1) n ˆ = 1 Waro zauważyć, że isnieje pewien przybliżony związek pomiędzy wyrażeniem (85) a (86), kóry zapisać możemy nasępująco: (87) DW (1 ˆ ρ1) Z powyższego wynika, że: A. ρ = 1 DW ˆ1 B. ρ = DW ˆ1 C. ˆ1 ρ = 1 DW 4 Oznacza o, że jeżeli saysyka empiryczna DW przyjmuje warość bliską, o może wsępnie uznać, iż auokorelacja jes nieisona. Szacując model w syuacji, gdy 1,5<DW<,5, wsępnie możemy uznać go za saysfakcjonujący z punku widzenia auokorelacji. Jak wykazali Durbin i Wason, rozkład saysyki DW dla liczby obserwacji n i liczby zmiennych k zawiera się miedzy dwiema innymi saysykami d L i d U, gdzie pierwsza jes kresem dolnym a druga kresem górnym w ej saysyc. Aby wykorzysać właściwości esu formułujemy nasępująco zapisane hipoezy konkurencyjne względem siebie: H : ρ 1 = H 1 : ρ 1 > Rozważyć możemy rzy nasępujące syuacje: I. DW < d L II. d L DW d U III. DW > d U W przypadku I hipoezę zerową odrzucamy na rzecz hipoezy alernaywnej, co wskazuje na silną dodanią auokorelację W przypadku II es nie daje odpowiedzi, w kierunku kórej z hipoez należy się przychylić (es jes niekonkluzywny). W przypadku III przychylamy się w kierunku hipoezy zerowej, uznając brak dodaniej auokorelacji między składnikami zakłócającymi. Tabela II.1 Przykład warości kryycznych rozkładu DW k 1 3 n d L d U d L d U d L d U 6,61 1,4 - - - - 7,7 1,356,467 1,896 - - 8,763 1,33,559 1,777,368,87 9,84 1,3,69 1,699,455,18..................... Przykład 5 (konynuacja przykładu 1 i ) Wykorzysując informacje saysyczne i oszacowania z przykładu 1 i oszacować i zinerpreować: 1. Empiryczną warość saysyki DW. Zweryfikować hipoezy doyczące auokorelacji składników losowych rozparywanego w przykładzie 1 modelu, 3. Przedyskuować problem wysąpienia rozwiązania przeciwnego wobec rozwiązania orzymanego w punkcie. 3
Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne Tabela II. Ad 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 1 ( ˆ ˆ 1 ) ˆ 1,1 - - -,1 -,1,1 -,,4,1 3,1 -,1,,4,1 4,1,1,,,1 5 -,,1 -,3,9,4 6 -,1 -,,1,1,1 7 -,3 -,1 -,,4,9 8,4 -,3,7,49,16, - -,71,34 Empiryczna warość saysyki DW (Durbina-Wasona): n= 8 ˆ ˆ = ( 1),71 DW = = =,88 n= 8ˆ,34 = 1 Zauważ, że: DW DW (1 ˆ ρ ) ˆ 1 ρ1 1 Oznacza o, że w analizowanym przypadku współczynnik auokorelacji resz pierwszego rzędu w przybliżeniu wynosi: DW,88 ˆ1 ρ 1 = 1 = 1 1,44 =,44 Ad Weryfikujemy nasępująco zdefiniowaną hipoezę zerową względem jej alernaywy: H : ρ 1 = H : ρ 1 > Z ablic rozkładu DW odczyujemy warości kryyczne d L i d U dla liczby obserwacji n=8 oraz liczby zmiennych objaśniających k=1 przy poziomie isoności α=,5. Warości e wynoszą odpowiednio: d L =, 763, d U = 1,33 Z uwagi na fak, iż: DW =,88 > d U = 1,33 Przychylamy się w kierunku H uznając, iż dodania auokorelacja składników losowych jes nieisona (wykluczamy wysąpienie dodaniej auokorelacji). Ad.3 Przypadek 3.a: Gdybyśmy swierdzili, że: DW < d L =,763 wówczas odrzucilibyśmy hipoezę zerową na rzecz hipoezy alernaywnej, Świadczyłoby o, iż w rozparywanym przypadku należałoby uznać isone dodanie skorelowanie składników losowych (jes o zw. dodania auokorelacja składników losowych). Przypadek 3.b: Gdybyśmy swierdzili, że: d L =,763 < DW < d U = 1,33 wówczas oznaczałoby o, iż es jes niekonkluzywny, a ym samym nie pozwala na przychylenie się w kierunku kórejś z posawionych hipoez. 1. Modele muliplikaywne podsawy 1.1 Muliplikaywne modele poęgowe Przykład poęgowego modelu muliplikaywnego: 1 1 (88) y = B x x e Posać zlinearyzowana modelu (88): (89) ln y = + 1 ln x1 + ln x + ; ( = ln B ) 4
Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne Właściwości inerpreacyjne modeli poęgowych: I.A. Uwagi doycząca pomiaru elasyczności w modelu o ogólnej posaci: y = y(x) Pojęcie elasyczności przedziałowej zmiennej y ze względu na x: E y(x) =[ y/y(x)]/( x/x), gdzie: x=x 1 -x ; y=y(x 1 )- y(x ) Powiemy, że jeżeli zmienna x wzrośnie o 1% o zmienna y zmieni się o około E y(x) %. Zauważ, że funkcję elasyczności przekszałcić możemy do nasępującej posaci: E y(x) =[ y/ x] [x/ y(x)] Oznacza o, że w granicy elasyczność punkowa będzie równa: E y(x) =lim x [ y/ x] [x/ y(x)]= [dy/ dx] [x/ y(x)] I.B. Przypadek funkcji poęgowej z jedną zmienną objaśniającą: y = A x a, gdzie: dy/dx = (a/x) A x a Oznacza o, że E y(x) = [dy/dx] [x/y(x)]= (a/x) A x a [x/ A x a ] = a Oznacza o, że w przypadku funkcji poęgowej elasyczność jes sała i ponado równa wykładnikowi poęgi. Powiemy więc, że jeżeli zmienna x wzrośnie o 1% o, zmienna y zmieni się (wzrośnie lub zmaleje) o a%. II. Uwagi doyczące pomiaru elasyczności w modelach poęgowych o ogólnej posaci: y = A x a z b Wykorzysując właściwości różniczki zupełnej, na podsawie powyższego modelu w nasępujący sposób określamy związek pomiędzy względną zmianą zmiennej y a względnymi zmianami zmiennych x i z: dy/y = a (dx/x) + b (dz/z) Oznacza o, że: 1. w warunkach sałości zmiennej z (zn. dz=) wzros x o 1% prowadzi do zmiany zmiennej y o a%, ym samym paramer a jes elasycznością cząskową y ze względu na x : E y(x) =(dy/y)/(dx/x), w warunkach gdy dz=,. w warunkach sałości zmiennej x (zn. dx=) wzros z o 1% prowadzi do zmiany zmiennej y o b%, ym samym paramer b jes elasycznością cząskową y ze względu na z : E y(z) =(dy/y)/(dz/z), w warunkach gdy dx=. Przykład 6 [modyfikacja modelu z przykładów 1, i 3 przypadek modelu poęgowego(muliplikaywnego)] Rozważ nasępującą zmodyfikowaną posać modelu z przykładu 1 (cz.1): y = B x 1 e Celem oszacowania paramerów srukuralnych powyższego modelu dokonano jego linearyzacji poprzez jego obusronne zlogarymowanie: ln y = + 1 ln x +, ( = ln B ) Powyższą posać modelu oszacowano za pomocą esymaora MNK i orzymano nasępujące wyniki: ln yˆ =,76 +,848 ln (pod ocena parameru 1 zamieszczony jes średni błąd szacunku) x (,7) R =,996 DW = 1,875 Odpowiednie warości kryyczne saysyk - Sudena i Durbina-Wasona wynoszą odpowiednio: [ α=,5 = 1,943 ], [d L =, 763, d U = 1,33] Na podsawie powyższych informacji: 1. Zinerpreować współczynnik deerminacji,. Zbadać isoność oddziaływania zmiennej x na zmienną y, 3. Zweryfikować hipoezy doyczące auokorelacji składników losowych, 4. Oszacowaną posać modelu sprowadzić do posaci pierwonej i zinerpreować wpływ zmiennej x na zmienną y. (zinerpreować oszacowaną elasyczność) Ad 1 Na podsawie współczynnika deerminacji R =,996 powiemy, że 99,6 % zmienności zmiennej objaśnianej (logarymu koszów produkcji) zosało wyjaśnione przez zmienną objaśniającą modelu (logarym poziomu produkcji elewizorów). 5
Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne Ad Weryfikujemy hipoezę zerową względem jej nasępująco zdefiniowanej alernaywy: H : 1 = H : 1 Warość empiryczna saysyki 1 w warunkach posawionej hipoezy zerowej wynosi: ˆ,848 1 1 = = = 37,36 ˆ( σ ˆ 1),7 Na podsawie dokonanych obliczeń swierdzamy, że: 1 = 37,36 = 37,36 Oznacza o, że: 1 = 37,36 > α = 1,943, ym samym hipoezę zerową odrzucamy na rzecz hipoezy alernaywnej. Powiemy więc, że w rozważanym przypadku paramer 1 saysycznie isonie różni się od zera. Mamy ym samym prawo uznać, że zmienna x (wielkość produkcji elewizorów) wywołuje saysycznie isony wpływ na zmienną y (koszy produkcji). Jednocześnie możemy powiedzieć, iż w rozważanym przypadku prawdopodobieńswo uznania hipoezy fałszywej za prawdziwą jes równe α=,5. Ad 3. Weryfikujemy nasępująco zdefiniowaną hipoezę zerową względem jej alernaywy: H : ρ 1 = H : ρ 1 > Z uwagi na fak, iż: DW = 1,875 > d U = 1,33 Przychylamy się w kierunku H uznając, iż dodania auokorelacja składników losowych jes nieisona (wykluczamy możliwość wysąpienia dodaniej auokorelacji składników losowych). Ad.4 Sprowadzenie posaci zlogarymowanej modelu do jego posaci pierwonej,76,848 ln y ˆ =,76 +,848 ln x yˆ = e x (,7) Elasyczność koszów ze względu na poziom produkcji: dyˆ / yˆ dyˆ yˆ E yˆ ( x) = = : =,848 dx / x dx x Powiemy, że jeżeli produkcja elewizorów wzrośnie o 1% o koszy produkcji wzrosną o około,848% z przecięnym błędem,3%. Zauważ, że elasyczność możemy wyrazić alernaywnie w posaci: a) pochodnej logarymicznej w punkcie funkcji: d ln yˆ E yˆ ( x) = =,848 d ln x b) lub relacji przyrosów logarymów zmiennych w przedziale funkcji: ln yˆ E yˆ ( x) = =,848 ln x Problem 9. (konynuacja problemu 8 z cz. I maeriałów) Zinerpreuj muliplikaywny model całkowiej konsumpcji globalnej oraz jego zlinearyzowanej posaci oszacowanej na podsawie informacji zawarych w abeli 3 z części I. Posać srukuralna modelu: CON B PKBN e = 1 Posać zlinearyzowana modelu: ln CON = + 1 ln PKBN +, ( = ln B ) Oszacowana posać zlinearyzowanego modelu: ln CON ˆ =,596+,884 PKBN (,151) (,) Podsawowe miary dopasowania modelu do rzeczywisości: R =,996 DW=1,951 6
Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne Odpowiednie warości kryyczne saysyk: [ α=,5 = 1,895 ], [d L =,84 d U = 1,3] 1. Muliplikaywne modele poęgowo-wykładnicze Przykład poęgowo-wykładniczego modelu muliplikaywnego: 1 (9) y = B x e e Posać zlinearyzowana modelu (88): (91) ln y = + 1 ln x + + Właściwości inerpreacyjne poęgowo-wykładniczego modelu muliplikaywnego. III. Uwagi doyczące właściwości inerpreacyjnych modeli poęgowo-wykładniczych o posaci: (1) y = A x a e b (=1,,3,...) A) Zauważmy, że w dowolnym okresie wzros x o 1% prowadzi do zmiany zmiennej y o a%, ym samym paramer a jes elasycznością cząskową y ze względu na x w okresie : E y(x) =(dy/y)/(dx/x)=a. B) Zauważmy, że w warunkach sałości zmiennej x funkcję (1), dla kolejnych okresów: -1 i, zapisać możemy nasępująco: (.1) y -1 = A e b (-1) (.) y = A e b gdzie: A = A x a -1 = A x a jako, że: x -1 =x =cons. dla = 1,,3... Wiedząc, że: y =y -y -1 oraz dzieląc (.) przez (.1) orzymujemy kolejno: (3.1) [y /y -1 ] = e b, (3.) [(y -1 + y )/y -1 ] = e b (3.3) [1+( y /y -1 )]= e b Osaecznie orzymujemy miernik empa zmian y w posaci okresowej sopy wzrosu zmiennej y (ry ): (4) ry : y /y -1 = e b -1 b Na podsawie (4) powiemy, że w warunkach sałości zmiennej x, z okresu na okres zmienna y wzrasa (lub maleje) o (e b -1) 1%, czyli w przybliżeniu o b 1%. Przykład 7 [modyfikacja modelu z przykładów 1,,3 i 6 przypadek modelu muliplikaywnego poęgowo-wykładniczego Rozważ nasępującą zmodyfikowaną posać modelu z przykładu 1 i 6 (cz.1): 1 y = B x e e Celem oszacowania paramerów srukuralnych powyższego modelu dokonano jego linearyzacji poprzez jego obusronne zlogarymowanie: ln y = + 1 ln x + +, ( = ln B ) Powyższą posać modelu na podsawie danych saysycznych z przykładu 1 oszacowano za pomocą esymaora MNK i orzymano nasępujące wyniki: ln yˆ =,638 +,593 ln x +,45 (pod ocena parameru 1 i zamieszczono ich średnie błędy szacunku) (,195) (,345) R =,997 DW =,166 Odpowiednie warości kryyczne saysyk - Sudena i Durbina-Wasona wynoszą odpowiednio: [ α=,5 =,15 ], [d L =,559, d U = 1,77] Na podsawie powyższych informacji: 1. Zinerpreować współczynnik deerminacji,. Zbadać isoność oddziaływania zmiennej x i na zmienną y, 3. Zweryfikować hipoezy doyczące auokorelacji składników losowych, 4. Oszacowaną posać modelu sprowadzić do posaci pierwonej i zinerpreować wpływ zmiennej x oraz na zmienną y. (zinerpreować oszacowaną elasyczność i warunkową sopę wzrosu) Ad 1 Na podsawie współczynnika deerminacji R =,997 powiemy, że 99,7 % zmienności zmiennej objaśnianej (logarymu koszów produkcji) zosało wyjaśnione przez zmienną objaśniającą modelu (logarym ilości elewizorów). Ad Weryfikujemy hipoezę zerową względem jej nasępująco zdefiniowanej alernaywy: H : 1 = H : 1 Warość empiryczna saysyki 1 w warunkach posawionej hipoezy zerowej wynosi: ˆ 1,593 1 = = = 3,4 ˆ( σ ˆ ),195 1 7
Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne Na podsawie dokonanych obliczeń swierdzamy, że: = 3,4 3,4 1 = Oznacza o, że: 3,4 >,15, 1 = α = ym samym hipoezę zerową odrzucamy na rzecz hipoezy alernaywnej. Powiemy więc, że w rozważanym przypadku paramer 1 saysycznie isonie różni się od zera. Mamy ym samym prawo uznać, że zmienna x (wielkość produkcji elewizorów) w dowolnym okresie wywołuje saysycznie isony wpływ na zmienną y (koszy produkcji). Jednocześnie możemy powiedzieć, iż w rozważanym przypadku prawdopodobieńswo uznania hipoezy fałszywej za prawdziwą jes równe α=,5. Weryfikujemy hipoezę zerową względem jej nasępująco zdefiniowanej alernaywy: H : = H : Warość empiryczna saysyki w warunkach posawionej hipoezy zerowej wynosi: ˆ,45 = = = 1,34 S( ˆ ),345 Na podsawie dokonanych obliczeń swierdzamy, że: = 1,34 1,34 = Oznacza o, że: 1,34 <,15, = α = ym samym przy przyjęym poziomie isoności nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej. Powiemy więc, że w rozważanym przypadku paramer nie wykazuje saysycznie isonej różnicy od zera. Mamy ym samym prawo uznać, że zmienna czasowa nie wpływa saysycznie isonie zmienną y (koszy produkcji). Ad 3. Weryfikujemy nasępująco zdefiniowaną hipoezę zerową względem jej alernaywy: H : ρ 1 = H : ρ 1 > Z uwagi na fak, iż: DW =,166 > d U = 1,77 przychylamy się w kierunku H uznając, iż dodania auokorelacja składników losowych jes nieisona (wykluczamy możliwość wysąpienia dodaniej auokorelacji składników losowych). Ad.4 Sprowadzenie posaci zlogarymowanej modelu do jego posaci pierwonej,76,848,45 ln yˆ =,638 +,593 ln x +,45 yˆ = e x e (,195) (,345) Elasyczność koszów produkcji ze względu na poziom produkcji: dyˆ / yˆ dyˆ yˆ E yˆ ( x) = = : =,593 dx / x dx x Powiemy, że w dowolnym okresie, jeżeli produkcja wzrośnie o 1% o koszy produkcji wzrosną o około,93% z przecięnym błędem,195%. Warunkowa sopa wzrosu koszów produkcji (zn., w warunkach sałości poziomu produkcji): yˆ ˆ, 45 r y = ( 1) =,46 ˆ = e ry % = 4,6% yˆ 1 Powiemy, że w warunkach sałości produkcji (x =cons.) przecięna roczna sopa wzrosu ich koszów produkcji wynosiła 4,6%. Można byłoby o łumaczyć między innymi wzrosem cen czynników produkcji (np. cen energii, paliw lub płac). 11. Przyczynowo-skukowy model płac realnych usuwanie przyczyn auokorelacji Problem 1 Zinerpreuj przyczynowo-skukowy muliplikaywny model poziomu przecięnej płacy realnej w Polsce oszacowany na podsawie danych rocznych z la 1995-9. Założenie do przyczynowo-skukowego modelu płac: Przecięny poziom realnej płacy (W) w danym okresie jes dodanio uzależniony od poziomu przecięnej wydajności pracy (APL) z danego okresu oraz ujemnie uzależniony od odpowiednio opóźnionej w czasie sopy bezrobocia (UR): W W ( APL, AUR ), = i ( + ) ( ) 8
Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne gdzie: AUR - uśredniona w roku sopa bezrobocia, i - sopień opóźnienia w czasie oddziaływaniu sopy bezrobocia na poziom płacy realnej Posać srukuralna modelu muliplikaywnego: W = B APL AUR 1 1 Zlinearyzowana osaeczna posać modelu: ln W = + 1 ln APL + ln AUR 1 + Oszacowana posać zlinearyzowanego modelu dla la 1995-9: lnw ˆ 4,968+,661 ln APL,1 ln AUR e = 1 (,84) (,5) (,15) Podsawowe miary dopasowania modelu do rzeczywisości: R =,99 DW=1,691 Odpowiednie warości kryyczne saysyk dla n=14 obserwacji: [ α=,5 = 1,895 ], [d L =,95 d U = 1,551] Informacje o sopniu zmienności zmiennych wysępujących w modelu 1 Sopa bezrobocia (UR) oraz usredniona sopa bezrobocia w Polsce w laach 1995-9 19 17 UR AUR 15 13 11 9 7 5 1995r 1996r 1997r 1998r 1999r r 1r r 3r 4r 5r 6r 7r 8r 9r 1,8 1,6 1,4 Indeksy płac realnych (IW), wydajnosci pracy (IAPL) oraz uśrednionej sopy bezrobocia (IAUR) w Polsce w laach 1995-9 IW IAPL IAUR 1, 1,8,6,4 1995r 1996r 1997r 1998r 1999r r 1r r 3r 4r 5r 6r 7r 8r 9r Problem 11 przyczyny auokorelacji Uwzględniając graficzne informacje o zmiennych wysępujących w przyczynowo-skukowym modelu płac, oceń przyczyny auokorelacji i sposoby usunięcia przyczyn, na podsawie nasępujących wersji modelu płac w konfronacji z osaeczna wersją modelu przedsawioną w problemie 1. 9
Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne Wersja 1. Model płac uwzględniający w zbiorze zmiennych objaśniających jedynie wydajność pracy: lnwˆ = 4,54 +,689ln APL R =,945 (,163) (,46) DW=,5 Wersja. Model płac uwzględniający w zbiorze zmiennych objaśniających wydajność pracy oraz nieopóźnioną zmienną sopy bezrobocia. lnwˆ = 4,875+,67 ln APL,99 ln AUR R =,977 (,138) (,314) DW=,643 (,44) ZADANIA DO CZĘŚCI II Zadanie 4 (konynuacja zadania 1, i 3 z części I maeriałów ) (parz: przykład 4) Rozważ nasępujący model i jego oszacowaną posać dla n =6 obserwacji: y = + 1x +, gdzie: y : konsumpcja globalna (bez konsumpcji zbiorowej) gospodarsw domowych w [mld. zł.] x : warość PKB [mld.zł] yˆ =,1 +,5 x, (pod ocenami zamieszczono średnie błędy szacunku paramerów) (,8) (,74) Wiedząc, że warośćkryyczna saysyki -Sudena dla 4-ch sopni swobody i założonego poziomu isoności α=,5 wynosi: α=,5 =,13: a. Posawić hipoezę zerową i alernaywną doyczącą parameru 1 i wyjaśnić sens posawionych hipoez, b. Wyznaczyć warość empiryczną saysyki 1 w warunkach posawionej hipoezy zerowej. c. Zbadać isoność oddziaływania zmiennej x na zmienną y w założonych warunkach. d. Przedyskuować problem wysąpienia rozwiązania przeciwnego wobec rozwiązania z punku 3. Zadanie 5 (konynuacja zadania 1, i 3 z części I maeriałów ) (parz: przykład 5) Wykorzysując informacje saysyczne i oszacowania z zadania 1 i części I, oszacować i zinerpreować: 1. Empiryczną warość saysyki DW.. Zweryfikować hipoezy doyczące auokorelacji składników losowych rozparywanego w zadaniu 1 modelu wiedząc, że dla liczby obserwacji n=6 oraz liczby zmiennych objaśniających k=1 przy poziomie isoności α=,5. warości kryyczne wynoszą odpowiednio: d L =,61 i d U = 1,4 3. Przedyskuować problem wysąpienia rozwiązania przeciwnego wobec rozwiązania z punku Tabela II.4 1 -,1,5 3,1 4 -,5 5,5 6 -,5 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 1 ( ˆ ˆ 1 ), Zadanie 6 (konynuacja zadania 1, i 3 z części I maeriałów ) (parz: przykład 6) Rozważ nasępującą zmodyfikowaną posać modelu z zadania 1 (cz.1): y = B x 1 e Celem oszacowania paramerów srukuralnych powyższego modelu dokonano jego linearyzacji poprzez jego obusronne zlogarymowanie: ln y = + 1 ln x +, ( = ln B ) Powyższą posać modelu oszacowano za pomocą esymaora MNK i orzymano nasępujące wyniki: ln yˆ =,56 +,96 ln x (pod ocena parameru 1 zamieszczony jes średni błąd szacunku) (,159) R =,91 DW = 1,937 Odpowiednie warości kryyczne saysyk - Sudena i Durbina-Wasona wynoszą odpowiednio: [ α=,5 =,13 ], [d L =,61 d U = 1,4] ˆ 1
Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne Na podsawie powyższych informacji: 1. Zinerpreować współczynnik deerminacji,. Zbadać isoność oddziaływania zmiennej x na zmienną y, 3. Zweryfikować hipoezy doyczące auokorelacji składników losowych, 4. Oszacowaną posać modelu sprowadzić do posaci pierwonej i zinerpreować wpływ zmiennej x na zmienną y. (zinerpreować oszacowaną elasyczność) Model wyjściowy: DODATEK I Przyczynowo-skukowy model zaporzebowania na pracę, 1 (1) L = B e K 1 Y ( α <, <, > ) α α ( 1) 1 () L 1 = Be K 1Y 1, gdzie: L zarudnienie, K kapiał rzeczowy, Y PKB Model sopy wzrosu zaporzebowania na pracę: (3) rl = α + 1 rk + ry gdzie sopy wzrosu zarudnienia, kapiału rzeczowego i produku krajowego: (3.1) rl = ( L / L 1) ln L = ln L ln L 1 (3.) rk = ( K / K 1) ln K = ln K ln K 1 (3.3) rpkb Y / Y ) lny = lny lny, ( PKB Y ) = ( 1 1 8 6 4 Roczne sopy wzrosu PKB (rpkb), zarudnienia (ral) i kapiału rzeczowego (rak) rpkb ral rak - -4 1998r 1997r 1996r 1r r 1999r 4r 3r r 7r 6r 5r 1r 9r 8r Wniosek: Mała zmienność sopy wzrosu kapiału sprowadza model 3 do uproszczonej posaci: (4) rl = α + α X 5 + rpkb + 1 gdzie X5 jes zmienna zero-jedynkową przyjmującą nasępujące warości: - X5 = w laach 1996-4, - X5 =1 w laach 5-1, Oszacowana posać modelu (4) dla okresu od 1996 r. do 1 (n=15): (5) rl = 3,81+ 1,69 X 5 +,8 rpkb R (,58) (,43) (,1) =,843; ˆ σ =,81; DW = 1,78 11
Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne A) Model dla la 1996-4 (X5=): (6.1) rl = 3,81 +,8 rpkb B) Model dla la 5-1 (X5=): (6.) rl =,1 +,8 rpkb Wnioski: 1). W laach 1996 do 1 wzros rocznej sopy wzrosu PKB o 1 punk % prowadził do przyrosu rocznej sopy wzrosu zarudnienia o o,8 p-ku procenowego,.1) W laach 1996-4 w warunkach zerowego wzrosu PKB (rpkb=) sopa wzrosu zarudnienia malała średniorocznie o 3,81%..) W laach 5-1 w warunkach zerowego wzrosu PKB (rpkb=) sopa wzrosu zarudnienia malała średniorocznie o,1%. Wyznaczanie granicznej sopy wzrosu PKB: A) dla la 1996-4: (7.1) rl = 3,81 =,8 rpkb rpkb = 3,81/,8 = 4,65% B) dla la 5-1: (7.) rl =,1 =,8 rpkb rpkb =,1 /,8 =,6% I II Powiemy, że: A) w laach 1996-4, aby nasąpił wzros zarudnienia, PKB powinien wzrasać w rocznym empie przekraczającym 4,65%, B) w laach 5-1, aby nasąpił wzros zarudnienia, PKB powinien wzrasać w rocznym empie przekraczającym,6%. I DODATEK II Globalny popy konsumpcyjny analiza przyczynowo skukowa Tabela1.1. Nominalne i realne globalne wydaki konsumpcyjne na le realnego Produku Krajowego Bruo w Polsce w laach 1995-11 (w mld złoych) ROK CON ICK RCON PKB IPKB URCON% 1995r 66,8 1, 66,8 337, 1, 79,1 1996r 34,3 1,1991 83,873 358,164 1,6 79,5 1997r 414,8 1,3777 31,846 383,3964 1,137 78,539 1998r 479,3 1,543 311,1776 4,6168 1,194 77,888 1999r 536,9 1,657 34,855 4,856 1,48 77,1947 r 67, 1,8197 333,694 439,344 1,3 76,55 1r 646, 1,9197 336,68 444,496 1,318 75,7394 r 686, 1,956 35,6799 45,499 1,336 77,845 3r 77,8 1,974 358,8489 468,336 1,388 76,6716 4r 76,7,414 37,635 49,9864 1,46 75,5864 5r 81,1,845 384,387 51,858 1,515 75,81 6r 856,,154 46,575 54,5548 1,69 74,9363 7r 9,9,158 47,6576 579,396 1,718 73,819 8r 11,,487 454,1385 68,983 1,86 74,573 9r 168,8,374 459,98 619,4364 1,837 74,1367 1r 1136,,3879 475,8156 643,5799 1,99 73,936 11r 17,6,496 484,8631 671,64 1,991 7,314 II 1
Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne 8 7 6 5 4 3 1 1995r Wykres 1.1 Wydaki konsumpcyjne (RCON) oraz Produk Krajowy Bruo (PKB) w mld złoych w cenach sałych z roku 1995 w Polsce w laach 1995-11 1996r RCON PKB 1997r 1998r 1999r r 1r r 3r 4r 5r 6r 7r 8r 9r 1r 11r 8 78 76 74 7 7 68 Wykres 1. Udział wydaków konsumpcyjnych (RCON) w Produkcie Krajowym Bruo (PKB) w cenach sałych: URCON=RCON/PKB URCON 1995r 1996r 1997r 1998r 1999r r 1r r 3r 4r 5r 6r 7r 8r 9r 1r 11r Podsawowe pojęcia z zakresu globalnego popyu konsumpcyjnego: I. Krańcowa skłonność do konsumpcji KSK (MPC): RCON C (1.1) KSK = PKB Y Na podsawie KSK powiemy, jaką część z każdej dodakowej jednoski PKB (Y) społeczeńswo przeznacza na konsumpcję (RCON=C). II. Przecięna skłonność do konsumpcji PSK (APC): RCON C (1.1) PSK = ; ( PSK1% = URCON %) PKB Y Na podsawie PSK powiemy, jaki jes udział wydaków konsumpcyjnych (RCON) w produkcie Krajowym Bruo (PKB). Liniowy model popyu konsumpcyjnego: () C = + 1Y + Ordinary Leas Squares Esimaion Dependen variable is RCON 17 observaions used for esimaion from 1995 o 11 Regressor Coefficien Sandard Error T-Raio[Prob] C 44.499 3.9948 11.1171[.] PKB.66616.79487 83.868[.] R-Squared.99787 R-Bar-Squared.99773 S.E. of Regression 3.74 F-sa. F( 1, 15) 73.6[.] Mean of Dependen Variable 37.5157 S.D. of Dependen Variable 68.679 Residual Sum of Squares 16.841 Equaion Log-likelihood -43.1 Akaike Info. Crierion -45.1 Schwarz Bayesian Crierion -46.544 DW-saisic 1.876 13
Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne Oszacowana posać liniowego modelu popyu konsumpcyjnego: (3) Cˆ = 43,17+, 67 Y R (4,) (,8) =,998; ˆ σ = 3,7; DW = 1,876 Krańcowa skłonność do konsumpcji (KSK): Cˆ (4) KSK = =,67 (,8) Y Inerpreacja: Z każdego dodakowego miliarda zł PKB społeczeńswo przeznacza na konsumpcję przecięnie,67 mld złoych z przecięnym błędem,8 mld złoych. Funkcja przecięnej skłonności do konsumpcji (PSK): (5) P SK ˆ = 43,17 (1 / ) Y, 67 Oszacowana posać modelu PSK: Ordinary Leas Squares Esimaion Dependen variable is PSK 17 observaions used for esimaion from 1995 o 11 Regressor Coefficien Sandard Error T-Raio[Prob] OPKB 43.178 3.6 11.956[.] C.6687.7814 85.5773[.] R-Squared.9459 R-Bar-Squared.8983 S.E. of Regression.63981 F-sa. F( 1, 15) 14.[.] Mean of Dependen Variable.766 S.D. of Dependen Variable.56 Residual Sum of Squares.614E-3 Equaion Log-likelihood 6.818 Akaike Info. Crierion 6.818 Schwarz Bayesian Crierion 59.9886 DW-saisic 1.976 Inerpreacja: W warunkach, gdy PKB zmierzać będzie do nieskończoności, o udział wydaków konsumpcyjnych w produkcie krajowym zmierzać będzie do,67 (czyli 67%). Przekszałcenie modelu liniowego do modelu w posaci indeksowej (zależności względne na podsawie modelu liniowego) (6.1) C C = / C + ( / C ) Y + C (6.) (6.3) Gdzie: / 1 / / C = / C + ( 1 Y / C ) ( Y / Y ) + = + 1 Y + C C (6.4.a) C = C / C = C / 37, 5 (6.4.b) Y = Y / Y = Y / 49, 5 (6.4.c) ˆ = 44,41 / 37,5 =, 1 (6.4.d) ˆ = (,667 49,5) / 37,5 =, 89 1 Przekszałcona posać modelu liniowego do posaci indeksowej: (7) Cˆ =,1 +,89 Y Inerpreacja: Wzros produku krajowego o jeden punk procenowy (1 pk%) prowadzi do wzrosu konsumpcji globalnej przecięnie o około,89 punku procenowego (,89 pk%). 14
Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne (8) C = B Y e 1 Model poęgowy konsumpcji: Posać zlinearyzowana modelu poęgowego konsumpcji: (9) ln C = + 1 lny + Ordinary Leas Squares Esimaion Dependen variable is LRCON 17 observaions used for esimaion from 1995 o 11 Regressor Coefficien Sandard Error T-Raio[Prob] C.46671.6986 7.658[.] LPKB.881.98646 89.91[.] R-Squared.9981 R-Bar-Squared.99799 S.E. of Regression.8677 F-sa. F( 1, 15) 7958.3[.] Mean of Dependen Variable 5.943 S.D. of Dependen Variable.18456 Residual Sum of Squares.153 Equaion Log-likelihood 58.4637 Akaike Info. Crierion 56.4637 Schwarz Bayesian Crierion 55.635 DW-saisic 1.9517 Oszacowana posać zlinearyzowanego modelu popyu konsumpcyjnego: (1) ln Cˆ =,467+, 88 lny R (,61) (,1) =,998; ˆ σ =,83; DW = 1,9517 (11) Posać zdelogarymowana modelu: ˆ,467,88 C = e Y Inerpreacja: Wzros produku krajowego bruo o 1% prowadził do przecięnego przyrosu konsumpcji o,88% z błędem,1%. Oszacowana posać modelu PSK:,467,1 (1) ˆ P SK = e Y Inerpreacja: Wzros produku krajowego bruo o 1% prowadził do przecięnego spadku udziału wydaków konsumpcyjnych w produkcie krajowym o około,1%. Ordinary Leas Squares Esimaion Dependen variable is LPSK 17 observaions used for esimaion from 1995 o 11 Regressor Coefficien Sandard Error T-Raio[Prob] C.46671.6986 7.658[.] LPKB -.11999.98646-1.1635[.] R-Squared.9795 R-Bar-Squared.9181 S.E. of Regression.8677 F-sa. F( 1, 15) 147.9515[.] Mean of Dependen Variable -.7469 S.D. of Dependen Variable.6385 Residual Sum of Squares.153 Equaion Log-likelihood 58.4637 Akaike Info. Crierion 56.4637 Schwarz Bayesian Crierion 55.635 DW-saisic 1.9517 15