SFORMUŁOWANIE WARIACYJNE

SFORMUŁOWANIE WARIACYJNE Abstrkt Ktrzyn Miller 1, Krolin Pelcer grup projektow 6 Zgdnienie Sformułownie wricyjne zjmuje się szukniem ekstremlnych wrtości funkcjonłów i m zstosownie w rozwiązywniu równń różniczkowych. W niniejszym rtykule strłyśmy się przedstwić podstwowe informcje dotyczące tego temtu. Pierwsz część teoretyczn przedstwi krótką notkę historyczną i trzy podstwowe zdni rchunku wricyjnego. Wyjśni pojęci: funkcjonł, funkcjonł liniowy, przyrost, wricj, ekstremum funkcjonłu i wrunek konieczny istnieni ekstremum. Oprócz tego podne są przykłdy funkcjonłu orz podził funkcjonłów liniowych. Zostje wyprowdzone równnie Euler i pokzne są jego szczególne przypdki. W części prktycznej utorki przedstwiją odpowiednie przykłdy wyjśnijące jk znleźć ekstremum funkcjonłu, rozwiązne zostje zdnie o brchistochronie i zdnie o njmniejszym polu obrotowym. W celu szybszego zrozumieni przez czytelników niektórych zgdnień sporządzono odpowiednie rysunki i dokłdnie rozwiązno zdni. Słow kluczowe: funkcjonł, funkcjonł liniowy, przyrost funkcjonłu, wricj, ekstremum funkcjonłu, równnie Euler, podstwowe zdni rchunku wricyjnego 1 Wstęp Artykuł zostł npisny przez studentki trzeciego roku mtemtyki finnsowej n Politechnice Gdńskiej: Ktrzynę Miller i Krolinę Pelcer. Temt Sformułownie wricyne zostł wcześniej przedstwiony w formie prezentcji n zjęcich projektowych z przedmiotu Metody elementów skończonych. Ktrzyn Miller oprcowł mterił dotyczący trzech podstwowych zdń rchunku wricyjnego, podstwowe pojęci i definicje orz zdnie 1 znlezienie ekstremum funkcjonłu. 1 Nr indeksu 114483, Politechnik Gdńsk wydził Fizyki Technicznej i Mtemtyki Stosownej Nr indeksu 114495, Politechnik Gdńsk wydził Fizyki Technicznej i Mtemtyki Stosownej 1

Krolin Pelcer oprcowł równnie Euler i jego szczególne przypdki orz zdnie o brchistochronie i zdnie 3 o njmniejszym polu obrotowym. Wspólnie oprcowno związek pomiędzy metodmi elemntów skończonych Sformułowniem wricyjnym. Metody elementów skończonych, Sformułownie wricyjne Rozwiąznie proksymcyjne metody elementów skończonych może powodowć wiele problemów, ze względu n postć opisujących je równń różniczkowych. Wynik to z fktu, że pojwiją się tm często pochodne stosunkowo wysokich rzędów, co przy bezpośrednim rozwiązywniu tych równń wymg zstosowni wysokich rzędów funkcji proksymujących. Aby pozbyć się tych problemów możemy stosowć Sformułownie wricyjne, poniewż w wielu przypdkch problem cłkowni równni różniczkowego (zwyczjnego lub o pochodnych cząstkowych) możn zstąpić równowżnym problemem znlezieni funkcji, któr ekstremlizuje pewną cłkę (funkcjonł). 3 Podstwowe zdni W 1696 roku Jn Bernoulli opublikowł list, w którym sformułowł pytnie o linii njszybszego spdku nzwnej brchistochroną. Dło to początek trzem podstwowym zdniom rchunku wricyjnego. 3.1 Zdnie o brchistochronie W zdniu o brchistochronie szukmy linii łączącej dw punkty A i B, nieleżące n jednej prostej pionowej, po której punkt mterilny stcz się njszybciej. Krzywą tką nzyw się brchistochroną. Zuwżmy, że lini t nie jest prostą łączącą punkty A i B. Tk prost byłby njkrótszą drogą po jkiej punkt mterilny stcz się, jednk prędkość rosłby wolno. Krzyw zś stromo zmierzjąc z punktu A jest dłuższ, le prędkość jest większ. Tką krzywą nzyw się cykloidą. 3. Zdnie o linich geodezyjnych A i B to dw ustlone punkty nieleżące w jednej płszczyźnie pionowej. Spośród wszystkich krzywych płskich, znjdujemy tę któr m njmniejszą długość. Linie tkie nzywmy geodezyjnymi. N obrzku widzimy, że spośród trzech nrysownych krzywych, njkrótsz

Rysunek 1: Przedstwi spdek punktu mterilnego z pkt.a do pkt.b [7] Rysunek : Różne krzywe łączące pkt.a i pkt.b jest czerwon krzyw. Jest więc on linią geodezyjną. Njkrótsze są funkcje liniowe czyli f = f(x). 3.3 Zdnie izoperymetryczne Zdnie izoperymetryczne poleg n znlezieniu lini zmkniętej o zdnej długości S. Lini t powinn ogrniczć mksymlne pole. Krzywą tką jest okrąg. Rysunek 3: Przedstwi mksymlne pole 3

4 Pojęci, definicje 4.1 Funkcjonł Funkcjonłem nzywmy wielkości zmienne, których wrtości zleżne są od jednej lub kilku funkcji. Funkcjonł kżdej funkcji (pewnej klsy) przyporządkowuje jednozncznie pewną liczbę.[1] Przykłdy funkcjonłu: 1. Długość l łuku krzywej, łączącej dw dne punkty;. Pole S pewnej powierzchni; 3. Jeśli drodze łączącej punkty A i B przyporządkujemy czs, w którym rozptrywne ciło przejdzie tę drogę; 4. Funkcjonł liniowy Definicj 1 [] Funkcjonł J[f] nzywmy funkcjonłem liniowym, jeśli spełni nstępujące wrunki: J[k f] = k J[f] dl kżdego k R J[f 1 + f ] = J[f 1 ] + J[f ] 4.3 Podził funkcjonłów liniowych 4.3.1 Podził ze względu n rodzj zmiennych W funkcjonłch występują dw rodzje zmiennych: zmienne niezleżne: x 1, x,... zmienne zleżne: f 1 (x), f (x),... 4.3. Podził ze względu n ilość zmiennych Funkcjonły możemy podzielić tkże ze względu n ilość zmiennych w funkcji: Funkcjonł zleży od jednej zmiennej niezleżnej i kilku zmiennych zleżnych: J[f] = F (x, f 1, f,..., f n, f 1, f,..., f n)dx Funkcjonł zleży od kilku zmiennych niezleżnych i jednej zmiennej zleżnej: 4

J[f] = x 1 x x3 x 11 x 1 x 31 F (x 1, x, x 3, f, f x 1, f x, f x 3 )dx 1 dx dx 3 Funkcjonł zleży od jednej zmiennej niezleżnej i pochodnych wyższego rzędu: J[f] = F (x, f, f, f,..., f (n) )dx Funkcjonł zleży od kilku zmiennych niezleżnych i kilku zmiennych zleżnych: J[f] = x 1 x x 11 x 1... x n x n1 F (x 1, x,... x n, f 1, f,..., f n, j x i j=1,,...n i=1,,...n )dx 1dx... dx n 4.4 Przyrost funkcjonłu, wricj Niech J: X R będzie funkcjonłem określonym n pewnej przestrzeni funkcyjnej X. Wtedy J = J[f + h] J[f] będzie przyrostem wrtości funkcjonłu odpowidjącym przyrostowi rgumentu o h. Zuwżmy, że dl ustlonego f przyrost J jest funkcjonłem zleżnym od h (n ogół nieliniowym). Rysunek 4: Przyrost wrtości funkcjonłu [7] Definicj [5] Mówimy, że funkcjonł J jest różniczkowlny w punkcie f wtedy i tylko wtedy gdy przyrost J dje się przedstwić w postci gdzie: J = γ(h) + α(f, h) h, γ(h) jest funkcjonłem liniowym względem h lim h 0 α(f, h) = 0 h = mx h gdzie h to odlegołość między funkcjmi (ptrz Rysunek4) Różniczką w sensie Frèchet lub wricją funkcjonłu J nzywmy główną liniową część przyrostu J funkcjonłu J, czyli funkcjonł liniowy γ(h), różniący się od J o wielkość nieskończenie młą rzędu wyższego od pierwszego w stosunku do h. Zpisujemy ją symbolicznie jko δj(h). 5

4.5 Ekstremum funkcjonłu 4.5.1 Eksteremum mocne funkcjonłu Wrtość funkcjonłu J[f 0 ] nzywmy ekstremum mocnym, jeżeli jest on ekstremlą (krzywą cłkową równni Euler) ze względu n te wszystkie funkcje f(x), które nleżą do obszru określoności funkcjonłu J[f] i spełniją wrunek f f 0 < ɛ gdzie ɛ > 0 (tj. są bliskie f 0 w sensie normy przestrzeni C 3 )[1] 4.5. Ekstremum słbe funkcjonłu Funkcjonł J[f] osiąg dl f = f 0 ekstremum słbe, jeśli istnieje tkie ɛ > 0, że J[f] J[f 0 ] zchowuje stły znk dl wszystkich tych f z przestrzeni D 1 4, dl których funkcjonł J[f] jest określony i f f 0 < ɛ. [1] Kżde ekstremum mocne jest równocześnie ekstremum słbym. Rozptrujemy funkcjonły określone w pewnym zbiorze funkcji różniczkowlnych. Funkcje te uwżmy z elementy przestrzeni C i D 1. 4.5.3 Wrunek konieczny istnieni ekstremum Twierdzenie 1 [1] Wrunkiem koniecznym n to, by funkcjonł J[f] osiągł dl f = f 0 ekstremum jest, by jego różniczk (jeśli istnieje) był dl f = f 0 równ zero,tj. δj 0 dl f = f 0 Dowód tego twierdzeni w złączniku 8.1.1. 5 Równnie Euler 5.1 Wyprowdzenie równni Euler Niech F(x,f,f ) będzie funkcją mjącą ciągłe pochodne cząstkowe dowolnego rzędu ze względu n wszystkie zmienne. Pośród wszystkich funkcji f(x) mjących ciągłe pochodne i spełnijących wrunki: f()=a, f(b)=b, poszukujemy tej, dl której funkcjonł 3 Przestrzeń C, skłdjąc się ze wszystkich funkcji ciągłych, określonych n pewnym odcinku [,b]. Dodwnie elementów i mnożenie ich przez liczby wprowdzmy tutj jko zwyczjne dodwnie funkcji i mnożenie ich przez liczby, normę określmy jko mksimum modułu, czyli y = mx f(x) dl x b. 4 Przestrzeń D 1 jest przestrzenią skłdjącą się ze wszystkich funkcji określonych n pewnym odcinku [,b] i ciągłych n tym odcinku rzem z ich pierwszymi pochodnymi. Opercje dodwni i mnożeni przez liczby wprowdzmy tk smo jk w C, normę zś określmy z pomocą wzoru y 1 = mx f(x) + mx f (x) dl x b. 6

J[f] = F (x, f, f )dx osiąg ekstremum. Wyznczmy wricję funkcjonłu J[f] ndjąc funkcji f(x) przyrost h(x). Aby funkcj f(x)+h(x) spełnił wrunki brzegowe, h(x) musi się zerowć n końcch przedziłu cłkowni h()=0, h(b)=0. Obliczmy przyrost funkcjonłu: J = δj(h) + α(f, h) h = F (x, f + h, (f + h) )dx F (x, f, f )dx = = F (x, f + h, f + h )dx W celu wyznczeni pierwszej z cłek skorzystmy ze wzoru n różniczkę: F (x, f, f )dx F (x, f + h, f + h ) = F (x, f, f + h ) + F (x, f, f + h ) h = = F (x, f, f ) + F (x, f, f ) h + F (x, f, f ) h + F (x, f, f ) hh Podstwijąc do wzoru n przyrost funkcjonłu otrzymujemy: J = δj(h) + α(f, h) h = = ( b F (x, f, f )+ F (x,f,f ) h + F (x,f,f ) = ( b F (x,f,f ) h + F (x,f,f ) h + F (x,f,f ) h+ F (x,f,f ) hh ) dx hh ) dx F (x, f, f )dx = Wricj jest główną liniową częścią przyrostu funkcjonłu J[f], zś α(f, h) h są to wyrzy rzędu wyższego od pierwszego ze względu n h i h. Zpiszmy ztem wricję: δj(h) = ( b F (x,f,f ) h + F (x,f,f ) h ) dx Wrunek konieczny istnieni ekstremum funkcjonłu J[f] możemy przedstwić w postci równni: δj(h) = ( b F (x,f,f ) h + F (x,f,f ) h ) dx = 0 Postć powyższego równni nie jest wygodn, poniewż pojwi się funkcj h i jej pochodn h. Wprowdz to pewną dowolność i nie wskzuje jednozncznie funkcji f będącej poszukiwnym rozwiązniem. Wyeliminujmy pochodną h z drugiego członu cłki stosując cłkownie przez części: 7

F (x,f,f ) h dx = h F (x,f,f ) h d dx Poniewż h()=h(b)=0, możemy npisć: F (x,f,f ) dx F (x,f,f ) h dx = h d dx F (x,f,f ) dx Stąd otrzymujemy: δj(h) = ( b h F (x,f,f ) d F (x,f,f ) dx )dx Funkcj h może przyjmowć dowolny znk, w szczególności możemy dobierć ją tk, by iloczyn funkcji podcłkowych był zwsze nieujemny lub niedodtni (nie zmienił znku w przedzile cłkowni), jedynie h 0, to wricj będzie równ zeru tylko wówczs gdy: F (x,f,f ) d F (x,f,f ) dx = 0 Powyższe równnie różniczkowe nzywmy równniem Euler. Możemy je zpisć w prostszej postci: F f d dx F f = 0 Krzywe cłkowe równni Euler nzywmy ekstremlmi [1], [6], [8]. 5. Szczególne przypdki równni Euler W zleżności od postci funkcji podcłkowej rozptrujemy przypdki [1]: 1. Funkcj podcłkow nie zleży od x: bdny funkcjonł m postć: F (f, f )dx postć wzoru Euler: d dx (F f F f ) = 0 stąd otrzymujemy pierwszą cłkę rozptrywnego równni Euler m on postć : F f F f = C gdzie C R. Funkcj podcłkow nie zleży od f: bdny funkcjonł m postć: F (x, f )dx 8

postć wzoru Euler: d dx F f = 0 stąd otrzymujemy pierwszą cłkę rozptrywnego równni Euler m on postć : F f = C gdzie C R 3. Funkcj podcłkow nie zleży od f : bdny funkcjonł m postć: F (x, f)dx postć wzoru Euler: F f = 0 nie jest to równnie różniczkowe, lecz zwyczjne równnie określjące jedną lub kilk krzywych. Wyprowdzenie wzorów równni Euler dl szczególnych przypdków w złączniku 8..1. 6 Przykłdy 6.1 Zdnie 1 znlezienie ekstremum funkcjonłu Określić n jkich krzywych może osiągć ekstremum funkcjonł J[f] = 1 (f xf)dx z wrunkmi brzegowymi f(1) = 0, f() = 1. Rozwiąznie: Wzór Euler: F f d dx F f = 0 F (x, f, f ) = f xf F f = x d dx F f = d dx (f (x)) = f (x) Podstwimy wyliczone funkcje do wzoru Euler: 9

x f (x) = 0 Otrzymliśmy równnie różniczkowe, które potrfimy obliczyć: x f (x) = 0/ : ( ) f (x) + x = 0 f (x) = x f (x)dx = xdx f (x) = x + C gdzie C R f (x)dx = x + Cdx f(x) = x3 6 + C 1 x + C gdzie C 1, C R Otrzymliśmy wzór krzywej jednk jest on zleżn od dwóch stłych C 1, C. Możemy obliczyć je korzystjąc z wrunków brzegowych: f(1) = 1 6 + C 1 + C = 0 f() = 8 6 + C 1 + C = 1 { C1 + C = 1 6 C 1 + C = 1 3 Obliczjąc C 1, C z tego ukłdu równń otrzymujemy: { C1 = 1 6 C = 0 Ztem ekstremum może być osiągnięte tylko n krzywej: f(x) = x 6 (1 x ) [3]. 6. Zdnie o brchistochronie Znleźć krzywą łączącą n pionowej płszczyźnie punkty A i B, nieleżące n jednej linii pionowej, po której w njkrótszym czsie poruszjący się, pod dziłniem siły ciężkości, punkt mterilny przemieści się z punktu A do punkty B. Trcie i opór pomijmy. Rozwiąznie: Wprowdźmy ukłd współrzędnych: 10

Rysunek 5: Ukłd współrzędnych xoy Początek ukłdu współrzędnych będzie w punkcie A, oś Ox skierujmy poziomo, oś Oy- pionowo w dół. Krzyw AB jest określon równniem jwnym y = y(x), 0 x x 1. Z zsdy zchowni energii wiemy, że: mv = mgy (1) gdzie y-wysokość, n której znjdzie się punkt mterilny, v-wrtość prędkości w dnej chwili czsu, g-przyśpieszenie ziemskie, m-ms cił. Z wzoru (1) możemy npisć: v = gy Długość wektor prędkości wyrż się wzorem: v(t) = ( dx dt ) + ( dy dt ) po zminie zmiennych otrzymujemy: v(t)dt = 1 + ( dy dx ) dx Po uwzględnieniu zsdy zchowni energii mmy: gydt = 1 + ( dy dx ) dx 1 + ( dy dx dt = ) dx gy Cłkowity czs ruchu cił z położeni A(0,0) w położenie B(x 1, y 1 ) będzie wyrżony cłką: 1 x1 1 + y J[y] = dx g 0 y Funkcjonł nie zwier rgumentu x, jego wyrżenie podcłkowe jest zpisne w formie F = F (y, y ). Równnie Euler po pierwszym cłkowniu m 11

postć F y F y = C W nszym przypdku równnie to zpisujemy jko: 1 + y y y y(1 + y ) = C Stąd po uproszczeniu będziemy mieć: 1 y(1 + y ) = C y(1 + y ) = C 1 Wprowdźmy prmetr t, zkłdjąc że y = ctg t wówczs otrzymmy: C 1 y = 1 + ctg t = C 1 sin t = C 1 (1 cos t) Korzystjąc z powyższego wzoru znjdujemy: dx = dy y x = = C 1 sin t cos tdt ctg t = C 1 sin t dt C 1 (1 cos t)dt = C 1 t C 1 sin t + C = C 1 (t sin t) + C Tk więc w formie prmetrycznej równnie szuknej krzywej m postć: x C = C 1 (t sin t) y = C 1 (1 cos t) Zstosujmy podstwienie t = t 1 i biorąc pod uwgę, że dl t = 0 również x = 0, otrzymmy, że C = 0. Osttecznie dochodzimy do równni rodziny cykloid, zpisnego w formie prmetrycznej: { x = C 1 (t 1 sin t 1 ) y = C 1 (1 cos t 1 ) gdzie C 1 -promień toczącego się okręgu. Wykzliśmy, że brchistochroną jest cykloid [1], [3], [4], [6]. 6.3 Zdnie 3 o njmniejszej powierzchni obrotowej Określić krzywą y = y(x) z zdnymi punktmi grnicznymi, przy obrocie której wokół osi odciętej tworzy się powierzchni o njmniejszym polu. 1

Rysunek 6: Powierzchni obrotow [3] Rozwiąznie: Pole powierzchni obrotowej jest określone wzorem: J[y] = π y 1 + y dx Funkcj podcłkow zleży tylko od y i y, ztem pierwsz cłk równni Euler będzie mił postć: F y F y = C W nszym przypdku równnie to zpisujemy w postci: y 1 + y yy = C 1 + y Stąd po uproszczeniu będziemy mieć: y 1 + y = C Wprowdźmy prmetr t zkłdjąc, że y = sinh t. Wtedy y = C cosh t, dx = dy x = y = Cdt C sinh tdt sinh t = dt Tk więc szukn powierzchni powstje przez obrót lini, której równnie w formie prmetrycznej m postć: x = Ct + C 1 y = C cosh t Wykluczjąc prmetr t, otrzymmy: y = C cosh x C 1 C. Jest to rodzin krzywych łńcuchowych, przy obrocie których powstje szukn powierzchniktenoid. Stłe C i C 1 są określone n podstwie wrunku przechodzeni krzywej łńcuchowej przez wyznczone punkty grniczne [3], [6]. 13

7 Podsumownie W dzisiejszych czsch Sformułownie wricyjne, konkretnie Rchunek wricyjny, zjmuje w mtemtyce szczególne miejsce. Jest jednym z wżniejszych, z punktu widzeni zstosowń, rozdziłów klsycznej nlizy mtemtycznej. Zdni wricyjne polegją n znlezieniu wrtości mksymlnych i minimlnych funkcjonłów, które zstępują równni różniczkowe. Rozwiązujemy w ten sposób problem polegjący n cłkowniu owych równń różniczkowych. Zprezentowne przykldy pokzły, że przy użyciu porostych przeksztłceń i wzorów możemy obliczyć wiele zgdnień mtemtycznych jk, i fizycznych. 8 Złącznik 8.1 Ekstremum funkcjonłu 8.1.1 Wrunek konieczny istnieni ekstremum Twierdzenie Wrunkiem koniecznym n to, by funkcjonł J[f] osiągł dl f = f 0 ekstremum jest, by jego różniczk (jeśli istnieje) był dl f = f 0 równ zero,tj. δj 0 dl f = f 0 Dowód 1 [1],[5] Dowód przez sprzeczność. Rozptrzmy dl określoności przypdek minimum. Jeżeli J[f] osiąg dl f = f 0 minimum, to znczy, że J[f 0 + h] J[f 0 ] 0 dl wszystkich h, dl których norm h jest dosttecznie mł. Ale zgodnie z określeniem wricji, J[f 0 + h] J[f 0 ] = δj[h] + α(f, h) h i α(f, h) 0 dl h 0. Jeżeli δj[h] 0, to dl dosttecznie młych h znk wyrżeni δj[h] + α(f, h) h określ pierwszy skłdnik (główny). Ale δj jest funkcjonłem liniowym, dltego δj[ h] = δj[h] ztem, przy δj 0 wyrżenie δj[h] + α(f, h) h może być tk dodtnie, jk i ujemne przy dowolnie młych h, czyli ekstremum w tym przypdku jest niemożliwe. 14

8. Równnie Euler 8..1 Szczególne przypdki równni Euler W zleżności od postci funkcji podcłkowej rozptrujemy przypdki: 1. Funkcj podcłkow nie zleży od x: bdny funkcjonł m postć: F (f, f )dx postć wzoru Euler: d dx (F f F f ) = 0 stąd otrzymujemy pierwszą cłkę rozptrywnego równni Euler m on postć : F f F f = C gdzie C R Dowód [1] Skorzystjmy ze wzoru Euler: F f d dx F f = 0 Rospisując powyższy wzór dl nszej funkcji podcłkowej otrzymmy: F f d dx F f = F f F f f f F f f f pomnożymy to równnie przez f : F f f F f f f f F f f f f korzystjąc z postci wzoru Euler dl tego przypdku funkcjonłu zpiszmy: d dx (F f F f ) = F f f F f f f f F f f f f Otrzymliśmy to smo ztem pierwsz cłk rozptrywnego równni Euler m on postć : F f F f = C gdzie C R. Funkcj podcłkow nie zleży od f: bdny funkcjonł m postć: F (x, f )dx postć wzoru Euler: 15

d dx F f = 0 stąd otrzymujemy pierwszą cłkę rozptrywnego równni Euler m on postć : F f = C gdzie C R Dowód 3 [1] W tym przypdku dowód jest brdzo prosty, poniewż ze wzoru Euler F f d dx F f = 0 wynik, że F f = 0 ztem bierzemy tylko pod uwgę d dx F f = 0, stąd pierwsz cłk to: F f = C gdzie C R. 3. Funkcj podcłkow nie zleży od f : bdny funkcjonł m postć: F (x, f)dx postć wzoru Euler: F f = 0 Litertur nie jest to równnie różniczkowe, lecz zwyczjne równnie określjące jedną lub kilk krzywych. [1] I.M. Gelfnd, S.W. Fomin: Rchunek wricyjny, Pństwowe Wydwnictwo Nukowe, Wrszw 1979r., s. 7-30. [] L.E. Elsgolc: Rchunek wricyjny, Pństwowe Wydwnictwo Nukowe, Wrszw 1960r., s. 7-10,14,33-34. [3] J. Głzunow: Metody wricyjne, Wydwnicto Elbląskiej Uczelni Humnistyczno-Ekonomicznej, Elbląg 005r., s. 11,45-49. [4] strony www: http://www.ftj.gh.edu.pl/ lend/wricje.pdf n dzień 06.03.010r. [5] strony www: http://www.mini.pw.edu.pl/ mm/konw/wykl 13.pdf n dzień 06.03.010r. [6] strony www: http://www.mini.pw.edu.pl/ mm/konw/node65.html n dzień 06.03.010r. [7] strony www: http://pnormix.ift.uni.wroc.pl/ knft/mterily/wricje.pdf n dzień 06.03.010r. [8] Mteriły podne przez Pnią J. Pielszkiewicz MES mteril1 16