ACTA UIVRSITATIS LODZISIS FOLIA OCOOMICA 294, 23 Paweł Dykas *, Tomasz Tokarsk ** PODAŻOW CZYIKI WZROSTU GOSPODARCZGO PODSTAWOW MODL TORTYCZ Sreszczene. Celem prezenowanego opracowana jes analza podażowych deermnanów długookresowego wzrosu gospodarczego na grunce podsawowych, eoreycznych model wzrosu. W pracy analzowane są neoklasyczne modele wzrosu, modele wzrosu opare na eor opymalnego serowana Ponragna oraz zw. modele wzrosu sem-endogencznego.. Wprowadzene Problemayka wzrosu gospodarczego, opara na maemaycznych modelach wzrosu gospodarczego, weszła do głównego nuru makroekonom na przełome la 3-ych 4-ych XX weku. Wedy o zosały sformułowane modele wzrosu gospodarczego R.F. Harroda oraz.d. Domara, kóre można zalczyć do model makroekonom keynessowskej. Po keynessowskch modelach wzrosu pojawły sę modele neoklasyczne, do kórych zalczyć można mędzy nnym modele: Solowa, Phelpsa, Mankwa-Romera-Wela oraz onnemana-vanhouda. W eor wzrosu gospodarczego podejmowano równeż próby endogenzacj posępu echncznego, w wynku czego powsały zw. endogenczne modele wzrosu gospodarczego do kórych zalczyć można mędzy nnym modele wzrosu: Ramseya, Lucasa oraz Romera. W prezenowanym opracowanu scharakeryzowano podsawowe modele wzrosu gospodarczego, j. modele: Solowa, Mankwa-Romera-Wela oraz onnemana-vanhouda (zalczane do neoklasycznych model wzrosu gospodarczego), endogenczne modele wzrosu (zwane naczej modelam opymalnego serowana): Lucasa, Romera oraz -kapałowy model opymalnego serowana ypu onnemana-vanhouda. Opracowane kończy analza zw. modelu wzrosu sem-endogenczego. * Mgr, Kaedra konom Maemaycznej, Insyu konom Zarządzana Unwersyeu Jagellońskego. ** Prof. dr hab., Kaedra konom Maemaycznej, Insyu konom Zarządzana Unwersyeu Jagellońskego. [9]
Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk 2. eoklasyczna funkcja produkcj reszy Solowa Prosą analzę podażowych deermnanów długookresowego wzrosu gospodarczego oprzeć można na dobrze znanej w analzach makroekonomcznych koncepcj neoklasycznej funkcj produkcj. Przez neoklasyczną funkcję produkcj z reguły rozume sę funkcję Y FK, L, gdze Y o welkość wyworzonego srumena produku, zaś K, L oznacza nakłady kapału pracy, charakeryzującą sę nasępującym właścwoścam (za Barro, Sala--Marn [995, s. 6 7], por. eż np. Tokarsk [29b, rozdzał ], Tokarsk [2a, rozdzał 4] lub Tokarsk [2b, rozdzał 5]) 2 : I F K, F, L, co oznacza, że każdy z czynnków produkcj jes nezbędny w procese produkcyjnym. II lm FK, L lm FK, L, skąd wynka, że bardzo dużym K L L K (dążącym do +) nakładom kapału K /lub pracy L odpowada bardzo duży (dążący do +) srumeń wyworzonego produku. III F/K> F/L>, czyl wzros nakładów kóregokolwek z czynnków produkcj (ceers parbus) prowadz do wzrosu srumena wyworzonego produku. F F F IV Zachodzą warunk Inady posac: lm lm oraz lm K K L L K K F lm. Warunk e nerpreuje sę ekonomczne w en sposób, że bardzo małym (bardzo dużym) nakładom jednego z czynnków produkcj odpowa- L L da bardzo duży (bardzo mały) krańcowy produk owego czynnka produkcj. V 2 F/K 2 < 2 F/L 2 <, co oznacza, że wraz ze wzrosem nakładów każdego z czynnków produkcj jego krańcowy produk maleje. Sąd oraz z warunków Inady wynka, że jeśl nakłady kóregokolwek rosną od do +, o (ceers parbus) jego krańcowy produk spada od + do. VI Funkcja produkcj F jes jednorodna sopna perwszego. Wynka sąd, że dowolne -krone (przy > ) zwększene nakładów każdego z czynnków produkcj prowadz do dokładne -kronego wzrosu produku. Właścwość a nazywana jes równeż w leraurze ekonomcznej sałym efekam skal (lub sałym korzyścam skal). Punky 2-4 prezenowanego opracowana w znacznej merze opare są na pracy Tokarskego [29a]. Por. eż Tokarsk [29b]. 2 Implce o wszyskch wykorzysywanych dalej funkcjach zakładamy, że są odpowedną lość razy różnczkowalne w swoch dzedznach.
Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego Korzysając z założena o sałych efekach skal można przejść z agregaowej funkcj produkcj Y FK, L na funkcję wydajnośc pracy y f k, gdze y Y / L o wydajność pracy (produk na pracującego), zaś k K / L oznacza echnczne uzbrojene pracy (kapał rzeczowy na pracującego). Można pokazać, ż funkcja wydajnośc pracy y f k charakeryzuje sę m.n. nasępującym właścwoścam (por. eż np. Chang [994, s. 42 44] lub Tokarsk [29b, rozdzał ]): f, I. II. f k lm, k III. df/dk >, df df IV. lm lm, k dk k dk V. d 2 f/dk 2 <. Korzysając z właścwośc neoklasycznej funkcj produkcj można wyprowadzć zw. równane resz Solowa [957], kóre opsuje sopę posępu echncznego w gospodarce (por. eż Harcour [975, s. 97 2]). Równane resz Y AF K, L, gdze A oznacza łączną Solowa można wyprowadzć z funkcj produkcyjność czynnków produkcj, zaś K L produkcj, przy czym F, F, jes neoklasyczną funkcją. Jeśl dodakowo założy sę, ż Y, A, K oraz L są różnczkowalnym funkcjam czasu [;+), o można pokazać, że 3 : Y Y A F K K F L L. () A K Y K L Y L Równane () nerpreuje sę ekonomczne w en sposób, że sopa wzrosu produkcj Y / Y jes sumą sopy posępu echncznego A/ A (równej sope wzrosu łącznej produkcyjnośc czynnków produkcj) oraz sumy sóp wzrosu nakładów kapału K / K pracy L / L ważonych elasycznoścam produkcj względem nakładów owych czynnków produkcj 4. Jeśl eraz uwzględn sę margnalną eorę podzału Clarka (j. eorema, że w warunkach gospodark doskonale konkurencyjnej każdy z czynnków produkcj mus być opłacany 3 Zaps x dx / d oznaczał będze dalej pochodną zmennej x po czase, czyl ekonomczne rzecz ujmując przyros warośc owej zmennej w momence. F K 4 F L Wyrażene w równanu () o elasyczność produku względem nakładów kapału K Y L Y (pracy).
2 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk zgodne z jego produkem krańcowym 5 ), o ceny czynnków produkcj (realna sopa procenowa r płaca realna w) są równe, odpowedno, F/K F/L. Wsawając powyższe równana do zwązku () orzymuje sę zależność: Y Y A rk K wl L A K L K L, (2) A Y K Y L A K L gdze K rk/y oraz L wl/y są udzałam kapału pracy w produkce. Poneważ udzały nakładów czynnków produkcj w produkce muszą sumować sę do jednośc, zaem np. αl αk. Wsawając powyższą zależność do równana (2) orzymuje sę: Y Y A K L Y L A K L αk. (3) A K α K αk L Y L A K L Podsawając w równanu (3) y / y Y / Y L / L oraz k / k K / K L / L (gdze y / y k / k oznacza, odpowedno, sopy wzrosu wydajnośc pracy echncznego uzbrojena pracy), można je przekszałcć zapsać nasępująco: A y k αk. (4) A y k Równane (4) nazywane jes w leraurze ekonomcznej równanem resz Solowa. Pozwala ono na oszacowane sopy posępu echncznego w gospodarce. Z równana ego wynka, że sopa posępu echncznego A/ A jes różncą pomędzy sopą wzrosu wydajnośc pracy y / y a sopą wzrosu echncznego uzbrojena pracy k / k ważoną udzałem nakładów kapału w produkce. K W swom arykule z 957 roku Solow, lcząc sopy wzrosu wydajnośc pracy, echncznego uzbrojena pracy oraz udzały nakładów kapału w produkce (w nerolnczym sekorze prywanym w Sanach Zjednoczonych w laach 99 949) oszacował, że sopa posępu echncznego w gospodarce amerykańskej wynosła ok. % roczne w laach 99 929 oraz ok. 2% w drugej połowe analzowanego przezeń okresu. Oznaczało o, że udzał posępu echncznego we wzrośce wydajnośc pracy w rozważanym przez Solowa okrese wynosł ok. 87,5%, zaś 5 Por. np. Tokarsk [2a, rozdzał 8].
Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 3 pozosałe 2,5% wzrosu produku na pracującego było efekem akumulacj kapału rzeczowego (por. Solow [957] lub Harcour [975, s. 97 2]). 3. eoklasyczne modele wzrosu gospodarczego a baze neoklasycznej funkcj produkcj powsał równeż neoklasyczny model wzrosu Solowa [956]. W modelu wzrosu Solowa z posępem echncznym w sense Harroda 6 przyjmuje sę nasępujące założena doyczące funkcjonowana gospodark w długm okrese (szerzej na en ema por. np. Tokarsk [29b, rozdzał 2] lub Tokarsk [2b, rozdzał 5]): I. Proces produkcyjny opsany jes przez neoklasyczną funkcję produkcj posac: Y FK,, gdze AL jes zasobem efekywnej pracy rozumanym jako loczyn lczby pracujących L dosępnej w gospodarce wedzy naukowo-echncznej A. II. Przyros zasobu kapału rzeczowego równy jes różncy mędzy nwesycjam (zdeermnowanym przez oszczędnośc) a deprecjacją kapału. Założene o można zapsać przy pomocy nasępującego równana różnczkowego: K sy δk, gdze s(;) jes sopą oszczędnośc/nwesycj, zaś (;) o sopa deprecjacj kapału. III. Zasoby pracy L wedzy A rosną według danych egzogenczne sóp wzrosu równych n oraz g (n, g > ). Wynka sąd, że zasób efekywnej pracy rośne według sopy wzrosu = g + n, czyl: /. Operając sę na akm zborze założeń można wyprowadzć równane Solowa dane wzorem: k δ μk k sf, (5) gdze k Y/ oznacza produk na jednoskę efekywnej pracy, zaś f jes neoklasyczną funkcją wydajnośc pracy. Równane Solowa (5) można nerpreować ekonomczne w en sposób, że przyros kapału na jednoskę efekywnej pracy k jes równy różncy pomędzy oszczędnoścam/nwesycjam na jednoskę sf a ubykem kapału na jednoskę efekywnej pracy efekywnej pracy k k, kapału oraz ze wzrosu jednosek efekywnej pracy μ kóry o ubyek można rozłożyć na ubyek wynkający z deprecjacj k. Korzysając z właścwośc funkcj f oraz z równana Solowa można pokazać, że sneje pe- k 6 Tj. akm posępem echncznym, kóry bezpośredno poęguje produkcyjność pracy.
4 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk wen zasób kapału na jednoskę efekywnej pracy k, przy kórym k. Co węcej, bez względu na wyjścowe warośc wszyskch zmennych w modelu * wzrosu Solowa (poza k = ) gospodarka mus dojść do zasobu k. Zaem ów zasób kapału na jednoskę efekywnej pracy można rakować jako zasób w długookresowej równowadze Solowa. Sąd zaś oraz z właścwośc funkcj f wynka, że wówczas sneje równeż pewen srumeń produku na jednoskę * * efekywnej pracy y f k, do kórego dąży gospodarka w długm okrese. Poneważ kak oraz yay, zaś z założena III. modelu Solowa wynka, ż: A / A g, zaem w długookresowej równowadze analzowanego modelu wzrosu gospodarczego wydajność pracy y echnczne uzbrojene pracy k rosną według sopy wzrosu równej sope harrodańskego posępu echncznego g. Co węcej, można pokazać (por. np. Tokarsk [29b, rozdzał 2] lub Tokarsk [2b, rozdzał 5]), że w warunkach długookresowej równowag Solowa (po perwsze) sopy wzrosu podsawowych zmennych makroekonomcznych przypadających na pracującego są zdeermnowane przez sopę egzogencznego posępu echncznego w sense Harroda oraz (po druge) położene długookresowych śceżek wzrosu wydajnośc pracy echncznego uzbrojena pracy jes ym wyższe, m wyższe jes sopa oszczędnośc/nwesycj oraz m nższe są sopa deprecjacj kapału sopa wzrosu lczby pracujących. Wynka sąd, że wzros sopy oszczędnośc/nwesycj s lub spadek +n mogą doprowadzć do syuacj, w kórej sopy wzrosu echncznego uzbrojena pracy wydajnośc pracy będą (w okrese przejścowym) wyższe od sopy harrodańskego posępu echncznego. Oznacza o, że wówczas gospodarka w krókm średnm okrese wspna sę na wyżej położoną, długookresową śceżkę wzrosu gospodarczego. Po jej osągnęcu sopy wzrosu y oraz k kszałują sę na pozome odpowadającym sope harrodańskego posępu echncznego. Model wzrosu gospodarczego Solowa sał sę akże nspracją dla Phelpsa [96] do sworzena zw. złoej reguły akumulacj kapału 7. Przez złoą regułę akumulacj Phelpsa rozume sę syuację, w kórej gospodarka Solowa znajduje sę w akej długookresowej równowadze, kóra maksymalzuje konsumpcję na pracującego (przy założenu, że w gospodarce ne wysępuje posęp echnczny). Oznacza o, że złoą regułą akumulacj Phelpsa jes sopa oszczędnośc nwesycj s g (;), przy kórej c * s y * osąga maksmum względem s (gdze c * oznacza konsumpcję na pracującego, y * o wydajność pracy w warunkach równowag Solowa, zaś s jes sopą oszczędnośc/nwesycj). Problem en oż- * 7 Uogólnene owej reguły na dwu- welokapałowe, neoklasyczne modelu wzrosu gospodarczego Mankwa, Romera, Wela [992] oraz onnemana-vanhouda [996] znaleźć można w pracach Dykasa, Sulmy, Tokarskego [28] oraz Tokarskego [29b, 2b].
Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 5 samy jes z maksymalzacją wyrażena: c * f k * n k * ze względu na k *. Można pokazać, że c * maksymalzowane jes względem k * wówczas, gdy zachodz zwązek: df * k n dk *. (6) Z równana (6) wynka, że złoą regułą akumulacj kapału Phelpsa jes ak * zasób kapału na pracującego k, przy kórym krańcowy produk kapału na g * pracującego df k * / dk równy jes sope ubyku echncznego uzbrojena pracy + n. Poneważ zaś długookresowy zasób kapału k * jes rosnącą funkcją sopy oszczędnośc/nwesycj s, zaem złoą sopą oszczędnośc/nwesycj jes aka * sopa s g, przy kórej zasób kapału k g spełna warunek (6). Jeśl zaś wykorzysa sę w modelu wzrosu Solowa funkcję produkcj Cobba-Douglasa, o okaże sę, ż złoą sopą oszczędnośc/nwesycj jes s g =, gdze (;) jes udzałem nakładów kapału w produkce. Próby rozszerzena modelu wzrosu Solowa można znaleźć akże np. w pracach Tokarskego [23abc 28]. W pracach Tokarskego [23a, 28] szuka sę długookresowych śceżek wzrosu gospodarczego ne ylko w warunkach sałych efeków skal (jak ma o mejsce w orygnalnych, neoklasycznych modelach wzrosu gospodarczego), ale akże w warunkach rosnących lub malejących efeków skal. Z prowadzonych am rozważań wynka, że jeśl w gospodarce wysępują rosnące lub malejące efeky skal, o długookresowa sopa wzrosu podsawowych zmennych makroekonomcznych zależna jes ne ylko od sopy egzogencznego posępu echncznego, lecz równeż od rodzaju uzyskwanych efeków skal (wnosek en prawdzwy jes równeż na grunce neoklasycznych model wzrosu Mankwa-Romera-Wela [992] oraz onnemana-vanhouda [996] por. eż Tokarsk [29b]). Oznacza o, że w warunkach rosnących efeków skal sonym kaalzaorem długookresowego wzrosu gospodarczego mogą być wszelke polyk rynku pracy, kóre prowadzą do podnesena długookresowych sóp wzrosu lczby pracujących. W pracy Tokarskego [23b] znajduje sę próba komplacj neoklasycznego modelu wzrosu Solowa z keynessowskm modelem wzrosu Domara [962] w celu wyznaczena długookresowych reguł polyk monearnej. W modelu ym przyjmuje sę m.n., że popyowa srona gospodark jes opsana przez równana zblżone do równana zagregowanego popyu wysępującego w modelu Domara, zaś podażowa srona gospodark jes aka, jak w modelu Solowa z funkcją produkcj Cobba-Douglasa. Co węcej, w modelu ym zakłada sę, ż sopa procenowa oddzałuje na nwesycje (kóre z kole oddzałują zarówno na popyo-
6 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk wą, jak podażową sronę gospodark), zaś podaż pracy rośne według pewnej sałej, danej egzogenczne sopy wzrosu. a grunce ak zadanego modelu gospodark szuka sę śceżk czasowej realnej sopy procenowej gwaranującej spełnene rzech nasępujących warunków: I. Bank cenralny ne dopuszcza do ego, by zagregowany popy przekroczył welkość produku poencjalnego, gdyż wówczas nadwyżkowy popy wywołałby presję nflacyjną. II. Bank cenralny dososowuje welkość zagregowanego popyu w gospodarce do produkcj poencjalnej, co zapobega powsanu newykorzysanych zdolnośc produkcyjnych w gospodarce. III. Zakładając, że w wyjścowym momence = sopa bezroboca była sopą bezroboca równowag, bank cenralny ne dopuszcza do ego, by sopa a uległa zmane. Założene o mplce oznacza, że bank cenralny mus znaleźć aką śceżkę czasową realnych sóp procenowych, aby lczba pracujących rosła według sopy wzrosu równej sope wzrosu podaży pracy. Rozwązane ak zadanego modelu wzrosu gospodarczego prowadz m.n. do nasępujących wnosków. Po perwsze, sneje długookresowa śceżka wzrosu realnej sopy procenowej, kóra zapewna gospodarce pełne wykorzysane snejących weń zdolnośc produkcyjnych. Po druge, w warunkach równowag ypu Domara-Solowa, uwzględnającej wspomnane wcześnej reguły polyk monearnej, długookresowe sopy wzrosu zasobu kapału srumena produku (podobne jak w neoklasycznych modelach wzrosu Solowa, Mankwa-Romera- Wela onnemana-vanhouda) kszałują sę na pewnym, usalonym pozome, wynkającym główne ze sopy egzogencznego posępu echncznego w sense Harroda oraz ze sopy wzrosu lczby pracujących. Po rzece, rozwązane modelu ypu Domara-Solowa wyznacza długookresowe śceżk wzrosu kapału produku o nższym nachylenu, nż ma o mejsce w przypadku model Solowa, Mankwa-Romera-Wela onnemana-vanhouda. Wynka o sąd, ż w modelach neoklasycznych ne uwzględna sę ogranczeń popyowych (zwązanych ze wzrosem gospodarczy) analzuje sę jedyne kszałowane sę śceżek produku poencjalnego. aomas w rzeczywsośc, kóra jes przedmoem opsu, ne jes na ogół spełnone eoreyczne założene, ż produkcja realzuje sę na pozome poencjalne określonym (Welfe [2, s. 64]). Uwzględnene zaś popyowych ogranczeń procesów wzrosu gospodarczego prowadz do rozwązana o nższych długookresowych sopach wzrosu od ych, kóre wysępują w orygnalnych, neoklasycznych modelach wzrosu gospodarczego. Można równeż połączyć modele wzrosu Solowa, Mankwa-Romera-Wela onnemana-vanhouda z modelam płac efekywnoścowych Solowa [979] Summersa [988] (por. Tokarsk [23, 29b, rozdzał 6]). Celem akej komplacj neoklasycznych model wzrosu gospodarczego z modelam płac efek-
Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 7 ywnoścowych jes próba endogenzacj popyu na pracę lczby pracujących wewnąrz modelu wzrosu gospodarczego. Podsawowe wnosk, kóre płyną z akej komplacj owych model, są nasępujące. Po perwsze, w długookresowej równowadze wzrosu gospodarczego sopy wzrosu lczby pracujących są zdeermnowane dodano przez sopę wzrosu kapału (lub sopy wzrosu różnych, zdezagregowanych zasobów kapału), sopę egzogencznego posępu echncznego oraz przez sopę wzrosu podaży pracy. Po druge, w długm okrese sopa wzrosu lczby pracujących jes ym wyższa, m słabej płace reagują na zmanę wydajnośc pracy zmanę sopy bezroboca. Inne rozszerzena neoklasycznego modelu wzrosu gospodarczego Solowa, o powsałe w laach dzewęćdzesąych XX weku uogólnena modelu Solowa na przypadk, w kórych w gospodarce wykorzysuje sę dwa zasoby kapałowe (kapał rzeczowy kapał ludzk) lub skończoną lczbę różnych zasobów kapałowych. Perwszym z ych uogólneń jes model Mankwa-Romera-Wela z 992 roku, zaś drugm model onnemana-vanhouda z 996 roku. Założena modelu wzrosu gospodarczego Mankwa-Romera-Wela opsuje nasępujący układ równań: Y K K s H s H AL Y K, s K Y H, s H K A / A g H,,, (;) K, (;) H, K s K s L / L n H, (;) H. (7) Kolejne równana układu równań (7) nerpreuje sę ekonomczne nasępująco. Welkość produku Y zależna jes od nakładów kapału rzeczowego K, ludzkego L oraz od jednosek efekywnej pracy. Paramery, oraz w perwszym z równań układu równań (7) są elasycznoścam Y względem (odpowedno) K, H lub na grunce margnalnej eor podzału Clarka udzałam nakładów owych czynnków produkcj w produkce. Z drugego (rzecego) równana układu (7) wynka, że przyros zasobu kapału rzeczowego K (ludzkego H ) równy jes różncy pomędzy nwesycjam s K Y (s H Y) w ów zasób a jego deprecjacją K K ( H H). Jednosk efekywnej pracy są loczynem lczby pracujących L zasobu wedzy A. Wedza A rośne według egzogencznej sopy wzrosu g (kóra jes sopą egzogencznego posępu
8 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk echncznego w sense Harroda), naomas lczba pracujących L wedle sopy wzrosu n. Z założeń modelu wzrosu Mankwa-Romera-Wela można wyprowadzć równana ruchu owego modelu, kóre opsują zwązk: k h s s K H k h g n K k h H g n h k, (8) gdze k K / oraz h H / o (odpowedno) zasób kapału rzeczowego ludzkego na jednoskę efekywnej pracy. Równana ruchu (8) modelu wzrosu gospodarczego Mankwa-Romera-Wela sanową uogólnene równana Solowa (5). Dlaego eż nerpreuje je sę w en sposób, ż przyros zasobu kapału rzeczowego k (ludzkego h ) na jednoskę efekywnej pracy sanow różncę pomędzy nwesycjam s K k h H k h g n k g n s w ów zasób, przypadającym na jednoskę ejże pracy, a ubykem K K k kapału rzeczowego (ludzkego) na jednoskę efekywnej pracy, kóry o ubyek wynka zarówno z deprecjacj kapału rzeczowego (ludzkego) K k ( H h ), jak ze wzrosu jednosek efekywnej pracy (g + n)k ((g + n)h ). Rozważając układ równań różnczkowych (8) por. np. Tokarsk [29b, rozdzał 3] wycągnąć można nasępujące wnosk. Po perwsze, układów posada sablne rozwązane, kóre wyznacza zasoby kapału rzeczowego k * (ludzkego * h ) oraz, mplce, srumeń produku y * na jednoskę efekywnej pracy w długookresowej równowadze gospodark Mankwa-Romera-Wela. Po druge, w warunkach długookresowej równowag wydajność pracy y, echnczne uzbrojene pracy k oraz kapał ludzk na pracującego h rosną według sóp wzrosu równych sope harrodańskego posępu echncznego g. Po rzece, w warunkach długookresowej równowag Mankwa-Romera-Wela położene śceżek wzrosu wydajnośc pracy, echncznego uzbrojena pracy oraz kapału ludzkego na pracującego zależne jes m.n. od sóp nwesycj s K s H, sóp deprecjacj K H oraz sopy wzrosu lczby pracujących n. Po czware, wysokm sopom nwesycj w zasoby kapału rzeczowego ludzkego (czyl wysokm waroścom s K s H ) odpowadają wysoko położone śceżk wzrosu y, k oraz h w długm okrese. Po pąek, wysoke sopy deprecjacj owych kapałów K H /lub wysoka sopa wzrosu lczby pracujących n prowadz do nskego położena długookresowych śceżek wzrosu wydajnośc pracy, echncznego uzbrojena pracy oraz kapału ludzkego na pracującego.
Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 9 Kolejnym rozszerzenem neoklasycznego modelu wzrosu gospodarczego Solowa jes model onnemana-vanhouda. Model en sanow akże uogólnene modelu Mankwa-Romera-Wela z ego względu, że model Mankwa-Romera- Wela jes modelem z dwoma zasobam kapału (kapałem rzeczowym ludzkm), naomas model onnemana-vanhouda jes modelem z dowolną, skończoną lczbą subsyucyjnych w sosunku do sebe zasobów kapałowych. Założena modelu onnemana-vanhouda doyczące funkcjonowana gospodark w długm okrese opsuje nasępujący układ równań 8 : Y K,, 2,,, (;),2,, K sy K, s, s2,, s, s j,, 2,, (;), (9) j AL A / A g L / L n gdze Y oznacza srumeń wyworzonego produku, K (dla każdego =,2,,) o nakłady -ego zasobu kapału, jednosk efekywnej pracy, (dla =,2,,) są elasycznoścam srumena wyworzonego produku względem kolejnych nakładów kapału lub na grunce eor podzału udzały owych nakładów kapału w produkce 9, s (dla każdego ) są sopam nwesycj w -y zasób kapału, sopy deprecjacj owych zasobów, A oraz L o zasoby wedzy pracy, zaś g oraz n oznaczają sopy wzrosu owych zasobów (a zaem g jes równeż sopą egzogencznego posępu echncznego w sense Harroda). Poszczególne równana układu równań (9) nerpreuje sę ekonomczne nasępująco (por. eż założena model wzrosu Solowa oraz Mankwa-Romera-Wela). Welkość produkcj zależna jes od nakładów każdego z zasobów kapałowych oraz od jednosek efekywnej pracy. Przyros każdego z zasobów kapału 8 W orygnalnym arykule onnemana-vanhouda [996] ne bada sę długookresowej sablnośc rozwązana owego modelu wzrosu gospodarczego. Dowód owej sablnośc znaleźć można w arykułach Dykasa, Sulmy, Tokarskego [28] Dykasa, Tokarskego [2]. aomas w pracy Dykasa, dgarana, Tokarskego [2] znajduje sę uogólnene modelu onnemana- Vanhouda (wraz z dowodem sablnośc uzyskanego rozwązana) na przypadek gospodark, w kórej proces produkcyjny opsuje ne funkcja produkcj Cobba-Douglasa, ale ogólna, neoklasyczna, + czynnkowa funkcja produkcj. 9 Sąd zaś wynka, że wyrażene o albo elasyczność produku Y względem nakładów efekywnej pracy, bądź eż udzał nakładów owej pracy w wyworzonym produkce.
2 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk K równy jes różncy mędzy nwesycjam w ów zasób s Y a jego deprecjacją K. Jednosk efekywnej pracy są loczynem lczby pracujących L dosępnej wedzy A. Zasoby L oraz A rosną według sóp wzrosu równych (odpowedno) n oraz g. Podsawając zaś za k K / (dla każdego =,2,, ) zasób -ego kapału na jednoskę efekywnej pracy, można wyprowadzć równana ruchu modelu onnemana-vanhouda dane wzoram: j j j k,2,, k s k g n. () Równana ruchu () sanową uogólnene równań ruchu (8) modelu Mankwa-Romera-Wela. Sąd eż nerpreuje je sę ekonomczne nasępująco. Przyros -ego zasobu kapału na jednoskę efekywnej pracy k jes różncą pomędzy nwesycjam w en zasób s j k j j a jego ubykem ( + g + n)k. Układ równań ruchu () modelu onnemana-vanhouda, podobne jak układ równań ruchu (8) modelu Mankwa-Romera-Wela, posada sablne położene długookresowej równowag (por. Dykas, Sulma, Tokarsk [28], Dykas, dgaran, Tokarsk [2] lub Dykas, Tokarsk [2]). W warunkach owej równowaga kolejne zasoby kapału na jednoskę efekywnej pracy k oraz srumeń produku na jednoskę owej pracy y dążą do pewnych, sałych welkośc * k oraz * y. Wówczas, po perwsze, sopy wzrosu kolejnych zasobów kapału na pracującego k K /L oraz srumena wydajnośc pracy y Y/L podobne jak ma o mejsce w modelach Solowa Mankwa-Romera-Wela rosną według sopy wzrosu równej sope posępu echncznego w sense Harroda, po druge, położene długookresowych śceżek wzrosu k oraz y jes ym wyższe, m wyższe są sopy nwesycj s j (dla j=,2,, ), po rzece, położene o jes ym wyższe, m nższe warośc przyjmują sopy deprecjacj kolejnych zasobów kapału j /lub sopa wzrosu lczby pracujących n. Przedsawone u wnosk prawdzwe są zarówno na grunce modelu onnemana- Vanhouda z funkcją produkcj Cobba-Douglasa, jak na grunce modelu uogólnonego, z dowolną, neoklasyczną funkcją produkcj (por. Dykas, dgaran, Tokarsk [2] lub Sulma [2]).
Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 2 4. ndogenczne modele wzrosu gospodarczego (modele opymalnego serowana) W neoklasycznych modelach wzrosu gospodarczego przyjmuje sę założene, że sopa nwesycj (lub sopy nwesycj) mają charaker zmennych egzogencznych. W modelach wzrosu endogencznego uchyla sę o założene, zasępując je hpoezą, że sopa nwesycj (lub sopy nwesycj) kszałują sę na akm pozome, by maksymalzować sumę zdyskonowanej użyecznośc konsumpcj ypowego podmou w gospodarce. Modele e opare są na slnym założenu nowej ekonom klasycznej o długookresowej racjonalnośc ypowych podmoów mkroekonomcznych (uożsamanych dalej z ypowym konsumenem w gospodarce). Waro jednak w ym mejscu zauważyć, że o le w modelach nowej ekonom klasycznej a pror przyjmuje sę, że zachowana oczekwana ypowych podmoów mkroekonomcznych są racjonalne ak w długm, jak w krókm okrese, o yle w modelach wzrosu endogencznego założene o ograncza sę jedyne do okresu długego (absrahując od ego, co dzeje sę w krókm okrese). Ponado w modelach wzrosu endogencznego uwzględna sę wysępowane efeków zewnęrznych zwązanych z wykorzysanem wedzy, posępu echnologcznego lub kapału. Inwesycje (zarówno w kapał rzeczowy, jak ludzk) prowadzą wówczas do wzrosu produkywnośc, kóry jes wyższy od prywanych korzyśc. Jeśl efeky zewnęrzne są na yle slne, by zneuralzować dzałane malejących przychodów, o pozyywne sprzężene mędzy wedzą a nwesycjam może w sposób rwały oddzaływać na empo wzrosu (Wojyna [996, s. 6]). Oznacza o, że w modelach wzrosu endogencznego odrzuca sę neoklasyczne założene o sałych efekach skal agregaowej funkcj produkcj (por. eż np. Tokarsk [2]). Modele wzrosu endogencznego zazwyczaj są opare na maemaycznej eor opymalnego serowana, wykorzysującej zasadę maksmum Ponragna. Sąd eż modele e można nazwać modelam opymalnego serowana. Do podsawowych model wzrosu endogencznego zalcza sę modele Lucasa [988, 99, 993] (por. eż Lucas [2]) oraz Romera [986, 99]. Ponado w ej częśc prezenowanego opracowana scharakeryzowany będze równeż prosy model opymalnego serowana opary na założenach -kapałowego modelu wzrosu gospodarczego onnemana-vanhouda, kóry zosał zaproponowany w pracy Tokarskego [27]. W modelu wzrosu endogencznego Lucasa przyjmuje sę nasępujące założena doyczące funkcjonowana gospodark w długm okrese (Lucas [988, s. 7 8], por. eż np. Tokarsk [29b, rozdzał ]): I. Typowy, zachowujący sę racjonalne konsumen (podmo gospodarczy) maksymalzuje sumę zdyskonowanej użyecznośc konsumpcj w neskończonym
22 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk przedzale czasowym. Suma a maksymalzowana jes przez nasępującą całkę newłaścwą (nazywaną dalej równeż całką preferencj owego konsumena): c e d, () gdze c jes konsumpcją ypowego konsumena w gospodarce Lucasa (uożsamaną z konsumpcją na pracującego), (;)(;+) o odwroność mędzyokresowej subsyucj konsumpcj owego konsumena, zaś > o jego sopa dyskonowa. II. Agregaowa funkcja produkcj dana jes wzorem: Y h K ΞhL, (2) przy czym (; ) α są elasycznoścam srumena produku Y nakładów kapału rzeczowego K oraz nakładów pracy w sferze produkcj hl, (;) oznacza udzał czasu przeznaczonego na pracę, kóry jes wykorzysywany do pracy w sferze produkcj dóbr usług, h jes zasobem kapału ludzkego ypowego konsumena-pracownka w gospodarce, [;) jes zaś słą oddzaływana zw. procesów zewnęrznych akumulacj kapału ludzkego. III. Przyros zasobu kapału rzeczowego opsuje równane różnczkowe posac: K I δk Y C δk, (3) gdze I oznacza nwesycje (równe różncy pomędzy produkcją Y a konsumpcją C), naomas (;) o sopa deprecjacj kapału. IV. Przyros zasobu kapału ludzkego opsuje zw. funkcja Uzawy-Rosena dana wzorem: h Ξ h, (4) gdze (;) jes maksymalną, możlwą do uzyskana, sopą wzrosu zasobu kapału ludzkego. V. Lczba pracujących rośne według sopy wzrosu n>, czyl: L / L n. (5)
Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 23 VI. Gospodarka charakeryzuje sę sałym sopam wzrosu g y / y k / k c / c g h h / h (gdze y Y/L, k K/L c C/L) oraz sałym udzałem czasu przeznaczonego na dzałalność w sferze produkcj Ξ * (; ) Ξ (dla dowolnego ). Problem wyznaczena opymalnej śceżk wzrosu gospodarczego w modelu wzrosu endogencznego Lucasa sprowadza sę do maksymalzacj całk preferencj () przy ogranczenu równanam (2 5). Problem en można rozwązać za pomocą eksremum Ponragna. Można pokazać (por. Tokarsk [29b, rozdzał ]), że przy założenach I. VI. opymalne sopy wzrosu g g h oraz opymalny udzał czasu przeznaczony na dzałalność w sferze produkcj * dane są wzoram: g, (6a) g h (6b) oraz: * Ξ. (6c) Z równań (6abc) (przy dodakowym założenu, że zachodz równeż nerówność: ) wynka, ż sopy wzrosu srumen produkcj konsumpcj oraz zasobu kapału rzeczowego (wszyske srumene na pracującego) ndywdualnych kwalfkacj pracownków w gospodarce zależne są, w głównej merze, od czynnków opsujących preferencje, co do srukury konsumpcj w czase (a węc od mędzyokresowej subsyucj konsumpcj / od sopy dyskonowej ypowego konsumena). Co węcej, m bardzej konsumenc w gospodarce Lucasa preferować będą konsumpcję beżącą w sosunku do konsumpcj przyszłej (czyl m wększe będze /, lub m nższe będze ), ym nższe sopy wzrosu będą uzyskwać podsawowe zmenne makroekonomczne. Dlaego eż w modelu wzrosu gospodarczego Lucasa (w przecweńswe do analzowanych poprzedno, neoklasycznych model wzrosu) możlwe jes rwałe podnesene sóp wzrosu gospodarczego. ależy jednak zaznaczyć, ż rwałe podnesene długookresowych sóp wzrosu gospodarczego mus
24 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk być połączone ze zmaną preferencj konsumenów w sosunku do srukury konsumpcj w czase. Innym, podsawowym modelem wzrosu endogencznego jes model Romera. W modelu ym czyn sę nasępujące założena opsujące funkcjonowane gospodark: I. W gospodarce snene skończony, nezmenny w czase zasób kapału ludzkego H>. Kapał ów jes dzelony na część zaangażowaną w sferze produkcj dóbr usług (równą H Y ) oraz część, kóra jes wykorzysywana w worzenu nowej wedzy naukowo-echncznej (wynoszącą H A ). Oznacza o, ż spełnone jes równane: H H Y H A. (7) II. Zasób wedzy naukowo-echncznej A zmena sę w czase zgodne z nasępującym równanem różnczkowym: A κh A, (8) A gdze > jes współczynnkem efekywnośc nakładów kapału ludzkego w sferze kreacj wedzy naukowo-echncznej. III. Srumeń produku Y opsany jes przez funkcję produkcj posac: Y A H L x Y d, (9) gdze x() jes nakładem -ego dobra kapałowego, naomas (;A), co oznacza, że lość dóbr kapałowych (wykorzysywanych w procesach produkcyjnych w gospodarce) jes zależna od snejącego w nej zasobu wedzy naukowoechncznej. aomas paramery, (;) oraz (; ) są elasycznoścam Y względem L, H Y oraz x(). Oznaczając przez x x, dla każdego (; A), przecęne dobro kapałowe funkcję produkcj (9) można zapsać nasępująco: Y A A H L x d H L x d H L x Y Y Y. (2) IV. Łączny zasób kapału rzeczowego K w gospodarce jes sumą dóbr kapałowych x(), co mplkuje zależnośc:
A Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 25 A K x d x d Ax x K / A. (2) V. Przyros kapału rzeczowego K jes równcą mędzy produkcją Y a konsumpcją C (dla uproszczena rozważań w modelu wzrosu Romera pomja sę deprecjację kapału K). sąd oraz z równań (2 2) wynka, że: β α α β H A LA K C K Y. (22) VI. Lczba pracujących ne ulega zmanom w czase w każdym momence wynos L>. VII. Celem dzałana ypowego podmou (konsumena) gospodarce Romera jes maksymalzacja sumy zdyskonowanej użyecznośc konsumpcj posac: C e d, (23) gdze paramery (;)(;+) oraz > nerpreuje sę ekonomczne ak, jak ma o mejsce w modelu wzrosu Lucasa. Z równań (7 22) orzymuje sę równana ruchu modelu wzrosu Romera posac: A H K A A A H H L K C A. (24) Problem wyznaczena równowag gospodark Romera sprowadza sę do maksymalzacj całk preferencj (23) przy ogranczenu układem równań różnczkowych (24). Posługując sę zasadą maksmum Ponragna można pokazać (por. Chang [992, s. 272 274] lub Tokarsk [29b, rozdzał ]), że rozwązanem owego problemu w warunkach wzrosu równomernego (przy Y / Y K / K C / C A / A H A ) jes zasób kapału ludzkego kerowany do sfery kreacj wedzy naukowo-echncznej dany wzorem: H H A (25a) oraz sopy wzrosu gospodarczego posac:
26 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk H Y / Y K / K C / C A / A. (25b) Z równań (25ab) wynka, że (przy dodakowym warunku H ) w modelu wzrosu gospodarczego Romera zarówno welkość kapału ludzkego kerowanego do dzałalnośc naukowo-echncznej, jak sopy wzrosu podsawowych, wyróżnonych w ym modelu, zmennych makroekonomcznych, będą ym wyższe, m wyższy jes łączny zasób kapału ludzkego (H) oraz m wyższy jes egzogenczny współczynnk efekywnośc nakładów kapału ludzkego w sferze naukowo-echncznej (czyl ). Co węcej, długookresowe sopy wzrosu gospodarczego Y / Y K / K C / C A / A (podobne jak ma o mejsce w modelu Lucasa) pownny być równeż ym wyższe, m bardzej konsumenc w gospodarce będą przedkładal konsumpcję przyszłą nad konsumpcją beżącą (j. m nższa będze sopa dyskonowa oraz m wyższa będze mędzyokresowa subsyucja konsumpcj /). Poneważ zasób kapału ludzkego oraz jego podzał na kapał ludzk wykorzysywany w sferze produkcj dóbr usług oraz akumulacja wedzy zasadnczo deermnują podsawowe sopy wzrosu w modelu Romera, określone przez równane (25b), zaem można sę spodzewać, że gospodark o względne małym zasobe kapału będą uzyskwały sosunkowo nske sopy wzrosu gospodarczego. Waro jednak zauważyć, ż do wnosku ego należy, szczególne na grunce modelu wzrosu endogencznego Romera, podchodzć bardzo osrożne, gdyż w modelu ym zakłada sę, że zasób kapału ludzkego jes sały w czase (od dzś aż do neskończonośc). Kolejnym modelem opymalnego serowana, nawązującym do model wzrosu endogencznego, jes model opymalnego serowana opary na -kapałowym modelu wzrosu onnemana-vanhouda (por. Tokarsk [27] lub Dykas, Tokarsk [2]). W modelu ym czyn sę nasępujące założena doyczące funkcjonowana gospodark w długm okrese: I. Proces produkcyjny opsuje poęgowa funkcja produkcj dana wzorem: Y K, gdze Y, K oraz AL nerpreuje sę ekonomczne ak, jak w przypadku funkcj produkcj w orygnalnym modelu onnemana-vanhouda. (;) oraz Θ (;) oznaczają odpowedno elasycznośc srumena produku Y względem nakładów kapału K oraz jednosek efekywnej pracy (przyjmuje
Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 27 sę u akże, że (;) ). Ze specyfkacj powyższej funkcj produkcj wynka, że jes ona jednorodna sopna Θ. Płyne sąd wnosek, że jeśl sopeń jednorodnośc będze mnejszy (wększy) od jednośc, o funkcja a charakeryzować sę będze malejącym (rosnącym) efekam skal. aomas w przypadku, w kórym = wysąpą (charakerysyczne dla neoklasycznych model wzrosu gospodarczego) sałe efeky skal. II. Przyrosy każdego z zasobów kapału K opsują nasępujące równana różnczkowe:,2,..., K s Y K, gdze s oraz nerpreuje sę ak, jak w przypadku zwązku (9). III. Jednosk efekywnej pracy rosną według sopy wzrosu / g n będącej sumą sopy egzogencznego posępu echncznego w sense Harroda g > sopy wzrosu lczby pracujących n >. IV. Konsumpcja C sanow różncę pomędzy produkcją Y a sumą nwesycj s Y, czyl: C s Y. V. Celem dzałana ypowego konsumena, podobne jak w modelach wzrosu endogencznego Lucasa Romera, jes maksymalzacja sumy zdyskonowanej użyecznośc konsumpcj owego konsumena w neskończonym horyzonce czasowym. Sumę ę opsuje całka newłaścwa () jak w modelu Lucasa. Założena I V analzowanego u modelu wzrosu gospodarczego można sprowadzć do nasępującego zadana serowana opymalnego Ponragna (por. Tokarsk [27, s. 3 6]):
Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk 28,,2,,,2, warunkach : przy max,,, 2 n g y s s s s k k k e L A y k n y s k d e, (26) gdze: y o wydajność pracy, k (dla =,2,, ) oznacza zasób -ego kapału na pracującego, k zasób ów w momence =, naomas A > L > są zasobam wedzy A pracy L w owym momence. Zadane serowana opymalnego (26) posada nebrzegowe rozwązane przy sałych w czase sopach nwesycj s, s 2,, s. Wówczas sopę wzrosu wydajnośc pracy y y / oraz kolejnych zasobów kapału k k / określa równane (por. Tokarsk [27, s. 6 ]): n g k k k k k k y y 2 2 / / / /. (27) Z równana (27) wycągnąć można m.n. nasępujące wnosk, doyczące długookresowych sóp wzrosu w modelu opymalnego serowana ypu onnemana-vanhouda (por. eż Tokarsk [27, s. 2]): Sopy wzrosu podsawowych zmennych makroekonomcznych na pracującego zależne są od sopy harrodańskego posępu echncznego g, sopy wzrosu lczby pracujących n, elasycznośc oraz elasycznośc, 2,, makroekonomcznej funkcj produkcj względem jednosek efekywnej pracy oraz nakładów kolejnych zasobów kapału K, K 2,, K. Im wyższa jes sopa posępu echncznego w sense Harroda, ym wyższe są długookresowe sopy wzrosu y oraz k, k 2,, k. Jeśl makroekonomczna funkcja produkcj charakeryzuje sę malejącym (rosnącym) efekam skal, czyl wówczas, gdy Θ Θ, o wysokej sope wzrosu lczby pracujących n owarzyszą nske (wysoke) sopy
Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 29 wzrosu wydajnośc pracy kolejnych zasobów kapału na pracującego. aomas w przypadku, w kórym wysępują sałe efeky skal, a węc przy Θ, sopy wzrosu y / y k / k k 2 / k 2 k / k są nezależne od sopy wzrosu lczby pracujących podobne jak w neoklasycznych modelach Solowa, Mankwa-Romera-Wela oraz onnemana-vanhouda równe są sope egzogencznego posępu echncznego g. Co węcej, z nebrzegowego rozwązana zadana serowana opymalnego (26) wynka eż, ż opymalne sopy nwesycj określają równana (por. Tokarsk [27, s. 5]):,2,, s j g n j g j. (28) j n Z zależnośc (28) wynka co nasępuje: Opymalne sopy nwesycj zależne są m.n. od preferencj ypowego konsumena co do alokacj konsumpcj w czase, kóre opsane są przez sopę dyskonową oraz odwroność mędzyokresowej subsyucj konsumpcj owego konsumena. Co węcej, m nższe warośc przyjmuje, ym wyższe są opymalne sopy nwesycj. aomas kerunek oddzaływana na owe sopy zależny jes od sopna jednorodnośc makroekonomcznej funkcj produkcj. Jeśl sopeń ów będze g wyższy (nższy) od wyrażena, o wysokej warośc odpowadać będą n wysoke (nske) opymalne sopy nwesycj s. 5. Rozszerzene endogencznych model wzrosu gospodarczego, modele wzrosu sem-endogencznego W punkce poprzednm analzowano endogenczne modele wzrosu gospodarczego, naomas w kolejnym punkce przedsawone zosaną rozszerzena owych model. W prezenowanych modelach sem-endogencznych obok maksymalzacj użyecznośc ypowego konsumena oraz wyznaczena opymalnej sopy wzrosu konsumpcj (równej sope wzrosu produkcj) maksymalzuje sę równeż dochód podmou monopolsycznego, kóry wywarza czynnk nezbędne w pro-
3 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk cese produkcyjnym. W punkach 5.4 oraz 5.5 przedsawona jes opymalna (w sense Pareo) alokacja zasobów w rozważanej gospodarce oraz efeky zewnęrzne zwązane z zaangażowanem kapału ludzkego w sekorze nowych echnolog. 5.. Założena modelu I. Podobne jak w modelach wzrosu endogencznego ypowy konsumen, maksymalzuje sumę zdyskonowanej użyecznośc konsumpcj w neskończonym horyzonce czasowym. Owa suma maksymalzowana jes poprzez nasępującą całkę preferencj: C e d (29) W rozważanym modelu zakładamy brak wzrosu populacj, naomas całkowy zasób kapału ludzkego generowany przez rynek wynos L. II. Srumeń produku Y opsuje funkcja produkcj posac: Y L A x v, dv (3) gdze L > jes zagregowanym nakładem kapału ludzkego, x, o całkowa lość czynn- czynnków produkcj dosępnych w okrese, v ków produkcj v v, A A oznacza lość użyych w procese produkcyjnym w okrese. Funkcję produkcj (3) można równeż zapsać w nasępującej posac: Y L X (3) gdze: A, X x v dv,
Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 3 przy czym o elasyczność subsyucj pomędzy nakładam dóbr kapałowych. Funkcja produkcj (3) zapsana za pomocą zwązku (3) uwydana sałe efeky skal. III. ormalzując cenę dóbr fnalnych w każdym okrese do jednośc, orzymujemy nasępujące ogranczene zasobów w gospodarce: C X Z Y (32) gdze X() o nakłady na czynnk produkcj (nakłady nwesycyjne), zaś Z() o wydak ponesone na nowe echnologe w okrese. Zakładamy eż, że każda jednoska czynnka produkcj może być wywarzana z koszem krańcowym produkcj równym,. IV. Możlwośc nnowacyjne gospodark opsane są przez zwązek: A Z (33) gdze oraz począkowy san zawansowana echnologcznego wynos:. A Równane (33) mplkuje, że wększe nakłady na nowe echnologe prowadzą do worzena nowych czynnków produkcj. V. Podmoy oferujące czynnk produkcj v na rynku usalają ch cenę na pozome p x v, aką, aby maksymalzowała ch dochód. Zakładając, ż czynnk produkcj ulegają całkowej deprecjacj podczas ch użykowana p x v, można nerpreować jako kosz ch użykowana. Popy na czynnk produkcj v orzymujemy poprzez maksymalzację zagregowanych zysków neo w sekorze dóbr fnalnych. Problem maksymalzacj zysków można zapsać jako: max xv, A A x v dv, L p v, xv, dv w L x (34) Zależność (34) opsuje maksymalzację różncy pomędzy dochodem uzyskanym z produkcj a koszem całkowym produkcj (na kóry składa sę kosz użykowana czynnków produkcj oraz kosz zaangażowana kapału ludzkego). Perwszym warunkem maksymalzacj zysku jes określene popyu na czynnk produkcj; przyjmuje on nasępującą formę: x v p v, L, (35) x
32 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk gdze o elasyczność popyu na czynnk produkcj. Popy dany równanem (35) zależy od koszu użykowana czynnków produkcj oraz podaży pracy. Drugm warunkem maksymalzacj zysku jes określene zakualzowanego dochodu monopolsy wywarzającego czynnk produkcj v, jako: V gdze: j dj, e ds (36) v v, s s r v, px v, xv, xv, oznacza dochody monopolsy wywarzającego czynnk produkcj v w czase, r o rynkowa sopa procenowa dla okresu. Zakładając, że równane (36) jes różnczkowalne dla każdego okresu, problem maksymalzacj sprowadza sę do nasępującego zwązku: V v, V v, v r,. (37) 5.2. Charakerysyka równowag Alokacja zasobów w ej gospodarce jes zdefnowana przez nasępujące zmenne: śceżkę czasową dla pozomu konsumpcj C, łącznych nakładów na czynnk produkcj X łącznych wydaków na nowe echnologe p sopy procen-, Z, ceny lośc czynnków produkcj xv, ; xv,, owej r oraz sopy wynagrodzeń w. Równowaga w opsywanym modelu wysępuje wówczas, gdy śceżk cza- p v ; x v, maksymalzują zakualzowaną warość dochodów mo- sowe x, nopolsów dzałających na rynku oraz X, Z, C maksymalzują użyeczność ypowego konsumena. Ze zwązku (7) wynka, że rozwązane problemu maksymalzacj dla każdego v, A sprowadza sę do ego, ż cena czynnków produkcj jes aka sama dla każdego okresu. Monopolsa usala cenę na akm pozome aby przewyższała jego kosz krańcowy, co oznacza, że można założyć, ż dana jes ona zależnoścą:
v Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 33, A,, p v, x. ormalzując kosz krańcowy do okazuje sę, że cena czynnków produkcj równa jes jednośc. Maksymalzacja zysków monopolsy mplkuje równeż, że każdy monopolsa wywarza ę samą lość czynnków produkcj równą:, A,, xv L v, (38) Zaem zysk monopolsy można zapać jako:, A,, v, L v (39) Z równana (39) wynka, że każdy monopolsa generuje ak sam zysk w każdym okrese. Z równań (3) oraz (35) płyne wnosek, że funkcję produkcj można zapsać jako: Y A L (4) Z równana (4) wynka, że chocaż zagregowana funkcja produkcj generuje sałe efeky skal z punku wdzena końcowych odborców czynnków produkcj (dla kórych A jes zmenną egzogenczną), o w odnesenu do całej gospodark dochody rosną wraz ze wzrosem skal produkcj. Popy na pracę w sekorze dóbr fnalnych wynka z perwszego warunku maksymalzacj (34), co mplkuje, że płace równe są: w A (4) Zakładając nasępujące zwązk: v,, Zv, V v, Z v, V (42) orzymujemy ak zwane warunk wejśca na rynek. Z powyższych rozważań wynka, że każdy z A monopolsów dosarcza całkową lość czynnków produkcj daną przez zwązek (), sąd dochodz sę do całkowych nakładów na czynnk produkcj:
34 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk X A L (43) Maksymalzacja użyecznośc ypowego konsumena sprowadza sę do równana ulera dla sopy wzrosu konsumpcj: C C r (44) oraz z warunku ranswersalnośc: r s ds A lme V v, dv (45) n kóry mplkuje, że całkowy zysk V v A, dv rośne ne szybcej nż sopa dyskona. Z powyższych rozważań wynka, że równowaga może być zdefnowana jako: śceżka czasowa konsumpcj, nakładów na nowe echnologe całkowej lośc dosępnych czynnków produkcj, kóre spełnają zwązk: (32), (36), (42), (44) (45), śceżka czasowa dla cen lośc p x v,, x v, va czynnków produkcj, kóra spełna równana (38) (39), śceżka czasowa rynkowej sopy procenowej oraz płac r, w, kóra spełna równana (4) (45). Zrównoważona śceżka wzrosu (sablny punk równowag), wysępuje wówczas, gdy konsumpcja C() produkcja Y() rosną w sałym empe. Równane (4) mplkuje zaś, że A równeż rośne w sałym empe. 5.3. Zrównoważona śceżka wzrosu Punk równowag jes osągany wedy, gdy konsumpcja C() rośne według sałej sopy g C. Ze zwązku (44) wynka, ż rynkowa sopa procenowa mus równeż rosnąć w sałym empe, sąd można założyć, że r ( ) r dla każdego. Z równana (39) oraz z założena, że sopa procenowa jes sała, zwązek V zaś sąd z równana (8) orzymujemy: (37) mplkuje że,
Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 35 V L r (46) Równane (46) oznacza, że zysk monopolsów L w punkce równowag są zakualzowane sałą sopą dyskona równą r. Z warunków wejśca (42) wynka, że zachodz nasępująca zależność: r L. aomas równane konsumpcj (44) mplkuje, że sopa wzrosu konsumpcj w punkce równowag dana jes przez zwązek: C g C r C (47) Ponado beżący Hamlonan dla problemu maksymalzacj użyecznośc ypowego konsumena jes wklęsły, a sąd z warunku ranswersalnośc można scharakeryzować opymalny plan konsumpcj dla ypowego konsumena. W punkce równowag konsumpcja ne może rosnąć w nnym empe, nż łączna produkcja, sąd długookresowa sopa wzrosu w rozważanej gospodarce dana jes przez równane: g L (48) Załóżmy, że zachodzą nasępujące ogranczena na sopę preferencj ypowego konsumena: L L. (49) Perwszy warunek mplkuje, że g, drug zaś, że ypowy konsumen charakeryzuje sę skończoną użyecznoścą. Przy warunkach (49) sneje punk równowag w kórym produkcja rośne według sałej sopy wzrosu g. 5.3.. Opymalna alokacja w sense Pareo W prezenowanym modelu konkurencja monopolsyczna mplkuje, że wysępująca równowaga ne zawsze jes opymalna w sense Pareo. Aby zesawć równowagę opymalną alokację w sense Pareo można zacząć od problemu opymalnego wzrosu. Opymalna śceżka wzrosu jes rozwązanem zagadne-
36 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk na maksymalzacj użyecznośc ypowego konsumena (29), ogranczena zasobów w gospodarce (32) oraz możlwośc nnowacyjnych (33). Owe ogranczene zasobów może być zapsane jako: A A C Z x v, dv L xv, dv (5) gdze wyrażene po prawej srone powyższej nerównośc o zdyskonowany zysk neo. Zagadnena opymalnego wzrosu można rozwązać w dwóch eapach. Perwszy eap obejmuje charakerysykę opymalnej alokacj, naomas drug- charakerysykę opymalnej śceżk wzrosu konsumpcj C() oraz śceżk wzrosu dosępnych czynnków produkcj A. Perwszy krok jes równoważny z maksymalzacją prawej srony nerównośc (5), kóra prowadz do zwązku: x L v,. Podsawając ę zależność do równana (3) dochodz sę do opymalnej alokacj w sense Pareo: Y A L. Sąd produk neo Y Y może być zapsany jako: A A L xv, dv A L. asępnym eapem charakerysyk opymalnej śceżk wzrosu jes maksymalzacja preferencj ypowego konsumena: max przy warunku: C e d A L C A,
Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 37 gdze A o zmenna endogenczna, naomas C() o zmenna egzogenczna. Beżący hamlonan dla powyższego problemu dany jes równanem: C H ˆ A, C, A L C. Warunk koneczne snena rozwązana sprowadzają sę do nasępującego układu warunków: Hˆ Hˆ C lm A, C, C, A, C, L e A A. Powyższe równana charakeryzują opymalną śceżkę wzrosu. Łącząc e warunk orzymujemy opymalną śceżkę wzrosu dla konsumpcj:, C C L (5) Opymalna alokacja, ak jak opymalna sopa wzrosu, zależy od sałej sopy konsumpcj, naomas opymalną sopę wzrosu konsumpcj (5) można porównać do zrównoważonej sopy wzrosu danej przez zwązek (48). Sąd jeżel > o opymalna sopa wzrosu jes zawsze wększa od sopy zrównoważonego wzrosu (48). Ponado przy warunku: L począwszy od A, opymalna alokacja poęguje sałą sopę wzrosu: g L, kóra jes sone wększa nż sopa równowag g dana przez równane (48). Inucyjne opymalna sopa wzrosu w alokacj Pareo jes wyższa nż zrównoważona sopa wzrosu poneważ warość społeczna nnowacj jes wyższa, nż warość ekonomczna nnowacj.
38 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk 5.3.2. Wzros z zewnęrznym efekam wedzy W punkach poprzednch wzros opary był na możlwoścach nnowacyjnych gospodark, w szczególnośc na lośc czynnków produkcj, charakeryzujących sę wysoko rozwnęym echnologam. Innym podejścem do ego zagadnena jes skerowane wększego zasobu kapału ludzkego do sekora nowych echnolog. Możlwośc nnowacyjne gospodark można eraz zapsać nasępująco: A A L (52), R gdze L R o alokacja kapału ludzkego w sekorze nowych echnolog w momence, wyrażene A o zasób dosępnych echnolog w momence. Sąd wększa warość A pocąga za sobą wększą produkywność zasobu ludzkego w sekorze nowych echnolog. Zauważmy, że możlwośc nnowacyjne dane przez (52) są proporcjonalne do zasobu kapału ludzkego skerowanego do sekora nowych echnolog. Owa proporcjonalność jes źródłem wzrosu endogencznego w prezenowanym modelu. Powyższe założena są podobne do założeń w modelu Romera. Dosępny zasób kapału ludzkego w gospodarce w momence przedsawa sę nasępująco: L R L L, gdze L o zasób kapału ludzkego w sekorze dóbr fnalnych w momence. Łączny produk opsuje funkcja: Y A L (53) Srumeń dochodów monopolsy ze sprzedaży czynnków produkcj wynos: L (54) Warość zakualzowana neo zysku monopolsy opsana jes przez zależność (36).
Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 39 Równane (52) mplkuje nasępujący warunek wejśca na rynek jako: v, w V (55) A Lewa srona równana (55) doyczy dochodu z zaangażowana dodakowej jednosk kapału ludzkego w sekorze nowych echnolog, naomas w o srumeń koszów wynkający z zarudnena dodakowego pracownka w sekorze nowych echnolog. Płace opsuje zaś równane: A w. Ponado wzros w punkce równowag mplkuje równeż, że rynkowa sopa procenowa mus być na sałym pozome r. Sąd oraz z warunku wejśca na rynek wynka, że zachodz nasępujące równane: L A r A (56) Zaem rynkowa sopa procenowa w punkce równowag jes równa: r L, gdze L jes sałym zasobem kapału ludzkego ulokowanym w sekorze dóbr fnalnych w punkce równowag. Z równana ulera dla sopy wzrosu konsumpcj (5) orzymujemy: C C L g (57) Granca możlwośc nnowacyjnych (52) mplkuje, że LR L L. Poneważ empo wzrosu konsumpcj mus być ake samo, jak empo posępu