Arytmetyka finansowa Wykład z dnia

Transkrypt

1 Arytmetyka fnansowa Wykła z na Wesław Krakowak W tym rozzale bęzemy baać wartość aktualną rent pewnych, W szczególnośc, wartość obecną renty, a równeż wartość końcową Do wartośc końcowej renty prowazą następujące rozważana: zakłaamy, że pewna renta ne jest oberana przez n okresów, tylko jej raty są ponowne nwestowane (akumulowane) Bazową stopę procentową bęzemy oznaczać w tym rozzale przez, a bazową stopę yskontową równoważną stope procentowej przez, tj zakłaamy, że zachozą równośc 1 + oraz 1 Przez ν bęzemy oznaczać czynnk yskonta, tj ν W alszym cągu bęzemy wykorzystywać równeż następujące zależnośc męzy, oraz ν: ν oraz ν Ponato, przez (m) bęzemy oznaczać nomnalną stopę procentową, kaptalzowaną m razy w cągu każego okresu bazowego stopy jej równoważną Natomast przez (m) bęzemy oznaczać nomnalną stopę yskontową kaptalzowaną m razy w cągu każego okresu bazowego stopy jej równoważną Stopy (m) (m) są równoważne, a węc (m) (m) 1 + (m) /m Mamy (m) /m 1 (m) /m ν 1/m oraz (m) (m) ν 1/m 1 Waomośc wstępne Renty są szczególnym przypakem strumen przepływów penężnych W zaganenach pośwęconych rentom bęzemy stosować oznaczena zgone z zalecenam Męzynaroowego Towarzystwa Aktuaralnego W tym rozzale bęzemy rozważać oprocentowane złożoną z ołu lub z góry, chyba że wyraźne założymy naczej DEFINICJA 11 Rentą (ang annuty), nazywamy strumeń przepływów penężnych okonywanych w równych ostępach czasu Okresem renty nazywamy stały okres męzy kolejnym przepływam penężnym Renty są ość powszechne w naszym życu Czynsz za meszkane, spłaty rat kreytu, czy osetk o zanwestowanych penęzy są to przykłay rent Z rentą zwazane są trzy okresy: okres stopy procentowej lub yskontowej, okres konwersj oraz okres renty W alszym cągu przyjmować, chyba, że jawne założono naczej, że: stosunek każych wóch z trzech powyższych okresów jest, albo lczbą naturalną, albo owrotnoścą lczby naturalnej 1

2 Analza portfela 2 Zawsze można zakłaać, że okres stopy procentowej (op yskontowej) jest równy okresow konwersj Jeżel okres stopy procentowej (op yskontowej)) jest różny o okresu konwersj, to aby uzgonć te wa okresy wprowaza sę współczynnk m okres stopy procentowej (op yskontowej) okres konwersj Na mocy wcześnejszego założena m jest lczbą naturalną lub owrotnoścą lczby naturalnej Oznacza to, że okres stopy procentowej (op yskontowej) jest welokrotnoścą okresu konwersj lub okres konwersj jest welokrotnoścą okresu stopy procentowej (op yskontowej) Uzgonene okresów okonuje sę przez przejśce na wzglęną stopę procentową (op, yskontową) m oraz m Okres wzglęenj stopy procentowej (op yskontowej ) jest równy okresow konwersj alej bęzemy rozważać jeyne stosunek okresu konwersj o okresu renty W tym rozzale zawsze bęzemy rozważać stopy procentowe yskontowe których okres bazowy jest równy okresow konwersj Rozróżnamy renty pewne (ang annuty-certan), w których płatnośc są pewne okonywane przez pewen skończony z góry ustalony okres czasu oraz renty warunkowe (contngent annuty), w których płatnośc ne są pewne np: renty życowe, które są wypłacane tylko wówczas gy ana osoba żyje DEFINICJA 12 Renta pewna nazywa sę () stałą, gy wszystke raty renty są sobe równe; () o zmennych płatnoścach, gy ne jest rentą stałą; Wśró rent stałych wyróżnamy renty jenostkowe, o wszystke ratach równych 1 jp DEFINICJA 13 Rentę pewną nazywamy () pewną, z ołu, gy raty renty są płacone na konec każego okresu renty; () pewną, z góry, gy raty renty są płacone na początku każego okresu renty DEFINICJA 14 Rentę pewną nazywamy () rentą pewną prostą, w skróce rentą pp, gy okres bazowy stopy procentowej (stopy yskontowej), okres konwersj okres renty są sobe równe; () rentą pewną, uogólnoną, w skróce rentą pu, w przecwnym przypaku UWAGA 11 Poneważ na mocy wcześnejszych rozważań zawsze można zakłaać, że okres rozważanych stóp procentowych yskontowych jest równy okresow konwersj, to wyróżna wa rozaje rent pewnych uogólnonych: a) okres renty jest welokrotnoścą okresu konwersj;

3 Analza portfela 3 b) okres konwersj jest welokrotnoścą okresu renty Schemat baana tych wóch rozajów rent pewnych uogólnonych jest poobny skłaa sę z wóch etapów: 1 Wprowazamy nową stopę procentową (op yskontową) równoważną stope wyjścowej, której okres konwersj ( okres bazowy) jest równy okresow renty 2 Wykorzystując nową stopę procentową (op yskontową), znajujemy wartośc renty korzystając z wynków uzyskanych la rent prostych 2 Renty pewne proste Wartość obecną n-okresowej renty pewnej prostej z ołu (op z góry) bęzemy oznaczać jako P V lub P V n (op P V lub P V n), a wartość przyszłą n-okresowej renty pewnej prostej z ołu (op z góry) bęzemy oznaczać jako F V lub F V n (op F V lub F V n) UWAGA 21 W przypaku n-okresowych rent prostych z góry, wartość końcową (F V ) renty lczymy w chwl n, a ne n 1 TWIERDZENIE 21 Rozważamy n-okresową rentę pp o płatnoścach: p 1,, p n Wtey () wartość początkowa tej renty (suma rat zyskontowanych na moment t 0) jest równa P V p j ν j renta z ołu; (1) n 1 P V p j ν j 1 p j+1 ν j renta z góry (2) j0 () wartość końcowa (przyszła) tej renty (suma rat zyskontowanych na moment t n) jest równa F V p j ν j n renta z ołu; (3) n 1 F V p j ν j (n+1) p j+1 ν j n renta z góry; (4) j0 Dowó () Dla renty z ołu wynka natychmast z wcześnejszych wykłaów () Wynka z wnosku z wcześnejszego wykłau WNIOSEK 22 Rozważamy n-okresowe renty pp z ołu z góry o tych samych płatnoścach p 1,, p n Wtey () P V P V ν 1 oraz F V F V ν 1 ; () P V ν n F V oraz P V ν n F V ;

4 Analza portfela 4 () wartość aktualna w chwl k 0 jest równa ν k P V ν n k F V renta z ołu; ν k P V ν n k F V renta z góry WNIOSEK 23 1 n-okresowa renta pp z ołu o płatnoścach: p 1,, p n jest równoważna n-kresowej rence pp z góry o płatnoścach νp 1,, νp n 2 n-okresowa renta pp z góry o płatnoścach: p 1,, p n jest równoważna n-kresowej rence pp z ołu o płatnoścach ν 1 p 1,, ν 1 p n Dowó Bezpośreno, la każego j 1,, n, przepływ p j z momentu j jest równoważny przepływow νp j z momentu j 1 lub z twerzena równość wartośc początkowych DEFINICJA 21 n-okresowa renta pewna, prosta, której perwsza rata wypłacana jest po m okresach, m > 0, nazywa sę rentą z oroczonym płatnoścam UWAGA 22 Perwsza płatność renty z oroczonym o m okresów płatnoścam następuje w chwl m + 1 w przypaku renty z ołu oraz chwl m w przypaku renty z góry UWAGA 23 n-okresową rentę pewną, prostą z ołu (op z góry) z oroczonym o m okresów płatnoścam można nterpretować jako n + m -okresową rentę pewną, prostą z ołu (op z góry) której perwsze m płatnośc są równe 0 TWIERDZENIE 24 Wartość początkowa renty pewnej, prostej z oroczonym o m okresów płatnoścam równym p 1,, p n jest równa: Dowó Wynka twerzena 21 P V ν m n n 1 P V ν m j0 p j ν j renta z ołu; (5) p j+1 ν j renta z góry (6) WNIOSEK 25 n-okresowa renta pewna, prosta z ołu (op z góry) z oroczonym o m okresów płatnoścam, które są równe: p 1,, p n jest równoważna rence pewnej prostej z ołu (op z góry) z płatnoścam równym: p 1 ν m,, p n ν m Dowó Dla każego j 1,, n, przepływ p j z momentu m+j jest równoważny przepływow p j ν m z momentu j W alszym cągu bęzemy rozważać renty o płatnoścach pozwalających otrzymać wzory na wartość obecną przyszłą w postac zwartej (7)

5 Analza portfela 5 3 Renty pewne proste stałe W tym porozzale bęzemy rozważać renty pewne proste, jenostkowe z ołu (ang annuty) oraz renty pewne proste, jenostkowe z góry (ang annuty-ue) Zamast renta pp jenostkowa bęzemy psać renta ppj Bęzemy stosować następujące oznaczena wartośc obecnych przyszłych rent ppj Wartość obecna Wartość przyszła Renta z ołu a n lub a n lub Renta z góry ä n lub ä n lub W oznaczenach wartośc obecnej przyszłej pomjamy stopę procentową yskontową, gy ne prowaz o o wuznacznośc TWIERDZENIE 31 Dla n-okresowej rentę pewnej, prostej, jenostkowej zachozą następujące równośc: () a n ν n oraz ä n ν n ; () ä n a n ν 1 oraz ν 1 () jej wartość aktualna w momence k 0 jest równa Dowó Wynka z wnosku 22 a n ν k ν n k renta z ołu; (8) ä n ν k ν n k renta z góry (9) TWIERDZENIE 32 Rozważamy n-okresową rentę pewną, prostą, jenostkową Wtey () jej wartość początkową jest równa () jej wartość końcową jest równa a n 1 νn, renta z ołu; (10) ä n (1 + ) 1 νn ν n 1 (1 + ) ν n 1 1 νn renta z góry (11) renta z ołu; (12) ν n 1 renta z góry; (13) Dowó Na mocy twerzena 21, a n, ä n, oraz są sumam częścowym szeregów geometrycznych TWIERDZENIE 33 Rozważamy n-okresową rentę pewną, prostą, jenostkową Wtey

6 Analza portfela 6 () jej wartość aktualna w momence n + m, gze m > 0 jest równa () jej wartość aktualna w momence 1 m < n jest równa Dowó Mamy s n+m s m ν n m 1 s n+m s m ν n m 1 s m + a n m ν m 1 s m + ä n m ν m 1 ν m s n+m s m renta z ołu; (14) ν m s n+m s m renta z góry (15) a n ν m ν n m s m + a n m renta z ołu; (16) ä n ν m ν n m s m + ä n m renta z góry (17) ν m 1 ν m νn m + 1 νn m ν n m ν m ν m ν n 1 ; ν m ν n m ν m ν n m ν m ν n 1 ; ν n m ν n 1 ; ν n m ν n 1 TWIERDZENIE 34 Zachozą następujące zwązk męzy wartoścam obecnym końcowym rent ppj z ołu z góry: () ä n 1 + a n 1 oraz s n 1 + 1; () 1 a n + ν n ν n oraz 1 ä n + ν n ν n ; () oraz a n ä n Dowó () Mamy ä n (1 + ) 1 νn 1 + νn 1 ν n 1 ν ν n 1 ν n ν () Wynka natychmast z twerzena 32 () Mamy 1 + ν n ν n ν n νn 1 s n ν 1 n a n UWAGA 31 Poamy nterpretację ekonomczną powyższego twerzena () Wartość obecna n-okresowej renty ppj z góry ä n jest sumą perwszej płatnośc 1 oraz wartośc obecnej n 1-okresowej renty ppj z ołu a n 1, natomast wartość końcowa renty ppj z ołu jest sumą wartośc końcowej n 1-okresowej renty ppj z góry oraz ostatnej płatnośc 1 () Dalej rozważamy n-okresową nwestycję, gze 1 jp jest nwestowana w chwl t 0 która generuje n-okresową rentę pp stałą o ratach równych oraz zwrot zanwestowanej kwoty 1 jp w chwl t n Wtey wartośc beżące strumena nakłaów zysków są równe () Rozważamy pożyczkę w wysokośc 1 jp oraz wa sposoby jej spłat: oraz

7 Analza portfela 7 Pożyczkę spłacamy w n równych ratach w wysokośc p jp Poneważ 1 pa n, to p 1 a n Spłacamy w n ratach tylko osetk w wysokośc jp na konec każego okresu oraz oatkowo w n-tej race równeż kwotę pożyczk w wysokośc 1 jp Aby uzyskać w chwl n kwotę 1 jp, na funusz umorzenowy okonujemy wpłat w wysokośc na konec każego z okresów k 1,, n Poneważ 1, to 1, czyl łączne w każym momence k 1,, n okonujemy płatnośc w wysokośc + 1 Okazuje sę, że płatnośc w obu sposobach są sobe równe Bęzemy stosować następujące oznaczena wartośc obecnych rent ppj z oroczonym o m okresów płatnoścam Wartość obecna Renta z ołu m a n lub m a n Renta z góry m ä n lub m ä n W oznaczenach wartośc obecnej przyszłej pomjamy stopę procentową yskontową, gy ne prowaz o o wuznacznośc TWIERDZENIE 35 Wartość obecna n-okresowej renty ppj z oroczonym o m okresów płatnoścam jest równa m a n a n ν m a m+n a m renta z ołu; (18) m ä n ä n ν m ä m+n ä m renta z góry (19) Dowó Na mocy twerzena 24, wartość początkowa n-okresowej renty z ołu, o oroczonych o m okresów ratach jest równa ν m a n, a renty z góry z oroczonym płatnoścam o m okresów jest równa ν m ä n Dalej a m+n a m 1 νm+n ä m+n ä m 1 νn+m 1 νm 1 νm ν m 1 νn ; ν m 1 νn 4 Renty pewne proste o płatnoścach tworzących cąg arytmetyczny Rozważamy renty n-okresową, której perwsza płatność jest równa P, a kolejne wzrastają o Q Zakłaamy, że P > 0 Natomast Q może być owolnego znaku, jeyne trzeba założyć, że wszystke płatnośc są oatne, tj P + (n 1)Q > 0

8 Analza portfela 8 TWIERDZENIE 41 Rozważamy n-okresową rentę pewną, prostą, której perwsza płatność jest równa P, a kolejne wzrastają o Q Wtey () jej wartość obecna jest równa P V P a n + Q a n nνn P V P ä n + Q νä n nνn renta z ołu; (20) P ä n + Q a n nνn renta z góry (21) () jej wartość końcowa jest równa F V P + Q n F V P + Q ν n renta z ołu; (22) P + Q n renta z góry (23) Dowó () Na mocy twerzena 21, P V n k1 (P + (k 1)Q)ν k Poneważ to n 1 (1 + )P V (P + (k 1)Q)ν k 1 (P + kq)ν k k1 k0 n 1 P V (1 + )P V P V (P + kq)ν k n 1 P + (P + kq)ν k k1 n 1 k0 n 1 k1 (P + (k 1)Q)ν k k1 (P + (k 1)Q)ν k (P + (n 1)Q)ν n P (1 ν n ) + Q ν k + Qν n Qnν n P (1 ν n ) + Qν 1 νn k1 1 ν Qnνn ( 1 ν P (1 ν n n ) ) + Q nν n Ostateczne otrzymujemy P V P 1 νn ( 1 ν n + Q 2 ) nνn Męzy wartoścą obecną renty z góry z ołu zachoz zwązek P V ν 1 P V () Wynka z () oraz twerzena 21() (wartość końcowa jest równa wartośc obecnej pomnożonej przez czynnk ν n ) Obecne rozważymy wa szczególne przypak rozważanej renty: rentę rosnącą la której P Q 1 oraz rentę malejącą la której P n oraz Q 1 Bęzemy stosować następujące oznaczena wartośc obecnych przyszłych renty pewnej, prostej o płatnoścach tworzących rosnący cąg arytmetyczny postac {1, 2,, n}

9 Analza portfela 9 Wartość obecna Wartość przyszła Renta z ołu (Ia) n lub (Ia) n (Is) n lub (Is) n Renta z góry (Iä) n lub (Iä) n (I s) n lub (I s) n W oznaczenach wartośc obecnej przyszłej pomjamy stopę procentową yskontową, gy ne prowaz o o wuznacznośc TWIERDZENIE 42 Rozważamy n-okresową rentę pewną o płatnoścach tworzących rosnący cąg arytmetyczny postac {1, 2,, n} Wtey () jej wartość obecna jest równa () jej wartość przyszła jest równa än nνn (Ia) n än nνn (Iä) n (Is) n n (I s) n n s n+1 (n + 1) s n+1 (n + 1) Dowó Korzystając z twerzeń otrzymujemy renta z ołu; (24) renta z góry; (25) renta z ołu; (26) renta z góry (27) (Ia) n a n + a n nνn 1 νn + a n nν n än+1 (n + 1)νn än nνn ; (Iä) n ν 1 än nνn än nνn (Ia) n ν (Is) n ν n (Ia) n n s n+1 (n + 1) ; (I s) n ν n (Iä) n n s n+1 (n + 1) TWIERDZENIE 43 n-okresowa rentę pewna prosta z ołu o płatnoścach tworzących rosnący cąg arytmetyczny postac {1, 2,, n} jest sumą cągu n rent z ołu n k-okresowych, pewnych prostych, jenostkowych z oroczonym, opoweno, o k okresów płatnoścam la k 0, 1, n 1, w szczególnośc wartość obecna tej renty jest równa Dowó owó Mamy n 1 k0 ν k a n k n 1 k0 ν k 1 νn k (Ia) n 1 n 1 k0 n 1 k0 ν k a n k (28) ν k nνn än nνn (Ia) n

10 Analza portfela 10 Bęzemy stosować następujące oznaczena wartośc obecnej przyszłej renty pewnej, prostej o płatnoścach tworzących malejący cąg arytmetyczny postac {n, n 1,, 1} Wartość obecna Wartość przyszła Renta z ołu (Da) n lub (Da) n (Ds) n lub (Ds) n Renta z góry (Dä) n lub (Dä) n (D s) n lub (D s) n W oznaczenach wartośc obecnej przyszłej pomjamy stopę procentową yskontową, gy ne prowaz o o wuznacznośc TWIERDZENIE 44 Rozważamy n-okresową rentę pewną o płatnoścach tworzących malejący cąg arytmetyczny postac {n, n 1,, 1} Wtey () wartość obecna tej renty jest równa (Da) n n a n (Dä) n n a n renta z ołu; (29) renta z góry; (30) () wartość przyszła tej renty jest równa (Ds) n nν n (D s) n nν n renta z ołu; (31) renta z góry (32) Dowó Korzystając z twerzena 41 otrzymujemy (Da) n na n a n + nνn (Dä) n ν 1 (Da) n n a n ν (Ds) n ν n (Da) n ν n n (D s) n ν n (Dä) n ν n n n nνn a n + nν n n a n n a n TWIERDZENIE 45 n-okresowa rentę pewna prosta z ołu o płatnoścach tworzących malejący cąg arytmetyczny postac {n, n 1, 1} jest sumą cągu n rent z ołu k-okresowych (k 1, 2,, n), pewnych prostych, jenostkowych, w szczególnośc, wartość obecna tej renty jest równa (Da) n a k (33) k1

11 Analza portfela 11 5 Renty pewne uogólnone o okrese bęącym welokrotnoścą okresu konwersj stopy procentowej lub yskontowej UWAGA 51 Dla wartośc rent, których okres jest całkowtą welokrotnoścą okresu konwersj stopy procentowej (op yskontowej) ne ma specjalnych oznaczeń W nnejszym rozzale zakłaamy, że oznacza stopę procentową o okrese równym okresow konwersj, a stopę yskontową o okrese równym okresow konwersj W alszych rozważanach postawową rolę bęą ogrywały następujące twerzena TWIERDZENIE 51 Rozważamy rentę pewną, uogólnoną, której jeen okres jest k- krotnoścą okresu konwersj stopy procentowej (op yskontowej ), trwającą n okresów konwersj, tj rentę skłaającą sę z n/k rat: p 1,, p n/k Wtey 1 Jeżel rozważana renta jest z ołu, to jest ona rentą pewną prostą wzglęem równoważnej stopy procentowej, której okres konwersj ( okres bazowy) jest równy okresow renty, tj spełna równane Ponato, ν k 1 + (1 + ) k, czyl (1 + ) k 1 2 Jeżel rozważana renta jest z góry, to jest ona rentą pewną prostą wzglęem równoważnej stopy yskontowej, której okres konwersj ( okres bazowy) jest równy okresow renty, tj spełna równane Ponato, 1 ν k Dowó Oczywsty 1 (1 ) k, czyl 1 (1 ) k TWIERDZENIE 52 () Renta pewna, uogólnona, z góry, której okres jest k-krotnoścą okresu konwersj stopy yskontowej, trwającą n okresów konwersj, czyl renta n/kokresowa o płatnoścach: p 1,, p n/k jest równoważna rence pewnej, uogólnonej, z ołu, której jeen okres jest k-krotnoścą okresu konwersj stopy procentowej (równoważnej stope yskontowej o tym samym okrese konwersj), trwającą n okresów konwersj, czyl rence n/k-okresowej o płatnoścach: p 1 ν k,, p n/k ν k () Renta pewna, uogólnona z ołu, której okres jest k-krotnoścą okresu konwersj stopy yskontowej, trwającą n okresów konwersj, czyl renta n/k-okresowa o płatnoścach: p 1,, p n/k jest równoważna rence pewnej, uogólnonej, z ołu, której jeen okres jest k-krotnoścą okresu konwersj stopy yskontowej (równoważnej stope procentowej o tym samym okrese konwersj), trwającą n okresów konwersj, czyl rence n/kokresowej o płatnoścach: p 1 ν k,, p n/k ν k

12 Analza portfela 12 Dowó () Dla każego j 1,, n/k, przepływ góry p j jest równoważny przepływow z ołu p j ν k TWIERDZENIE 53 Rozważamy renty pewne, uogólnone, z ołu z góry, których jeen okres jest k-krotnoścą okresu konwersj równoważnych stóp procentowej oraz yskontowej, trwających n okresów konwersj, czyl renty n/k-okresowe o płatnoścach: p 1,, p n/k Wtey () P V P V ν k, F V F V ν k ; () P V F V ν n, P V F V ν n ; () wartość aktualna w chwl m 0 jest równa ν m P V ν n m F V renta z ołu; ν m P V ν n m F V renta z góry Dowó Wynka z twerzena 52 TWIERDZENIE 54 Rozważamy rentę pewną, uogólnoną, której jeen okres jest k- krotnoścą okresu konwersj równoważnych stopy procentowej lub yskontowej, trwającą n okresów konwersj, czyl rentę n/k-okresowe o płatnoścach: p 1,, p n/k Wtey () wartość początkowa tej renty (suma rat zyskontowanych na moment t 0) jest równa n/k P V p j ν kj renta z ołu; (34) n/k P V p j ν k(j 1) n/k 1 j0 p j+1 ν kj renta z góry (35) () wartość końcowa (przyszła) tej renty (suma rat zyskontowanych na moment t n) jest równa n/k F V p j ν k(j n) renta z ołu; (36) n/k F V p j ν k(j (n+1)) n/k 1 j0 Dowó Wynka natychmast z twerzeń 51 oraz 21 p j+1 ν k(j n) renta z góry; (37)