Modelowanie pzepływu cieczy pzez ośodki poowate Wykład VII ROZWIAZANIA ZAGADNIEŃ PRZEPŁYWU FILTRACYJNEGO METODAMI ANALITYCZNYMI. 7. Pzepływ pzez goblę z uwzględnieniem zasilania wodami infiltacyjnymi. Do ozwiązania poblemu pzyjmiemy apoksymację pocesu filtacyjnego Boussinesqa [patz ozdział IV monogafii] pzy założeniu, że upłynął odpowiednio długi czas i możemy poces filtacji ozpatywać jako ustalony, więc w ównaniu Boussinesqa nie występuje pochodna cząstkowa wysokości hydaulicznej po czasie. Rozpatzymy tzy pzypadki: ównania nieliniowego Boussinesqu a, ównania zlineayzowanego Boussinesqa pzez Boussinesqa, ównania zlineayzowanego Boussinesqa pzez Bagowa i Wieygina. Pzyjmijmy do ozważań goblę (ys. ) zasilaną wodami infiltacyjnymi pochodzącymi z opadów. Jeśli więc gobla będzie zbudowana z ośodka guntowego o współczynniku filtacji k const i pokyta jednoodną oślinnością, to intensywność infiltacji ε będzie miała ównież watość stałą. Zagadnienie taktujemy jako płaskie, więc zgodnie z założeniami teoii Boussinesqa spowadza się ono do zagadnienia jednowymiaowego. Równanie Boussinesqa dla ozważanego pzypadku ma postać: Rys. Schemat pzepływu pzez goblę z infiltacją. d d k dx dx + ε. (7.) Zlineayzowane ównanie Boussinesqa pzez Boussinesqa ma postać: d k s dx ε +, (7.) natomiast zlineayzowane ównanie Boussinesqa pzez Bagowa Wieygina można zapisać w postaci:
d k dx τ ε +, (7.3) pzy czym τ s oaz okeśla śednią miąższość stumienia filtującej wody. u Rozważmy na początku nieliniowe ównanie i wpowadźmy nową zmienną : d u dx. (7.4) Wówczas po podstawieniu (7.4) do ównania dostajemy: du k dx + ε. (7.5) Rozwiązaniem powyższego ównanie jest funkcja: u ε x C k +. (7.6) Wstawiając do (7.6) podstawienie (7.4) mamy: d x C (7.7) dx ε k +. Rozwiązując powyższe ównanie óżniczkowe metodą ozdzielenia zmiennych dostajemy funkcję wysokości hydaulicznej w postaci: ε x Cx C k + +. (7.8) Rozważmy obecnie pzypadek zlineayzowanego ównania Boussinesqa w postaci (7.). Całkując dwukotnie po dx ównanie (7.), dostajemy ozwiązanie w postaci: x ε Cx C k + +, (7.9) s Któe, jak widać, óżni się od ozwiązania (7.8). Weźmy obecnie pod uwagę zlineayzowane ównanie Boussinesqa pzez Bagowa Wieygina w postaci (7.3): d dx τ ε. k (7.) Całkując dwukotnie powyższe ównanie (7.) po dx dostajemy: x ε Cx C τ + k +. (7.)
Wiemy jednak, że τ, więc uzyskujemy ozwiązanie w postaci: ε x Cx C k + +, (7.) któe jest tożsame z ozwiązaniem nieliniowego ównania Boussinesqa (7.8). Rozważając chaakte kzywych uzyskanych w ozwiązaniach widać, że w pzypadku nieliniowego ównania Boussinesqa i zlineayzowanego ównania Boussinesqa metodą Bagowa - Wieygina otzymana kzywa jest wycinkiem elipsy, natomiast w pzypadku ozwiązania zlineayzowanego ównania Boussinesqa pzez Boussinesqa kzywa epezentująca zwieciadło swobodne jest paabolą. W dalszych ozważaniach oganiczymy się tylko do ozwiązań nieliniowego ównania Boussinesqua (7.8), nie wnikając w poblem, któe z uzyskanych ozwiązań jest bliższe doświadczeniom. C C Stałe i wyznaczymy dla ozważanego zadania z waunków bzegowych: x x L, oaz dla. Po podstawieniu tych watości do ozwiązania dla (7.) dostaniemy ostateczną postać funkcji wysokości hydaulicznej w postaci: L ε x x k ε k L + +. (7.3) Znając funkcję wysokości q hydaulicznej możemy wyznaczyć pzebieg funkcji pędkości filtacji oaz wydatek pzypadający na mb gobli pzepływający pzez dowolny pzekój postopadły do kieunku filtacji: k x L d εk ε k L v k + dx, x L ε x k ε k L + L q v x ε k ε + L. (7.4) Z paktycznego x punktu x widzenia najbadziej inteesuje nas wydatek po obu stonach gobli czyli dla i dla : Stąd óżnica: q q x x L k L ( L ) ε, k L ( ) L ε +. (7.5) q q ε, (7.6) x L x
co było do pzewidzenia, a wynik jest zgodny z pzyjętymi waunkami bzegowymi zadania. Pzykład liczbowy. 7 Rozważmy pzepływ pzez goblę k wywołany m działaniem infiltacji o intensywności * /, 5 gdy współczynnik filtacji /. Początkowy poziom wody wynosi m. Odległość L wynosi m. Poównamy ozwiązania uzyskane pzy lineayzacji Bousssinesqa m i Bagowa Wieygina. Zakładając dla obydwu pzypadków, że ozwiązanie w piewszym pzypadku ma postać: a w dugim pzypadku: * + +, u u, u u + +. * *, Wyniki względnej zmiany wysokości hydaulicznej pod wpływem infiltacji pzedstawiono na ys. 3 ε m Rys. 3 Wyniki obliczeń zmiany wysokości hydaulicznej ( (z wykozystaniem opogamowania Mapple 8). f i u x L ) 7. Dopływ do owu pzy zasilaniu wodami infiltacyjnymi. W wastwie wodonośnej zbudowanej z guntu jednoodnego i izotopowego o współczynniku filtacji k wykonano ów sięgający jej spągu. Jej pzekój postopadły do osi owu pzedstawiono na ys. 4.
Rys. 4. Schemat zadania dopływu wody do owu pzy zasilaniu wodami infiltacyjnymi. Pzed wykonaniem owu zwieciadło wody było poziome i znajdowało się na wysokości w pzyjętym układzie odniesienia. Natomiast po wykonaniu owu poziom wody ustalił się na wysokości. Wastwa wodonośna zasilana jest w sposób ciągły w czasie wodami opadowymi z intensywnością infiltacji ε const. Równanie Boussinesqa ma postać Błąd! Nie można odnaleźć źódła odwołania.. Rozwiązaniem tego ównania, jak pokazano w popzednim C C podozdziale, jest funkcja wysokości hydaulicznej wyażona wzoem (7.8). Stałe i wyznaczymy z następujących waunków bzegowych: d x x R oaz dla dx gdzie R oznacza zasięg obszau infiltacji. Dla Podstawiając powyższe waunki bzegowe do wzou (7.8), dostaniemy funkcję wysokości hydaulicznej wyażoną wzoem: ε k x ε Rx + k +. (7.7) Możemy zadać pytanie; w jakiej odległości R od początku układu współzędnych wysokość hydauliczna osiągnie watość? Podstawiając odpowiednie watości do ównania (7.7) dostaniemy: R k ( ). (7.8) ε Pzyjmując układ współzędnych (jak na ys. 7.3) obliczymy funkcję pędkości filtującej wody oaz wydatek na jednostkę długości owu w postaci: x k d ε v k ε + ( k ) dx, ε x x k ε + 4 + ( k ) q v x k ε ε +. ( k ) (7.9) Dopływ do owu na jednostkę jego długości wynosi:
co zgodne jest z pzyjętymi założeniami zadania. 7.3. Studnia zasilana wodami infiltacyjnymi. q k R x ε ε, (7.) ( ) W jednoodnej i izotopowej wastwie wodonośnej o współczynniku filtacji k wykonano pionową studnię o pomieniu sięgająca jej spągu (studnia zupełna). Pzekój wastwy wodonośnej pzechodzący pzez os studni pzedstawiono na ys. 7.5. Rys. 5. Schemat zadania dopływu wód do studni zasilanej wodami infiltacyjnymi. Założymy, że są spełnione następujące założenia wstępne: spąg wastwy wodonośnej ułożony jest poziomo, pzed pompowaniem zwieciadło wody jest poziome i znajduje się na wysokości wastwą niepzepuszczalną, wastwa wodonośna zasilana jest wodami opadowymi z intensywnością infiltacji pzepływ jest ustalony, a poziom w studni znajduje się na wysokości niepzepuszczalną. Dla powyższego pzypadku nieliniowe ównanie Boussinesqa ma postać: Wpowadźmy nową zmienną d d k d k d d + d + ε u u : d d ponad cons ε, ponad wastwą. (7.). (7.) Podstawiając (7.) do ównania (7.) dostajemy: du u d+ ε + k. (7.3) Rozwiązaniem powyższego ównania (7.3) jest funkcja:
C u ε k +. (7.4) Uwzględniając (7.) w (7.4), otzymujemy ównanie óżniczkowe: d C d ε k +. (7.5) Stąd po ozwiązaniu metodą ozdzielenia zmiennych dostajemy funkcje wysokości hydaulicznej w postaci: ε k C C + ln +. (7.6) Uzyskane ozwiązanie jest ogólnym ozwiązaniem ównania (7.). Dla ozpatywanego pzez nas zagadnienia bzegowego obliczymy stałe waunków bzegowych: d R dla oaz dla d. C i C, kozystając z Z układu ównań otzymuje watości stałych: C ε R k C ε R k ε + k ln (7.7) Można wiec okeślić funkcję wysokości hydaulicznej wzoem: ε R ( k ε ) + k ln +. (7.8) Pzykład liczbowy. Obliczmy k m pzebieg funkcji wysokości hydaulicznej w wastwie guntu o współczynniku filtacji 5, zasilanego wodami infiltacyjnymi o intensywności zasięg obszau Rm, a poziom wody w studni na wysokości. ε m 8 *. Pzyjmuje się m
Rys. 6. Pzebieg funkcji wysokości hydaulicznej w zależności od u/r. Znając funkcję wysokości hydaulicznej możemy obliczyć funkcje pędkości filtacji i wydatek pzepływający pzez pobocznicę walca o pomieniu i wysokości hydaulicznej : R d v k ε + ε d R, ε ( k ε ) + k ln + Q v R π πε. ( ) (7.9) Pzyjmując te same dane jak w popzednich obliczeniach wysokości hydaulicznej otzymamy zmienność funkcji pędkości filtacji v w zależności od bezwymiaowej zmiennej u. RPoniżej pzedstawiono wykes zmiany pędkości z odległości od studni.
Rys. 7. Funkcja pędkości filtacji pzy zasilaniu wodami infiltacyjnymi u R. Dla wydatek studni wynosi: Najczęściej pzyjmuje się, że Q R πε. (7.3) Q ( ) πε R, (7.3) gdyż studnia zasilana jest ównież wodami opadowymi z powiezchni π. W ównaniach od (7.7) do (7.3) występuje nieznana wielkość pomienia dla zasięgu R leja depesji R. Wyznaczyć ją można, kładąc dodatkowy waunek bzegowy:. Stąd mamy: R ε R R k ε + k ln +. (7.3) ( ) Powyższe ównanie jest ównaniem uwikłanym. Najłatwiej znaleźć watość R pzekształcając ównanie (7.3) do postaci: k R R ( ) ln ε. (7.33) Obliczając lewą stonę ównania z wykesu 6 otzymamy bezpośednio watość R. Należy wziąć pod uwagę, że wielkości zędnej F na wykesach wykonanych dla óżnych watości wynoszą:
k F ( ) 6 ε. (7.34) R Rys. 8. Zależność funkcji F od dla watości m m m m a),, b),5, c),, d), 5, e),3 m ; (obliczenia i wykes Mathematica 5). Jeżeli znamy dopływ wody do studni i intensywność infiltacji ε obliczenia pomienia zasięgu zasilania obliczamy bezpośednio ze wzou (7.3). 7.4. Obliczanie pól denowych. W typowej kanalizacji polegającej na odpowadzaniu wód ściekowych do guntu wody ściekowe pzechodzą najpiew pzez komoy wstępnego oczyszczania, w któych oddzielone zostają tłuszcze, gubsze zawiesiny, a ścieki ulegają fementacji i później pzepływają na pola denowe, gdzie następuje ich infiltacja w gunt. Infiltacja w gunt następuje popzez instalację, któa jest identyczna jak typowa instalacja denażu poziomego. Pzykładowe pole denowe pzedstawiono na ys. 9
Rys. 9. Pzykładowe pole denowe. W niniejszy podozdziale zajmiemy się wyznaczeniem maksymalnego zwieciadła wody w obszaze wpływu pola denowego, znając wydatek tego pola Q [zakładana objętość wód ściekowych odpowadzana do guntu w czasie] i jego powiezchnię F. Maksymalny poziom zwieciadła wody wyznaczymy pzy następujących założeniach wstępnych: pole denowe jest założone w jednoodnej i izotopowej wastwie wodonośnej o współczynniku filtacji k, spąg wastwy wodonośnej położony jest poziomo, pzed założeniem pola denowego, zwieciadło wody było poziome znajdowało się na wysokości ponad wastwą niepzepuszczalną, wastwa wodonośna zasilana jest wodami opadowymi, pzy czym śednia watość infiltacji pzy maksymalnych opadach ocznych wynosi ε, wody ściekowe są ównomienie ozpowadzane na całej powiezchni F. Aby pzy takich waunkach obliczyć pole denowe, skonstuujmy schemat obliczeniowy - ys. 3. Rys. 3. Schemat obliczeniowy pola denowego.
Wpowadźmy zastępczy pomień pola denowego i załóżmy adialny ozpływ wody. Watość infiltacji pod polem denowym ε wyznaczymy ze wzou: F π d +, (7.35) ε ε ε gdzie ε oznacza śednią watość infiltacji pzy maksymalnych opadach ocznych, a d ε okeśla infiltację wywołaną odpowadzeniem wód ściekowych. Pomień oddziaływania pola denowego R wyznaczamy ze wzou: R Q π ε, (7.36) ε okeśla zmianę intensywności infiltacji wywołaną pzy czym Q oznacza wydatek pola denowego, a odpowadzeniem wód ściekowych do guntu [na skutek odpowadzania wód ściekowych do guntu zmieni się tanspiacja, paowanie z gleby, odpływ podziemny, a tym samym zmieni się ównież intensywność infiltacji ε ]. Dla pzyjętego schematu obliczeniowego stosujemy ównanie Boussinesqa dla pzypadku zagadnienia osiowo symetycznego, ównanie (7.), któego ozwiązaniem jest uzyskana w popzednim podozdziale funkcja: ε C C k + ln +. Dla zwieciadło wody opisuje zatem funkcja: a dla R funkcja: ε C C k + ln +, (7.37) ' Stałe ε C C ' + k ln +. (7.38) C C C C ' ',,, d wyznaczymy z waunków bzegowych: d R, d d d d. (7.39) Wstawiając powyższe waunki bzegowe (7.39) do ozwiązań C (7.37) C C i C(7.38), otzymujemy ' ' układ 4 ównań algebaicznych, z któych wyliczamy stałe,,, :
C, C ε k ε k, C ε C R C R k ε k ε + ln + + k ln, C R C R ' ε k + ln. ' (7.4) Wstawiając powyższe stałe do (7.37) i (7.38), uzyskamy maksymalny poziom zwieciadła wody pzy czynnym polu denowym. Pole denowe musi być oczywiście założone powyżej uzyskanego zwieciadła wody i odbieać założony wydatek wód ściekowych. 7.5 Szacowanie dopływu wody do odkywek góniczych metodą wielkiej studni. W gónictwie odkywkowym do obniżenia zwieciadła wody zapewniającego ciągłość eksploatacji, stosuje się baiey studni. Rozważmy dla pzykładu odkywkę z dwoma baieami studni: zewnętzną i wewnętzną ys. 3 Rys. 3. Schemat do obliczeń odkywki z baieami studni (zewnętzna i wewnętzna). Uzyskanie ścisłego ozwiązania w postaci zamkniętej jest dla baie studni nawet w stosunkowo postych waunkach hydogeologicznych tudne, jeżeli nawet niemożliwe. Zadanie takie ozwiązuje się metodami numeycznymi w opaciu o ogólne ównanie Boussinesqa. Jedną ze stosowanych metod obliczeń jest metoda wielkiej studni. Polega ona na tym, że odwadniany obsza obejmowany baieą wewnętzną spowadza się do powiezchni kołowej o pomieniu odbywa się pobocznicą walca o pomieniu. Zakłada się ponadto, że dopływ i ze jest to dopływ adialny. Pzy tak poczynionych
założeniach, schemat obliczeniowy dopływu do wyobiska, odpowiada schematowi dopływu do studni ys. 3 Rys. 3 Schemat obliczeniowy dopływu do wyobiska Kozystając z założeń poczynionych dla ozwiązania zagadnienia wielkiej studni należy okeślić: pomień depesji R na podstawie wykesu 7.5, dopływ do wyobiska: Q πε R ; (7.4) położenie zwieciadła wody w obębie leja depesji: pzy czym. ε R ( k ε ) + k ln +, (7.4) π F Jeśli powiezchnia obejmowana baieą wewnętzną jest zbliżona do kwadatu lub postokąta: a + η 4 b, (7.43) gdzie: a długość wyobiska, b szeokość wyobiska, η - współczynnik zależny od stosunku b a zgodnie z tabelą 7.. Tabela 7. b a,,,4,6,8, η,,,6,8,8,8