MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI

MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI Definicj 1. Niech A i B będą dowolnymi zbiormi. Zbiór A B = {(, b) : A b B} wszystkich pr uporządkownych (, b) tkich, że A i b B nzywmy iloczynem krtezjńskim zbiorów A i B. Definicj 2. Rzeczywistą mcierzą prostokątną o m wierszch i n kolumnch nzywmy funkcję o wrtościch rzeczywistych określoną n iloczynie krtezjńskim {1, 2,..., m} {1, 2,..., n}. Mcierze oznczmy dużymi, pogrubionymi litermi lfbetu i zpisujemy w postci tblicy prostokątnej 11 12 1n 21 22 2n A =...... m1 m2 mn O tkiej mcierzy mówimy, że m wymir m n. Symbol ij ozncz element mcierzy (liczbę), który znjduje się w i-tym wierszu i j-tej kolumnie. Często mcierze zpisujemy w postci skróconej A = [ ij ] i m,j n. Gdy m = n, mcierz nzywmy mcierzą kwdrtową stopni n. Definicj 3. Elementy ii mcierzy [ ij ] i,i n tworzą główną przekątną mcierzy zwną też digonlą, sme nzywne są elementmi digonlnymi. Definicj 4. Mcierzą zerową nzywmy mcierz 0 M (m,n), której wszystkie elementy są zermi. Uwg 1. Wymir mcierzy zerowej zwykle wynik z kontekstu Definicj 5. Mcierzą digonlną nzywmy mcierz kwdrtową spełnijącą wrunek: ij = 0, gdyi j. Oznczeni: M (m,n) (R)- zbiór mcierzy rzeczywistych o m wierszch i n kolumnch, M n (R) zbiór mcierzy rzeczywistych stopni n. Definicj 6. Niech A M (m,n). Mcierzą trnsponowną do mcierzy A = [ ij ] i m,j n nzywmy mcierz A T = [ ji ] j n,i n Definicj 7. Mcierzą digonlną nzywmy mcierz kwdrtową spełnijącą wrunek: ij = 0, gdyi j 1

Definicj 8. Mcierzą jednostkową (identycznościową) stopni n nzywmy mcierz digonlną, której wszystkie elementy n przekątnej są równe 1: 1 0 0 0 1 0 1 n = dig(1, 1,..., 1) =...... 0 0 1 Uwg 2. Mcierz jednostkową oznczmy 1 n. Kiedy 1 pojwi się bez indeksu, stopień mcierzy wynik z kontekstu. Często używ się też oznczeń I n orz I. Definicj 9. Mcierzą symetryczną nzywmy mcierz kwdrtową A, któr spełni wrunek A = A T, tzn., gdy ij = ji. i,j 1,...,n Definicj 10. Sumą mcierzy A = [ ij ] i m,j n orz B = [b ij ] i m,j n nzywmy mcierz A + B = [ ij + b i,j ] i m,j n Definicj 11. Iloczynem mcierzy A = [ ij ] i m,j n przez liczbę (rzeczywist lub zespoloną) k nzywmy mcierz k A = [k ij ] i m,j n Definicj 12. Iloczynem A B mcierzy A = [ ij ] i m,j p przez mcierz B = [b ij ] i p,j n nzywmy mcierz C = [c ij ] i m,j n której elementy określone są wzormi: c ij = p ik b kj i = 1,..., m, j = 1,..., n. k=1 Uwg 3. Aby pomnożyć dwie mcierze liczb kolumn pierwszej z nich musi być równ liczbie wierszy drugiej mcierzy! Twierdzenie 1. Dl dowolnych mcierzy rzeczywistych A, B, C orz stłych α, β R, prwdziwe są równości (zkłdmy, że wymiry mcierzy pozwlją n wykonnie wskznych dziłń): 1. A + B = B + A, 2. (A + B) + C = A + (B + C), 3. α (A + B) = α A + α B, 4. (α + β) A = α A + β A, 5. α (β A) = (αβ) A = β (α A), 6. 1 A = A 1 = A, 2

7. α (A B) = (α A) B = A (α B) = (A B) α, 8. (A B) C = A (B C), 9. (A + B) C = A C + B C, 10. C (A + B) = C A + C B, 11. A B B A 12. (A T ) T = A, 13. (A B) T = B T A T, Definicj 13. Niech A = [ ij ] i,j n będzie mcierzą rzeczywistą stopni n. Wyzncznikiem mcierzy A nzywmy liczbę deta określoną nstępująco: 1. deta = 11, gdy n = 1 2. deta = n k=1 ( 1) 1+k 1k A 1k, gdy n > 1, gdzie A 1k jest wyzncznikiem mcierzy stopni (n 1) powstłej z mcierzy A przez usunięcie pierwszego wiersz orz k-tej kolumny. Liczbę A ij = ( 1)i+j A ij nzywmy dopełnieniem lgebricznym elementu ij mcierzy A. Wyzncznik mcierzy stopni n nzywmy wyzncznikiem stopni n. Definicj 14. Mcierzą dopełnień lgebricznych mcierzy A M (n,n) (R) nzywmy mcierz A ij której elementmi są dopełnieni lgebriczne elementów mcierzy A [ ] i,j n Twierdzenie 2. (Lplce) Wrtość wyzncznik mcierzy kwdrtowej jest równ sumie iloczynów kolejnych elementów dowolnego wiersz (lub dowolnej kolumny) przez odpowidjące im dopełnieni lgebriczne. Twierdzenie 3. Jeżeli A i B są mcierzmi kwdrtowymi stopni n, to ( ) 1. det A T = deta, 2. det(a B) = det(b A) = det A det B. Twierdzenie 4. Wrtość wyzncznik jest równ zero, gdy 1. wszystkie elementy dowolnego wiersz (lub dowolnej kolumny) są równe zero lub 2. dw wiersze (lub dwie kolumny) są identyczne lub 3. wszystkie elementy pewnego wiersz (lub pewnej kolumny) są proporcjonlne do odpowiednich elementów innego wiersz (kolumny) lub 4. dowolny wiersz (lub dowoln kolumn) jest kombincją liniową pozostłych wierszy (kolumn). 3

Twierdzenie 5. Wyzncznik mcierzy trójkątnej dolnej (górnej) jest równy iloczynowi elementów digonlnych tej mcierzy (elementów leżących n głównej przekątnej). Twierdzenie 6. Wrtość wyzncznik nie zmieni się, gdy do elementów pewnego wiersz (lub pewnej kolumny) dodmy odpowiednie elementy innego wiersz (kolumny) pomnożone przez tę sm liczbę. Twierdzenie 7. Pomnożenie wyzncznik przez dowolną liczbę jest równowżne pomnożeniu przez tę liczbę dowolnego wiersz (lub dowolnej kolumny) tego wyzncznik. Definicj 15. Niech A, B M n (R). Mcierz B nzywmy mcierzą odwrotną do mcierzy A (odwrotną względem mcierzy A), gdy A B = B A = 1 n Uwg 4. Jeżeli mcierz B istnieje, to jest wyznczon jednozncznie. Definicj 16. Mcierzą nieosobliwą nzywmy mcierz kwdrtową, której wyzncznik jest rożny od zer. Definicj 17. Mcierzą osobliwą nzywmy mcierz kwdrtową, której wyzncznik jest równy zero. Twierdzenie 8. Mcierz kwdrtow A M n (R) posid mcierz odwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliw. Twierdzenie 9. Jeżeli mcierz kwdrtow A M n (R) jest nieosobliw, to mcierz odwrotn A 1 M n (R) jest postci A 1 = 1 deta AD gdzie A D jest mcierzą dołączoną mcierzy A, czyli trnsponowną mcierzą dopełnień elementów mcierzy A. Rozwżmy równni A X = B A X = B A 1 A 1 A X = A 1 B 1 X = A 1 B X = A 1 B X A = B X A = B A 1 X A A 1 = B A 1 X 1 = B A 1 X = B A 1 4

UKŁADY RÓWNAŃ Definicj 18. Ukłdem m równń liniowych o n niewidomych nzywmy ukłd równń postci 11 x 1 + 12 x 2 + + 1n x n = b 1 21 x 1 + 22 x 2 + + 2n x n = b 2 (1)..... m1 x 1 + m2 x 2 + + mn x n = b m Z ukłdem równń (1) związne są cztery wżne mcierze: mcierz współczynników przy niewidomych 11 12 1n 21 22 2n A =...... m1 m2 mn, mcierz niewidomych mcierz wyrzów wolnych orz mcierz uzupełnion U = X = B = x 1 x 2. x n b 1 b 2. b m, 11 12 1n b 1 21 22 2n b 2....... m1 m2 mn b m, któr powstje przez dopisnie do mcierzy współczynników kolumny mcierzy wyrzów wolnych. Uwg 5. Ukłd równń (1) możn równowżnie zpisć w postci równni mcierzowego A X = B. 5

Definicj 19. Ukłd równń (1), w którym mcierz B złożon jest z smych zer nzywmy jednorodnym. Twierdzenie 10. (Crmer) Ukłd n równń liniowych z n niewidomymi 11 x 1 + 12 x 2 + 1n x n = b 1 21 x 1 + 22 x 2 + 2n x n = b 2 (2)..... n1 x 1 + n2 x 2 + nn x n = b n m dokłdnie jedno rozwiąznie wtedy i tylko wtedy, gdy mcierz współczynników przy niewidomych jest nieosobliw. Rozwiąznie to wyrż się wzormi Crmer x i = A i deta i = 1, 2,..., n (3) gdzie A i jest wyzncznikiem mcierzy powstłej z mcierzy A przez zstąpienie i-tej kolumny kolumną wyrzów wolnych (mcierzą kolumnową B). Wniosek 1. Jednorodny ukłd n równń liniowych z n niewidomymi o nieosobliwej mcierzy współczynników przy niewidomych m dokłdnie jedno rozwiąznie. Jest to rozwiąznie zerowe. Definicj 20. Minorem stopni k mcierzy A M m,n (C), k min{m, n} nzywmy wyzncznik dowolnej mcierzy kwdrtowej stopni k powstłej przez usunięcie z mcierzy A (m k) wierszy i (n k) kolumn Definicj 21. Niech A M (m,n) (C). Rzędem mcierzy A nzywmy liczbę r, gdy w mcierzy tej istnieje niezerowy minor stopni r i jednocześnie nie istnieje w tej mcierzy niezerowy minor stopni wyższego niż r. Rząd mcierzy oznczmy r(a). Uwg 6. Wprost z definicji wynik, że jeśli mcierz A M (m,n) (C) (mcierz m m wierszy orz n kolumn), to 0 r(a) min{m, n}. Twierdzenie 11. Jeżeli r(a) = r, to r(a T ) = r. Twierdzenie 12. Rząd mcierzy nie zmieni się jeżeli: 1. usuniemy wiersz lub kolumnę złożoną z smych zer, 2. usuniemy jeden z dwóch identycznych lub proporcjonlnych wierszy, 3. usuniemy jedną z dwóch identycznych lub proporcjonlnych kolumn, 4. dodmy do elementów pewnego wiersz (lub kolumny) odpowiednie elementy innego wiersz (lub kolumny) pomnożone przez tę smą liczbę, 5. pomnożymy (lub podzielimy) elementy dowolnego wiersz (lub kolumny) przez dowolną liczbę różną od zer. 6

Twierdzenie 13. (Kronecker-Cpell) Ukłd równń zwierjący m równń orz n niewidomych m rozwiąznie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd mcierzy współczynników przy niewidomych jest równy rzędowi mcierzy uzupełnionej. Rozwiąznie to jest zleżne od liczby prmetrów równej różnicy pomiędzy liczbą niewidomych wspólnym rzędem mcierzy. W przypdku, gdy wspomnine rzędy są różne ukłd jest sprzeczny. Procedur wyznczni rozwiązni (rozwiązń) w przypdku, gdy istnieje jest nstępując: 1. ustlmy wspólny rząd r mcierzy współczynników A i mcierzy uzupełnionej U, 2. w mcierzy A znjdujemy różny od zer minor stopni r, 3. odrzucmy równni nie objęte tym minorem (jeśli minor obejmuje wszystkie równni, to oczywiście żdnego nie odrzucmy), 4. nieobjęte tym minorem niewidome trktujemy jko prmetry (jeśli minorem objęte są wszystkie prmetry, to ukłd m dokłdnie jedno rozwiąznie), 5. uzyskny w ten sposób ukłd równń rozwiązujemy dowolną metodą (np. stosując wzory Crmer). 7

Ciągi liczbowe Definicj 22. Rzeczywistym nieskończonym ciągiem liczbowym nzywmy funkcję określoną n zbiorze liczb nturlnych o wrtościch w zbiorze liczb rzeczywistych f : N R, n n. Ciąg oznczmy krócej symbolem ( n ) lub 1, 2,... n.... Ciągi, których wyrzy są funkcjmi nzywmy ciągmi funkcyjnymi. Definicj 23. Ciąg liczbowy ( n ) nzywmy: stłym, jeżeli n+1 = n, rosnącym, jeżeli mlejącym, jeżeli n N nierosnącym, jeżeli niemlejcym, jeżeli n N n N n+1 > n, n N n+1 < n, n N n+1 n, n+1 n. Definicj 24. Ciąg liczbowy ( n ) nzywmy: ogrniczonym z dołu, jeżeli n m, m R n N ogrniczonym z góry, jeżeli M R n N n M, ogrniczonym, jeżeli m,m R n N m n M. Definicj 25. Ciąg n m grnicę włściwą g, jeżeli w kżdym otoczeniu (g ɛ, g + ɛ) liczby g, gdzie ɛ > 0, leżą prwie wszystkie wyrzy ciągu, tzn. wszystkie począwszy od pewnego wskźnik N 0. Fkt, że ciąg ( n ) m grnicę g zpisujemy lim n n = g lub n g. lim n n = g ɛ>0 N 0 N n>n 0 n g < ɛ. 8

Ciąg, który m grnicę włściwą nzywmy zbieżnym. Twierdzenie 14. Ciąg m co njwyżej jedn grnicę. Twierdzenie 15. Jeżeli ciąg jest zbieżny, to jest ogrniczony. Uwg 7. Jeżeli ciąg jest ogrniczony, to nie musi być zbieżny! Twierdzenie 16. Jeżeli ciąg jest ogrniczony i monotoniczny, to jest zbieżny. Definicj 26. lim n = + n M R K N n>k n > M lim n = n M R K N Twierdzenie 17. (o trzech ciągch) Jeżeli lim n = lim b n n n orz n c n b n, to istnieje grnic lim n c n orz n N n>k lim c n = lim n = lim b n. n n n n < M Twierdzenie 18. Jeżeli ciągi ( n ) i (b n ) mją grnice włściwe lim n = A, lim b n = B n n orz k R, to 1. lim n ( n + b n ) = A + B, 2. lim n ( n b n ) = A B, 3. lim n (k n) = k A, 4. lim n ( n b n ) = A B, ( n ) 5. lim = A n b n B, gdy b n 0 orz B 0. n N Twierdzenie 19. Jeżeli ciąg ( n ) jest zbieżny do zer i ciąg (b n ) jest ogrniczony, to ciąg i ( n b n ) jest zbieżny do zer. 9

Twierdzenie 20. Prwdziwe są wzory: 1. lim n qn = nie istnieje dl q 1, 0 dl q ( 1, 1) 1 dl q = 1, + dl q > 1., 2. lim n nα = 0 dl α < 0 1 dl α = 0, + dl α > 0., Twierdzenie 21. Prwdziwe są wzory: 1. lim >0 n n = 1, 2. lim n 3. ( n N n n k = 1, k > 0, n 0 lim n > 0 n ) lim n n n = 1. Twierdzenie 22. Jeżeli lim n N n = A orz lim n N b n = ±, to 1. lim n ( n ± b n ) = ±, 2. lim n ( n b n ) = ±, A 0, ( n ) 3. lim = 0, gdy b n 0. n b n n N Twierdzenie 23. Jeżeli lim n = + orz lim b n = +, to n N n N 1. lim n ( n + b n ) = +, 2. lim ( n b n ) = +, n Twierdzenie 24. Jeżeli K N N>K n > 0 orz lim n n = 0, to lim n 1 n = +. 10

Symbole nieoznczone Definicj 27. Pondto 0 0,,, 0, 00, 0, 1 ( lim 1 + 1 n = e. n n) ( lim 1 1 n = n n) 1 e. Twierdzenie 25. Jeżeli lim n n = ±, to orz ( lim 1 + 1 ) n = e n n ( lim 1 1 ) n 1 = n n e. Uwg 8. Logrytm, którego podstwą jest liczb e nzywmy logrytmem nturlnym i oznczmy symbolem ln, np. log e 7 = ln 7. 11

Rchunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Definicj 28. Otoczeniem o promieniu ɛ > 0 punktu x 0 R nzywmy zbiór U(x 0, ɛ) = {x R : x x 0 < ɛ}. Definicj 29. Sąsiedztwem o promieniu ɛ > 0 punktu x 0 promieniu ɛ punktu x 0 pozbwione punktu x 0, czyli zbiór R nzywmy otoczenie o S(x 0, ɛ) = {x R : 0 < x x 0 < ɛ}. Definicj 30. Otoczeniem nieskończoności nzywmy zbiór U( ) = (, ) dl dowolnego R. Definicj 31. Otoczeniem minus nieskończoności nzywmy zbiór U( ) = (, ) dl dowolnego R. Definicj 32. Sąsiedztwem prwostronnym (lewostronnym) o promieniu ɛ punktu x 0 R nzywmy zbiór ( ) S(x + 0, ɛ) = (x 0, x 0 + ɛ) S(x 0, ɛ) = (x 0 ɛ, x 0 ). Definicj 33. (Heine) lim f(x) = g x x 0 Definicj 34. (równowżn, Cuchy) lim x x 0 f(x) = g ɛ>0 δ>0 Definicj 35. (grnicy niewłściwej) lim f(x) = ± x x 0 x (x n) x 0, x n S(x 0 ) lim f(x n) = g n [(0 < x x 0 < δ) f(x) g < ɛ] (x n) x 0, x n S(x 0 ) lim f(x n) = ± n Definicj 36. (grnicy w punkcie niewłściwym) lim f(x) = g x + (x n), x n S( ) Definicj 37. (grnicy w punkcie niewłściwym) lim f(x) = g x (x n), x n S( ) lim f(x n) = g n lim f(x n) = g n 12

Definicj 38. (grnicy lewostronnej) lim f(x) = g x x 0 Definicj 39. (grnicy prwostronnej) lim f(x) = g x x + 0 (x n) x 0, x n S(x 0 ) lim n f(x n) = g. (x n) x 0, x n S(x + 0 ) lim n f(x n) = g. Definicj 40. Niech funkcj f będzie określon w pewnym sąsiedztwie punktu x 0. Prostą x = x 0 nzywmy symptotą lewowostronną funkcji f, jeżeli lim f(x) = ± x x 0 symptotą prwostronną funkcji f, jeżeli lim f(x) = ± x x + 0 Definicj 41. Prostą y = x + b nzywmy symptotą ukośną w minus nieskończoności funkcji f(x), jeżeli lim [f(x) (x + b)] = 0. x Definicj 42. Prostą y = x + b nzywmy symptotą ukośną w plus nieskończoności funkcji f(x), jeżeli lim [f(x) (x + b)] = 0. x + Twierdzenie 26. Definicj 43. Punktem izolownym zbioru D nzywmy kżdy punkt x 0 D, dl którego istnieje sąsiedztwo S(x 0 rozłączne ze zbiorem D. Definicj 44. Funkcję f : X Y określoną w pewnym otoczeniu punktu x 0 nzywmy ciągłą w punkcie x 0, jeżeli m w tym punkcie grnicę równ swojej wrtości w tym punkcie, tzn. jeżeli ( ) lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 lim f(x) = f(x 0 ) = lim f(x) x x 0 x x + 0 lub, gdy punkt x 0 jest punktem izolownym dziedziny funkcji f. Definicj 45. Jeżeli lim f(x) = f(x 0 ), x x 0 to funkcję f nzywmy lewostronnie ciągłą w punkcie x 0, jeżeli lim f(x) = f(x 0 ), x x + 0 to funkcję f nzywmy prwostronnie ciągłą w punkcie x 0. 13

Definicj 46. (nieciągłości I rodzju) Mówimy, że punkt x 0 jest punktem nieciągłości I rodzju funkcji f, jeżeli funkcj nie jest ciągł w tym punkcie orz grnice lewo- i prwostronn tej funkcji w punkcie x 0 są skończone. Definicj 47. (nieciągłości II rodzju) Mówimy, że punkt x 0 jest punktem nieciągłości II rodzju funkcji f, jeżeli funkcj nie jest ciągł w tym punkcie orz jedn z grnic lewo- lub prwostronn tej funkcji w punkcie x 0 jest nieskończon lub nie istnieje. Twierdzenie 27. Jeżeli dwie funkcje f i g są określone n pewnym otoczeniu punktu x 0 i obie są ciągłe w punkcie x 0 orz R, to w tym punkcie są ciągłe tkże funkcje f, f + g, f g, f g, f g przy czym t osttni przy złożeniu, że g(x) 0. Twierdzenie 28. (o ciągłości funkcji złożonej) Jeżeli funkcj f(g) jest złożeniem funkcji g : X Y orz f : Y Z, pondto funkcj g jest ciągł w punkcie x 0, funkcj f jest ciągł w punkcie g(x 0 ), to funkcj f(g(x)) jest ciągł w punkcie x 0. Definicj 48. Funkcję nzywmy ciągłą w zbiorze A X, jeżeli jest ciągł w kżdym punkcie tego zbioru. Definicj 49. Funkcję nzywmy ciągłą w przedzile domkniętym [, b], jeżeli jest ciągł w kżdym punkcie tego zbioru orz jest prwostronnie ciągł w punkcie i lewostronnie ciągł w punkcie b. Definicj 50. Funkcjmi elementrnymi nzywmy funkcję tożsmościową x x, funkcje wykłdnicze, funkcje trygonometryczne orz wszystkie funkcje, które możn z nich otrzymć z pomocą ogrniczni dziedziny (obcinni), dodwni, odejmowni, mnożeni, dzieleni, skłdni i odwrcni funkcji. Twierdzenie 29. Funkcje elementrne są ciągłe. W szczególności ciągłe są wielominy, funkcje wymierne, funkcje wykłdnicze, funkcje logrytmiczne, funkcje trygonometryczne, funkcje hiperboliczne, funkcje cyklometryczne. Twierdzenie 30. Funkcj ciągł w przedzile domkniętym osiąg w tym przedzile swoj wrtość njmniejszą i njwiększą (w szczególności jest ogrniczon). Twierdzenie 31. (o loklnym zchowniu znku) Jeżeli funkcj w pewnym punkcie jest ciągł i dodtni (ujemn), to jest również dodtni (ujemn) w pewnym otoczeniu tego punktu. Twierdzenie 32. (włsność Drboux) Funkcj ciągł w przedzile domkniętym [, b] przyjmuje w tym przedzile kżdą wrtość pośrednią między wrtościmi n końcch przedziłu. Innymi słowy, (f() = A f(b) = B) f(c) = M. M (A,B) c (,b) 14

Twierdzenie 33. Jeżeli funkcj f jest ciągł w przedzile domkniętym [, b] orz jej wrtości n krńcch tego przedziłu f() i f(b) są różnych znków, to istnieje tki punkt c (, b) (co njmniej jeden), że f(c) = 0. 15

Pochodn funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Definicj 51. Niech f będzie funkcją o wrtościch rzeczywistych określoną n przedzile (, b) i niech x 0 orz x będą dwom różnymi punktmi tego przedziłu. Wyrżenie f(x) f(x 0 ) x x 0 nzywmy ilorzem różnicowym odpowidjącym przyrostowi rgumentu x x 0. Definicj 52. Jeżeli istnieje grnic ilorzu różnicowego f(x) f(x 0), gdy x x 0, to x x 0 grnicę tę nzywmy pochodną funkcji f w punkcie x 0 i oznczmy symbolem f (x 0 ), tzn. f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. x x 0 x x 0 Jeśli grnic t nie istnieje mówimy, ze funkcj f nie posid pochodnej w punkcie x 0. Definicj 53. O funkcji posidjącej pochodną w punkcie x mówimy, że jest różniczkowln w tym punkcie. Definicj 54. Jeżeli funkcj f m pochodną w kżdym punkcie zbioru X, to funkcję x f (x) nzywmy funkcją pochodną ( krótko, pochodną) funkcji f w zbiorze X i oznczmy f. Mówimy wówczs, że funkcj f jest różniczkowln w zbiorze X. Twierdzenie 34. Jeśli funkcj f posid pochodną w punkcie x 0, to jest w tym punkcie ciągłą. Uwg 9. Z ciągłości funkcji f w punkcie x 0 nie wynik istnienie jej pochodnej w tym punkcie. Twierdzenie 35. Jeżeli funkcje f i g określone n pewnym przedzile (, b) posidją pochodne w punkcie x orz k R, to funkcje k f, f + g, f g orz f posidją pochodne w punkcie g x orz prwdziwe są wzory: (k f) (x) = k f (x) (f + g) (x) = f (x) + g (x) (f g) (x) = f (x) g(x) + g (x) f(x) ( f g ) (x) = f (x) g(x) g (x) f(x) [g(x)] 2 16

Pochodne funkcji elementrnych () = 0, (x n ) = n x n 1, x R, n Z, (tg x) = 1 cos 2 x, (ctg x) = 1 sin 2 x, (x α ) = α x α 1, x > 0, α R, (x + b) =, ( x) = 1 2 x, (sin x) = cos x, (cos x) = sin x, (ln x) = 1 x, (e x ) = e x, (rcsin x) = (rccos x) = 1 1 x 2, 1 1 x 2, ( rctg x) = 1 1 + x 2, ( rcctg x) = 1 1 + x 2. 17

Twierdzenie 36. (o pochodnej funkcji złożonej) Jeżeli funkcj g jest różniczkowln w punkcie x 0, funkcj f jest różniczkowln w punkcie u 0 = g(x 0 ), to funkcj złożon f g = f(g) jest różniczkowln w punkcie x 0 orz jej pochodn określon jest wzorem: [f(g(x 0 ))] = f (u 0 ) g (x 0 ). Twierdzenie 37. (o pochodnej funkcji odwrotnej) Jeżeli funkcj f jest ciągł i sciśle monotoniczn n przedzile (, b) orz m pochodną różną od zer w punkcie x 0 tego przedziłu, to funkcj odwrotn f 1 jest różniczkowln w punkcie y = f(x 0 ) orz jej pochodn określon jest wzorem: (f 1 ) (x 0 ) = 1 f (x 0 ). Definicj 55. Jeżeli pochodn f funkcji f jest różniczkowln w zbiorze X, to jej pochodną nzywmy pochodną rzędu drugiego funkcji f i oznczmy symbolem f. Uwg 10. Anlogicznie (z pomocą indukcji mtemtycznej) określmy pochodne wyższych rzędów. Definicj 56. Niech funkcj f będzie różniczkowln w pewnym otoczeniu dnego punktu x 0, zś x 0, niech ozncz dowolny przyrost rgumentu x. Różniczką funkcji f w punkcie x 0 nzywmy wyrżenie Uwg 11. Twierdzenie 38. (Rolle ) Jeżeli df(x 0, x) = f (x 0 ) x. f(x 0 ) = f(x 0 + x) f(x 0 ) df(x 0, x) = f (x 0 ) x. 1. funkcj f jest ciągł w przedzile [, b], 2. funkcj f jest różniczkowln w przedzile (, b), 3. f() = f(b), to istnieje (przynjmniej jeden) punkt c (, b) tki, że f (c) = 0. 18

Twierdzenie 39. (Lgrnge ) Jeżeli 1. funkcj f jest ciągł w przedzile [, b], 2. funkcj f jest różniczkowln w przedzile (, b), to istnieje (przynjmniej jeden) punkt c (, b) tki, że f (c) = Twierdzenie 40. (Wnioski z twierdzeni Lgrnge ) f(b) f() b. 1) Jeżeli f (x) = 0 dl kżdego x (, b), to funkcj f jest stł w przedzile (, b), 2) jeżeli funkcje f i g mją równe pochodne w przedzile (, b), to funkcje te różnią się w tym przedzile co njwyżej o stłą, 3) jeżeli f (x) > 0 dl kżdego x (, b), to funkcj f jest rosnąc w tym przedzile, 4) jeżeli f (x) < 0 dl kżdego x (, b), to funkcj f jest mlejąc w tym przedzile, 5) jeżeli f (x) 0 dl kżdego x (, b), to funkcj f jest niemlejąc w tym przedzile, 6) jeżeli f (x) 0 dl kżdego x (, b), to funkcj f jest nierosnąc w tym przedzile. Twierdzenie 41. Jeżeli funkcj f : (, b) R jest różniczkowln w przedzile (, b), to jest on rosnąc w tym przedzile wtedy i tylko wtedy, gdy x (,b) f (x) 0 i zbiór {x : f (x) = 0} nie zwier przedziłu. Twierdzenie 42. Jeżeli funkcj f : (, b) R jest różniczkowln w przedzile (, b), to jest on mlejąc w tym przedzile wtedy i tylko wtedy, gdy x (,b) f (x) 0 i zbiór {x : f (x) = 0} nie zwier przedziłu. Twierdzenie 43. (Wzór Tylor) Jeżeli funkcj f m ciągłą pochodną rzędu n w przedzile [, b] i ciągłą pochodną rzędu (n + 1) w przedzile (, b), to istnieje tki punkt c (, b), że f(b) = f() + f () 1! Osttni skłdnik (b ) + f () 2! nzywmy resztą w postci Lgrnge. (b ) 2 +... + f (n) () (b ) n + f (n+1) (c) n! (n + 1)! (b )n+1. R n = f (n+1) (c) (b )n+1 (n + 1)! 19

Gdy przyjmiemy = 0 orz b = x, to wzór Tylor przyjmuje postć f(x) = f(0) + f (0) 1! i nosi nzwę wzoru Mclurin. x + f (0) 2! x 2 +... + f (n) (0) x n + R n (x). n! e x = 1 + x 1! + x2 2! +... + xn n! + R n(x), x R. sin x = x 1! x3 3! +... + ( 1)k 1 x 2k 1 (2k 1)! + R n(x), x R. cos x = 1 x2 2! + x4 4!... + ( 1)n + R n (x), x R. ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 +... + ( 1)n 1 xn (1 + x) α = ( α1 ) x + ( α2 ) x 2... n + R n(x), dl 1 < x < 1. ( αn ) x n + R n (x), dl 1 < x < 1. 1 1 x = (1 + ( x)) 1 = 1 + x + x 2 +... + x n + R n (x) dl 1 < x < 1. Definicj 57. Złóżmy terz, że funkcj f jest określon w pewnym otoczeniu punktu x 0. Mówimy, że funkcj f osiąg w punkcie x 0 mksimum (minimum) loklne, jeżeli istnieje sąsiedztwo S(x 0 ) punktu x 0 tkie, że x S(x 0 ) f(x 0 ) f(x) x S(x 0 ) f(x 0 ) f(x) Gdy nierówności są ostre, to mówimy o mksimum (minimum) loklnym włściwym. Twierdzenie 44. Fermt (wrunek konieczny istnieni ekstremum) Jeżeli funkcj f jest różniczkowln w punkcie x 0 i osiąg w tym punkcie ekstremum, to f (x 0 ) = 0. Uwg 12. Wrunek konieczny nie jest jednk wrunkiem wystrczjącym, gdyż np. funkcj f(x) = x 3 w punkcie x 0 = 0 m pochodną równą zero, nie m ekstremum. Twierdzenie 45. (I wrunek wystrczjący istnieni ekstremum) Jeżeli funkcj f jest ciągł w punkcie x 0 i różniczkowln w sąsiedztwie S(x 0, ɛ) punktu x 0 orz f (x) < 0 dl x (x 0 ɛ, x 0 ) i f (x) > 0 dl x (x 0, x 0 + ɛ), to funkcj f osiąg w punkcie x 0 minimum loklne włściwe. Jeżeli funkcj f jest ciągł w punkcie x 0 i różniczkowln w sąsiedztwie S(x 0, ɛ) punktu x 0 orz f (x) > 0 dl x (x 0 ɛ, x 0 ) i f (x) < 0 dl x (x 0, x 0 + ɛ), to funkcj f osiąg w punkcie x 0 mksimum loklne włściwe. 20

Twierdzenie 46. (II wrunek wystrczjący istnieni ekstremum) Jeżeli funkcj f jest dwukrotnie różniczkowln w pewnym otoczeniu punktu x 0 orz 1. f (x 0 ) = 0, 2. f (x 0 ) 0, 3. pochodn drugiego rzędu x 0 jest ciągł w punkcie x 0, to funkcj f m w punkcie x 0 ekstremum loklne. Jest to mksimum, gdy f (x 0 ) < 0, minimum, gdy f (x 0 ) > 0. Twierdzenie 47. (II wrunek wystrczjący istnieni ekstremum - uogólnienie) Jeżeli funkcj f jest n-krotnie różniczkowln w pewnym otoczeniu punktu x 0 orz 1. f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0, 2. f (n) (x 0 ) 0, 3. pochodn rzędu n jest ciągł w punkcie x 0, to funkcj f m w punkcie x 0 ekstremum loklne, gdy n jest liczbą przystą. Jest to mksimum, gdy f (n) (x 0 ) < 0, minimum, gdy f (n) (x 0 ) > 0. Gdy n jest liczbą nieprzystą, funkcj f nie osiąg ekstremum loklnego w tym punkcie. Definicj 58. Niech zbiór A będzie podzbiorem dziedziny funkcji rzeczywistej f. Powiemy, że funkcj f osiąg mksimum (minimum) bsolutne w punkcie x 0 A, jeżeli x A f(x 0 ) f(x) ( x A f(x 0 ) f(x) Definicj 59. Mówimy, że krzyw y = f(x) jest wypukł w punkcie x 0, jeżeli istnieje tkie sąsiedztwo S(x 0 ), że dl kżdego x S(x 0 ) punkty tej krzywej leżą powyżej stycznej poprowdzonej w punkcie x 0. Definicj 60. Mówimy, że krzyw y = f(x) jest wklęsł w punkcie x 0, jeżeli istnieje tkie sąsiedztwo S(x 0 ), że dl kżdego x S(x 0 ) punkty tej krzywej leżą poniżej stycznej poprowdzonej w punkcie x 0. Twierdzenie 48. (wrunek wystrczjący) Jeżeli pochodn drugiego rzędu funkcji f jest dodtni (ujemn) w przedzile (, b), to krzyw y = f(x) jest wypukł (wklęsł) w tym przedzile. Definicj 61. Punkt x 0 nzywmy punktem przegięci krzywej f, jeśli istnieje tkie sąsiedztwo S(x 0, ɛ) punktu x 0, że krzyw jest wypukł (wklęsł) dl x (x 0 ɛ, x 0 ) orz wklęsł (wypukł) dl x (x 0, x 0 + ɛ). Inczej punkt, w którym styczn przechodzi z nd krzywej pod nią, lub odwrotnie. Twierdzenie 49. (wrunek konieczny istnieni punktu przegięci) Jeżeli krzyw f m w punkcie x 0 punkt przegięci i istnieje ciągł pochodn drugiego rzędu funkcji f w pewnym otoczeniu punktu x 0, to f (x 0 ) = 0. ). 21

Uwg 13. Wrunek konieczny nie jest wrunkiem wystrczjącym. Twierdzenie 50. (I wrunek wystrczjący) Jeżeli funkcj f jest różniczkowln w otoczeniu U(x 0, ɛ) i dwukrotnie różniczkowln w sąsiedztwie S(x 0, ɛ) orz f (x 0 ) > 0 (f (x 0 ) < 0) dl x (x 0 ɛ, x 0 ) orz f (x 0 ) < 0 (f (x 0 ) > 0) dl x (x 0, x 0 + ɛ), to punkt P 0 = (x 0, f(x 0 )) jest punktem przegięci krzywej y = f(x). Twierdzenie 51. (REGUŁA DE L HOSPITALA) Jeżeli funkcje f i g są różniczkowlne w pewnym sąsiedztwie S(x 0 ) punktu x 0, g(x) 0 dl S(x 0 ) orz lim f(x) = lim g(x) = 0 x x 0 x x 0 f (x) i istnieje grnic lim x x 0 g (włściw lub nie), (x) f(x) to istnieje również grnic lim przy czym x x 0 g(x) f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). Uwg 14. Twierdzenie odwrotne nie zchodzi. Uwg 15. Modyfikując odpowiednio złożeni twierdzenie pozostje prwdziwe dl symbolu orz w przypdku grnic jednostronnych przy x i x. Aby zstosowć regułę de l Hospitl do wyrżeń nieoznczonych typu, 0 stosujemy odpowiednio tożsmości: f(x) g(x) = f(x) 1 1 g(x) lub f(x) g(x) = 1 1 f(x) g(x). f(x) g(x) = 1 1 f(x) 1 1 g(x) = 1 g(x) 1 f(x) g(x) 1 f(x). 1 f(x) g(x) 22

Rchunek cłkowy funkcji jednej zmiennej Definicj 62. Złóżmy, że funkcj f jest określon n pewnym przedzile I. Funkcją pierwotną funkcji f nzywmy kżdą funkcję F, któr jest różniczkowln w przedzile I orz spełni wrunek F (x) = f(x). x I Twierdzenie 52. Jeżeli funkcj F (x) jest w pewnym przedzile funkcją pierwotną funkcji f(x), to kżd funkcj postci F (x)+c, gdzie C jest dowolną stłą rzeczywistą, jest również funkcją pierwotną funkcji f(x). Co więcej, wszystkie funkcje pierwotne funkcji f(x) mją tę postć, to znczy różnią się co njwyżej o stłą. Definicj 63. Wyrżenie F (x)+c, gdzie C jest dowolną stłą rzeczywistą nzywmy cłką nieoznczoną funkcji f(x) i oznczmy symbolem f(x)dx. Funkcję f(x) nzywmy funkcją podcłkową, iloczyn f(x)dx wyrżeniem podcłkowym. Twierdzenie 53. 1. Jeżeli funkcj f(x) posid funkcję pierwotną n przedzile I, to ( f(x)dx) = f(x) dl x I. 2. Jeżeli funkcj f(x) posid ciągłą pochodną n przedzile I, to f (x)dx = f(x) + C dl x I. Twierdzenie 54. Kżd funkcj ciągł n przedzile I, posid funkcję pierwotną n tym przedzile. Twierdzenie 55. (o liniowości cłki nieoznczonej Jeżeli funkcje f orz g posidją funkcje pierwotne n pewnym przedzile I orz k jest dowolną liczbą rzeczywistą, to [f(x) + g(x)]dx = f(x)dx + g(x)dx, k f(x)dx = k f(x)dx. (Sformułownie równowżne) Jeżeli funkcje f orz g posidją funkcje pierwotne n pewnym przedzile I orz, b są dowolnymi liczbmi rzeczywistymi, to [ f(x) + b g(x)]dx = f(x)dx + b g(x)dx. 23

Wzory podstwowe x α dx = sin xdx = cos x + C cos xdx = sin x + C e x dx = e x + C 1 1 + α x1+α + C, gdy α 1 ln x + C, gdy α = 1 x dx = x + C, > 0, 1 ln dx cos 2 = tg x + C, cos x 0 x dx sin 2 = ctg x + C, sin x 0 x dx k x 2 = rcsin ( xk ) + C, k > 0 dx x x 2 + k = ln + x 2 + k + C dx k + x 2 = 1 k rctg x k + C, k > 0 Dw brdzo użyteczne wzory f (x)dx f(x) = ln f(x) + C f (x)dx = 2 f(x) + C. f(x) 24

Twierdzenie 56. (o cłkowniu przez części) Jeżeli funkcje f i g posidją ciągłe pochodne w pewnym przedzile I, to f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx. Twierdzenie 57. (o cłkowniu przez podstwienie) Niech f(x) będzie funkcją ciągłą w przedzile [, b]. Jeśli funkcj x = ϕ(t) m ciągłą pochodną w przedzile [α, β] i zbiór jej wrtości zwrty jest w przedzile [, b], to zchodzi wzór f(x)dx = f[ϕ(t)]ϕ (t)dt. Twierdzenie 58. Kżdą funkcję wymierną niewłściwą P (x) możn przedstwić w postci Q(x) sumy wielominu i funkcji wymiernej włściwej P (x) R(x) = W (x) + Q(x) Q(x). Wielomin R(x) jest resztą z dzieleni wielominu P (x) przez wielomin Q(x). Definicj 64. Ułmki proste, to funkcje wymierne postci A (x ) k orz Bx + C (x 2 + bx + c) m, gdzie A, B, C,, b, c R, k, m N, przy tym wyróżnik = b 2 4c trójminu kwdrtowego x 2 +bx+c jest ujemny (mówiąc prościej, trójmin ten nie m pierwistków rzeczywistych). Twierdzenie 59. Kżdą funkcję wymierną włściwą możn przedstwić w postci skończonej sumy ułmków prostych. Uwg 16. Liczb i postć ułmków prostych w rozkłdzie dnej funkcji wymiernej zleżą od wielominu występującego w minowniku. Aby rozłożyć funkcję wymierną n ułmki proste njpierw rozkłdmy minownik n czynniki postci (x ) k orz (x 2 + bx + c) m k, m N (w tym drugim przypdku musi zchodzić b 2 4c < 0). Nstępnie tworzymy sumę ułmków prostych wg schemtu 1. kżdemu czynnikowi (x ) k odpowid k ułmków prostych postci A 1 (x ), A 2 (x ) 2,, A k (x ) k, 2. kżdemu czynnikowi (x 2 +bx+c) m odpowid m ułmków prostych postci 25 B 1 x + C 1 x 2 + bx + c, B 2 x + C 2 (x 2 + bx + c) 2,

Cłkownie ułmków prostych I rodzju Ułmki proste pierwszego rodzju, czyli funkcje postci A cłkujemy przez podst- (x ) k wienie x = t, wówczs dx = dt. A Oblicznie cłek typu x 2 dx, c > 0 + c Stosujemy wzór Oblicznie cłek typu W tym przypdku nleży 1 x 2 + k dx = 1 rctg x + C, k > 0, k k A x 2 + bx + c dx, b2 4c < 0 1. zpisć minownik w postci knonicznej (x p) 2 + q, 2. wyłączyć stłą 1 przed cłkę (gdy = 1 pomijmy ten punkt), 3. podstwić x p = t. Cłkownie funkcji typu Funkcję typu Ax + B x 2 + bx + c Ax + B x 2 + bx + c, b2 4c < 0. (b 2 4c < 0) zpisujemy w postci Wówczs α(2x + b) + β x 2 + bx + c = α α(2x + b) + β x 2 + bx + c dx = α 2x + b x 2 + bx + c + β 1 x 2 + bx + c 2x + b x 2 + bx + c dx }{{} I 1 +β dx x 2 + bx + c } {{ } I 2 Cłkę I 1 obliczmy korzystjąc ze wzoru A x 2 + bx + c dx. Cłkownie funkcji typu Funkcje typu 1 x 2 + bx + c 1 x 2 + bx + c f (x) f(x) = ln f(x) + C, cłkę I 2 jk cłkę typu cłkujemy korzystjąc ze wzorów dx x 2 + k = ln x + x 2 + k + C (4) 26

lub dx k x 2 = rcsin x k + C, k > 0. (5) Postępujemy według nstępującego schemtu: 1. zpisujemy funkcję x 2 + bx + c w postci knonicznej (x p) 2 + q, 2. podstwimy x p = t, 3. otrzymną funkcję cłkujemy stosując wzór (4), gdy > 0 lub wzór (5), gdy < 0. Cłkownie funkcji typu Funkcję typu Ax + B x 2 + bx + c Ax + B x 2 + bx + c zpisujemy w postci α(2x + b) + β x 2 + bx + c = α 2x + b x 2 + bx + c + β 1 x 2 + bx + c Wówczs α(2x + b) + β x 2 + bx + c dx = α 2x + b x 2 + bx + c dx }{{} I 1 +β dx x 2 + bx + c }{{} I 2 Cłkę I 1 obliczmy korzystjąc ze wzoru f (x)dx f(x) = 2 f(x) + C, cłkę I 2 ze wzoru (4) lub (5). 27

CAŁKA OZNACZONA Definicj 65. Rozwżmy funkcję f(x) określoną i ogrniczoną n przedzile [, b]. Podzielmy przedził [, b] n n podprzedziłów punktmi x 0, x 1,..., x n tkimi, że = x 0 < x 1 <... < x n = b. Oznczmy długość kżdego z podprzedziłów [x i 1, x i ] przez x i x i = x i x i 1, i = 1,..., n. Njwiększą długość x i przedziłu będziemy oznczć przez λ i nzywć średnicą podziłu odcink [, b]. W kżdym z podprzedziłów [x i 1, x i ] wybiermy dowolny punkt x i zwny punktem pośrednim. Nstępnie obliczmy wrtość f(x i ) funkcji f(x) w kżdym z punktów x i orz tworzymy sumę n S n = f(x 1 ) x 1 + f(x 2 ) x 2 +... f(x n ) x n = f(x i ) x i. i=1 zwną n-tą sumą częściową. Jeżeli istnieje skończon grnic ciągu (S n ), gdy ilość podprzedziłów n dąży do nieskończoności i λ 0, przy tym grnic t nie zleży od sposobu podziłu odcink [, b] punktmi x 0, x 1,..., x n i wyboru punktów pośrednich x i, to grnicę tę nzywmy cłką oznczoną Riemnn (mtemtyk niemiecki, (1826-1866)) funkcji f(x) w przedzile [, b] i oznczmy symbolem b f(x)dx. Liczby i b nzywmy, odpowiednio, dolną i górną grnicą cłkowni. Funkcję f(x) nzywmy funkcją podcłkową, przedził [, b] przedziłem cłkowni. Definicj 66. Funkcję f(x) nzywmy cłkowlną w sensie Riemnn w przedzile [, b], gdy istnieje jej cłk oznczon w przedzile [, b]. Uwg 17. Dodtkowo, jeżeli b <, to przyjmujemy orz b b f(x)dx = f(x)dx = 0. f(x)dx Twierdzenie 60. Kżd funkcj ciągł w przedzile [, b] jest w tym przedzile cłkowln. 28

Twierdzenie 61. Kżd funkcj ogrniczon w przedzile [, b] i mjąc w nim tylko skończoną liczbę punktów nieciągłości jest w tym przedzile cłkowln. Twierdzenie 62. Kżd funkcj monotoniczn i ogrniczon w przedzile [, b] jest w tym przedzile cłkowln. Twierdzenie 63. (o liniowości cłki oznczonej) Jeżeli funkcje f(x) orz g(x) są cłkowlne w przedzile [, b], ( < b) orz k R, to prwdziwe są równości b [f(x) ± g(x)] dx = b b f(x)dx ± g(x)dx, b b [k f(x)]dx = k f(x)dx. Twierdzenie 64. (o ddytywności cłki względem przedziłu cłkowni) Jeżeli funkcj f(x) jest cłkowln w przedzile [, b] orz w przedziłch [, c] i [c, b] dl dowolnego c (, b), to b f(x)dx = c b f(x)dx + c f(x)dx. Twierdzenie 65. Jeżeli funkcj f(x) jest cłkowln w przedzile [, b], ( < b) i nieujemn w tym przedzile, to b f(x)dx 0. Twierdzenie 66. Jeżeli funkcj f(x) jest cłkowln w przedzile [, b], ( < b) i dodtni w tym przedzile, to b f(x)dx > 0. Cłk oznczon włsności Twierdzenie Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są cłkowlne w przedzile [, b], ( < b) i w kżdym punkcie tego przedziłu zchodzi nierówność f(x) g(x), to b b f(x) g(x). 29

Twierdzenie 67. (o wrtości średniej dl cłki oznczonej) Jeżeli funkcj f(x) jest cłkowln w przedzile [, b], ( < b) i w cłym przedzile zchodzi równość m f(x) M, to istnieje liczb m < m 0 < M tk, że b f(x) = m 0 (b ). Wniosek 2. Jeżeli funkcj f(x) jest ciągł w przedzile [, b], < b i w cłym przedzile zchodzi równość m f(x) M, to m(b ) b f(x)dx M(b ). Co więcej, istnieje punkt c (, b) tki, że b f(x)dx = f(c)(b ). Twierdzenie 68. ( Newton-Leibniz) Jeżeli funkcj F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f ciągłej n przedzile [, b], to b f(x)dx = F (b) F (). Uwg 18. Liczbę F (b) F () zpisujemy krócej F (x) b. Przy obliczniu cłek oznczonych stosujemy więc zpis b f(x)dx = F (x) b = F (b) F (). Twierdzenie 69. ( o cłkowniu przez części dl cłki oznczonej) Jeżeli funkcje f(x) i g(x) posidją ciągłe pochodne f (x) i g (x) w przedzile [, b], to b f(x)g (x)dx = f(x)g(x) b b f (x)g(x)dx. Twierdzenie 70. ( o cłkowniu przez podstwienie dl cłki oznczonej) Niech f(x) będzie funkcją ciągłą w przedzile [, b]. Jeśli funkcj x = ϕ(t) m ciągłą pochodną w przedzile [α, β] przy czym ϕ(α) =, ϕ(β) = b i zbiór jej wrtości zwrty jest w przedzile [, b], to zchodzi wzór b f(x)dx = β α f[ϕ(t)]ϕ (t)dt. 30

Twierdzenie 71. Jeżeli funkcj f(x) jest nieprzyst i cłkowln n przedzile [, ], to f(x)dx = 0. Twierdzenie 72. Jeżeli funkcj f(x) jest przyst i cłkowln n przedzile [, ], to f(x)dx = 2 0 f(x)dx. Rozwżmy funkcję f(x) ciągłą n przedzile domkniętym [, b] i przyjmującą wrtości nieujemne n tym przedzile. Pole obszru D (zwnego trpezem krzywoliniowym) ogrniczonego prostymi x =, x = b, y = 0 (osią Ox) i krzywą y = f(x) jest liczbowo równe cłce oznczonej D = b f(x)dx. Jeżeli funkcj f(x) ciągł n przedzile domkniętym [, b] przyjmuje w tym przedzile wrtości niedodtnie, to pole obszru D ogrniczonego prostymi x =, x = b, y = 0 (osią Ox) i krzywą y = f(x) jest równe b D = f(x)dx. 31

CAŁKA NIEWŁAŚCIWA Definicj 67. Rozwżmy funkcję f(x) określoną n przedzile [, ) i cłkowlną w sensie Riemnn w kżdym przedzile domkniętym [, b] [, ),(b > ). Jeśli istnieje grnic lim b b f(x)dx, to grnicę tę nzywmy cłką niewłściwą Riemn I rodzju funkcji f n przedzile [, ) i oznczmy symbolem Ztem W przypdku, gdy grnic lim f(x)dx. b b f(x)dx = lim b b f(x)dx. f(x)dx istnieje mówmy, że cłk jest zbieżn, funkcję f(x) nzywmy cłkowlną w przedzile nieskończonym [, ). Gdy grnic nie istnieje lub jest niewłściw, mówimy, że cłk jest rozbieżn. Definicj 68. Rozwżmy funkcję f(x) określoną n przedzile (, b] i cłkowlną w sensie Riemnn w kżdym przedzile domkniętym [, b] (, b], (b > ). Jeśli istnieje grnic lim b f(x)dx, to grnicę tę nzywmy cłką niewłściwą Riemn I rodzju funkcji f n przedzile (, b] i oznczmy symbolem Ztem b b f(x)dx. f(x)dx = lim b f(x)dx. Definicj 69. Rozwżmy funkcję f(x) określoną n przedzile (, ) i cłkowlną w sensie Riemnn w kżdym przedzile domkniętym [, b], (b > ). Cłkę niewłściwą funkcji f(x) n przedzile (, ) definiujemy z pomocą równości f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. dl dowolnego R, zkłdjąc, że obie cłki po prwej stronie równości istnieją. Uwg 19. Powyższ definicj nie zleży od wyboru R. 32

ZASTOSOWANIA GEOMETRYCZNE CAŁEK Twierdzenie 73. Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są ciągłe w przedzile [, b], to pole obszru D ogrniczonego linimi y = f(x), y = g(x), x = orz x = b określone jest wzorem D = b g(x) f(x) dx. W szczególności, gdy f(x) g(x) dl x [, b], to pole obszru D jest równe D = b [g(x) f(x)]dx. Twierdzenie 74. Jeżeli funkcj f(x) m ciągłą pochodną w przedzile [, b], to długość łuku krzywej y = f(x) dl x [, b] określon jest wzorem L = b 1 + [f (x)] 2 dx. 33

Twierdzenie 75. Objętość bryły powstłej w wyniku obrotu wokół osi Ox krzywej y = f(x) w przedzile [, b] jest równ b V = π [f(x)] 2 dx. Twierdzenie 76. Pole S powierzchni obrotowej powstłej w wyniku obrotu wokół osi Ox krzywej y = f(x) w przedzile [, b] jest równe b S = 2π f(x) 1 + [f (x)] 2 dx. 34