Wład 4 Zasada achowania enegii Sił achowawce i nieachowawce Wsstie istniejące sił możem podielić na sił achowawce i sił nie achowawce. Siła jest achowawca jeżeli paca tóą wonuję ta siła nad puntem mateialnm pousającm się po amniętemu tou ówna się eu. Udowodnim że siła gawitacjna jest siłą achowawcą. Oblicm najpiew pacę sił gawitacjnej po pemiesceniu puntu mateialnego o masie m wsoości h do wsoości h wdłuż postej s. IV.. Podielm odcine postej na n małch odcinów. W ażdm puncie postej na punt mateialn diała stała sieowana w dół siła atem paca tóą wonuje siła gawitacjna na i mg. IV. tm odcinu postej wnosi ds mg ds cosα IV. i i i gdie α jest atem międ siła i wetoem ds i / n. Całowita paca sił gawitacjnej będie ówna sumie pac IV. cli Rs.IV.. Oblicanie pac sił gawitacjnej Ponieważ n i mg cosα. IV. i cosα h h IV.4 e wou IV. otmujem mg h h. IV.5 4
Ze wou IV.4 wnia że paca sił gawitacjnej ależ tlo od óżnic wsoości a atem paca sił gawitacjnej wdłuż postej C s.iv. będie taą samą ja paca wdłuż postej. Gd oważam odwotn uch puntu mateialnego wsoości h do wsoości h wdłuż postej paca sił gawitacjnej wnosi: mg cos8 α mg cosα. IV.6 Tu sostaliśm e wou cos8 α cos8 cosα sin8 sin α cosα. Uwględniając wó IV.4 otmujem mg h h. IV.7 atem ja widać e wou IV.7 paca wonana pe siłę gawitacjną nad ciałem pousającm się od puntu najdującm się na wsoości h do puntu najdującm się na wsoości h nie ależ w ogóle od dogi łącącej te punt i jest ówna pace wonanej p pejściu od do lec e naiem minus. Jeżeli oważm tea amniętą wą o dowolnm stałcie awieającm punt i to godnie IV.7 paca tóą wonuję siła gawitacjna nad puntem mateialnm pousającm się po amniętemu tou ówna się eu. IV.8 atem udowodniliśm że siła gawitacjna jest siłą achowawcą. Powtóm że dla sił achowawcej paca tóą wonuje ta siła nad ciałem pousającm się pomięd dwoma puntami ależ tlo od położenia tch puntów i nie ależ od stałtu dogi łącącej te punt. Pładem sił achowawcej jest ównież siła Coulomba oeślająca oddiałwanie dwóch ładunów eletcnch. Dla sił nieachowawcch paca nad puntem mateialnm pousającm się wdłuż amniętego tou nie jest ówna eu. Pładem sił nie achowawcej jest siła tacia. W 5
ppadu sił nieachowawcej paca tóą wonuje ta siła nad ciałem pousającm się pomięd dwoma puntami ależ od stałtu dogi łącącej te punt. Sił potencjalne. Enegia potencjalna. Pawo achowania enegii. Ze wou IV.7 wnia że dla tego żeb oblicć pacę tóą wonuje siła gawitacjna wstac wiedieć salaną funcję U h mgh. IV.9 Wted paca sił gawitacjnej nad puntem mateialnm pousającm się od puntu do puntu wnosi U h U. IV. h Sił dla tóch możem wpowadić salaną funcję U nawam siłami potencjalnmi. Salana funcja U nosi nawę enegii potencjalnej. Wbieając atejańsi uład współędnch ta ab ieune osi O bł peciwn do ieunu wetoa pspiesenia g g e i amieniając w IV.9 h pe łatwo widieć że du e d d mg e mg ez. IV. d W ogólnm ppadu enegia potencjalna jest wiąana siłą potencjalną woem U U U [ e e e ] IV. We woe IV. wielości U / U / U / nosą nawę cąstowch pochodnch funcji enegii potencjalnej U wględem odpowiednio. Cąstową pochodną funcji U wględem na pład miennej oeśla wó U U lim U. IV. Zadanie. Na ciało pousające się wdłuż osi O diała siła jego uch. Znajdiem funcję enegii potencjalnej U dla tego uchu. Rowiąanie. Zgodnie IV. du. d powodując 6
Sąd otmujem du d. Kostając e wou d d / najdujem du d. atem U. Dla sił potencjalnch pat wó IV. paca tóą wonuje siła potencjalna nad ciałem pousającm się pomięd dwoma puntami i nie ależ od stałtu dogi łącącej te punt a ależ jednie od watości enegii potencjalnej w tch puntach U U IV.4 Zgodnie tm woem paca tóą wonuje siła potencjalna nad puntem mateialnm pousającm się od puntu do puntu wnosi U U IV.5 atem siła potencjalna awse jest siłą achowawcą ponieważ paca tej sił nad puntem mateialnm pousającm się po amniętemu tou ówna się eu U U U U. IV.6 Należ wócić uwagę że p oeślaniu enegii potencjalnej istnieje pewna dowolność wiąana tm że sens ficn ma tlo óżnica enegii potencjalnej. Istotnie amiast enegii potencjalnej IV.9 możem oważać potencjalną enegię U h mgh C IV.7 gdie C jest dowolna stała. Wbó enegii potencjalnej sił gawitacjnej w postaci IV.7 nie mienia ani pac IV. ani sił IV.. atem watość bewględna enegii potencjalnej jest awse oeślona doładnością do dowolnej stałej. Tą niepewność w enegii potencjalnej możem weliminować jeżeli wbieem jaiś punt odniesienia. W ppadu enegii potencjalnej IV.7 dogodniej jest wbać jao punt odniesienia potencjalną enegię na powiechni Ziemi i ałożć że U h C. 7
Na władie otmaliśm że paca dowolnej sił potencjalnej albo niepotencjalnej nad puntem mateialnm pousającm się pomięd dwoma puntami i oeśla wó T T. IV.8 Tu T mυ / i T mυ / są odpowiednio enegie inetcne ciała w puncie i puncie. Z poównania IV.4 i IV.8 otmujem T T U U. IV.9 Sąd mam E T U T U const. IV. Wó IV. waża jedno podstawowch paw w fice - pawo achowania całowitej enegii puntu mateialnego. Wżej omówiliśm pewną dowolność w wboe puntu odniesienia enegii potencjalnej. Watość enegii inetcnej oeśla pędość ciała tóa w óżnch uładach odniesienia będie miała óżną watość. atem wato pamiętać że awse istnieje pewna niejednonacność p oeślaniu watości bewględnej enegii mechanicnej E tóa jest sumą enegii inetcnej i potencjalnej. le wato też pamiętać że nie jest ecą ważna watość bewględna enegii E. Recą ważną jest fat że jeżeli sił są siłami achowawcmi to watość bewględna enegii E nie mienia się podcas uchu dla żadnego obsewatoa. Pawo achowania enegii umożliwia w nietóch ppadach sił potencjalnch nie owiąując ównań uchu naleźć odpowiedi na nietóe agadnienia wiąane uchem puntu mateialnego. Roważm pład taiego agadnienia. Zadanie. Wahadło utwoone leiego stwnego pęta o długości l i ciała o masie m pmocowanego do ońca tego pęta ustawiono ta ab pęt twoł ąt θ pionem po cm je puscono. Oblicm pędość ciała w chwili gd najduje się ono w najniżsm położeniu. Rowiąanie. W chwili t ied pęt twoł ąt θ pionem pędość ciała bła ówna eo a atem całowita enegia sładała się tlo enegii potencjalnej ciała 8
E θ θ U θ mg l l cos. θ Tu U θ - enegia potencjalna ciała w chwili gd najduje się ono w najniżsm położeniu. W chwili gd ciało najduje się w najniżsm położeniu całowita enegia ciała wnosi mυ E θ U θ. Z asad achowania enegii wnia że enegia E θ θ musi bć ówna enegii E θ a więc U Ze tego wou najdujem θ mg l l cosθ mυ U θ. mg l l cosθ m υ. IV. Z lewej ston ównania IV. mam enegię mechanicną wahadła w chwili t tóa słada się tlo enegii potencjalnej. Natomiast pawej ston mam tlo enegię inetcną wahadła w chwili ied wahadło ajmowało pionowe położenie. atem asad achowania enegii wnia że enegia może bć pestałcona jednej fom w inna enegia potencjalna w enegię inetcną i na odwót ale nie może bć wtwaana ani niscona. Ze wou IV. najdujem ostatecn wni υ gl cosθ. Sąd otmujem że pędość ciała będie miała masmalną możliwą watość υ gl gd θ 8. Wżej mówiliśm że nie wsstie sił są siłami potencjalnmi a atem nie dla wsstich sił możem wpowadić pojęcie enegii potencjalnej. Pładem sił niepotencjalnej jest siła tacia. W ppadu istnienia sił niepotencjalnch pawo achowania enegii mechanicnej ciała nie jest słusne i wiąane jest to tm że sił niepotencjalne wonując pacę nad ciałem mniejsają całowitą enegię mechanicną ciała. Może powstać ptanie: co się stało tą staconą enegią mechanicną? Odpowiedź na to ptanie łatwo naleźć oważając na pład nagle hamując samochód. W tm ppadu siła tacia 9
wonuje pacę hamuje samochód wsute cego samochód całowicie taci swoją enegię inetcną. Ta stacona enegia inetcna samochodu objawia się we woście tempeatu i w cęściowm nisceniu opon samochodu oa pocia dogi. atem stacona enegia ostaje pestałcona na inne fom enegii enegię wewnętną albo cieplną opon i dogi a cęść enegii ostaje użta na cęściowe niscenie opon samochodu oa pocia dogi. Sił centalne Potencjalne a więc achowawce są ta wane sił centalne. Siła centalna jest to siła diałająca wdłuż postej łącącej punt mateialn i pewien nieuchom punt wan centum sił: f IV. gdie f jest salaną funcją współędnch puntu. Z siłą postaci IV. cęsto spotam się w fice. Pładami taiej sił są siła gawitacji oa siła Coulomba tóe możem apisać w postaci: IV. Dla sił gawitacjnej: Gm m. IV.4 Dla sił Coulomba: qq. IV.5 4π ε Można udowodnić że siła centalna jest siłą potencjalną i enegia potencjalna tej sił oeśla wó U. IV.6 Istotnie ostając e wou [ u ] n / n u n u / najdujem że [ ] / / 4
[ ] / / [ ] / / a atem godnie IV. i IV.6 U IV.7a U IV.7b U. IV.7c ioąc pod uwagę wo IV.7 siłę możem apisać w wetoowej postaci e e e e e e IV.8 ponieważ e e e. atem udowodniliśm że funcji potencjalnej IV.6 odpowiada siła centalna postaci IV.. Ważną cechą sił centalnch jest to że uch ciał w polu sił centalnch jest awse uchem płasim tj. tajetoia ciała leż awse w płascźnie. Z tego właśnie powodu Ziemia pousa się woół Słońca w jednonacnie oientowanej w pesteni płascźnie i nigd nie wchodi a ganic tej płascn. Udowodnienie tej ważnej cech sił centalnej wonujem na Władie 7. Pole gawitacjne Ze wou na siłę gawitacjną M m G IV.9 wnia że siła pciągania tóa diała e ston mas M na ciało o masie m jest wpost popocjonalna do tej mas: E m IV. 4
Tu: M E G IV. Weto E oeśla siłę pciągania tóa diała e ston mas M na ciało o dowolnej masie. Długość tego wetoa ależ tlo od mas M źódła sił gawitacjnej oa od położenia puntu w pesteni. Więc jeżeli mam źódło sił gawitacjnej o masie M możem dla ażdego puntu o wetoe wodącm oblicć godnie e woem IV. weto E. Oeślon w tai sposób bió wetoów E w ażdm puncie pesteni nawam polem gawitacjnm. Mówim że ciało o masie M jest źódłem wetoowego pola gawitacjnego. Weto E nosi nawę natężenia pola gawitacjnego. Zgodnie e woem IV. dla tego żeb spawdić c istnieje w pesteni pole gawitacjne musim wiąć póbne ciało o masie m i obacć co się dieje się s tm póbnm ciałem. Siła gawitacjna ja wiem jest siłą potencjalną. Dla sił potencjalnej możem wpowadić enegię potencjalną. W podobn sposób dla pola wetoowego sił gawitacjnej możem dla ażdego puntu pesteni amiast wetoa natężenia pola E wpowadić salaną funcję waną potencjałem pola gawitacjnego ϕ. Ze woów IV.6 i IV.4 łatwo widieć że U G M ϕ m. IV. Zadanie. Siła pciągania pe Ziemie ciała o masie m dana jest woem Z dugiej ston tę samą siłę oeśla wó mg. IV. m M G IV.4 R Z Z gdie R Z 67 m jest pomieniem Ziemi a Z M jest masą Ziemi. We woe IV.4 G 667 Nm /g jest stałą powsechnego ciążenia. Kostając tch woów najdiem ile wnosi masa Ziemi. Rowiąanie. Łącąc wo IV. i IV.4 otmujem 4
6 grz 98 67 4 M Z 597 g. IV.5 G 667 Liteatua do Władu 4.. Robet Resni David Hallida: ia Wdawnictwo PWN Wasawa 994 st. 6-9; st.85-44.. S. Sceniowsi ia doświadcalna t. PWN Wasawa 98 st. 6-4 st.59-7. Zadania do Władu 4. Na ciało pousające się wdłuż osi O diała siła powodując jego uch. Udowodnić że ta siła jest siłą achowawcą.. Międ dwoma puntami mateialnmi o masach m i m najdującm na osi O mm diała siła gawitacjnego pciągania G międ puntami. Znaleźć funcję potencjalną U oddiałwaniu. gdie - odległość odpowiadającą gawitacjnemu. Rowiąując na tm Władie adanie sostaliśm pawa achowania enegii U ma T ma gdie U ma i T ma są odpowiednio masmalne watości enegii potencjalnej i enegii inetcnej. Znaleźć ąt θ p tóm U θ T θ U ma / Tma /. Odpowiedź: cosθ cosθ /. 4. Udowodnić że 4 4 4 4 4 4. 5. Jaa siła odpowiada enegii potencjalnej U a b? 6. Udowodnić że jeżeli na ciało diała siła tacia to całowita enegia mechanicna nie jest stała a mniejsa się o wielość pac wonanej pe tę siłę tacia. 7. Spężna w aabinie spężnowm ma współcnni spężstości 9 N/m. Po ściśnięciu długość spężn mniejsła się o cm. W lufie najduje się pocis o masie g. Załadając ba tacia i poiome ustawienie luf oblicć pędość pocisu w chwili opuscania luf. Odpowiedź: υ 6 m/s. 4
8. Kula o masie g eową pocątową pędością spada wsoości m i agłębia się w piase na głęboość m. Znaleźć śednią siłę tacia jaą piase diała na ulę. Odpowiedź: 9 8 N. 9. Osacować watość sił gawitacjnej diałającej międ dwoma osobami o ównch masach m m 5 g. Odległość międ osobami wnosi cm. Odpowiedź: 7 N.. Gęstość wod wnosi g/cm. Udowodnić że śednia gęstość Ziemi ooło 55 a więsa niż gęstość wod. Wsaówa: Sostać e wou IV.5. 44