ANALIZA MATEMATYCZNA 1

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

Maria Gewert Zbigiew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Defiicje, twierdzeia, wzory Wydaie dwudzieste czwarte zmieioe Oficya Wydawicza GiS Wrocław 2015

Maria Gewert Wydział Matematyki Politechika Wrocławska maria.gewert@ pwr.edu.pl Zbigiew Skoczylas Wydział Matematyki Politechika Wrocławska zbigiew.skoczylas@ pwr.edu.pl Projekt okładki IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c 1991 2013, 2015 by Oficya Wydawicza GiS Utwór w całości ai we fragmetach ie może być powielay ai rozpowszechiay za pomocą urządzeń elektroiczych, mechaiczych, kopiujących, agrywających i iych. Poadto utwór ie może być umieszczay ai rozpowszechiay w postaci cyfrowej zarówo w Iterecie, jak i w sieciach lokalych, bez pisemej zgody posiadacza praw autorskich. Składwykoaowsystemie L A TEX. ISBN 978 83 62780 30 3 Wydaie XXIV zmieioe, Wrocław 2015 Oficya Wydawicza GiS, s.c., www.gis.wroc.pl Druk i oprawa: Oficya Wydawicza ATUT 4

Spis treści Wstęp 7 0 Zbiory i fukcje liczbowe 9 0.1 Liczbyrzeczywiste... 9 0.2 Fukcje podstawoweokreśleia... 11 0.3 Złożeiafukcjiifukcjeodwrote... 16 0.4 Fukcjeelemetareiiektóreieelemetare... 22 1 Ciągi liczbowe 29 1.1 Podstawoweokreśleia... 29 1.2 Graiceciągów... 32 1.3 Twierdzeiaograicachciągów... 34 2 Graice i ciągłość fukcji 40 2.1 Defiicjegraicfukcji... 40 2.2 Twierdzeiaograicachfukcji... 44 2.3 Asymptotyfukcji... 50 2.4 Ciągłośćfukcji... 52 2.5 Działaiaafukcjachciągłych... 56 2.6 Twierdzeiaofukcjachciągłych... 57 3 Pochode fukcji 60 3.1 Podstawowepojęcia... 60 3.2 Pochodejedostroeipochodeiewłaściwe... 64 3.3 Twierdzeiaopochodejfukcji... 66 3.4 Różiczkafukcji... 69 3.5 Pochodewyższychrzędów... 71 3.6 Pochodefukcjiwektorowych... 72 4 Zastosowaia pochodych 74 4.1 Twierdzeiaowartościśrediej... 74 4.2 Twierdzeiaograicachieozaczoych... 77 4.3 RozwiięcieTaylorafukcji... 79 4.4 Ekstremafukcji... 81 5

4.5 Fukcjewypukłeipuktyprzegięcia... 86 4.6 Przybliżoerozwiązywaierówań... 88 4.7 Badaiefukcji... 90 5 Całki ieozaczoe 92 5.1 Fukcjepierwoteicałkiiezaczoe... 92 5.2 Twierdzeiaocałkachieozaczoych... 95 5.3 Całkowaiefukcjiwymierych... 97 5.4 Całkowaiefukcjitrygoometryczych... 101 5.5 Całkowaiefukcjiziewymierościami... 103 6 Całki ozaczoe 104 6.1 Podstawowepojęcia... 104 6.2 Metodyobliczaiacałekozaczoych... 109 6.3 Własościcałekozaczoych... 111 6.4 Fukcjagórejgraicycałkowaia*... 115 6.5 Przybliżoemetodyobliczaiacałek*... 117 7 Zastosowaie całek ozaczoych 121 7.1 Zastosowaiawgeometrii... 121 7.2 Zastosowaiawfizyce... 125 Dowody wybraych twierdzeń i faktów 128 Odpowiedzi i wskazówki 147 Literatura 168 6

1 Wstęp Niiejsza książka jest pierwszą częścią zestawu podręczików do Aalizy matematyczej 1. Pozostałymi częściami są zbiór pt. Aaliza matematycza 1. Przykłady i zadaia oraz opracowaie Aaliza matematycza 1. Kolokwia i egzamiy. Podręcziki te są przezaczoe główie dla studetów politechik. Mogą z ich korzystać także studeci wydziałów auk ścisłych i przyrodiczych uiwersytetów oraz uczeli ekoomiczych, pedagogiczych i roliczych. Opracowaie zawiera defiicje, twierdzeia i wzory z rachuku różiczkowego oraz całkowego fukcji jedej zmieej wraz z zastosowaiami. Wszystkie zagadieia teoretycze zakończoo ćwiczeiami, przy czym początkowe z ich są z reguły ajprostsze. Podręczik jest bogato ilustrowayzawiera poad 300 rysuków), ułatwia to przyswajaie wiedzy. Na końcu książki umieszczoo dowody większości twierdzeńw tekście twierdzeia te ozaczoe są symbolem ). Fragmety materiału ozaczoe gwiazdką iezaczie wykraczają poza aktualy program przedmiotu. Tak samo ozaczoo trudiejsze ćwiczeia. Dodatkowy materiał, trudiejsze ćwiczeia oraz dowody twierdzeń dołączoo z myślą o studetach, którzy chcą rozszerzyć swoją wiedzę z aalizy matematyczej. Rówolegle do materiału omawiaego a wykładzie studeci powii przerabiać samodzielie i a ćwiczeiach odpowiedio dobrae zadaia. Przykładową listę zadań wraz z metodami ich rozwiązywaia moża zaleźć w drugiej części podręczika. Ćwiczeia z tego podręczika oraz zadaia z listy zadań są podobych typów i mają te sam stopień trudości jak zadaia, które zwykle pojawiają a kolokwiach i egzamiach. Zestawy zadań, które w poprzedich latach studeci Politechiki Wrocławskiej rozwiązywali a sprawdziaach, są umieszczoe w trzeciej części podręczika. W obecym wydaiu podręczika zmieioo układ materiału oraz dodao owy paragraf Przybliżoerozwiązywaierówań.Jedocześieprzeredagowaosformułowaia wszystkich defiicji i twierdzeń. Poadto zwiększoo liczbę łatwych ćwiczeń, dołączoo owe rysuki oraz dowody kolejych twierdzeń. Poprawioo także błędy i usterki zgłoszoe przez studetów i wykładowców. Dzięki temu książka stała się bardziej przyjazda dla czytelika. 7

8 Wstęp Serdeczie dziękujemy Pai dr Teresie Jurlewicz za przygotowaie odpowiedzi do ćwiczeń z wcześiejszych wydań. Szczególe podziekowaia składamy Paom dr. Maciejowi Bureckiemu, prof. dr. hab. Jauszowi Mierczyńskiemu oraz prof. dr. hab. Krzysztofowi Stempakowi za licze spostrzeżeia, które pozwalały ulepszać koleje wydaia. Dziękujemy także Koleżakom i Kolegom z Wydziału Matematyki Politechiki Wrocławskiej oraz aszym Studetom za uwagi o poprzedich wydaiach. Dziękujemy rówież Koleżakom i Kolegom z iych uczeli za kometarze dotyczące zakresu i sposobu ujęcia materiału. Uprzejmie prosimy wykładowców i studetów o przesyłaie uwag o podręcziku oraz iformacji o dostrzeżoych błędach i usterkach. Maria Gewert Zbigiew Skoczylas

1 Ciągiliczbowe 1 1.1 Podstawoweokreśleia Defiicja 1.1.1. ciąg liczbowy) Ciągiem liczbowym azywamy fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych i przyjmującą wartości ze zbioru liczb rzeczywistych. Wartość tej fukcji dla liczby aturalej azywamy-tymwyrazemciąguiozaczamyp.przeza.ciągotakichwyrazachozaczamyprzeza ).Zbiórwyrazówciągua ),tj.{a : N},ozaczamy krótkoprzez{a }.Ciągibędziemyprzedstawialiapłaszczyźie,jakozbiorypuktówowspółrzędych,a ),gdzie N,albojakoideksowaepuktyaosiliczb rzeczywistych. a) a b) 1,a 1 ) 2,a 2 ) 3,a 3 ) 4,a 4 ) 5,a 5 ) a 1 a 2 a 3... a 1 2 3 4 5 Rys. 1.1.1. Ilustracja ciągua) a płaszczyźie,b) a prostej Obrazowo: ciąg moża traktować jako zbiór poumerowaych liczb rzeczywistych, które są ustawioe według rosących umerów a 1,a 2,a 3,...,a,... Przykład 1.1.2. Ciągi możemy określać: wzorem: a)a =2, b)b = 1 si, c)c = +1, d)d =1+2 2 +3 3 +...+, e)e = 1 + 1 +1 + 1 +2 +...+ 1 2, f)f = { 3 dlaieparzystych, 3 dlaparzystych; 27

28 Ciągi liczbowe rekurecyjietz. kolejy wyraz ciągu wyraża się przez iektóre poprzedie): a)a 1 =7,a +1 =a +3 ciągarytmetyczy, b)b 1 =1,b +1 =2b ciąggeometryczy, c)c 1 =1,c 2 =1,c +2 =c +c +1 ciągfiboacciego, d)d 1 =2,d +1 =2 d1 ; opisowo: a)a -tacyfrapoprzecikuwrozwiięciudziesiętymliczbyπ, b)p -taliczbapierwsza, c)c przedostatiacyfrarozwiięciadziesiętegoliczby+3) 2. Defiicja 1.1.3.ciągi ograiczoe) Mówimy,żeciąga )jestograiczoyzdołu,jeżeliistiejeliczbarzeczywistam taka,iżierówośćm a jestprawdziwadlakażdego N.Obrazowo:ciągjest ograiczoy z dołu, gdy wszystkie jego wyrazy leżą ad pewą prostą poziomą. a) a b) a m M 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Rys. 1.1.2. Wykres ciągu ograiczoegoa) z dołu,b) z góry Podobiemówimy,żeciąga )jestograiczoyzgóry,jeżeliistiejeliczbarzeczywistamtaka,iżierówośća Mjestprawdziwadlakażdego N.Obrazowo: ciąg jest ograiczoy z góry, gdy wszystkie jego wyrazy leżą pod pewą prostą poziomą. Zkoleimówimy,żeciąga )jestograiczoy,jeżelijestograiczoyzdołuiz góry. Obrazowo: ciąg jest ograiczoy, gdy wszystkie jego wyrazy leżą między dwiema prostymi poziomymi. Ciąg, który ie jest ograiczoy, azywamy ieograiczoym. a) M m a b) a 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Rys. 1.1.3. Wykres ciągua) ograiczoego,b) ieograiczoego LeoardoPisaoFiboacci1170-1250),matematykwłoski.

Podstawowe określeia 29 Ćwiczeie 1.1.4. Zbadać, czy podae ciągi są ograiczoe z dołu, z góry, ograiczoe: a)a = 2; b)a = +1 ; c)a = 2 +3 ; d)a =5si!+1); e)a =3 ; f)a = 1 +1 + 1 +2 +...+ 1 + ; g*)a = 1+ 1 ) ; h)a =10 2 ; i*)a =1+ 1 2 +1 3 +...+1. Defiicja 1.1.5.ciągi mootoicze) Mówimy,żeciąga )jestrosący,jeżeliierówośća <a +1 jestprawdziwa dlakażdego N.Obrazowo:ciągjestrosący,gdyjegowyrazypowiększająsięze wzrostemideksu,tz. a 1 <a 2 <a 3 <... a) a 1 2 3 4 5 b) a 1 2 3 4 5 Rys. 1.1.4. Wykres ciągua) rosącego,b) malejącego Podobiemówimy,żeciąga )jestmalejący,jeżeliierówośća >a +1 jestprawdziwa dla każdego N. Obrazowo: ciąg jest malejący, gdy jego wyrazy zmiejszają sięzewzrostemideksusię,tz.a 1 >a 2 >a 3 >... Uwaga. Jeżeli w powyższych defiicjach ostre ierówości zastąpimy słabymi, to mówimy,żeciąga )jestodpowiedioiemalejącyiierosący.ciągirosące,malejące, ierosące i iemalejące azywamy mootoiczymi. Wprowadza się także pojęcie ciągówmootoiczychodumeru 0. Ćwiczeie 1.1.6. Zbadać mootoiczość ciągów: a)a = 1 ; b)a = 2 ; c)a = 1 3... 2 1) ;! d)a = 3)!!) 3; e*)a = 100 50 +1; f*)a =5 3 2 ; 1 +10 g)a = ; h)a =+10+ 10 ; i)a = +1 2 +2 ; j)a = 100 ; k)a =! 1+ 1 ) ; l)a 1 = 2,a +1 = 2+a ; m)a = 2 +1; *)a = 1 +1 + 1 +2 +...+ 1 +. Ćwiczeie1.1.7.a)Dla 4iechp ozaczadługośćajwiększejprzekątejkątaforemegowpisaegowokrągopromieiu1.czyciągp )jestrosący?

30 Ciągi liczbowe b)dla 3iechS ozaczapole-kątaforemegoopisaegoakoleopromieiu1. CzyciągS )jestmalejący? 1.2 Graiceciągów Defiicja 1.2.1. graica właściwa ciągu, ciąg zbieży) Mówimy,żeciąga )magraicęwłaściwąa R,cozapisujemy lim a =a,gdy dlakażdejliczbydodatiejεmożadobraćtakąliczbęaturalą 0,iżierówość a a <εjestprawdziwadlawszystkich> 0.Ciąg,którymagraicęwłaściwą, azywamy zbieżym. W przypadku przeciwym ciąg azywamy rozbieżym. Obrazowo: ciąg ma graicę a, gdy jego dostateczie dalekie wyrazy leżą dowolie blisko puktu a. a a+ε a a ε 1 2 3 4 5 0 Rys. 1.2.1. Ilustracja graicy właściwej ciągu Ćwiczeie 1.2.2. Korzystając z defiicji uzasadić rówości: 1 3 1 a) lim = 3; b) lim 1+ 2 =0; c) lim a=1,gdziea>0. +1 Ćwiczeie* 1.2.3. Udowodić, że ciąg zbieży: a) ma dokładie jedą graicę;b) jest ograiczoy. Defiicja 1.2.4.graice iewłaściwe ciągu) Mówimy,żeciąga )jestrozbieżydo,cozapisujemy lim a =,gdydla każdejliczbydodatiejemożadobraćtakąliczbęaturalą 0,iżierówośća >E jestprawdziwadlakażdego> 0.Obrazowo:ciągmagraicęiewłaściwą,gdy dostateczie dalekie wyrazy tego ciągu są większe od dowolej liczby dodatiej. a E 1 2 3 4 5 0 Rys. 1.2.2. Ilustracja graicy iewłaściwej

Graice ciągów 31 Podobie,mówimy,żeciąga )jestrozbieżydo,cozapisujemy lim a =,gdydlakażdejliczbyujemeje możadobraćtakąliczbęaturala 0,że ierówośća <Ejestprawdziwadlakażdego> 0.Obrazowo:ciągmagraicę iewłaściwą, gdy jego dostateczie dalekie wyrazy są miejsze od dowolej liczby ujemej. a 1 2 3 4 5 0 E Rys. 1.2.3. Ilustracja graicy iewłaściwej Uwaga. O ciągach rozbieżych do i mówimy także, że mają graice iewłaściwe odpowiedio lub. Ciągami rozbieżymi, które ie mają graic iewłaściwych, sąp.:a = 2),b =cosπ.graicawłaściwaaiiewłaściwaciąguiezależyod wartości skończeie wielu jego wyrazów. Iaczej mówiąc, zmiaa wartości skończoej liczby wyrazów ciągu ie zmieia jego graicy. Ćwiczeie 1.2.5. Korzystając z defiicji uzasadić rówości: a) lim = ; b) lim Ćwiczeie 1.2.6. Pokazać,żeciąggeometryczyq )jest: 1 2 ) = ; c) lim 2 5)=. 1)zbieżydo0,gdy q <1; 2)zbieżydo1,gdyq=1; 3)rozbieżydo,gdyq>1; 4)rozbieży,gdyq 1. Korzystając z tego faktu wyzaczyć graice ciągów: a)a = 1 2) ; b)a = 10 3 ; c)a = 4) 5 ; d)a =3 π) ; e)a =si 17; f)a =tg π π 4 Defiicja 1.2.7.podciąg) Niecha )będziedowolymciągiemoraziechk )będzierosącymciągiemliczb aturalych.podciągiemciągua )azywamyciągb )określoywzorem b =a k,gdzie N. Obrazowo: podciągiem azywamy ciąg pozostały po skreśleiu pewej liczbybyć może ieskończoej) wyrazów ciągu wyjściowegozobacz ilustracja iżej). a\ 1 a 2 a\ 3 a\ 4 a 5 a\ 6 a 7 a 8 a 9 a\ 10... b 1 b 2 b 3 b 4 b 5... ).

32 Ciągi liczbowe Przykład 1.2.8. a)ciągliczbparzystychb =2jestpodciągiemciąguliczbaturalycha =. b)ciągb = 1+ 1 ) 2 +1 2 jestpodciągiemciągua = 1+ 1. +1 ) c)ciągb )=1,1,2,2,3,3,...)iejestpodciągiemciągua )=1,2,3,...). Twierdzeie 1.2.9.o graicy podciągu) 1) Każdy podciąg ciągu z graicą właściwą ma tę samą graicę. 2) Każdy podciąg ciągu rozbieżego do ± jest rozbieży do ±. Uwaga. Ciąg, z którego moża wybrać dwa podciągi z różymi graicami ie ma graicy. Ćwiczeie 1.2.10. Korzystając z twierdzeia o graicy podciągu uzasadić rówości: 1 1 a) lim 1+2=0; b) lim 3 +2 =0; ) c) lim 2 4 3 + 3=1; d) lim =. 3 Ćwiczeie 1.2.11. Wybierając odpowiedie podciągi uzasadić, że ie istieją graice: a) lim +2 [ ; b) lim + 1) 2] ; c) lim siπ 1)2 3. Twierdzeie1.2.12.Bolzao Weierstrassa,ociągachograiczoych) Jeżeli ciąg jest ograiczoy, to ma podciąg zbieży. Uwaga.Jeżeliciągiejestograiczoy,tomapodciągrozbieżydo lub. 1.3 Twierdzeia o graicach ciągów Twierdzeie 1.3.1. o arytmetyce graic ciągów, dowód str. 123) Jeżeliciągia )ib )majągraicewłaściwe,to 1) lim a +b )= lim a + lim b, 2)lim a b )= lim a lim b, ) ) 3) lim a b )= lim a lim b, 4)lim c a )=c lim a c R), lim a 5) lim = b a lim b, 6)lim k a = k lim a k N). BerhardBolzao1781 1848),matematykifilozofczeski. KarlTheodorWilhelmWeierstrass1815 1897),matematykiemiecki.

Twierdzeia o graicach ciągów 33 Uwaga. Wzory1) i3) są prawdziwe dla dowolej liczby odpowiedio składików i czyików. Z kolei we wzorach5) i6) zakładamy, że wyrażeia po obu stroach zaku rówości mają ses. Ćwiczeie 1.3.2. Obliczyć graice: 2 3 3 a) lim 3 ; b) lim +1 d) lim g) lim 2 1 3 +2 2 +1 ) 499 ) 5 ; e) lim 3 333; h) lim +1) 2 + ) ; c) lim +1) 3 8 3 +1 2 +1 3 +8 +4) 2 3 1+2+...+ ; 94 +1 +1)!! ; f) lim +1)!+! ; ; i) lim 4 +1 3 8 +1. Ćwiczeie1.3.3.a)Dla 3iechα ozaczamiarękątawewętrzego kąta foremego. Obliczyć lim α. b)dla 6iechp ozaczadługośćajkrótszej,aq ajdłuższejprzekątej kąta foremego, którego bok ma długość 1. Obliczyć: lim p, lim q. c)dla 3iechS ozaczapole kątaforemegoopisaegoakoleopromieiu 1. Obliczyć lim S. Podać iterpretacje geometrycze otrzymaych wyików. Ćwiczeie 1.3.4. Pokazać rówoważość lim a =0 lim a =0.Następie uzasadić rówości: a) lim 1) 2 +1 =0; 1) b) lim =0. +1 Twierdzeie 1.3.5. o trzech ciągach, dowód str. 123) Jeżeliciągia ),b ),c )spełiająierówościa b c dlakażdego 0 oraz lim a = lim c =b,to lim b =b. b a,b,c c b a 1 2 3 4 5 Rys. 1.3.1. Ilustracja twierdzeia o trzech ciągach

34 Ciągi liczbowe Ćwiczeie 1.3.6. Korzystając z twierdzeia o trzech ciągach uzasadić rówości: a) lim 2 +3 +5 2+si =5; b) lim 2 =0; +1 c) lim 2 3 2 =3; d) lim = 2; e) lim =1; g) lim f) lim log +1 1 2+1 3+2=1; h) lim 2 +1 ) =2; + 2 2+ 3 3=1; i) lim +1 ) 3 + 2 +1=1; j) lim si +1 si =0; ) 1 k) lim 2 +1 + 1 2 +2 +...+ 1 =1; 2 + 2 l*) lim 4 +2 + 2 2 2 3 2 4 +2 2+ 4 +2 3+...+ )=2. 4 +2 Twierdzeie 1.3.7. o ciągu mootoiczym i ograiczoym, dowód str. 124) Jeżeliciąga )jestiemalejącyorazograiczoyzgóry,tojestzbieży. a a a a 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 Rys. 1.3.2. Ilustracja twierdzeia o ciągu a) iemalejącym i ograiczoym z góry,b) ierosącym i ograiczoym z dołu Uwaga. Prawdziwe jest aalogicze twierdzeie dla ciągu ierosącego i ograiczoego zdołu. Ćwiczeie 1.3.8. Korzystając z twierdzeia o ciągu mootoiczym i ograiczoym uzasadić zbieżość ciągów: a)a = 1 +1 + 1 +2 +...+ 1 + ; b)a =! ; c)a 1 =0,c +1 =arctg1+c ); d*)a = 1+ ) 1 +1 ; e*)a = 1 1! +1 2! +...+1! + 2 +1)! ; f*)a =. W przykładachb) if*) ułożyć rówaia z graicami i astępie je wyzaczyć.

Twierdzeia o graicach ciągów 35 Ćwiczeie 1.3.9. Korzystając z twierdzeia o ciągu mootoiczym i ograiczoym uzasadić rówości: 100 [3)!] 2 a) lim =0; b) lim! 2)!4)! =0; c*) lim b =2,gdzieb 1 = 2,b +1 = 2+b dla N; d*) lim c = 1 2 5 1 ),gdziec 1 =1orazc +1 = 1 1+c dla N. Ćwiczeie 1.3.10. Koleje wyrazy ciągu tworzymy dopisując po przeciku dowolą cyfręp.x 1 =0.3,x 2 =0.37,x 3 =0.370,x 4 =0.3705,...Pokazać,żeciągx )jest zbieży. Fakt 1.3.11.określeie liczby e, dowód str. 124) Ciąge = 1+ ) 1 jestzbieży. e e 2 3 1 1 2 3 4 5 6 Rys.1.3.3.Wykresciągue ) Uwaga.Graicęciągue )ozaczamyprzeze: e= lim 1+ 1. ) Liczbaepodaazdokładościądo2cyfrpoprzecikujestrówa2.72. Logarytmprzypodstawieeazywamyaturalymiozaczamyprzezl;lx=log e x. Fukcję wykładiczą przy podstawie e azywamy ekspoes i ozaczamy przez exp; expx=e x. Ćwiczeie 1.3.12. 1+ 1 ) x =e.korzysta- x Pokazać,żejeżeliciągx )jest,rozbieżydo±,to lim jąc z tego obliczyć graice: a) lim 1+ 1 +2 d) lim 1+ 1 2 ) 3 ; b) lim ) 2 +1 ; e) lim 1 ) 1 ; c) lim 1 1 ) 2+1 2 ; ) 3+1 ; f) lim 3+4 ) 2+1 1. +3

36 Ciągi liczbowe Fakt 1.3.13.o graicach iewłaściwych ciągów, dowód str. 125) 1) Jeżeli lim a 1 =0ia >0 N),to lim =. a 2) Jeżeli lim a b = orazciągb )jestograiczoy,to lim =0. a 3) Jeżeli lim a = orazciągb )jestograiczoyzdołu,to lim a +b )=. 4) Jeżeli lim a = orazb m>0 N),to lim a b )=. Uwaga.Aalogiczetwierdzeiamożasformułowaćdla działań zsymbolem. Ćwiczeie 1.3.14. Obliczyć graice ciągów: a) lim 2 +1)! ; b) lim +1 5 4 3 2 ); ) 2+ 2 5 c) lim +3 ; d) lim 1+ 3. Pokażemy iżej, że graica ilorazu ciągów rozbieżych do ieskończoości może przyjmować dowole wartości albo awet ie istieć. Przykład 1.3.15. Dla ciągów: a)a = 2,b =mamy lim a /b = lim = ; b)a =c,gdziec>0,b =mamy lim a /b = lim c=c; c)a =,b = 2 mamy lim a /b = lim 1/=0; d)a =2+ 1) ),b =mamy lim a /b = lim 2+ 1) ) ieistieje. Ztegowzględuciąga /b )dla lim a =, lim b = azywamywyrażeiem ieozaczoym postaci /. Poadto, mamy sześć iych typów wyrażeń ieozaczych. Są to kolejo: a b )dla lim a =, lim b = wyrażeiepostaci ; a b )dla lim a =0, lim b =, wyrażeiepostaci0 ; a /b )dla lim a =0, lim b =0, wyrażeiepostaci0/0; ) a b dla lim a =1, lim b =, wyrażeiepostaci1 ; ) a b dla lim a =, lim b =0, wyrażeiepostaci 0 ; ) a b dla lim a =0, lim b =0 wyrażeie0 0. Ćwiczeie1.3.16.Podaćprzykładyciągówa ),b )świadczące,żewyrażeiapostaci,1,0 0 sąieozaczoe.rozważyćwszystkiewartości,jakiemogą przyjąć te wyrażeia.

Twierdzeia o graicach ciągów 37 Twierdzeie 1.3.17. o dwóch ciągach, dowód str. 125) Jeżeliciągia )ib )spełiająierówośća b dla 0,aciąga )jest rozbieżydo,torówieżciągb )jestrozbieżydo. a,b 1 2 3 4 5 6 b a Rys. 1.3.4. Ilustracja twierdzeia o dwóch ciągach Uwaga. Prawdziwe jest aalogicze twierdzeie dla ciągów rozbieżych do. Ćwiczeie 1.3.18. Korzystając z twierdzeia o dwóch ciągach uzasadić rówości: a) lim [4 + 1) ]= ; b) lim 2 +3)= ; [ c) lim 2cos 5) 2 ] 1 = ; d) lim 1 + 1 +...+ 1 )=. 2