Spis treści. 1 Wprowadzenie 2

Spis treści 1 Wprowdzenie 2 2 Podstwowe przestrzenie funkcyjne 14 2.1 Przestrzenie L p (, b) i L (, b)......................... 14 2.2 Przestrzenie L p (, b) L p (, b) i L (, b) L (, b)............. 27 2.3 Funkcje bsolutnie ciągłe............................ 31 3 Przestrzenie Sobolev 34 3.1 Przestrzenie W 1,p [, b] i W 1, [, b]...................... 34 3.2 Słb zbieżność w przestrzenich W 1,p [, b].................. 40 3.3 ( )-słb zbieżność w przestrzeni W 1, [, b]................. 43 3.4 Lemty o znurzniu.............................. 45 4 Minimlizcj funkcjonłów cłkowych w przestrzenich Sobolev 49 4.1 Podstwowe twierdzeni o minimlizcji funkcjonłów cłkowych...... 50 4.2 Dowody twierdzeń 4.1 i 4.2........................... 52 4.3 Dowód twierdzeni 4.3............................. 53 4.4 Dowód twierdzeni 4.4............................. 54 4.5 Dowód twierdzeni 4.5............................. 63 4.6 Dowód twierdzeni 4.6............................. 63 4.7 Dowód twierdzeni 4.7............................. 64 4.8 Dowód twierdzeni 4.8............................. 65 4.9 Dowód twierdzeni 4.9............................. 66 4.10 Dowód twierdzeni 4.10............................ 74

Rozdził 1 Wprowdzenie Funkcje f: X R z przestrzeni rzeczywistej Bnch (X, ) do prostej rzeczywistej R nzywć będziemy funkcjonłmi. Będziemy mówili, że funkcjonł f: X R m minimum (osiąg minimum), jeśli istnieje tki punkt u X, że f(u) = inf {f(v) : v X} (1.1) Liczbę f(u) = inf {f(v) : v X} nzywć będziemy minimum funkcjonłu f ( ), punkt u X spełnijący wrunek (1.1) nzywć będziemy punktem minimum funkcjonłu f ( ). W prcy tej będziemy przyjmowć, że (X, ) jest pewną przestrzenią funkcyjną. Problem minimlizcji dowolnego funkcjonłu f : X R sprowdz się do trzech zsdniczych pytń: (M) 1. Czy istnieje minimum funkcjonłu f ( )? 2. Jkie są włsności funkcji u X spełnijącej wrunek (1.1)? 3. Czy funkcj u X spełnijąc wrunek (1.1) jest wyznczon jednozncznie? Odnotujmy, że zstosowniom problemu minimlizcji do równń różniczkowych poświęconych jest wiele pozycji 1. Dl zilustrowni pewnych zstosowń problemu minimlizcji funkcjonłów przytoczymy poniżej dw przykłdy. Jedną z włsności spektrlnych opertor Lplce w odpowiednim obszrze Ω R k możn sformułowć nstępująco 2. Njmniejszą dodtnią wrtością włsną zgdnieni Dirichlet dl opertor Lplce u (x) + λu (x) = 0, x Ω (D) u (x) = 0, x Ω u C 2 (Ω) 1 Porównj książki: J. Mwhin, Metody wricyjne dl nieliniowych problemów Dirichlet orz J. Mwhin, M. Willem, Criticl Point Theory nd Hmiltonin Systems. 2 D. Gilbrg, N. Trudinger, Ellipticeskie differencilnye urvnenij s cstnymi proizvodnymi vtorogo poridk.

Rozdził 1. Wprowdzenie 3 jest liczb rzeczywist µ 0 > 0, przestrzeń włsn odpowidjąc wrtości włsnej µ 0 jest przestrzenią jednowymirową, generowną przez funkcję u 0 C 2 (Ω) tką, że u 0 (x) > 0 dl x Ω. Metod dowodu powyższej włsności poleg n stowrzyszeniu z zgdnieniem (D) tkiego funkcjonłu f : X R (w odpowiedniej przestrzeni funkcyjnej X), że liczb µ 0 = inf {f(v) : v X} jest njmniejszą wrtością włsną zgdnieni (D) orz istnieje funkcj u 0 X tk, że f(u 0 ) = µ 0 i u 0 (x) > 0 dl x Ω (porównj pytni 1 i 2 zgdnieni minimlizcji). Korzystjąc z odpowiedniego twierdzeni o regulrności rozwiązń zgdnieni Dirichlet zuwż się, że u 0 C 2 (Ω). Podmy przykłd tkiego funkcjonłu w przypdku jednowymirowego opertor Lplce. Stwierdzenie A. Niech f: C0 2 ([, b]) \ {0} R będzie funkcjonłem dnym wzorem I(u) = u (x) dx u (x) dx gdzie C0 2 ([, b]) = {v: [, b] R : v jest funkcją klsy C 2 orz v() = v(b) = 0}. Wówczs zgdnienie Dirichlet u (x) + λu (x) = 0, x (, b) (D 1 ) u () = u (b) = 0 u C 2 ([, b]) posid minimlną dodtnią wrtość włsną µ 0 = π2, któr jest minimum funkcjonłu (b ) 2 I orz istnieje rozwiąznie u 0 zgdnieni (D 1 ) tkie, że I(u 0 ) = µ 0 orz u 0 (x) > 0 dl x (, b). Dowód. Niech λ > 0. Liczb λ jest wrtością włsną rozwżnego zgdnieni tylko wtedy, gdy posid ono niezerowe rozwiąznie. Funkcje postci ( C 1 cos x ) ( λ + C 2 sin x ) λ (1.2) gdzie stłe C 1, C 2 spełniją wrunki: ( C 1 cos ) ( λ + C 2 sin ) λ = 0 ( C 1 cos b ) ( λ + C 2 sin b ) λ = 0 są jedynymi rozwiąznimi zgdnieni Dirichlet (D 1 ). Jeżeli funkcj postci (1.2) jest niezerow, to lbo C 1 0 lbo C 2 0. Ozncz to, że powyższy ukłd posid niezerowe rozwiąznie, czyli jego wyzncznik główny jest równy zero: ( ) ( ) cos cos λ ( b ) λ sin sin λ ( b ) λ = 0

Rozdził 1. Wprowdzenie 4 Stąd mmy cos ( ) ( λ sin b ) ( λ cos b ) λ sin ( sin ( (b ) λ ) λ = 0 ) = 0 (b ) λ = kπ, k N {0} λ = k2 π 2 (b ) 2 Ztem dodtnie wrtości włsne zgdnieni Dirichlet są postci λ = k2 π 2, k N. (b ) 2 Wobec tego njmniejsz z nich jest równ µ 0 = π2. (b ) 2 Zuwżymy, że inf u C 2 0 ([,b])\{0} I(u) = µ 0. Niech u C 2 0([, b]) \ {0} orz v: [0, π] R będzie funkcją dną wzorem: v(x) = u( b π x + ) Korzystjąc z twierdzeni o zminie zmiennych dostjemy: orz π 0 π 0 v(x) 2 dx = π b v (x) 2 dx = b π Poniewż π 0 v(x) 2 dx π 0 v (x) 2 dx 3, to π b u(x) 2 dx b π u(x) 2 dx u (x) 2 dx. u (x) 2 dx. A więc µ 0 I(u) dl u C0([, 2 b]) \ {0}. Stąd inf u C 2 0 ([,b])\{0} I(u) µ 0. Do zkończeni dowodu, wystrczy wykzć, że istnieje u 0 C0([, 2 b]) \ {0} tk, że u 0 jest rozwiązniem zgdnieni (D 1 ), u 0 (x) > 0 dl x (, b) i I (u 0 ) = µ 0. Przyjmijmy ( ) π(x ) u 0 (x) = sin dl x [, b] b Wtedy u 0 jest rozwiązniem zgdnieni (D 1 ) orz u 0 (x) > 0 dl x (, b). Z twierdzeni o zminie zmiennych otrzymujemy: ) dx I(u 0 ) = = µ 0 π 2 b (b ) 2 ( π(x ) cos2 b ( π(x ) sin2 b π 0 cos2 (x) dx 0 sin2 (x) dx π ) dx 3 G.M. Fichtenholz, Rchunek różniczkowy i cłkowy, Wrszw 1995, tom 3, s. 504.

Rozdził 1. Wprowdzenie 5 Poniewż π 0 cos2 (x) dx π 0 sin2 (x) dx = π 0 cos (2x) dx = 0, więc I (u 0) = µ 0. Innym przykłdem są zstosowni twierdzeń o minimlizcji do rozwiązywni tych zgdnień brzegowych, z którymi możn stowrzyszyć odpowiedni funkcjonł I: X R różniczkowlny w sensie Gäteux. Przypomnijmy, że funkcjonł I: X R jest różniczkowlny w sensie Gäteux w punkcie u X, jeżeli spełnione są dw wrunki: 1. przy dowolnym v X funkcj ϕ v : R R dn wzorem jest różniczkowln w punkcie t = 0; ϕ v (t) := I(u + tv) 2. funkcjonł I (u): X R określony nstępująco: jest liniowy i ciągły. [I (u)](v) := ϕ v(0), v X Funkcjonł I (u): X R nzywmy pochodną Gäteux funkcjonłu I w punkcie u. Jeżeli funkcjonł I m pochodną Gäteux w dowolnym punkcie u X, to jest on różniczkowlny w sensie Gäteux w przestrzeni (X, ). Zmist pisć I jest różniczkowlny w sensie Gäteux, będziemy pisć I jest G-różniczkowlny. Punkt v X tki, że I (v) = 0 nzywć będziemy punktem krytycznym funkcjonłu G-różniczkowlnego I: X R. Nstępne stwierdzenie podje pewien związek problemu minimlizcji (porównj punkt 1 problemu minimlizcji) z problemem istnieni rozwiązń zgdnieni Dirichlet (D 2 ) u (x) + q (x) u (x) = r (x), x [, b] u () = u (b) = 0 u C 2 ([, b]) Z zgdnieniem (D 2 ) stowrzyszmy funkcjonł F: C 1 0([, b]) R dny wzorem F (u) = ( u (x) 2 2 q(x) u2 (x) 2 ) + r(x)u(x) dx (1.3) gdzie C 1 0([, b]) to przestrzeń funkcji u: [, b] R klsy C 1 n [, b] spełnijących wrunek brzegowy u() = u(b) = 0 z normą u C 1 = sup x [,b] u (x). Stwierdzenie B. Złóżmy, że q, r: [, b] R są funkcjmi ciągłymi orz q (x) < 0 dl x [, b]. Wówczs:

Rozdził 1. Wprowdzenie 6 (i) funkcjonł F ( ) dny wzorem (1.3) jest G-różniczkowlny; (ii) funkcj u C 1 0([, b]) jest punktem krytycznym funkcjonłu F ( ), wtedy i tylko wtedy, gdy u jest rozwiązniem zgdnieni (D 2 ) ; (iii) funkcj u C 1 0([, b]) jest minimum funkcjonłu F ( ), wtedy i tylko wtedy, gdy u jest rozwiązniem zgdnieni (D 2 ). Dowód. (i) Ustlmy u C 1 0([, b]). Wówczs ϕ h (t) = F (u + th) ( u (x) + th (x) 2 = 2 ) u(x) + th(x) 2 q(x) + r(x)(u(x) + th(x)) dx 2 dl h C 1 0([, b]), t R. Stosując twierdzenie o różniczkowniu pod znkiem cłki 4 otrzymujemy ϕ h(0) = = (u (x)h (x) q(x)u(x)h(x) + r(x)h(x)) dx u (x)h (x)dx + (r(x) q(x)u(x)) h(x)dx Cłkując przez części i uwzględnijąc wrunki brzegowe nłożone n h otrzymujemy ( x ) ϕ h(0) = u (x) (r(s) q(s)u(s))ds h (x)dx Z powyższej równości wynik, że ϕ αh+βv (0) = αϕ h (0) + βϕ v(0) orz ( ϕ h(0) u (x) x ) (r(s) q(s)u(s))ds dx h C 1 dl h, v C0([, 1 b]) i α, β R. Ztem z uwgi n dowolność u C0([, 1 b]) funkcjonł F jest G-różniczkowlny orz ( x ) [F (u)](h) = u (x) (r(s) q(s)u(s))ds h (x)dx (ii) Złóżmy, że u C 1 0([, b]) jest punktem krytycznym funkcjonłu F. Wówczs dl dowolnego h C 1 0([, b]) mmy [F (u)](h) = 0, czyli ( u (x) x ) (r(s) q(s)u(s))ds h (x)dx = 0 dl h C 1 0([, b]) 4 G.M. Fichtenholz, Rchunek różniczkowy i cłkowy, Wrszw 1995, tom 2, s. 568.

Rozdził 1. Wprowdzenie 7 Niech C = 1 w(x)dx, gdzie w(x) = b u (x) x (r(s) q(s)u(s))ds dl x [, b]. Wówczs dl dowolnego h C0([, 1 b]) mmy: 0 = = = = w(x)h (x)dx w(x)h (x)dx C(h(b) h()) w(x)h (x)dx C (w(x) C)h (x)dx h (x)dx Niech h(x) = x (w(s) C)ds, x [, b]. Poniewż funkcj w jest ciągł, więc h jest klsy C 1 n [, b] orz h (x) = w(x) C dl x [, b]. Pondto h() = 0 i h(b) = (w(s) C)ds = w(s)ds C(b ) = w(s)ds w(x)dx = 0. W rezultcie h C0([, 1 b]) i (w(x) C) 2 dx = 0 Stąd w(x) = C dl x [, b]. Wrcjąc do wzoru n w otrzymujemy: u (x) x (r(s) q(s)u(s))ds = C, x [, b] (1.4) Z równości (1.4) wnioskujemy, że u C 2 ([, b]), różniczkując ją stronmi dostjemy: u (x) (r(x) q(x)u(x)) = 0 u (x) + q(x)u(x) = r(x), x [, b] Ztem u jest rozwiązniem zgdnieni (D 2 ). Złóżmy terz, że funkcj u C 2 ([, b]) jest rozwiązniem zgdnieni (D 2 ). Wówczs { u (x) + q(x)u(x) = r(x), x [, b] u() = u(b) = 0 Stąd wynik już, że istnieje tk stł rzeczywist C 0, że dl x [, b] x u (x) u () u (x) (u (s) (r(s) q(s)u(s)))ds = C 0 x x (r(s) q(s)u(s))ds = C 0 (r(s) q(s)u(s))ds = C, C = C 0 + u ()

Rozdził 1. Wprowdzenie 8 Stąd ( u (x) x (r(s) q(s)u(s))ds) h (x)dx = 0 dl h C 1 0([, b]), czyli [F (u)](h) = 0 dl h C0([, 1 b]). W konsekwencji u jest punktem krytycznym funkcjonłu F. (iii) Niech t (0, 1) i w, v C0([, 1 b]), v w. Korzystjąc z wypukłości funkcji kwdrtowej i z złożeni, że q (x) < 0 dl x [, b] otrzymujemy: F (tw + (1 t) v) = + + ( (tw + (1 t) v) (x) 2 2 r (x) (tw + (1 t) v) (x) dx ( t w (x) 2 + (1 t) v (x) 2 2 r (x) (tw (x) + (1 t) v (x)) dx = tf (w) + (1 t) F (v) ) q (x) (tw + (1 t) v)2 (x) dx 2 ) q (x) tw2 (x) + (1 t) v 2 (x) dx 2 Stąd F ( ) jest funkcjonłem wypukłym. N mocy twierdzeni 1.8, które dowodzimy w dlszej części rozdziłu, funkcj u jest punktem minimum funkcjonłu F ( ), wtedy i tylko wtedy, gdy u jest punktem krytycznym funkcjonłu F ( ). Wobec tezy (ii) funkcj u jest punktem minimum funkcjonłu F ( ), wtedy i tylko wtedy, gdy u jest rozwiązniem zgdnieni (D 2 ). Nstępnie udowodnimy kilk bstrkcyjnych twierdzeń o minimlizcji funkcjonłów w przestrzeni Bnch (X, ). Definicj 1.1 Ciąg (u n ) n N X nzywmy ciągiem minimlizującym funkcjonłu I: X R, gdy lim I(u n) = inf{i(u) : u X} Wykżemy, że dl niektórych funkcjonłów pytni o istnienie minimum i o istnienie określonego ciągu minimlizującego są tożsme. Będziemy mówili, że ciąg (u n ) n N jest słbo zbieżny (zbieżny) do elementu u X, jeśli dl dowolnego funkcjonłu F X ciąg (F (u n )) n N jest zbieżny do F (u) w R 1 ( u n u 0 w R 1 ) i oznczmy symbolem u n u w X (u n u w X). Definicj 1.2 Funkcjonł I : X R jest słbo półciągły (półciągły) z dołu w punkcie u X, jeżeli dl kżdego ciągu (u n ) n N X spełniony jest wrunek u n u w X = lim inf I(u n) I(u) ( ) u n u w X = lim inf I(u n) I(u)

Rozdził 1. Wprowdzenie 9 Mówimy, że I : X R jest słbo półciągły (półciągły) z dołu i zpisujemy I jest w-lsc (lsc), gdy I jest słbo półciągły (półciągły) z dołu w kżdym punkcie przestrzeni X. Poniewż dowolny ciąg zbieżny w X jest słbo zbieżny do tego smego elementu, więc kżdy funkcjonł w-lsc jest funkcjonłem lsc. Jednk nie wszystkie funkcjonły lsc są funkcjonłmi w-lsc. O tym, które z nich mją tę włsność, mówi nstępujące twierdzenie. Twierdzenie 1.1 Jeżeli funkcjonł I: X R jest lsc, wypukły i ogrniczony z dołu, to jest w-lsc. Dowód. Niech u n u w X. Pokżemy, że lim inf I(u n) I(u) Gdy lim inf I(u n ) = +, to lim inf I(u n ) I(u). Poniewż I jest ogrniczony z dołu, więc lim inf I(u n ) >. Do rozptrzeni pozostje przypdek, gdy lim inf I(u n ) jest liczbą rzeczywistą. Weźmy c R tkie, że c > lim inf I(u n ). Niech (u nk ) k N (u n ) n N będzie tkim podciągiem, że lim I(u n k ) = lim inf I(u n) k + orz c > I(u nk ) dl kżdego k N. Ciąg u nk u w X, ztem n mocy twierdzeni Mzur 5 istnieje ciąg kombincji wypukłych v nk = k j=1 αn k j u nj, k j=1 αn k j = 1, α n k j 0 dl j = 1,..., k i k N, tki, że v nk u w X. Poniewż I jest lsc i wypukły, więc I(u) lim inf I(v n k ) = lim inf I k + k + ( k ) lim inf k + j=1 α n k j I(u nj ) ( k j=1 lim inf k + α n k j u nj ) W szczególności, dl kżdego m N mmy I(u) lim inf I(u n ) + 1 m. Stąd I(u) lim inf I(u n) ( c k j=1 α n k j ) = c Poniżej zmieszczmy twierdzenie o minimlizcji funkcjonłu w-lsc (lsc). Twierdzenie 1.2 Złóżmy, że funkcjonł I : X R jest w-lsc (lsc). Wówczs I m minimum, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje słbo zbieżny (zbieżny) ciąg minimlizujący funkcjonłu I. 5 J. Musielk, Wstęp do nlizy funkcjonlnej, Wrszw 1989, s. 214.

Rozdził 1. Wprowdzenie 10 Dowód. Przeprowdzimy dowód tylko dl funkcjonłów w-lsc, gdyż dowód dl funkcjonłów lsc przebieg nlogicznie. ( ) Z złożeni istnieje tkie v X, że I(v) = inf{i(u) : u X}. Niech v n = v dl n N. Wtedy v n v w X orz lim I(v n ) = I(v). Wobec tego (v n ) n N jest szuknym ciągiem minimlizującym słbo zbieżnym. ( ) Istnieje tki ciąg (u n ) n N X orz v X, że u n v w X i lim I(u n ) = inf{i(u) : u X}. Zuwżymy, że I(v) = inf{i(u) : u X} Poniewż I jest w-lsc i u n v w X, więc lim inf I(u n ) I(v). Ciąg {I(u n )} n N jest zbieżny, ztem lim inf I(u n ) = lim I(u n ). W konsekwencji I(v) inf{i(u) : u X} = czyli I(v) = inf{i(u) : u X}. lim I(u n) = lim inf I(u n) I(v), Wniosek 1.3 Jeżeli funkcjonł I: X R jest lsc, wypukły i ogrniczony z dołu, to I m minimum, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje słbo zbieżny ciąg minimlizujący funkcjonłu I. Powróćmy jeszcze do twierdzeni 1.2. Istnienie ciągu minimlizującego słbo zbieżnego nie jest wcle czymś oczywistym i może stnowić brdzo trudny problem do rozwiązni. Zgdnienie trochę się uprszcz w przypdku refleksywnych przestrzeni Bnch. Wówczs istnienie ogrniczonego ciągu minimlizującego wystrcz n to, by funkcjonł w-lsc osiągł swoje minimum. Wrunek ten jest konsekwencją nstępującej chrkteryzcji przestrzeni refleksywnych: Twierdzenie 1.4 Przestrzeń Bnch (X, ) jest refleksywn, wtedy i tylko wtedy, gdy kżdy ciąg ogrniczony w X zwier pewien podciąg słbo zbieżny 6. Twierdzenie 1.5 Złóżmy, że (X, ) jest refleksywną przestrzenią Bnch orz I : X R jest funkcjonłem w-lsc. Wówczs I m minimum, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ogrniczony ciąg minimlizujący funkcjonłu I. Dowód. ( ) Z złożeni istnieje tkie v X, że I(v) = inf{i(u) : u X}. Niech v n = v dl n N. Ciąg (v n ) n N jest ogrniczony i lim I(v n ) = I(v). Wobec tego (v n ) n N jest szuknym ciągiem minimlizującym ogrniczonym. ( ) Istnieje tki ciąg ogrniczony (u n ) n N, że lim I(u n ) = inf{i(u) : u X}. Poniewż (u n ) n N jest ciągiem ogrniczonym w przestrzeni refleksywnej, więc istnieje tkie v X orz podciąg (u nk ) k N (u n ) n N, że u nk v w X. Podciąg (u nk ) k N jest 6 Powyższy fkt jest konsekwencją twierdzeni Eberlein (ptrz J. Musielk, Wstęp do nlizy funkcjonlnej, Wrszw 1989, s. 228).

Rozdził 1. Wprowdzenie 11 ciągiem minimlizującym funkcjonł I, gdyż lim I(u n k ) = lim I(u n) = inf{i(u) : u X} k + Stąd n mocy twierdzeni 1.2 I m minimum. W szczególności, funkcjonł I będzie mił minimum, gdy wszystkie jego ciągi minimlizujące będą ogrniczone w refleksywnej przestrzeni Bnch X. Zchodzi to, gdy I jest koercytywny, tzn. spełniony jest wrunek I(u) +, gdy u + (1.5) Twierdzenie 1.6 Złóżmy, że I: X R jest funkcjonłem koercytywnym w refleksywnej przestrzeni Bnch X. Wówczs prwdziwe są nstępujące tezy: (1.6.1) Kżdy ciąg minimlizujący funkcjonłu I jest ogrniczony. (1.6.2) Jeżeli I jest funkcjonłem w-lsc, to I osiąg minimum. (1.6.3) Jeżeli I jest funkcjonłem lsc, wypukłym i ogrniczonym z dołu, to I osiąg minimum. Dowód. (1.6.1) Przypuśćmy, że funkcjonł I m nieogrniczony ciąg minimlizujący (u n ) n N X. Istnieje podciąg (u nk ) k N (u n ) n N tki, że u nk +. Poniewż I jest koercytywny, więc I(u nk ) +. Z drugiej strony ciąg (u nk ) k N jest minimlizujący, ztem I(u nk ) inf{i(u) : u X} < + Sprzeczność z jednozncznością grnicy. (1.6.2) Niech (u n ) n N X będzie ciągiem minimlizującym funkcjonłu I (z włsności kresu wynik, że kżdy funkcjonł m przynjmniej jeden ciąg minimlizujący). N mocy tezy (1.6.1) ciąg (u n ) n N jest ogrniczony, n mocy twierdzeni 1.5 I posid minimum. (1.6.3) Z twierdzeni 1.1 wynik, że funkcjonł I jest w-lsc. Ztem n mocy tezy (1.6.2) I m minimum. N zkończenie tego rozdziłu chcemy udowodnić twierdzeni o minimlizcji funkcjonłów G-różniczkowlnych. Twierdzenie 1.7 Złóżmy, że funkcjonł I: X R jest G-różniczkowlny. Jeżeli v X jest punktem minimum funkcjonłu I, to v jest punktem krytycznym I. Dowód. Z złożeni I(v) = inf{i(u) : u X}. Poniewż I jest G-różniczkowlny, więc dl dowolnego w X funkcj ϕ w : R R dn wzorem ϕ w (t) = I(v + tw), t R

Rozdził 1. Wprowdzenie 12 jest różniczkowln w punkcie t = 0 orz [I (v)](w) = ϕ w(0). Zuwżmy, że ϕ w (0) = inf {ϕ w (t) : t R} Mmy bowiem ϕ w (0) = I(v) I(v + tw) = ϕ w (t) dl t R. Wobec tego ϕ w(0) = 0 dl w X, więc I (v) = 0 Otwrte pozostje pytnie o klsę funkcjonłów G-różniczkowlnych, dl których zbiory punktów krytycznych i punktów minimum są identyczne. Odpowiedzią n to pytnie jest sformułowne poniżej twierdzenie. Twierdzenie 1.8 Złóżmy, że funkcjonł I : X R jest wypukły i G-różniczkowlny. Wówczs v X jest punktem minimum funkcjonłu I, wtedy i tylko wtedy, gdy v jest punktem krytycznym I. Dowód. Implikcj ( ) pozostje prwdziw n mocy twierdzeni 1.7. ( ) Zuwżmy, że I(w) I(u) + [I (u)](w u) dl dowolnych u, w X. Niech u, w X. Gdy u = w, to [I (u)](w u) = [I (u)](0) = 0. Stąd I(w) = I(u) + [I (u)](w u). Rozptrzmy przypdek u w. Poniewż I jest wypukły, więc I(tw + (1 t)u) ti(w) + (1 t)i(u) dl t (0, 1) Przeksztłcjąc tę nierówność otrzymujemy I(tw + (1 t)u) I(u) t(i(w) I(u)) I(u + t(w u)) I(u) t I(w) I(u) (1.6) Poniewż funkcjonł I jest G-różniczkowlny, to przechodząc do grnicy przy t 0 + w nierówności (1.6) otrzymujemy: [I (u)](w u) I(w) I(u) czyli I(w) I(u) + [I (u)](w u). W szczególności I(w) I(v) + [I (v)](w v) dl w X. Poniewż v jest punktem krytycznym funkcjonłu I, więc [I (v)](w v) = 0 dl w X. Ztem I(w) I(v) dl w X, czyli v jest punktem minimum funkcjonłu I. Temtem niniejszej prcy jest problem minimlizcji funkcjonłów cłkowych I f,p : W 1,p [, b] R postci I f,p (u) = f (x, u (x), u (x)) dx,

Rozdził 1. Wprowdzenie 13 gdzie f: [, b] R R R jest funkcją Crtheodory ego i W 1,p [, b] (p [1, + ) lub p = + ) jest przestrzenią Sobolev. Do bdni istnieni minimum funkcjonłu I f,p będziemy chcieli zstosowć udowodnione powyżej twierdzeni o minimlizcji funkcjonłów w przestrzenich Bnch. Dltego w rozdzile czwrtym podmy wrunki konieczne i dostteczne, jkie musi spełnić funkcj Crtheodory ego f, żeby funkcjonł I f,p spełnił złożeni jednego z powyższych twierdzeń. Poniewż w tych twierdzenich zkłd się, że przestrzeń (X, ) jest przestrzenią Bnch lub refleksywną przestrzenią Bnch, więc w rozdzile trzecim udowodnimy, że przestrzenie Sobolev W 1,p [, b] są zupełne, dl prmetru p (1, + ) są też refleksywne. W rozdzile drugim podmy wybrne włsności przestrzeni kls bstrkcji funkcji cłkowlnych L p (, b) i L (, b), z których istotnie skorzystmy w dowodch włsności przestrzeni Sobolev.

Rozdził 2 Podstwowe przestrzenie funkcyjne N początku rozdziłu pokzujemy, że relcj równości prwie wszędzie w zbiorze wszystkich funkcji mierzlnych w sensie Lebesgue w przedzile (, b) jest równowżnością i podjemy podstwowe włsności przestrzeni kls bstrkcji funkcji cłkowlnych L p (, b) i L (, b). Formułujemy wrunki konieczne i dostteczne zbieżności i słbej zbieżności ciągu w obu tych przestrzenich orz podjemy pewne włsności ciągów ( )- słbo zbieżnych w przestrzeni L (, b). W prgrfie drugim zuwżmy, że przestrzenie L p (, b) L p (, b) i L (, b) L (, b) są zupełne. Formułujemy twierdzenie o reprezentcji funkcjonłów liniowych i ciągłych w L p (, b) L p (, b). N mocy tego twierdzeni orz twierdzeni Riesz o postci funkcjonłów liniowych i ciągłych w L p (, b) pokzujemy, że słb zbieżność w L p (, b) L p (, b) jest równowżn ze słbą zbieżnością po współrzędnych. Korzystjąc z powyższego opisu słbej zbieżności udowdnimy, że przestrzeń L p (, b) L p (, b) dl p > 1 jest refleksywn. W prgrfie trzecim zmieszczmy wybrne włsności funkcji bsolutnie ciągłych. 2.1 Przestrzenie L p (, b) i L (, b) Niech X będzie przestrzenią liniową wszystkich funkcji u: (, b) R mierzlnych w sensie Lebesgue. W dlszej części prcy zmist pisć mierzlny (mierzln) w sensie Lebesgue będziemy pisli mierzlny (mierzln). Ntomist mirę Lebesgue zbioru mierzlnego A R oznczć będziemy symbolem µ(a). Definicj 2.1 Funkcje u, v X są równe prwie wszędzie, co zpisujemy u = v p.w. n (, b), jeżeli µ({x (, b) : u(x) v(x)}) = 0. Definicj 2.2 Jeśli u, v X, to u v u = v p.w. n (, b). Fkt 2.1 jest relcją równowżności. Dowód. 1.

Rozdził 2. Podstwowe przestrzenie funkcyjne 15 2. Zwrotność. Niech u X. µ({x (, b) : u(x) u(x)}) = µ( ) = 0, więc u u. 3. Symetryczność. Złóżmy, że u, v X i u v. Wtedy u = v p.w. n (, b), więc µ({x (, b) : u(x) v(x)}) = 0. Stąd µ({x (, b) : v(x) u(x)}) = 0, więc v = u p.w. n (, b), czyli v u. 4. Przechodniość. Weźmy u, v, w X tkie, że u v i v w. Niech A = {x (, b) : u(x) v(x)}, B = {x (, b) : v(x) w(x)}. Z złożeni µ(a) = µ(b) = 0, więc µ(a B) = 0. Gdy x (, b) \ (A B), to u(x) = v(x) = w(x). Wobec tego {x (, b) : u(x) w(x)} A B. Stąd µ({x (, b) : u(x) w(x)}) = 0, tzn. u = w p.w. n (, b), czyli u w. Klsę bstrkcji funkcji u X względem relcji oznczć będziemy symbolem [u]. Ntomist X = {[u] : u X}. W zbiorze X wprowdzmy dodwnie i mnożenie przez liczby rzeczywiste. Jeśli u, v X orz α R, to orz [u] + [v] := [u + v] α[u] := [αu] Zuwżmy, że zdefiniowne powyżej dziłni nie zleżą od wyboru reprezentntów. Złóżmy, że u, u 0, v, v 0 X, u u 0, v v 0 i α R. Poniewż u = u 0 i v = v 0 p.w. n (, b), więc u + v 0 = u 0 + v 0 i u + v = u + v 0 p.w. n (, b). Stąd u + v = u 0 + v 0 p.w. n (, b), czyli [u] + [v] = [u + v] = [u 0 + v 0 ] = [u 0 ] + [v 0 ]. Poniewż u = u 0 p.w. n (, b), więc αu = αu 0 p.w. n (, b). Wobec tego α[u] = [αu] = [αu 0 ] = α[u 0 ]. Sposób, w jki określono powyższe dziłni prowdzi do nstępującego wniosku. Wniosek 2.2 Zbiór X wrz z dodwniem kls bstrkcji i mnożeniem kls bstrkcji przez liczby rzeczywiste jest przestrzenią R-liniową. [0] jest modułem dodwni. Definicj 2.3 Funkcj u X jest ogrniczon prwie wszędzie n (, b), gdy istnieje tk stł nieujemn M, że µ({x (, b) : u(x) > M}) = 0. Fkt 2.3 Niech u, v X i u v. Jeżeli u jest ogrniczon p.w. n (, b), to v jest ogrniczon p.w. n (, b). Pondto zbiory {M 0 : µ({x (, b) : u(x) > M}) = 0} i są równe. {M 0 : µ({x (, b) : v(x) > M}) = 0}

Rozdził 2. Podstwowe przestrzenie funkcyjne 16 Dowód. Z złożeni istnieje tkie M 0, że µ({x (, b) : u(x) > M}) = 0 orz µ({x (, b) : u(x) v(x)}) = 0. Oznczmy A = {x (, b) : u(x) > M}, B = {x (, b) : u(x) v(x)}. Mmy µ(a B) = 0. Gdy x (, b) \ (A B), to v(x) = u(x) M. Stąd {x (, b) : v(x) > M} A B. Wobec tego µ({x (, b) : v(x) > M}) = 0, czyli v jest ogrniczon p.w. n (, b). Co więcej, z metody dowodu wynik, że zbiory {M 0 : µ({x (, b) : u(x) > M}) = 0} i {M 0 : µ({x (, b) : v(x) > M}) = 0} są równe. Fkt 2.4 Jeżeli funkcje u, v X są ogrniczone p.w. n (, b), α R, to funkcje u+v, u v, u v, αu też są ogrniczone p.w. n (, b). Dowód. Z złożeni istnieją tkie M, K 0, że µ({x (, b) : u(x) > M}) = µ({x (, b) : v(x) > K}) = 0 Niech A = {x (, b) : u(x) > M}, B = {x (, b) : v(x) > K}. Oczywiście µ(a B) = 0. Gdy x (, b) \ (A B), to (u + v)(x) u(x) + v(x) M + K, (u v)(x) u(x) + v(x) M + K, (u v)(x) = u(x) v(x) M K i αu(x) = α u(x) α M. Wobec tego zbiory {x (, b) : (u + v)(x) > M + K}, {x (, b) : (u v)(x) > M + K}, {x (, b) : (u v)(x) > MK} i {x (, b) : αu(x) > α M} są miry zero jko podzbiory zbioru miry zero A B. Stąd funkcje u + v, u v, u v, αu są ogrniczone p.w. n (, b). Lemt 2.5 Złóżmy, że u X i A = {M 0 : µ({x (, b) : u(x) > M}) = 0}. Jeżeli funkcj u jest ogrniczon p.w. n (, b), to inf A A. Dowód. Zbiór A jest niepusty poniewż funkcj u jest ogrniczon p.w. n (, b). Z definicji zbioru A wynik, że jego elementy są nieujemne. Ztem zero jest ogrniczeniem dolnym zbioru A. Zuwżymy, że inf A A. Z definicji kresu mmy: dl kżdego n N istnieje tkie M n A, że inf A M n < inf A + 1 n Oznczmy A n = {x (, b) : u(x) > M n }, n N. Poniewż M n A, więc µ(a n ) = 0. Niech Z = + n=1 A n. Z włsności miry µ(z) = 0. Weźmy x (, b) \ Z. Wówczs u(x) M n < inf A + 1 dl n N, czyli u(x) < inf A + 1 dl n N. Stąd n n u(x) inf A. W konsekwencji {x (, b) : u(x) > inf A} Z, ztem µ({x (, b) : u(x) > inf A}) = 0. Z definicji zbioru A wynik, że inf A A. Definicj 2.4 Symbolem L (, b) oznczć będziemy przestrzeń liniową kls bstrkcji funkcji mierzlnych i ogrniczonych p.w. n (, b) względem relcji, z normą [u] = inf{m 0 : µ({x (, b) : u(x) > M}) = 0}

Rozdził 2. Podstwowe przestrzenie funkcyjne 17 N mocy fktu 2.4 L (, b) jest przestrzenią R-liniową. Z fktu 2.3 wynik, że definicj funkcji nie zleży od wyboru reprezentnt, z lemtu 2.5, że kres dolny zbioru {M 0 : µ({x (, b) : u(x) > M}) = 0} istnieje i jest liczbą nieujemną dl [u] L (, b). Zuwżymy terz, że funkcj spełni ksjomty definiujące normę: 1. Dl kżdego [u] L (, b), [u] 0 i ( [u] = 0 [u] = [0]). Zuwżmy, że n mocy lemtu 2.5 [u] = 0, wtedy i tylko wtedy, gdy 0 {M 0 : µ({x (, b) : u(x) > M}) = 0}, co jest równowżne ze stwierdzeniem, że µ({x (, b) : u(x) > 0}) = 0, skąd u = 0 p.w. n (, b), czyli [u] = [0]. 2. Nierówność trójkąt Niech [u], [v] L (, b). Poniewż (u + v)(x) u(x) + v(x) dl x (, b), więc {x (, b) : (u + v)(x) > M} {x (, b) : u(x) + v(x) > M} dl M 0. Stąd {M 0 : µ({x (, b) : u(x) + v(x) > M}) = 0} {M 0 : µ({x (, b) : (u + v)(x) > M}) = 0} czyli inf{m 0 : µ({x (, b) : u(x) + v(x) > M}) = 0} inf{m 0 : µ({x (, b) : u(x) + v(x) > M}) = 0}. Oczywiste jest, że [u] + [v] {M 0 : µ({x (, b) : u(x) + v(x) > M}) = 0}. Stąd [u] + [v] = [u + v] inf{m 0 : µ({x (, b) : u(x) + v(x) > M}) = 0} [u] + [v]. 3. Jednorodność Złóżmy, że α R i [u] L (, b). Gdy α = 0, to α[u] = [αu] = [0] = 0 = 0 [u] = α [u]. Rozwżmy przypdek α 0. Weźmy M 0. Poniewż (αu)(x) > M u(x) > M α dl x (, b), więc {x (, b) : (αu)(x) > M} = {x (, b) : u(x) > M }. Z uwgi n dowolność M 0 mmy {M 0 : µ({x α (, b) : (αu)(x) > M}) = 0} = {M 0 : µ({x (, b) : u(x) > M }) = 0}. W α konsekwencji [αu] = inf{m 0 : µ({x (, b) : (αu)(x) > M}) = 0} = inf{m 0 : µ({x (, b) : u(x) > M }) = 0} α = α inf{ M 0 : µ({x (, b) : u(x) > M }) = 0} α α = α inf{k 0 : µ({x (, b) : u(x) > K}) = 0} = α [u] Wobec powyższego definicj 2.4 jest poprwn. Definicj 2.5 Mówimy, że ciąg (u n ) n N X jest wspólnie ogrniczony p.w. n (, b), gdy istnieje tkie K > 0 orz zbiór miry zero B (, b), że dl kżdego n N orz dl kżdego x (, b) \ B mmy u n (x) K.

Rozdził 2. Podstwowe przestrzenie funkcyjne 18 Fkt 2.6 Jeżeli ciąg ([u n ]) n N L (, b) m normy ogrniczone stłą K, to ciąg (u n ) n N jest wspólnie ogrniczony p.w. n (, b) stłą K. Dowód. Z złożeni dl kżdego n N mmy [u n ] K. Niech B n = {x (, b) : u n (x) > [u n ] }, n N N mocy lemtu 2.5 µ(b n ) = 0, n N. Przyjmijmy B = + n=1 B n. Oczywiście µ(b) = 0 i B (, b). Co więcej, dl kżdego n N orz x (, b)\b mmy u n (x) [u n ] K. Twierdzenie 2.7 L (, b) jest przestrzenią Bnch. Dowód. Niech ([u n ]) n N L (, b) będzie ciągiem Cuchy ego. Oznczmy B n,m = {x (, b) : u n (x) u m (x) > [u n u m ] }, m, n N N mocy lemtu 2.5 µ(b n,m ) = 0, m, n N. Przyjmijmy B = n,m N B n,m. Wtedy µ(b) = 0. Weźmy ε > 0. Poniewż ([u n ]) n N jest ciągiem Cuchy ego, więc istnieje tkie N N, że dl kżdych m, n N mmy [u n ] [u m ] < ε. Stąd dl kżdego m, n N i kżdego 2 x (, b) \ B mmy u n (x) u m (x) < ε. Z uwgi n dowolność ε > 0 wykzliśmy, że 2 dl kżdego x (, b) \ B (u n (x)) n N jest ciągiem Cuchy ego w R 1. Wobec tego wzór { 0 dl x B u(x) = lim u n(x) dl x (, b) \ B poprwnie określ funkcję mierzlną u: (, b) R. Wykżemy, że jest to funkcj ogrniczon p.w. n (, b). Poniewż ciąg ([u n ]) n N, jko ciąg Cuchy ego jest ogrniczony, więc n mocy fktu 2.6 istnieje tkie K > 0 orz zbiór miry zero C (, b), że dl kżdego n N i kżdego x (, b) \ C mmy u n (x) K. Gdy x (, b) \ (C B), to u n (x) K dl n N i u(x) = lim u n (x) = lim u n (x) K. W konsekwencji µ({x (, b) : u(x) > K}) = 0, gdyż {x (, b) : u(x) > K} C B i µ(c B) = 0. Stąd [u] L (, b). Poniewż dl kżdego ε > 0 istnieje N N tkie, że dl kżdych m, n N i kżdego x (, b) \ B mmy u n (x) u m (x) < ε orz lim 2 u n (x) = u (x), więc dl kżdego ε > 0 istnieje N N tkie, że dl kżdego n N i kżdego x (, b) \ B mmy u n (x) u (x) ε. Ztem dl kżdego ε > 0 istnieje N N tkie, że dl kżdego 2 n N [u n u] ε 2 < ε gdyż µ (B) = 0. Wobec tego [u n ] [u] w L (, b).

Rozdził 2. Podstwowe przestrzenie funkcyjne 19 Definicj 2.6 Symbolem L p (, b), przy ustlonym p 1, oznczć będziemy przestrzeń liniową kls bstrkcji funkcji cłkowlnych z p-tą potęgą n (, b) względem relcji, z normą ( ) 1 [u] p = u(x) p p dx W tym prgrfie zbdmy tylko niektóre włsności ciągów zbieżnych orz słbo zbieżnych w przestrzeni L p (, b). Podstwowe włsności przestrzeni L p (, b) są udowodnione w książce Julin Musielk Wstęp do nlizy funkcjonlnej. Lemt 2.8 Jeżeli p 1, to L (, b) L p (, b) orz [u] p (b ) 1 p [u] dl [u] L (, b). Dowód. Ustlmy p 1. Weźmy [u] L (, b). N mocy lemtu 2.5 więc µ({x (, b) : u(x) > [u] }) = 0 u(x) p dx Stąd [u] L p (, b) orz [u] p (b ) 1 p [u]. [u] p dx = (b ) [u] p Bezpośrednią konsekwencją tego lemtu jest nstępujący Wniosek 2.9 Jeżeli [u n ] [u] w L (, b), to [u n ] [u] w L p (, b). Będziemy pisli u n u n A (, b), jeżeli dl kżdego ε > 0 istnieje N N tkie, że dl kżdego n N i kżdego x A prwdziw jest nierówność u n (x) u (x) < ε Twierdzenie 2.10 Ciąg [u n ] [u] w L (, b), wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje tki zbiór miry zero B (, b), że u n u n (, b) \ B. Dowód. ( ) Niech B n = {x (, b) : u n (x) u(x) > [u n u] }, n N. Z lemtu 2.5 µ(b n ) = 0 dl n N. Przyjmijmy, że B = n N B n. Wówczs B (, b) orz µ(b) = 0. Weźmy dowolne ε > 0. Wówczs istnieje tkie N N, że dl kżdego n N mmy [u n ] [u] < ε. Niech x (, b) \ B. Wtedy u n (x) u(x) [u n u] < ε dl n N. Z uwgi n dowolność ε > 0 pokzliśmy, że u n u n (, b) \ B. ( ) Ustlmy ε > 0. Z złożeni istnieje tkie N N, że dl kżdego n N orz kżdego x (, b) \ B mmy u n (x) u(x) < ε. Stąd {x (, b) : u 2 n(x) u(x) ε} B 2 dl n N. Poniewż {x (, b) : u n (x) u(x) > ε} {x (, b) : u 2 n(x) u(x) ε}, 2 więc {x (, b) : u n (x) u(x) > ε} B dl n N. Ztem µ({x (, b) : u 2 n(x) u(x) > ε}) = 0 dl n N, n mocy lemtu 2.5 [u 2 n] [u] ε < ε dl n N. Z 2 uwgi n dowolność ε > 0, [u n ] [u] w L (, b).

Rozdził 2. Podstwowe przestrzenie funkcyjne 20 Definicj 2.7 Powiemy, że ciąg (u n ) n N X jest zbieżny prwie wszędzie n (, b) do funkcji u X, gdy µ({x (, b) : u n (x) u(x)}) = 0. Piszemy u n u p.w. n (, b) lub u n (x) u(x) dl p.k. x (, b). Z twierdzeni 2.10 wynik nstępujący wniosek. Wniosek 2.11 Jeśli [u n ] [u] w L (, b), to u n u p.w. n (, b). Podmy terz kilk włsności ciągów słbo zbieżnych w przestrzenich L (, b) i L p (, b). Fkt 2.12 Jeżeli p [1, + ) lub p = + i ciąg ([u n ]) n N jest ogrniczony w L p (, b), to dl kżdego ε > 0 istnieje tkie M ε > 0, że dl kżdego n N mmy µ({x (, b) : u n (x) M ε }) < ε Dowód. Poniewż dowody dl p [1, + ) i p = + są nlogiczne, więc udowodnimy tezę dl p = +. Z złożeni ( [u n ] ) n N jest ciągiem liczbowym ogrniczonym. Stąd istnieje tkie K > 0, że dl kżdego n N mmy [u n ] K. Poniewż [u n ] 1 = u n (x) dx [u n ] dx = (b ) [u n ] (b )K dl n N, więc ciąg ([u n ]) n N jest ogrniczony w L 1 (, b) stłą nieujemną (b )K. Przypuśćmy, że istnieje tkie ε 0 > 0, że dl kżdego M > 0 istnieje tkie n 0 N, że µ({x (, b) : u n0 (x) M}) ε 0. W szczególności, istnieje tkie n 0 N, że µ({x (, b) : u n0 (x) 3(b )K 2ε 0 }) ε 0. Oznczmy A n0 = {x (, b) : u n0 (x) 3(b )K 2ε 0 }. Otrzymujemy [u n0 ] 1 = 3(b )K u n0 (x) dx u n0 (x) dx dx A n0 A n0 2ε 0 = 3(b )K 3(b )K 3(b )K µ(a n0 ) ε 0 = > (b )K 2ε 0 2ε 0 2 Otrzymn sprzeczność dowodzi tezę. Uwg. Funkcj f: (, b) R jest cłkowln, gdy f (x) dx < +. Definicj 2.8 Mówimy, że ciąg ([g n ]) n N L (, b) jest ( )-słbo zbieżny w L (, b) do elementu [g] L (, b) i zpisujemy [g n ] [g] w L (, b), gdy dl dowolnej funkcji cłkowlnej f: (, b) R lim g n (x)f(x)dx = g(x)f(x)dx

Rozdził 2. Podstwowe przestrzenie funkcyjne 21 Fkt 2.13 Jeśli ciąg [g n ] L (, b) i [g] w L (, b), to ([g n ]) n N [g] lim inf [g n] jest ciągiem ogrniczonym w Dowód. Niech F n ([f]) = f(x)g n(x)dx dl n N i niech F ([f]) = f(x)g(x)dx dl [f] L 1 (, b). N mocy twierdzeni Riesz zdefiniowne powyżej funkcjonły są liniowe i ciągłe orz F = [g], F n = [g n ] dl n N. Poniewż [g n ] [g] w L (, b), więc zgodnie z definicją 2.8 F n ([f]) F ([f]) dl [f] L 1 (, b). Z twierdzeni Bnch-Steinhus 1 wynik, że istnieje tkie K > 0, że dl kżdego n N mmy F n K. Niech f : (, b) R będzie funkcją cłkowlną, tką, że [f] 1 1. Wówczs F n ([f]) F n [f] 1 F n dl n N. Stąd F ([f]) = lim F n ([f]) lim inf F n. Z uwgi n dowolność [f] L 1 (, b) o normie nie większej niż 1 mmy F = sup [f] 1 1 F ([f]) lim inf F n. W konsekwencji [g n ] = F n K dl n N orz [g] = F lim inf F n = lim inf [g n] Lemt 2.14 Dl dowolnej funkcji cłkowlnej g: (, b) R funkcjonł F: L (, b) R dny wzorem F ([f]) = jest liniowy i ciągły orz F = [g] 1. f(x)g(x)dx Dowód. Funkcjonł F jest dobrze określony, poniewż f(x)g(x)dx f(x)g(x) dx [f] [g] 1 dl [f] L (, b). Liniowość F jest oczywist. Wobec tego F, jko funkcjonł liniowy i ogrniczony, jest liniowy i ciągły. Pondto z powyższej nierówności wynik, że F [g] 1. Pokżemy terz, że F = [g] 1. Poniewż F = sup [f] 1 F ([f]) i F [g] 1, więc wystrczy udowodnić, że istnieje tk funkcj mierzln f 0 : (, b) R, że [f 0 ] 1 i F ([f 0 ]) = [g] 1. Szukn przez ns funkcj dn jest wzorem: { 1 dl x g f 0 (x) = 1 ([0, + )) 1 dl x g 1 ((, 0)) Oczywiście f 0 jko funkcj prost, jest mierzln i ogrniczon. Ztem [f 0 ] L (, b). Poniewż f 0 (x) = 1 dl x (, b), więc [f 0 ] = 1. Ntomist F ([f 0 ]) = f 0(x)g(x)dx = g(x) dx = [g] 1. W konsekwencji F = [g] 1. 1 J. Musielk, Wstęp do nlizy funkcjonlnej, Wrszw 1989, s. 153.

Rozdził 2. Podstwowe przestrzenie funkcyjne 22 Wniosek 2.15 Jeżeli [f n ] [f] w L (, b), to [f n ] [f] w L (, b). Dowód. Poniewż [f n ] [f] w L (, b), to n mocy lemtu 2.14 f n (x)g(x)dx gdzie g: (, b) R jest funkcją cłkowlną. A więc [f n ] f(x)g(x)dx, [f] w L (, b). Udowodnimy terz wrunek konieczny i dostteczny ( )-słbej zbieżności ciągu w L (, b). W jego dowodzie powołujemy się n poniższy lemt. Lemt 2.16 Zbiór kls bstrkcji funkcji prostych postci s i=1 iχ Ei, gdzie 1, 2,..., s R, E 1, E 2,..., E s są tkimi prmi rozłącznymi przedziłmi, że s i=1 E i = (, b) jest gęsty w L 1 (, b). Dowód. Poniewż zbiór kls bstrkcji wszystkich funkcji prostych jest gęsty w L 1 (, b) 2, więc wystrczy wykzć, że rozwżny zbiór jest gęsty w zbiorze kls bstrkcji funkcji prostych. Niech f: (, b) R będzie funkcją prostą. Istnieją liczby b 1, b 2,..., b m R \ {0} orz zbiory mierzlne prmi rozłączne A 1, A 2,..., A m (, b) tkie, że f = m b i χ Ai i=1 Weźmy ε > 0. Poniewż A i jest zbiorem mierzlnym, więc istnieje tki jego otwrty ndzbiór G i (, b), że ε µ(g i \ A i ) < 2m b i Możliwe są dwie sytucje: 1. G i jest sumą skończonej ilości przedziłów rozłącznych E i 1, E i 2,..., E i N i. Wówczs przyjmujemy H i = G i. 2. G i jest sumą przeliczlnej ilości przedziłów rozłącznych En, i n N. Poniewż µ(g i ) b, więc istnieje N i N tkie, że µ ( + ) n=n i +1 Ei n < ε. Wówczs 2m b i przyjmujemy, że H i = N i n=1 Ei n. W kżdym przypdku H i G i i µ (G i \ H i ) < ε 2m b i 2 J. Musielk, Wstęp do nlizy funkcjonlnej, Wrszw 1989, s. 55.

Rozdził 2. Podstwowe przestrzenie funkcyjne 23 Niech g = m i=1 b iχ Hi. Oczywiście [g] jest elementem rozwżnego zbioru, bo g jest tką funkcją prostą, że dl kżdego c R zbiór g 1 ({c}) jest pusty lub jest sumą prmi rozłącznych przedziłów i skończonej liczby punktów: ( g 1 ({c}) = H ε 1 ) H ε 2 1 2... Hm εm {(ε 1,ε 2,...,ε m): P m i=1 ε ib i =c,ε i {0,1} dl i=1,2,...,m} gdzie H 1 i = H i i H 0 i = (, b) \ H i. Zuwżmy, że Poniewż więc [f] [g] 1 = = f(t) g(t) dt m b i (χ Ai (t) χ Hi (t)) dt i=1 m b i χ Ai (t) χ Hi (t) dt i=1 χ Ai (t) χ Hi (t) dt = 1dt + A i \H i 1dt H i \A i = µ(a i \ H i ) + µ(h i \ A i ) µ(g i \ H i ) + µ(g i \ A i ) < ε m b i [f] [g] 1 m b i i=1 χ Ai (t) χ Hi (t) dt < m ε b i m b i = ε W rezultcie pokzliśmy, że dl dowolnej funkcji prostej f : (, b) R i dl kżdego ε > 0 istnieje funkcj g z rozwżnego zbioru tk, że [f] [g] 1 < ε. Ztem rozwżny zbiór jest gęsty w L 1 (, b). i=1 Twierdzenie 2.17 Ciąg [u n ] [u] w L (, b), wtedy i tylko wtedy, gdy jest on ciągiem ogrniczonym w L (, b) orz u n (x)dx u(x)dx dl dowolnego przedziłu E (, b). E Dowód. ( ) N mocy fktu 2.13 ciąg ([u n ]) n N jest ogrniczony. Weźmy przedził E (, b). Niech [χ E ] L 1 (, b), gdzie χ E jest funkcją chrkterystyczną przedziłu E. Zgodnie z definicją 2.8 χ E (x)u n (x)dx E χ E (x)u(x)dx

Rozdził 2. Podstwowe przestrzenie funkcyjne 24 A więc E u n (x)dx E u(x)dx ( ) Przestrzeń L (, b) jest liniow. Wobec tego wystrczy wykzć, że jeśli ciąg ([u n ]) n N L (, b) jest ogrniczony orz u n (x)dx 0 E dl dowolnego przedziłu E (, b), to [u n ] [0] w L (, b). Weźmy [v] L 1 (, b) i ε > 0. Poniewż ([u n ]) n N jest ogrniczony w L (, b), więc istnieje tkie L > 0, że dl kżdego n N mmy [u n ] L. N mocy lemtu 2.16 istnieją przedziły prmi rozłączne E 1, E 2,..., E s (, b) orz liczby rzeczywiste c 1, c 2,..., c s tkie, że s i=1 E i = (, b) i s [v] [ c i χ Ei ] < ε 3L 1 i=1 Oznczmy h = s i=1 c iχ Ei. Poniewż z złożeni widomo, że E i u n (x)dx 0 dl i = 1, 2,..., s, więc c i E i u n (x)dx 0. Stąd istnieje tkie N N, że dl kżdego 1 i s i kżdego n N mmy c i u n (x)dx < ε E i 3s Weźmy n N. Wtedy b v(x)u n (x)dx = (v(x) h(x))u n (x)dx + h(x)u n (x)dx (v(x) h(x))u n (x) dx + h(x)u n (x)dx s [u n ] [v h] 1 + c i u n (x)dx i=1 E i L ε s 3L + c i u n (x)dx < ε E i 3 + s ε 3s = 2 3 ε < ε. i=1 Z uwgi n dowolność ε > 0 mmy v(x)u n(x)dx 0, wobec dowolności [v] L 1 (, b) [u n ] [0] w L (, b). Fkt 2.18 Złóżmy, że f: R R jest funkcją okresową o okresie podstwowym równym T, cłkowlną n dowolnym przedzile długości T. Wtedy dl dowolnej liczby R. +T f(t)dt = T 0 f(t)dt

Rozdził 2. Podstwowe przestrzenie funkcyjne 25 Dowód. Weźmy R. Istnieje tkie n Z orz 0 < 0 < T, że = nt + 0. Poniewż funkcj f jest okresow, więc f(t) = f(t + mt ) (2.1) dl t R i m Z. Korzystjąc z równości (2.1) i dwukrotnie z twierdzeni o zminie zmiennych otrzymujemy: +T f(t)dt = = 0 +T 0 f(nt + t)dt = T 0 f(t)dt + 0 0 +T 0 f(t)dt = f(t + t)dt = T T 0 f(t)dt + 0 +T 0 0 0 0 f(t)dt + 0 T f(t)dt = f(t)dt T f(t)dt Fkt 2.19 Niech T = b będzie okresem zsdniczym funkcji f : R R cłkowlnej n przedzile (, b). Wówczs 1 nb f(t)dt = f(t)dt dl n N. n n Dowód. N mocy fktu 2.18 T 0 f(t)dt = dl k, n N. W rezultcie otrzymujemy n+kt n+(k 1)T f(t)dt ztem nb n f(t)dt = 1 n n k=1 nb n n+kt n+(k 1)T f(t)dt = f(t)dt = n f(t)dt f(t)dt Twierdzenie 2.20 Złóżmy, że [f] L (, b), gdzie funkcj f: (, b) R jest obcięciem funkcji okresowej f : R R o okresie T = b do przedziłu (, b), f n : (, b) R, n N, jest ciągiem określonym nstępująco Wówczs [f n ] [ 1 b f(x)dx] w b L (, b). f n (x) = f(nx) Dowód. Zuwżmy, że ciąg ([f n ]) n N jest ogrniczony w L (, b). Weźmy n N. Przyjmijmy, że dl kżdego M 0 A M n = {x (, b) : f n (x) > M}, B M n = {x (n, nb) : f(x) > M} orz, że A n = { M 0 : µ(a M n ) = 0 }, B n = { M 0 : µ(b M n ) = 0 }

Rozdził 2. Podstwowe przestrzenie funkcyjne 26 Pokżemy, że A n = B n. Niech M A n. Wtedy µ(a M n ) = 0. Poniewż odwzorownie ϕ n : (n, nb) (, b) dne wzorem ϕ n (x) = x jest dyffeomorfizmem, więc µ(ϕ 1 n n (A M n )) = 0 orz ϕ 1 n ((, b) \ A M n ) = (n, nb) \ ϕ 1 n (A M n ). Stąd x (n, nb) \ ϕ 1 n (A M n ) ϕ n (x) (, b) \ A M n f n (ϕ n (x)) M f(x) M x (n, nb) \ Bn M, ztem ϕ 1 n (A M n ) = Bn M. W konsekwencji µ(bn M ) = µ(ϕ 1 n (A M n )) = 0, czyli M B n. W podobny sposób, wykorzystując włsności dyffeomorfizmu ψ n : (, b) (n, nb) określonego wzorem ϕ n (x) = nx, pokzujemy, że B n A n. Poniewż A n = B n, więc inf A n = inf B n. Z złożeni, że liczb T = b jest okresem funkcji f orz f (,b) = f wynik, że f((, b)) = f((, b)) = f((n, nb)). Stąd W rezultcie otrzymujemy B n = {M 0 : µ({x (, b) : f(x) > M}) = 0} [f n ] = inf A n = inf B n = [f] Z uwgi n dowolność n N ciąg ([f n ]) n N jest ogrniczony w L (, b). Pokżemy terz, że ( 1 b ) f n (x)dx f(x)dx dx b E E dl dowolnego przedziłu E (, b). Weźmy przedził E (, b) o końcch c, d, gdzie c < d. Istnieje dokłdnie jedn pr liczb rzeczywistych α, β tk, że c = α + β, d = α + βb. Weźmy n N. Niech φ n = ϕ n (nα+nβ,nα+nβb) i Wtedy f n (x)dx E E edx = = 1 n = 1 n E nα+βnb e = 1 b (f n (x) e)dx = nα+βn nα+βn+[nβ](b ) nα+βn f(x)dx α+βb α+β ( f(n x n ) e)dx = 1 n Wykorzystując fkt 2.18 i wzór n e otrzymujemy nα+βn+[nβ](b ) nα+βn [nβ] ( f(x) e)dx = k=1 ( f(nx) e)dx = nα+βnb ( f(x) e)dx + 1 n nα+βn+k(b ) nα+βn+(k 1)(b ) = [nβ] (f(x) e)dx ( = [nβ] f(x)dx ( f(x) e)dx nα+βn nα+βnb nα+βn+[nβ](b ) ( f(x) e)dx ) f(x)dx = 0, ( f(x) e)dx

Rozdził 2. Podstwowe przestrzenie funkcyjne 27 Ztem Poniewż f n (x)dx 0 1 n E E f n (x)dx edx = 1 n edx 1 n E E nα+βn+([nβ]+1)(b ) nα+βn+[nβ](b ) nα+βnb nα+βn+[nβ](b ) nα+βnb nα+βn+[nβ](b ) f(x) e dx = 1 n ( f(x) e)dx f(x) e dx f(x) e dx dl n N i więc N mocy twierdzeni 2.17 1 n E f(x) e dx 0 f n (x)dx E edx 1 [f n ] [ b f(x)dx] w L (, b) 2.2 Przestrzenie L p (, b) L p (, b) i L (, b) L (, b) W iloczynie krtezjńskim X X wprowdzmy dodwnie i mnożenie elementów z X X przez liczby rzeczywiste: ([u], [v]) + ([u], [v]) = ([u] + [u], [v] + [v]), α([u], [v]) = (α[u], α[v]). Zbiór X X ze zdefiniownymi powyżej dziłnimi jest przestrzenią R- liniową. Symbolem L p (, b) L p (, b), przy ustlonym p 1, oznczć będziemy iloczyn krtezjński przestrzeni kls bstrkcji względem relcji funkcji cłkowlnych z p-tą potęgą n (, b), z normą ([u], [v]) p,p = [u] p p p + [v] p p. Ntomist symbolem L (, b) L (, b) oznczć będziemy iloczyn krtezjński przestrzeni kls bstrkcji względem relcji funkcji mierzlnych i ogrniczonych p.w. n (, b), z normą ([u], [v]), = mx{ [u], [v] }. Bezpośrednio z definicji funkcji p,p i, otrzymujemy nstępujące wnioski. Wniosek 2.21 ([u n ], [v n ]) ([u], [v]) w L p (, b) L p (, b), wtedy i tylko wtedy, gdy [u n ] [u] i [v n ] [v] w L p (, b). Wniosek 2.22 {([u n ], [v n ])} n N jest ciągiem Cuchy ego w L p (, b) L p (, b), wtedy i tylko wtedy, gdy ([u n ]) n N i ([v n ]) n N są ciągmi Cuchy ego w L p (, b).

Rozdził 2. Podstwowe przestrzenie funkcyjne 28 Wniosek 2.23 ([u n ], [v n ]) ([u], [v]) w L (, b) L (, b), wtedy i tylko wtedy, gdy [u n ] [u] i [v n ] [v] w L (, b). Wniosek 2.24 {([u n ], [v n ])} n N jest ciągiem Cuchy ego w L (, b) L (, b), wtedy i tylko wtedy, gdy ([u n ]) n N i ([v n ]) n N są ciągmi Cuchy ego w L (, b). Konsekwencją tych wniosków jest kolejne twierdzenie. Twierdzenie 2.25 Przestrzenie L p (, b) L p (, b) i L (, b) L (, b) są przestrzenimi Bnch. Będziemy terz chcieli schrkteryzowć słbą zbieżność w przestrzeni L p (, b) L p (, b). W tym celu udowodnimy njpierw twierdzenie o reprezentcji funkcjonłów liniowych i ciągłych w tej przestrzeni. Do dowodu tego twierdzeni potrzebny nm będzie poniższy Lemt 2.26 Złóżmy, że Y = L p (, b) dl p 1 lub Y = L (, b). Wówczs funkcjonł I : Y Y R jest liniowy i ciągły, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją jednozncznie wyznczone funkcjonły liniowe i ciągłe I 1 : Y R, I 2 : Y R tkie, że I(y 1, y 2 ) = I 1 (y 1 ) + I 2 (y 2 ) dl y 1, y 2 Y. Dowód. ( ) Weźmy y 1, y 2 Y. Wówczs I(y 1, y 2 ) = I(y 1, 0) + I(0, y 2 ). Przyjmijmy z I 1 = I(, 0): Y R, z I 2 = I(0, ): Y R. Są one liniowe i ciągłe jko 0-cięci funkcjonłu liniowego i ciągłego. Pokżemy, że funkcjonły I 1 i I 2 są wyznczone jednozncznie. Niech J 1 : Y R, J 2 : Y R tkie funkcjonły liniowe i ciągłe, że I(y 1, y 2 ) = J 1 (y 1 ) + J 2 (y 2 ) dl y 1, y 2 Y. Weźmy y 1 Y. Wtedy I 1 (y 1 ) + I 2 (0) = I(y 1, 0) = J 1 (y 1 ) + J 2 (0). Poniewż I 2 (0) = J 2 (0) = 0, więc I 1 (y 1 ) = J 1 (y 1 ). Z uwgi n dowolność y 1 Y mmy I 1 = J 1. Anlogicznie dowodzi się, że I 2 = J 2. ( ) Oczywiste. Twierdzenie 2.27 Złóżmy, że p, q > 1 i 1 p + 1 q = 1. Wówczs 1. Dl dowolnych funkcji mierzlnych g 1, g 2 : (, b) R, tkich, że [g 1 ], [g 2 ] L q (, b) funkcjonł F: L p (, b) L p (, b) R dny wzorem F ([f 1 ], [f 2 ]) = f 1(x)g 1 (x)dx+ f 2(x)g 2 (x)dx jest liniowy i ciągły orz F [g 1 ] q + [g 2 ] q. 2. Dl kżdego funkcjonłu F (L p (, b) L p (, b)) istnieją dokłdnie dwie w sensie równości p.w. funkcje mierzlne g 1, g 2 : (, b) R, tkie, że [g 1 ], [g 2 ] L q (, b) orz F ([f 1 ], [f 2 ]) = f 1(x)g 1 (x)dx + f 2(x)g 2 (x)dx.

Rozdził 2. Podstwowe przestrzenie funkcyjne 29 Ntomist dl p = 1 prwdziwe są tezy: 1. Dl dowolnych funkcji mierzlnych g 1, g 2 : (, b) R ogrniczonych p.w. n (, b) funkcjonł F: L 1 (, b) L 1 (, b) R dny wzorem F ([f 1 ], [f 2 ]) = f 1(x)g 1 (x)dx+ f 2(x)g 2 (x)dx jest liniowy i ciągły orz F [g 1 ] + [g 2 ]. 2. Dl kżdego funkcjonłu F (L 1 (, b) L 1 (, b)) istnieją dokłdnie dwie w sensie równości p.w. funkcje mierzlne g 1, g 2 : (, b) R, tkie, że [g 1 ], [g 2 ] L (, b) orz F ([f 1 ], [f 2 ]) = f 1(x)g 1 (x)dx + f 2(x)g 2 (x)dx. Dowód. Obierzmy p > 1. Weźmy q > 1 tkie, że 1 + 1 = 1. Niech [g p q 1], [g 2 ] L q (, b). Funkcjonł F: L p (, b) L p (, b) R dny wzorem F ([f 1 ], [f 2 ]) = jest dobrze określony, bowiem F ([f 1 ], [f 2 ]) f 1 (x)g 1 (x)dx + f 1 (x) g 1 (x) dx + f 2 (x)g 2 (x)dx [f 1 ] p [g 1 ] q + [f 2 ] p [g 2 ] q f 2 (x) g 2 (x) dx p [f 1 ] p p + [f 2] p p ( [g 1] q + [g 2 ] q ) = ([f 1 ], [f 2 ]) p,p ( [g 1 ] q + [g 2 ] q ) dl [f 1 ], [f 2 ] L p (, b). Z twierdzeni Riesz 3 funkcjonły F 1, F 2 : L p (, b) R zdefiniowne nstępująco F 1 ([f]) = f(x)g 1 (x)dx, F 2 ([f]) = f(x)g 2 (x)dx są liniowe i ciągłe. Co więcej, F ([f 1 ], [f 2 ]) = F 1 ([f 1 ]) + F 2 ([f 2 ]) dl [f 1 ], [f 2 ] L p (, b). N mocy lemtu 2.26 F jest liniowy i ciągły, z powyższej nierówności wynik, że F [g 1 ] q + [g 2 ] q. Weźmy funkcjonł F (L p (, b) L p (, b)). Z lemtu 2.26 wynik, że F ([f 1 ], [f 2 ]) = F 1 ([f 1 ]) + F 2 ([f 2 ]) dl [f 1 ], [f 2 ] L p (, b), gdzie funkcjonły F 1, F 2 (L p (, b)) i są jednozncznie wyznczone. N mocy twierdzeni Riesz istnieją dokłdnie dwie w sensie równości p.w. funkcje mierzlne g 1, g 2 : (, b) R, tkie, że [g 1 ], [g 2 ] L q (, b) orz F 1 ([f]) = dl [f] L p (, b). Stąd f(x)g 1 (x)dx, F 2 ([f]) = F ([f 1 ], [f 2 ]) = F 1 ([f 1 ]) + F 2 ([f 2 ]) = f 1 (x)g 1 (x)dx + 3 J. Musielk, Wstęp do nlizy funkcjonlnej, Wrszw 1989, s. 182. f(x)g 2 (x)dx f 2 (x)g 2 (x)dx

Rozdził 2. Podstwowe przestrzenie funkcyjne 30 dl [f 1 ], [f 2 ] L p (, b). W przypdku p = 1 dowód jest nlogiczny. Wniosek 2.28 Złóżmy, że p [1, + ). Wówczs ([f n ], [h n ]) ([f], [h]) w L p (, b) L p (, b), wtedy i tylko wtedy, gdy [f n ] [f] w L p (, b) i [h n ] [h] w L p (, b). Dowód. Podmy dowód wniosku w przypdku p = 1. Dowód dl p (1, + ) przebieg nlogicznie. ( ) Weźmy funkcję g: (, b) R mierzlną i ogrniczoną p.w. n (, b). Przyjmijmy g 1 = g, g 2 = 0. Poniewż ([f n ], [h n ]) ([f], [h]) w L 1 (, b) L 1 (, b), więc n mocy twierdzeni 2.27 czyli f n (x)g 1 (x)dx + h n (x)g 2 (x)dx f n (x)g(x)dx Przyjmując odwrotnie g 1 = 0 i g 2 = g otrzymmy h n (x)g(x)dx f(x)g 1 (x)dx + f(x)g(x)dx h(x)g(x)dx h(x)g 2 (x)dx Z uwgi n dowolność [g] L (, b) z twierdzeni Riesz wynik, że [f n ] [f] i [h n ] [h] w L 1 (, b). ( ) Niech g 1, g 2 : (, b) R funkcje mierzlne, ogrniczone p.w. n (, b). Poniewż [f n ] [f] i [h n ] [h] w L 1 (, b), więc i Stąd f n (x)g 1 (x)dx h n (x)g 2 (x)dx f(x)g 1 (x)dx h(x)g 2 (x)dx f n (x)g 1 (x)dx + h n (x)g 2 (x)dx f(x)g 1 (x)dx + h(x)g 2 (x)dx Z uwgi n dowolność [g 1 ], [g 2 ] L (, b) z twierdzeni 2.27 wynik, że ([f n ], [h n ]) ([f], [h]) w L 1 (, b) L 1 (, b). Wykorzystując powyższy wniosek udowodnimy nstępujące twierdzenie. Twierdzenie 2.29 Dl kżdego p (1, + ) przestrzeń L p (, b) L p (, b) jest refleksywn.

Rozdził 2. Podstwowe przestrzenie funkcyjne 31 Dowód. Weźmy p > 1. N mocy twierdzeni 1.4 wystrczy pokzć, że kżdy ciąg ogrniczony w L p (, b) L p (, b) m podciąg słbo zbieżny w tej przestrzeni. Niech {([f n ], [h n ])} n N będzie ciągiem ogrniczonym w L p (, b) L p (, b). Wtedy istnieje tkie K > 0, że dl kżdego n N mmy ([f n ], [h n ]) p,p K. Poniewż ([f n ], [h n ]) p,p = p [f n ] p p + [h n] p p mx{ [f n] p, [h n ] p } więc [f n ] p K i [h n ] p K dl n N. W konsekwencji ciągi ([f n ]) n N i ([h n ]) n N są ogrniczone w przestrzeni refleksywnej L p (, b). Stąd istnieją podciągi ([f nk ]) k N ([f n ]) n N, ([h nk ]) k N ([h n ]) n N orz funkcje [f], [h] L p (, b), tkie, że [f nk ] [f] i [h nk ] [h] w L p (, b). Ztem n mocy wniosku 2.28 ([f nk ], [h nk ]) ([f], [h]) w L p (, b) L p (, b). 2.3 Funkcje bsolutnie ciągłe Definicj 2.9 Funkcj f : [, b] R jest bsolutnie ciągł, jeżeli dl dowolnego ε > 0 istnieje tkie δ > 0, że dl kżdego skończonego ciągu {[ i, b i ]} n i=1 prmi rozłącznych podprzedziłów przedziłu [, b] spełniony jest nstępujący wrunek: n (b i i ) < δ = i=1 n f( i ) f(b i ) < ε i=1 Zbiór wszystkich funkcji bsolutnie ciągłych n przedzile [, b] oznczć będziemy symbolem AC[, b]. Uwg. Funkcj f : [, b] R jest bsolutnie ciągł, wtedy i tylko wtedy, gdy dl dowolnego ε > 0 istnieje tkie δ > 0, że dl kżdego ciągu {[ i, b i ]} + i=1 prmi rozłącznych podprzedziłów przedziłu [, b] spełniony jest nstępujący wrunek: + i=1 (b i i ) < δ = + i=1 f( i ) f(b i ) < ε Dowód. Oczywiście powyższe stwierdzenie implikuje wrunek w definicji 2.9. Zuwżmy, że prwdziw jest również implikcj odwrotn. Ustlmy ε > 0. Z definicji 2.9 wynik, że istnieje δ > 0 tkie, że dl kżdego skończonego ciągu {[ i, b i ]} n i=1 prmi rozłącznych podprzedziłów przedziłu [, b] jeśli n i=1 (b i i ) < δ, to n i=1 f( i) f(b i ) < ε. 2 Weźmy dowolny ciąg {[ i, b i ]} + i=1 prmi rozłącznych podprzedziłów przedziłu [, b] tki, że + i=1 (b i i ) < δ. Ciąg { n i=1 f(b i) f( i ) } n N jest niemlejący. Co więcej, jest ogrniczony z góry. Mmy bowiem n i=1 (b i i ) + i=1 (b i i ) < δ, więc n i=1 f(b i) f( i ) < ε dl n N. Stąd istnieje 2 lim n f(b i ) f( i ) = i=1 + i=1 f(b i ) f( i )

Rozdził 2. Podstwowe przestrzenie funkcyjne 32 i + i=1 f(b i ) f( i ) ε 2 < ε Stwierdzenie 2.30 Prwdziwe są nstępujące zdni: 1. Kżd funkcj bsolutnie ciągł f: [, b] R jest jednostjnie ciągł. 2. Jeśli f AC[, b] jest ściśle monotoniczn orz f([, b]) [α, β] i g AC[α, β], to g f AC[, b]. 3. Kżd funkcj bsolutnie ciągł jest funkcją o whniu skończonym. Dowód. Łtwe dowody tez 1 i 2 pomijmy. Niech f : [, b] R będzie funkcją bsolutnie ciągłą. Whnie funkcji f oznczć będziemy symbolem b f. N mocy definicji 2.9 istnieje tkie δ > 0, że dl kżdego skończonego ciągu {[ i, b i ]} n i=1 prmi rozłącznych podprzedziłów przedziłu [, b] jeśli n i=1 (b i i ) < δ, to n i=1 f( i) f(b i ) < 1. Niech {x i } k i=0 będzie podziłem odcink [, b], tzn. = x 0 < x 1 <... < x k 1 < x k = b, tkim, że x i x i 1 < δ dl i = 1, 2,..., k. Wówczs b f = k x i f i=1 x i 1 gdzie x i x i 1 f jest whniem funkcji f [xi 1,x i ]. Ustlmy i {1, 2,..., k}. Weźmy dowolny podził {x i l }s l=0 odcink [x i 1, x i ]. Poniewż s l=1 (xi l xi l 1 ) = x i x i 1 < δ, więc s l=1 f(x i l ) f(x i l 1 ) < 1. Stąd xi x i 1 f 1, z uwgi n dowolność 1 i k mmy b f k. Uwg. Poniewż kżd funkcj bsolutnie ciągł f : [, b] R m whnie skończone, więc n mocy twierdzeni Lebesgue 4 f jest różniczkowln p.w. n [, b]. Widomo tkże, że jej pochodn jest funkcją cłkowlną orz f(x) = f()+ x f (t)dt dl x [, b] 5. Twierdzenie 2.31 Niech g : [, b] R będzie funkcją cłkowlną. Wtedy funkcj f : [, b] R dn wzorem f(x) = f() + x g(t)dt jest bsolutnie ciągł orz f = g p.w. n [, b]. 6 Wniosek 2.32 Funkcj f : [, b] R jest bsolutnie ciągł, wtedy i tylko wtedy, gdy f jest różniczkowln p.w., f jest funkcją cłkowlną orz f(x) = f() + x f (t)dt dl x [, b]. 4 S. Łojsiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, Wrszw 1973, s. 158. 5 S. Łojsiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, Wrszw 1973, s. 173. 6 Porównj: R. Sikorski, Funkcje rzeczywiste, Wrszw 1958, tom 1, s. 404.