MCIERZE I WYZNCZNIKI Defiicj Mcierą o współcyikch recywistych (espoloych) i wymire m x ywmy pryporądkowie kżdej pre licb turlych (i,k), i,,, m, k,,,, dokłdie jedej licby recywistej ik [ ik ] mx (espoloej) Mcier ocmy symbolem lub symbolem i pisujemy w postci tblicy Licby ik [ ] ik mx m m ywmy elemetmi mciery m
Defiicj Elemety [ ], i,,,, i i i m ywmy i-tym wiersem mciery, tomist elemety k k, k,,, mk ywmy k-tą kolumą mciery Pry tych defiicjch licb m jest licbą wiersy, tomist licb jest licbą kolum mciery
Defiicj Mcier ywmy kwdrtową gdy licb jej wiersy jest rów licbie jej kolum, t gdy m W preciwym prypdku mcier ywmy prostokątą Defiicj Mcier kwdrtową o wymire x ywmy mcierą stopi, licbę stopiem tej mciery
Defiicj Elemety,,, mciery kwdrtowej ywmy jej prekątą główą
Defiicj 6 Dwie mciere [ ik ] mx i B [ b ik ] mx tego smego wymiru m x ywmy rówymi, jeśli wsystkie ich elemety położoe tych smych miejscch są sobie rówe, t jeśli i,, m, k,,,, ik b ik Wiosek Relcj rówości mciery jest wrot, symetryc i prechodi
Defiicj 6 Dwie mciere [ ik ] mx i B [ b ik ] mx tego smego wymiru m x ywmy rówymi, jeśli wsystkie ich elemety położoe tych smych miejscch są sobie rówe, t jeśli i,, m, k,,,, ik b ik Wiosek Relcj rówości mciery jest wrot, symetryc i prechodi Defiicj 7 Mcierą trspoową mciery [ ik ] mx wymiru m x T ywmy mcier [ bik ] xm wymiru x m utworoą mciery popre mię jej wiersy kolumy (lub kolum wierse) chowiem ich kolejości, t : i,,, m, k,,,, b ik ki
Defiicj Mcierą erową ywmy mcier, której wsystkie elemety są rówe ero Mcier erową rędu m x ocmy O x symbolem lub O m
Defiicj Mcierą erową ywmy mcier, której wsystkie elemety są rówe ero Mcier erową rędu m x ocmy O x symbolem lub O m Defiicj 9 Mcierą symetrycą ywmy mcier kwdrtową [ ik ] x, której elemety położoe symetrycie wględem prekątej główej są rówe, t jeśli ij ji I
Defiicj Mcierą erową ywmy mcier, której wsystkie elemety są rówe ero Mcier erową rędu m x ocmy O x symbolem lub O m Defiicj 9 Mcierą symetrycą ywmy mcier kwdrtową [ ik ] x, której elemety położoe symetrycie wględem prekątej główej są rówe, t jeśli ij Defiicj Mcierą digolą ywmy mcier kwdrtową [ ik ] x, której elemety położoe po prekątą główą są rówe ero, t jeśli i k, ik, i,,,, k,,, ji
Defiicj Mcierą erową ywmy mcier, której wsystkie elemety są rówe ero Mcier erową rędu m x ocmy O x symbolem lub O m Defiicj 9 Mcierą symetrycą ywmy mcier kwdrtową [ ik ] x, której elemety położoe symetrycie wględem prekątej główej są rówe, t jeśli ij Defiicj Mcierą digolą ywmy mcier kwdrtową [ ik ] x, której elemety położoe po prekątą główą są rówe ero, t jeśli i k, ik, i,,,, k,,, Defiicj Mcierą jedostkową ywmy mcier digolą tką, że ii, i,,, Mcier jedostkową stopi ocmy symbolem lub I ji I
Defiicj Sumą (różicą) dwóch mciery [ ik ] mx i B [ bik ] mx tego smego wymiru m x ywmy mcier tego smego wymiru B C ik ( B C [ c ) [ c ] której elemetmi są cik ik bik, i,,, m, k,,, m ( c b, i,,, m, k, ) ik ik ik,, Powyżs defiicj oc, że dodwie (odejmowie) mciery poleg dodwiu (odejmowiu) ich elemetów położoych w tych smych miejscch ik x ] m x
Defiicj Ilocyem mciery [ ik ] mx o wymire m x pre licbę λ ywmy mcier C [ c ik ] tego smego wymiru, mx której elemetmi są cik λik, i,,, m, k,,, Pisemy wtedy C λ Powyżs defiicj oc, że możeie mciery pre licbęλ poleg pomożeiu pre tę licbę kżdego elemetu tej mciery Wiosek Możeie mciery pre licbę jest premiee, t λ λ
Defiicj Ilocyem mciery B [ b jk ] r x o wymire m x r i mciery o wymire r x ywmy mcier o wymire m x, której elemetmi są c ik i b k ib k irbrk, i,,, m, k,,, Powyżs defiicj oc, że wyr położoy w i-tym wiersu i k-tej kolumie mciery C jest sumą ilocyów odpowidjących sobie elemetów i-tego wiers mciery i k-tej kolumy mciery B, t jest ilocyem sklrym wektor,,, ] i wektor b, b,, b ] [ i i ir C [ ij B ] m x [ r c ik ] m x c ik [ k k rk
Uwg Możeie mciery pre mcier jest określoe tylko dl mciery których pierws m licbę kolum rówą licbie wiersy drugiej ich Oc to, że możeie mciery ie jest premiee, t jeśli możeie B jest wykole to ie wse jest wykole możeie B i ie wse chodi rówość BB Wiosek Jeśli możeie mciery jest wykole, to I, I O O, O O ( B ) C ( BC) (łącość) ( ± B) C C ± BC (rodielość) Uwg Mciere jedostkow I or erow O podcs możei mciery pełią tką smą rolę jk licby i w możeiu licb
Mciery kwdrtowej wymiru x pryporądkow jest licb w jej wycikiem Wycik mciery ocmy symbolem lub krótko symbolmi W det,,
Defiicj Miorem mciery lub wycik ywmy kżdy wycik powstły dej mciery lub wycik popre skreśleie odpowiediej licby wiersy i kolum tej mciery lub wycik Prykłd 6 Prykłdowe miory: 6 otrymy w wyiku skreślei -ciej i -tej kolumy mciery otrymy w wyiku skreślei -go wiers or -giej, -tej i -tej kolumy mciery
Defiicj 6 Miorem odpowidjącym elemetowi lub wycik ywmy wycik mciery kwdrtowej powstły dej mciery lub wycik popre skreśleie i-tego wiers or ik M ik k-tej kolumy tej mciery lub wycik Prykłd 6 Miorem odpowidjącym elemetowi M jest wycik otrymy w wyiku skreślei -go wiers i -giej kolumy
Defiicj 7 Dopełieiem lgebricym elemetu kwdrtowej ywmy licbę Defiicj Wycikiem mciery kwdrtowej pierwsego ywmy licbę ik mciery i k ik ( ) M [ ] ik stopi Defiicj 9 (rowiięcie Lplce [wg -sego wiers]) Wycikiem mciery kwdrtowej stopi,, ywmy licbę det i i i
Włsość (rowiięcie Lplce [wg i-tego wiers]) Wycik mciery kwdrtowej stopi,, jest rówy: det ii i i i i Włsość (rowiięcie Lplce [wg k-tej kolumy]) Wycik mciery kwdrtowej stopi,, jest rówy: det k k k k Włsości i ocją, że wycik jest sumą ilocyów elemetów dowolego jego wiers lub kolumy pre ich dopełiei lgebrice k k
Prykłd Oblicyć wycik treciego stopi Rowiąie: Stosując rowiięcie według treciego wiers otrymujemy ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
Twierdeie (włsości wycików) wycik posidjący wiers lub kolumę łożoą smych er jest rówy ero wycik posidjący dw tkie sme wierse lub dwie tkie sme kolumy jest rówy ero wycik posidjący wiers lub kolumę będącą ilocyem iego wiers lub odpowiedio kolumy or licby jest rówy ero wycik posidjący wiers lub kolumę będącą kombicją liiową iych wiersy lub odpowiedio kolum jest rówy ero prestwieie dwóch wiersy lub kolum wycik miei jego k preciwy
Twierdeie (włsości wycików) wycik posidjący wiers lub kolumę łożoą smych er jest rówy ero wycik posidjący dw tkie sme wierse lub dwie tkie sme kolumy jest rówy ero wycik posidjący wiers lub kolumę będącą ilocyem iego wiers lub odpowiedio kolumy or licby jest rówy ero wycik posidjący wiers lub kolumę będącą kombicją liiową iych wiersy lub odpowiedio kolum jest rówy ero prestwieie dwóch wiersy lub kolum wycik miei jego k preciwy 6 dodie do wiers lub kolumy odpowiedio iego wiers lub kolumy którego elemety pomożoe ostły pre pewą licbę ie miei wrtości wycik
7 dodie lub odjęcie od wiers lub kolumy odpowiedio kombicji liiowej iych wiersy lub kolum ie miei wrtości wycik 9 pomożeie wsystkich elemetów wiers lub kolumy wycik pre licbę oc pomożeie wrtości wycik pre tę licbę jeżeli jest mcierą kwdrtową stopi, to α α jeżeli i B są mciermi kwdrtowymi stopi, to B B T jeżeli jest digol, to Prykłd Rowiąż rówie 6 j
k k ( ) k k w w k k w w Rowiie
) si 6(cos 6 π π j j ) si (cos π π j ) si (cos π π j ) 9 si 9 (cos π π j ) si (cos π π j
Defiicj Mcierą osobliwą ywmy mcier kwdrtową, której wycik jest rówy ero Prykłd Mciermi osobliwymi są: [ ] B 6 6 C Defiicj Mcierą ieosobliwą ywmy mcier kwdrtową, której wycik jest róży od er Mciermi ieosobliwymi są prykłd I
Defiicj Mcierą dołącoą mciery kwdrtowej ywmy mcier trspoową mciery dopełień lgebricych mciery, t T D x gdie,,,,,,,,, ) ( k i M ik k i ik są dopełieimi elemetów ik mciery
Defiicj Mcierą odwrotą mciery kwdrtowej ieosobliwej x ik ] [ ywmy mcier spełijącą rówość I Prykłd Korystjąc defiicji wycyć mcier odwrotą mciery stępie sprwdić uysky wyik Rowiąie d c b I d c b
Twierdeie Jeśli mcier kwdrtow jest mcierą ieosobliwą, t, to jej mcier odwrot określo jest worem D, Wiosek
Prykłd Wycyć mcier odwrotą mciery Rowiąie:, det więc mcier jest ieosobliw
Prykłd Wycyć mcier odwrotą mciery Rowiąie:, det więc mcier jest ieosobliw stępie 6 9 D 6 9 6 9 6 9 T D
Metod Guss w w 6 w w w w ( ) 6 9 6 w w w w Mcier otrym po prwej stroie jest mcierą odwrotą mciery Tworymy stępującą mcier:
X Prykłd Rowiąć rówie mcierowe
Defiicj Rędem r() mciery ieerowej [ ik ] mx ywmy jwięksy spośród stopi różych od er miorów tej mciery Pryjmujemy r( ) x Wiosek Jeśli jest mcierą wymiru mx, to r( ) mi(, m) Wiosek dodie lub odjęcie od wiers lub kolumy odpowiedio kombicji liiowej iych wiersy lub kolum ie miei wrtości rędu mciery pomożeie wsystkich elemetów wiers lub kolumy mciery pre licbę różą od er ie miei wrtości rędu mciery prestwieie dwóch wiersy lub kolum mciery ie miei wrtości rędu mciery pomiięcie wiers lub kolumy, których wsystkie elemety są rówe ero ie miei wrtości rędu mciery m