3. KRAOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA IUSRACJA MEODY 3. KRAOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA IUSRACJA MEODY Chcąc w ajprostszy sposób zilustrować ię poziału struktury a lmty (yskrtyzacji) oraz tchikę buowaia macirzy sztywości całgo ukłau, posłużymy się prostym przykłam kratowicy płaskij. Dla tgo przykłau w aturaly sposób arzuca się poział, czyli yskrtyzacja, która zakłaa, ż każy pręt kratowicy jst joczśi lmtm. Płą iformację o stai okształcń, aprężń i przmiszczń pręta (lmtu) uzyskamy, gy bęzimy zali przmiszczia jgo końców. Zakłaamy oczywiści klasyczi, ż węzły są ialymi przgubami, a siły są tak przyłożo w węzłach, ż wszystki lmty przoszą wyłączi siły osiow oraz ż matriał prętów jst liiowo-sprężysty. Ograiczamy się o gomtryczi liiowj torii. 3.. Sztywość lmtu w globalym ukłazi współrzęych Rozważmy pręt (-), którgo położi w ukłazi współrzęych x y, wspólym la całj rozważaj struktury (w tzw. ukłazi globalym), jst przstawio a rysuku 3.. Załóżmy, ż stał a ługości lmtu pol powirzchi przkroju pręta ozaczoo przz A, zaś mouł Youga matriału - przz E. Długość lmtu wyzaczamy z prostj zalżości gomtryczj jako fukcję współrzęych węzłów: = ( x y (3.) x) + ( y ) Potrzb rlacj fiiując achyli lmtu mają postać: x x y y cosα = c =, siα = s = (3.) Rys. 3.. Elmt kratowicy płaskij. Dfiicja stopi swoboy i sił wwętrzych Przmiszczia węzłów lmtu zgrupujmy w jym wktorz cztroskłaikowym: [ u, v, u v ], = (3.3) O takim lmci mówimy, ż ma cztry stopi swoboy. W wyiku obciążia i formacji całgo ukłau rozważay pręt zajmi położi. Pomijając fkty rugorzę, wyłużi lmtu zapiszmy w postaci zalżości omasz Łoygowski, Witol Kąkol Mtoa lmtów skończoych w wybraych zagaiiach mchaiki kostrukcji iżyirskich Alma Matr
3. KRAOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA IUSRACJA MEODY = u u ) c + ( v v ) s (3.4) ( Okształci połuż pręta zfiiujmy klasyczi jako ε = (3.5) i wyrazimy za pomocą wktora przmiszczń węzłów w astępujący sposób: ε = B, gzi B = [ c s c s] (3.6) Macirz siła osiowa N B azywaa bywa macirzą zgoości gomtryczj. Wprost z prawa Hook'a wyika, ż w lmci wyosi: N = E A ε = E A B = C (3.7) gzi macirz C = E A B azywaa jst ikiy macirzą sił węzłowych. Zapiszmy traz siły węzłow, wyrażo w skłaowych oisioych o ukłau globalgo, ziałając w węzłach i. Nich wktor tych sił bęzi ozaczoy przz P : [ H V H ] P = (3.8) V Opowii siły węzłow wyrażo są za pomocą astępujących zalżości: H = N c, V = N s, H = N c, V = N s. (3.9) W końcu więc otrzymujmy P = B N = B E A B = K = c E A c s c c s c s s c s s c c s c c s c s s c s s (3.) Dla tgo prostgo lmtu o razu uało się am wyrazić skłaow opratora (macirzy sztywości lmtu) w globalym ukłazi współrzęych. Dla wilu iych lmtów taka praktyka byłaby iskutcza. Okaż się potm, ż zaczi praktyczijsz jst wyzaczi opowiich opratorów w ukłaach oisioych o tzw. współrzęych lokalych. Poiważ skłaow wszystkich macirzy sztywości K K muszą być wyrażo w oisiiu o jgo wspólgo ukłau współrzęych, trzba bęzi rprztacj tych opratorów prztrasformować z ukłau lokalgo o globalgo. W rozzial 3.5 zajmimy się problmm trasformacji skłaowych wktorów z ukłau lokalgo o globalgo, a tym samym wyprowazimy opowii formuły trasformacyj la macirzy sztywości. Przyjrzyjmy się przz chwilę macirzy sztywości lmtu K. Łatwo zauważyć, ż macirz ta jst symtrycza i osobliwa. Moża się tż przkoać, ż zaklarowai przmiszczń węzłów, opowiaających sztywj traslacji lmtu bąź sztywgo obrotu, i wywołuj żaych sił węzłowych. Zając macirz sztywości wszystkich lmtów, bęzimy mogli zbuować macirz sztywo- K ści całgo ukłau, która jst opratorm wiążącym wktor przmiszczń wszystkich węzłów ukłau z wktorm obciążń węzłowych ukłau. K omasz Łoygowski, Witol Kąkol Mtoa lmtów skończoych w wybraych zagaiiach mchaiki kostrukcji iżyirskich Alma Matr
3. KRAOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA IUSRACJA MEODY 3 3.. Scali czyli agrgacja macirzy sztywości ukłau Procs buowaia macirzy sztywości ukłau z macirzy sztywości lmtów wyrażoych w tym samym ukłazi współrzęych (ukłazi globalym) azywamy agrgacją. Agrgacja zapwia rówość przmiszczń węzłów, któr joczśi alżą c różych lmtów. Jst tż spłiim rówań irozzilości okształcń w węzłach ukłau. Rys. 3..Kratowica płaska obciążoa wima siłami Przślźmy procs agrgowaia macirzy sztywości ukłau a przykłazi kratowicy przstawioj a rysuku 3.. Ukła t skłaa się z szściu lmtów, któr łączą z sobą pięć węzłów. Globala liczba stopi swoboy ukłau jst rówa (po wi skłaow przmiszczń w każym węźl). ak więc globala macirz sztywości ukłau ma wymiary x. Agrgacja macirzy sztywości ukłau K ( x) polga a sumowaiu skłaowych macirzy sztywości lmtów K ( 4x4) w opowiich mijscach macirzy K. Jżli założymy, ż lmt łączy węzły i oraz j, to skłaow macirzy bęą umiszczo w macirzy ukłau K w taki sposób, by zwiększyć sztywość opowiich wyrazów tj macirzy. Na przykła skłaow macirzy trzcigo i czwartgo lmtu kratowicy (rys. 3. ) bęą umiszczo w mijscach związaych z przmiszcziami węzłów i 4 la lmtu 3 oraz 4 i 3 la lmtu 4. Umiszczi opowiich skłaowych tych lmtów w macirzy sztywości ilustruj rysuk 3.3. Mijsc oawaia skłaowych macirzy trzcigo lmtu zazaczoo zakim +, zaś czwartgo - zakim o. Wktor obciążia w tym prostym przypaku ( x) jst wktorm sił zwętrzych. W sytuacjach barzij skomplikowaych, kiy obciążia węzłow są wyikim sił ziałających a poszczgól lmty, procs scalaia wygląa barzo poobi i polga a sumowaiu fktów wziętych z lmtów w opowiich mijscach wktora globalgo. Zauważmy, ż utworzoa macirz sztywości ukłau jst macirzą symtryczą i osobliwą. Wyika to z sposobu scalaia tj macirzy i faktu, ż wszystki macirz lmtów mają tę samą własość. Utworzoy ukła rówań K = P (3.) K omasz Łoygowski, Witol Kąkol Mtoa lmtów skończoych w wybraych zagaiiach mchaiki kostrukcji iżyirskich Alma Matr
3. KRAOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA IUSRACJA MEODY 4 Rys. 3.3. Agrgacja macirzy sztywości gzi K jst zbuowaą macirzą sztywości ukłau ( x), jst wktorm przmiszczń węzłów (x) oraz P jst wktorm obciążń węzłów ( x), i ma w tj postaci rozwiązaia, gyż i są jszcz zfiiowa waruki brzgow. 3.3. Moyfikacja ukłau rówań przz wprowazi waruków brzgowych Wprowazi w zaaiu waruków brzgowych polga a takij moyfikacji ukłau rówań (3.), która spowouj, ż przy założoych obciążiach P przmiszczia puktów poporowych bęą rów zru. Spośró kilku stosowaych sposobów moyfikacji tgo ukłau zapropoujmy astępujący. Polga o a umiszcziu a główj przkątj macirzy K, w wirszu opowiaającym zrowmu przmiszcziu, liczby rówj. oraz a wyzrowaiu rszty wyrazów tgo wirsza i kolumy. Zruj się takż opowii wirsz wktora P. W t sposób w aym rówaiu jst tylko ja iwiaoma - przmiszczi, któr musi być rów zru. W omawiaym przykłazi, który jst ilustracją okoywaych kroków, zrow musi być przmiszczi węzłów i 4 w obu kirukach (stopi swoboy, oraz 7, 8), a takż przmiszczi węzła 5 w kiruku poziomym (stopiń swoboy 9). Zbuowaa w wyiku agrgacji macirz sztywości musi być zmoyfikowaa wług astępującgo schmatu (pust pola ozaczają wyrazy izrow): omasz Łoygowski, Witol Kąkol Mtoa lmtów skończoych w wybraych zagaiiach mchaiki kostrukcji iżyirskich Alma Matr
3. KRAOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA IUSRACJA MEODY 5 = 9 8 7 p p (3.) W powyższym ukłazi rówań poao postać wktora obciążia. Zapropooway zabig moyfikacji polga a utrzymaiu i zmiioj liczby stopi swoboy ukłau, przy czym w sposób aturaly otrzymamy zrow przmiszczia puktów, w których zfiiowao poparci. Macirz sztywości ukłau jst iosobliwa i oatio okrśloa, a wobc zaaych obciążń istij jozacz rozwiązai tgo ukłau. W wyiku rozwiązaia ukłau rówań liiowych (3.) otrzymamy pozostał, iza otą przmiszczia Ni bęzimy się w tym mijscu zajmowali tchikami umryczymi rozwiązywaia ukłaów rówań liiowych, któr w iktórych przypakach (symtria, uż wymiary macirzy, itp.) są barzo skomplikowa. Ją z możliwych propozycji, jak rozwiązywać ukła rówań (3.), zamiszczoo w Doatku A. P.,,,, 6 5 4 3 3.4. Opowiź ukłau i posumowai główych kroków mtoy O rozwiązaiu problmu możmy mówić, gy zamy już wszystki przmiszczia węzłów. Wybirając z ich opowii skłaow globalgo wktora przmiszczń a postawi (3.7), okrślimy siły osiow w wszystkich prętach, alj rakcj popór (z rówowagi węzłów poporowych). By zalźć rakcj popór, czyli siły rówoważąc węzły w kiruku obrago stopia swoboy, wystarczy przmożyć ay wirsz macirzy (prz moyfikacją) przz zay już wktor przmiszczń i uwzglęić obciążi. K P W clu zautomatyzowaia wymiioych powyżj kroków alży w zbiorz aych zfiiować macirz, w których bęą zstawio iformacj o gomtrii wszystkich lmtów, oraz macirz fiiując topologię struktury czyli zstawii umrów węzłów alżących o wszystkich lmtów. omasz Łoygowski, Witol Kąkol Mtoa lmtów skończoych w wybraych zagaiiach mchaiki kostrukcji iżyirskich Alma Matr
3. KRAOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA IUSRACJA MEODY 6 Rys. 3.4. Schmat blokowy obliczń kratowicy Posumowaia zasaiczych kroków mtoy okoao a rysuku 3.4. Przstawia o ogóly schmat blokowy programu ralizującgo obliczia owolj kratowicy. Oprócz zaych i używaych już ozaczń a schmaci występuj: Nlm - liczba lmtów ukłau oraz lm - liczik tych lmtów. 3.5. Ukła współrzęych lokalych i globalych oraz trasformacja wktorów i macirzy Spróbujmy jszcz przyskutować problm rozwiązywaia zaaia kratowicy, rozpoczyając o buowaia wyrazów macirzy sztywości i wktorów przmiszczń i obciążń w ukłazi związaym z lmtm. Przyczya powtórgo aalizowaia tgo samgo problmu lży w tym, ż la większości lmtów zaczi barzij użytcz jst ooszi się o ukłau współrzęych lokalych, a opiro a koic trasformowai opowiich wktorów i macirzy o wspólgo ukłau oisiia (globalgo). Rozpatrzmy lmt w takim ukłazi osi x ', ż oś x ' pokrywa się z osią pręta, zaś jst protopałą o ij, a początk ukłau zajuj się w jym z węzłów (rys.3.5). Przz u ', u' ozaczoo przmiszczia węzłów i wzłuż osi pręta, zaś przz v ', v ' - prostopał o osi pręta. Opowii siły węzłow ozaczoo użymi litrami U i V. omasz Łoygowski, Witol Kąkol Mtoa lmtów skończoych w wybraych zagaiiach mchaiki kostrukcji iżyirskich Alma Matr
3. KRAOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA IUSRACJA MEODY 7 Rys. 3.5. Elmt kratowicy w lokalym ukłazi współrzęych Zgoi z prawm Hook'a wyłużi lmtu wyosi: N δ = (3.3) E A gzi N jst siłą połużą, - ługością pręta, E - moułm Youga. ak więc siły ziałając w węzłach wzłuż osi pręta wyrażają się w postaci: U E A E A = ( u' ' ), U ' = ( u' u ' ). (3.4) ' u Poato z rówań rówowagi wyika, ż U ' U ' = oraz V = V (3.5) ' ' = Zapisując powyższ rówaia rówowagi w postaci ukłau rówań otrzymujmy : E A u v u v ' ' ' ' U V = U V ' ' ' ', (3.6) gzi oczywiści ługość lmtu moża wyrazić w zay sposób jako fukcję współrzęych węzłów (3.). Otrzymay wyik zapiszmy krócj w postaci rówaia macirzowgo : K = p, (3.7) ' ' ' w którym iks x'. oosi wilkości o lmtu, zaś ' iformuj o posługiwaiu się ukłam lokalym omasz Łoygowski, Witol Kąkol Mtoa lmtów skończoych w wybraych zagaiiach mchaiki kostrukcji iżyirskich Alma Matr
3. KRAOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA IUSRACJA MEODY 8 Przjźmy o rlacji mięzy ukłam lokalym i globalym. Rozważmy owoly wktor r (p. ityfikujący położi puktu P ) w wóch ukłaach współrzęych x y (globalym) i x' (lokalym) jak to ma mijsc a rysuku 3.6. Rys. 3.6. Ukła współrzęych: lokaly x' i globaly xoy. Jżli przz i i j ozaczymy wrsory osi ukłau x y zaś przz i ' i j' wrsory osi ukłau x', to wktor r moż być w tych ukłaach wyrażoy w postaci astępującj rprztacji: r = r i r j w ukłazi x y x + y oraz r = r i' r j'. w ukłazi x' x ' + (3.8) Z rówości lwych stro wyika, ż r i + r j = r i' r j' (3.9) x y x' + Możąc skalari obi stroy tj rówości przz wktor i, otrzymujmy: r x = r i' i r j' i, (3.) x' + gyż ii =, zaś ij = z wzglęu a ortogoalość osi. Jżli ozaczymy, ż ii' = cos( x, x' ) = ij' = cos( x, ) = ' ' wówczas możąc obi stroy (3.9) takż skalari przz j, możmy apisać: r r x y = r x' = r x' + r + r ', (3.) lub macirzowo rx = ry r r x', (3.) omasz Łoygowski, Witol Kąkol Mtoa lmtów skończoych w wybraych zagaiiach mchaiki kostrukcji iżyirskich Alma Matr
3. KRAOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA IUSRACJA MEODY 9 albo krócj r = r' oraz, co łatwo uowoić, r' = r, gzi =, (3.3) gzi jst macirzą trasformacji. Wracając o zaaia z kratowicą, zaim okoamy procsu agrgacji globalj macirzy sztywości kostrukcji, musimy wilkości K oraz p i prztrasformować o ukłau globalgo. Jżli przyjmimy, ż r ' [ u' v '] oraz (3.4) r u v ], [ to la wóch węzłów lmtu kratowicy możmy zapisać : u v ' ' = u v u' i = u, v' v (3.5) czyli przmiszczia la lmtu moża wyrazić jako u' u v ' = v = (3.6) u' u v' v lub krócj ' = R (3.7) gzi jst wktorm przmiszczń węzłów, wyrażoym w ukłazi globalym. Zupłi poobi możmy zapisać zalżość la wktora obciążń (3.7): [ ] p' = R p, gzi p = U V U V. (3.8) W końcu zupłi formali przkształcimy wzór (3.7): al K R ' R K = R p R R R = R = ' = p ' ' R I, oraz R = R (3.9) i ską otrzymujmy rówai la lmtu, którgo skłaow są wyrażo w ukłazi globalym : K = p, K = R K ' R (3.3) Bz truu moża sprawzić, ż okoując trasformacji macirzy (3.6) wług zalżości (3.3), otrzymamy zaą już am postać macirzy (3.). Przytoczo tutaj prawa trasformacji mają charaktr ogóly i bęą wilokroti wykorzystywa la iych lmtów. Oczywiści, w zalżości o tgo, jak wilkim wktorm przmiszczń węzłowych K ' omasz Łoygowski, Witol Kąkol Mtoa lmtów skończoych w wybraych zagaiiach mchaiki kostrukcji iżyirskich Alma Matr
3. KRAOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA IUSRACJA MEODY yspoujmy i jak wygląają prawa trasformacji poszczgólych skłaowych, postać macirzy trasformacji bęzi każorazowo formułowaa iywiuali. Zaaia Daa jst kratowica o gomtrii przstawioj a poiższj siatc. Proszę: - poumrować węzły i pręty, - sformułować macirz połączń węzłów, - obliczyć macirz sztywości lmtów w ukłazi globalym, - okoać agrgacji globalj macirzy sztywości ukłau, - zmoyfikować ukła rówań zgoi z warukami brzgowymi. Da o zaaia przyjąć z tablicy: Rysuk gomtrii ukłau a A A A E P [m] [ cm ] [ cm ] [ cm ] [GPa] [kn]. 6 4. 8 4 3 3. 35 4 5 8.5 5 3 3 Przmiszczia węzłów stalowgo lmtu kratowgo o przkroju A = 4cm i ługości l = m, wyoszą opowiio: u =,m, v =,3m, u v =,m, =,45m. Oblicz wyłużi, okształci, aprężi i siłę w tym lmci. omasz Łoygowski, Witol Kąkol Mtoa lmtów skończoych w wybraych zagaiiach mchaiki kostrukcji iżyirskich Alma Matr