Zmęczenie Materiałów pod Kontrolą

Transkrypt

1 Zmęczi Matriałów pod Kotrolą Wyład Nr 6 ANALIZA SPRĘŻYSTO PLASTYCZNYCH STANÓW NAPRĘŻŃ i ODKSZTAŁCŃ Wydział Iżyirii Mcaiczj i Robotyi Katdra Wytrzymałości, Zmęczia Matriałów i Kostrucji ttp://zwmi.imir.ag.du.pl

2 6.. WYZNACZNI NAPRĘŻŃ i ODKSZTAŁCŃ W PRZYPADKU UPLASTYCZNINIA MATRIAŁU a) rozwiązaia w formi sończoj tylo dla prętów pryzmatyczyc, por. p.6.; b) gomtri złożo: mtody umrycz (p. mtoda lmtów sończoyc MS) sposoby uproszczo, p. rguła Nubra put. 6.3, modl Glii A fic AN AG A A fic AG AN

3 6.. ZGINANI SPRĘZYSTOPLASTYCZN PRĘTA PRYZMATYCZNGO O PRZKROJU PROSTOKĄTNYM PRZY OBCIĄŻNIACH MONOTONICZNYCH Rys. 6.. Bla o przroju prostoątym (a) przy czystym zgiaiu stałym momtm (b) powodującym uplastyczii. Liiowy rozład odształcń (c), tórmu towarzyszy iliiowy rozład aprężń (d lub ). 3

4 4 6.. ZGINANI SPRĘZYSTOPLASTYCZN PRĘTA PRYZMATYCZNGO O PRZKROJU PROSTOKĄTNYM PRZY OBCIĄŻNIACH MONOTONICZNYCH Założia: zgiai prost: momt zgiający działa wzdłuż jdj z główyc osi bzwładości; Koswcja: przroj poprzcz płasi przd odształcim pozostają płasi po odształciu awt gdy wystąpią odształcia plastycz. Stąd: liiowy rozład odształcń (por. rys. 6. c), czyli: (6.) y Wios: Rozład aprężń g (y) w przroju poprzczym bli ma ształt rzywj () w zarsi odształcń od = do = (wartość odształcia w srajj warstwi bli). Rys. 6.. Waru rówowagi: M t Rozład aprężń g (y) możmy wyzaczyć wstawiając do rówaia 6. fucję =f() opisującą rzywą matriału. g ydy t ydy g (6.)

5 5 6.. ZGINANI SPRĘZYSTOPLASTYCZN PRĘTA PRYZMATYCZNGO O PRZKROJU PROSTOKĄTNYM PRZY OBCIĄŻNIACH MONOTONICZNYCH Np. matriał sprężystoidali plastyczy (rys. 6. d): g = dla R / ( ) g = R dla > R / ( > ) (6.3) Rys. 6.. Jśli odształcia w przroju poprzczym bli w puci o współrzędj y=y b osiągą wartość = R / (por. prawa stroa rys. 6.), to a podstawi rów. 6.: y b R (6.4) stąd: yb (6.5) Poiważ rozład aprężń w przroju bli i jst opisay jdym rówaim, rówai (6.) musi być całowa w dwóc przdziałac. W t sposób, dla matriału sprężysto idali plastyczgo, podstawiając (6.4) do (6.), otrzymamy: M y b t y dy R y dy (6.6) yb

6 6 6.. ZGINANI SPRĘZYSTOPLASTYCZN PRĘTA PRYZMATYCZNGO O PRZKROJU PROSTOKĄTNYM PRZY OBCIĄŻNIACH MONOTONICZNYCH Rys. 6.. y y b b dy y R dy y t M (6.6) (6.5) b R y 3 g R R t M dla R / (6.7)

7 6.. ZGINANI SPRĘZYSTOPLASTYCZN PRĘTA PRYZMATYCZNGO O PRZKROJU PROSTOKĄTNYM PRZY OBCIĄŻNIACH MONOTONICZNYCH M g t R 3 R dla R / (6.7) M i momt początu uplastycziia przroju ( = ), M pl momt płgo uplastycziia przroju, Rys. 6.. Zalżość między zormalizowaym momtm gącym (M g /M pl ) a zormalizowaym odształcim warstwy srajj przroju ( / ). t R Począt uplastycziia przroju, gdy = R / =, wówczas: M g M i (6.8) 3 Cały przrój zostai uplastyczioy, gdy y b =, wówczas (z rów. 6.6): Z porówaia rówań 6.7 i 6.9 wyia, ż: M pl lim M g lub M pl lim M / g M M t R. 5M (6.9) g pl i 7

8 8 6.. ZGINANI SPRĘZYSTOPLASTYCZN PRĘTA PRYZMATYCZNGO O PRZKROJU PROSTOKĄTNYM PRZY OBCIĄŻNIACH MONOTONICZNYCH W blc statyczi wyzaczalj momt M g =M pl powoduj utratę ośości, a sut powstaia dodatowgo przgubu w uplastyczioym przroju (rys.6.3). Jżli M g M i, to z rów. 6.7 moża wyzaczyć masymal odształci jao: R t R (6.) 3 t R M lub uwzględiając (6.9): R M pl (6.) 3M pl M g g Rys Powstai przgubu plastyczgo przy trójputowym zgiaiu.

9 6.3. ZGINANI SPRĘŻYSTOPLASTYCZN PRĘTA PRYZMATYCZNGO O PRZKROJU PROSTOKĄTNYM PRZY OBCIĄŻNIACH CYKLICZNYCH ( a = cost.) 9 Nic M g zmiia się cyliczi między M i M mi (rys.6.4a). Rys Bla o przroju prostoątym przy cyliczym zgiaiu (a) powodującym uplastyczii przy obciążiu i odciążiu. Rozład cyliczyc aprężń (b) i odształcń (c). Zmiość aprężń w fucji odształcń w włóac srajyc (d) oraz zalżość między poziomm odształcń w włóac srajyc a obciążim cyliczym Mg ().

10 6.3. ZGINANI SPRĘŻYSTOPLASTYCZN PRĘTA PRYZMATYCZNGO O PRZKROJU PROSTOKĄTNYM PRZY OBCIĄŻNIACH CYKLICZNYCH ( a = cost.) Rówaia rówowagi a poziomac M g = M i M g = M mi (por. rów. 6.): M t ydy M mi t mi ydy (6.) M M M t mi ydy (6.3) gdzi: = (y) mi (y) ( mi ) rozład aprężń (y) gdy M g =M (M g =M mi ) Na ażdym poziomi momtu M g obowiązuj prawo płasic przrojów (por. rys. 6.4c): / y / (6.4) Rys. 6.4.

11 6.3. ZGINANI SPRĘŻYSTOPLASTYCZN PRĘTA PRYZMATYCZNGO O PRZKROJU PROSTOKĄTNYM PRZY OBCIĄŻNIACH CYKLICZNYCH ( a = cost.) Rys Rówaia (6.3) i (6.4) są formali idtycz z (6.) i (6.): (6.) t ydy M t g ydy (6.3) (6.) M / y / / y / (6.4) Stąd aprężia i odształcia przy odciążaiu od M do M mi moża obliczyć ja przy mootoiczym obciążaiu od O do M g = M, przy czym: I. M g, g, zastępujmy przz M,, II. posługujmy się dwuroti rozszrzoą rzywą = f(): / = f(/), tj. a = f( a ) (6.5) III. obliczamy: mi = = a ; mi = = a (6.6) IV. przy poowym obciążiu stosujmy tę samą procdurę, al począt uładu (, ) jst w puci ( mi, mi ). Gdy M g po raz drugi osiąga poziom M, wirzcoł pętli istrzy zajduj się poowi w puci (, ), rys.6.4d.

12 6.3. ZGINANI SPRĘŻYSTOPLASTYCZN PRĘTA PRYZMATYCZNGO O PRZKROJU PROSTOKĄTNYM PRZY OBCIĄŻNIACH CYKLICZNYCH ( a = cost.) Przy wyidalizowaym założiu, ż własości matriału i ulgają zmiai przy obciążiac cyliczyc, put (,) poruszałby się cały czas po jdj i tj samj zamiętj pętli istrzy. Jżli oprujmy amplitudami, a i zarsami to, rówaia mootoiczj i cyliczj rzywj odształcia są formali idtycz: =f( ) a =f( a ) (6.7) Stąd zalżości między, i M oraz między a i M a są tż formali idtycz: = g(m ) a = g(m a ) (6.8) Rys Przyład: matriał sprężystoidali plastyczy. W przypadu uplastycziia przroju przy M i M mi dostajmy z rówań (6.3b) i (6.) astępując wartości aprężń i odształcń w warstwi srajj: ; R M pl R M pl R ; a R ; 3( M pl M ) a ; ( M M ) 3 pl a mi mi a a R (6.9)

13 3 6.4 PRZYBLIŻON WYZNACZANI NAPRĘŻŃ I ODKSZTAŁCŃ W STRFI PLASTYCZNJ KARBU RGUŁA NUBRA Rys.6.5. Ilustracja rguły Nubra: a) lmt z arbm i rzywa odształcia wraz z iprbolą Nubra; b) zmiość współczyia octracji aprężń i odształcń w arbi; c), d) zmiość odpowidio odształcń i aprężń w arbi w fucji aprężia omialgo (liia przrywaa rozwiązai liiowosprężyst).

14 4 6.4 PRZYBLIŻON WYZNACZANI NAPRĘŻŃ I ODKSZTAŁCŃ W STRFI PLASTYCZNJ KARBU RGUŁA NUBRA Jżli matriał w strfi arbu uplastyczia się, to loal odształcia są więsz, iż t S/ (rys.6.5c), a loal aprężia iższ iż t S (rys.6.5d). Nalży, więc zdfiiować oddzili współczyii octracji dla aprężń i odształcń: S (6.) Rys.6.5 Jżli S R (co zazwyczaj ma mijsc), to: Rguła Nubra: gdzi: odształcia omial związa z aprężim omialym S w myśl rówaia rzywj odształcia matriału S=f(). S (6.) t (6.)

15 6.4 PRZYBLIŻON WYZNACZANI NAPRĘŻŃ I ODKSZTAŁCŃ W STRFI PLASTYCZNJ KARBU RGUŁA NUBRA Rguła Nubra: t (6.) Rys.6.5 Jżli przy osiowym rozciągaiu astąpiłoby pł uplastyczii przroju, (S = R ), to, a więc w myśl (6.), t, co przdstawia rys. 6.5b. S S S t t S S S (6.3) t Jżli = f() ma postać rzywj Rambrga Osgooda: H S t (6.4) H (6.5) 5

16 6 6.4 PRZYBLIŻON WYZNACZANI NAPRĘŻŃ I ODKSZTAŁCŃ W STRFI PLASTYCZNJ KARBU RGUŁA NUBRA Rguła Nubra: t (6.) t S (6.3) ts (6.5) H Rys.6.5 Uwaga: W pratyc w clu wyzaczia loalyc odształcń i aprężń przy użyciu rguły Nubra ajwygodij jst orzystać z uładu rówań (6.3) i (6.5). W clu wyzaczia amplitud, zastępujmy w (6.3) i (6.5), i S przz odpowidio a, a i S a.

17 7 6.4 PRZYBLIŻON WYZNACZANI NAPRĘŻŃ I ODKSZTAŁCŃ W STRFI PLASTYCZNJ KARBU RGUŁA NUBRA S H t (6.5) Przybliżo rozwiązaia (6.5) mtoda Nwtoa: ) ( ) ( x f x f x x I ta oljo: ) ( ) ( x f x f x x Procs otyuoway jst, pói (x i+ x i ) i spadi poiżj pwj ustaloj wartości. Szrg {x i } jst zbiży do pirwiasta rówaia, o il f (x i ). i i t i i i i H S H (6.7) (6.6) Jżli x jst przybliżoą wartością pirwiasta rówaia f(x) =, to lpsz przybliżi daj wartość:

18 6.5. UOGÓLNIONA PROCDURA WYZNACZANIA SPRĘŻYSTO PLASTYCZNYCH NAPRĘŻŃ I ODKSZTAŁCŃ Obciążia stałoamplitudow: Założia: a) Fucja = f() pozostaj przz cały czas izmia; zazwyczaj fucję f przyjmujmy ta, by opisywała ustabilizowaą cyliczą rzywą odształcia: a = f( a ) b) Gałęzi pętli istrzy moża opisać rówaim a = f( a ), lub / = f(/), przy czym począt uładu ( a, a ) lub (, ) ażdorazowo lży w puci awrotu obciążia, a początu daj gałęzi. odształci uogólio (liiow lub ątow w próbc gładij lub w arbi) S siła uogólioa (siła, momt, ciśii, aprężi omial w próbc z arbm) Jżli przy obciążiu mootoiczym = g(s) (6.8) oraz = f() (6.9) to przy spłiiu założń a) i b) mamy dla obciążń cyliczi zmiyc: =g(s ), =f( ), a =g(s a ), a =f( a ), mi = a, mi = a (6.3) Uwaga: Dla lmtów z arbami rówaia (6.8) i (6.9) ajorzystij jst przształcić do postaci (6.3) i (6.5). 8

19 UOGÓLNIONA PROCDURA WYZNACZANIA SPRĘŻYSTO PLASTYCZNYCH NAPRĘŻŃ I ODKSZTAŁCŃ Obciążia stałoamplitudow: Przyład: Płyta z arbm o współczyiu ształtu t =.8 z stali AISI 434 obciążaa jst cyliczi zmiiającą się siłą osiową. Wyiając stąd aprężia omial wyoszą S = 75 MPa i S mi = 5 MPa. Wyzaczyć loal aprężia i odształcia w arbi, załadając, ż cyliczą rzywą odształcia moża opisać rówaim Rambrga Osgooda, w tórym: = 7 MPa, H' = 655 MPa, ' =.3. Rozwiązai: Stosujmy procdurę wg rówań (6.8) do (6.3), przy czym (6.8) i (6.9) przdstawiamy w formi (6.3) i (6.5). / (6.5) ( / H ) / ( S ) t Po podstawiiu wartości liczbowyc: (7 /655 /.3 ) /.3 (.875) Z przybliżogo rozwiązaia mtodą Nwtoa (rów. 6.7) dostajmy: (6.3) t S S t = 97 MPa =.9

20 6.5. UOGÓLNIONA PROCDURA WYZNACZANIA SPRĘŻYSTO PLASTYCZNYCH NAPRĘŻŃ I ODKSZTAŁCŃ Przyład: Da: t =.8, S = 75 MPa, S mi = 5 MPa, = 7 MPa, H' = 655 MPa, ' =.3 /.3 /.3 Rozwiązai (c.d.): (7 /655 ) (.875) S t = 97 MPa =.9 W aalogiczy sposób wyzacza się a i a : / / (6.5) ( / H ) ( S ) S a a S S / 75 5/ 35 MPa mi a t a /.3 a (7 /655 ) a /.3 (.835) Z mtody Nwtoa dostajmy: a = 755 MPa (6.3) a tsa a a a =.65 mi = a =.96 mi = a = 538 MPa

21 S (MPa) a, S a (MPa) 6.5. UOGÓLNIONA PROCDURA WYZNACZANIA SPRĘŻYSTO PLASTYCZNYCH NAPRĘŻŃ I ODKSZTAŁCŃ Obciążia zmioamplitudow: Obowiązują założia z p.6.4. Przyład: Da: lmt z arbm ja a rys. 6.6a. a) b) P fucja = g(s), rys.6.6b 6 / t (,) fucja = f(), rys.6.6b t =.4 4 a =f( a ) przbig aprężia omialgo w czasi S = P/A a =g(s a ) S(t), rys 6.6c P. a. c) 4 A C A G d) G A 4 B B D F F t D H F m B = a MPa.5 Rys.6.6. Aaliza aprężń i odształcń w lmci z arbm poddaym zmioamplitudowj istorii obciążia, objaśiia w tści

22 S (MPa) 6.5. UOGÓLNIONA PROCDURA WYZNACZANIA SPRĘŻYSTO PLASTYCZNYCH NAPRĘŻŃ I ODKSZTAŁCŃ Rozwiązai: I. Przstawiamy fucję S(t) ta, by zaczyała się i ończyła a ajwyższym co do modułu strmum (S A Rys. 6.6c). II. Wyzaczamy aprężia i odształcia w arbi A i A, odpowidio z (6.5) i (6.3), ładąc = A, = A, S = S A, tj.: / / A ( / H ) A ( ts A) A ts A A 4 4 Rys 6.6c A A C G B B F F D t III. Uwzględiając ft pamięci matriału, wyzaczamy (zgodi z IV bc) amplitudy loalyc aprężń i odształcń a i a (lub zarsy, ), gdzi, i S są mirzo od putów odoszącyc się do oljyc strmów w S(t). Wartości a i a (, ) wyzaczamy z uładu rówań (6.3) i (6.5) ładąc = a (lub /), = a (lub /) i S = S A (lub S/). IV.Przy przjściu do ażdgo oljgo strmum Z w przbigu S(t) sprawdzamy, czy aliczay jst cyl XY mtodą Raiflow. Jżli ta, to alży: a) zapamiętać cyl od (S x, x, x ) do (S y, y, y ) b) przy otyuacji aalizy usuąć wydarzi XY X' z S(t), tz. gdy S x = S x to x = x, x = x c) cofąć się do strmum W (poprzdzającgo X) i otyuować zgodi z III. X W Y X Z Y( y, y ) X( X, x ) X ( X, x )

23 S (MPa) 6.5. UOGÓLNIONA PROCDURA WYZNACZANIA SPRĘŻYSTO PLASTYCZNYCH NAPRĘŻŃ I ODKSZTAŁCŃ Rozwiązai: Z IV (a) do (c) wyia, ż ażda zamięta pętla istrzy orspoduj z cylm zliczaym mtodą Raiflow. Doumtacja zastosowaia procdury III i IV do przyładu z rys 6.6 Zars S AB S BC S AD S D S F S FG S H Naliczay cyl BC FG H AD Wyzaczoy wirzcoł pętli istrzy (począt uładu,) B (A) C (B) B B D (A) (D) F () G (F) F F H (H) A A c) 4 4 A C B B D Zapomia wydarzi wg (4b) BCB FGF H ADA A G F F t D H d) m F B = a G C A MPa.5 3