Liczby pierwsze Fermata Witold Tomaszewski Instytut Matematyki Politechniki l skiej e-mail: Witold.Tomaszewski@polsl.pl
Pierre de Fermat Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 2 / 13
Pierre de Fermat Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 3 / 13
Pierre de Fermat ur. 17 sierpnia 1601 w Beaumont-de-Lomagne Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 3 / 13
Pierre de Fermat Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 4 / 13
Pierre de Fermat zm. 12 stycznia 1665 w Castres Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 4 / 13
Pierre de Fermat Wikipedia: itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 5 / 13
Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 5 / 13
Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s du) w Tuluzie itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 5 / 13
Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s du) w Tuluzie Wi kszo± jego prac opublikowaª dopiero po jego ±mierci syn (1679). itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 5 / 13
Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s du) w Tuluzie Wi kszo± jego prac opublikowaª dopiero po jego ±mierci syn (1679). Dokonaª wielu odkry w teorii liczb itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 5 / 13
Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s du) w Tuluzie Wi kszo± jego prac opublikowaª dopiero po jego ±mierci syn (1679). Dokonaª wielu odkry w teorii liczb Sformuªowaª sªynne wielkie twierdzenie Fermata itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 5 / 13
Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s du) w Tuluzie Wi kszo± jego prac opublikowaª dopiero po jego ±mierci syn (1679). Dokonaª wielu odkry w teorii liczb Sformuªowaª sªynne wielkie twierdzenie Fermata Przed Kartezjuszem opracowaª i stosowaª metod wspóªrz dnych w geometrii itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 5 / 13
Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s du) w Tuluzie Wi kszo± jego prac opublikowaª dopiero po jego ±mierci syn (1679). Dokonaª wielu odkry w teorii liczb Sformuªowaª sªynne wielkie twierdzenie Fermata Przed Kartezjuszem opracowaª i stosowaª metod wspóªrz dnych w geometrii Wykazaª,»e wszystkie krzywe drugiego stopnia da si uzyska przez odpowiednie przecinanie pªaszczyzn powierzchni sto»ka itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 5 / 13
Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s du) w Tuluzie Wi kszo± jego prac opublikowaª dopiero po jego ±mierci syn (1679). Dokonaª wielu odkry w teorii liczb Sformuªowaª sªynne wielkie twierdzenie Fermata Przed Kartezjuszem opracowaª i stosowaª metod wspóªrz dnych w geometrii Wykazaª,»e wszystkie krzywe drugiego stopnia da si uzyska przez odpowiednie przecinanie pªaszczyzn powierzchni sto»ka Podaª metod znajdowania ekstremum funkcji Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 5 / 13
Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s du) w Tuluzie Wi kszo± jego prac opublikowaª dopiero po jego ±mierci syn (1679). Dokonaª wielu odkry w teorii liczb Sformuªowaª sªynne wielkie twierdzenie Fermata Przed Kartezjuszem opracowaª i stosowaª metod wspóªrz dnych w geometrii Wykazaª,»e wszystkie krzywe drugiego stopnia da si uzyska przez odpowiednie przecinanie pªaszczyzn powierzchni sto»ka Podaª metod znajdowania ekstremum funkcji Jego prace stworzyªy te» podstawy pod pó¹niejszy rozwój rachunku prawdopodobie«stwa Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 5 / 13
Osi gni cia Fermata liczby Fermata itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 6 / 13
Osi gni cia Fermata liczby Fermata twierdzenie Fermata itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 6 / 13
Osi gni cia Fermata liczby Fermata twierdzenie Fermata algorytm Fermata itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 6 / 13
Osi gni cia Fermata liczby Fermata twierdzenie Fermata algorytm Fermata zasada Fermata itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 6 / 13
Osi gni cia Fermata liczby Fermata twierdzenie Fermata algorytm Fermata zasada Fermata Maªe twierdzenie Fermata Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 6 / 13
Osi gni cia Fermata liczby Fermata twierdzenie Fermata algorytm Fermata zasada Fermata Maªe twierdzenie Fermata Wielkie twierdzenie Fermata Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 6 / 13
Liczby pierwsze Denicja Liczb naturaln p nazywamy pierwsz je±li ma dokªadnie 2 dzielniki 1 i p. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 7 / 13
Liczby pierwsze Denicja Liczb naturaln p nazywamy pierwsz je±li ma dokªadnie 2 dzielniki 1 i p. Przykªady 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 s liczbami pierwszymi, a 4, 6, 8, 9, 12 nie. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 7 / 13
Liczby pierwsze Denicja Liczb naturaln p nazywamy pierwsz je±li ma dokªadnie 2 dzielniki 1 i p. Przykªady 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 s liczbami pierwszymi, a 4, 6, 8, 9, 12 nie. Stwierdzenie Je±li liczba 2 n + 1 jest pierwsza to n = 2 m. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 7 / 13
Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 2m + 1 nazywamy liczbami Fermata itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 8 / 13
Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 2m + 1 nazywamy liczbami Fermata Oznaczmy F m = 2 2m + 1. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 8 / 13
Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 2m + 1 nazywamy liczbami Fermata Oznaczmy F m = 2 2m + 1. Fermat policzyª (i udowodniª): itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 8 / 13
Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 2m + 1 nazywamy liczbami Fermata Oznaczmy F m = 2 2m + 1. Fermat policzyª (i udowodniª): m = 0, F 0 = 2 20 + 1 = 2 1 + 1 = 3 - pierwsza itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 8 / 13
Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 2m + 1 nazywamy liczbami Fermata Oznaczmy F m = 2 2m + 1. Fermat policzyª (i udowodniª): m = 0, F 0 = 2 20 + 1 = 2 1 + 1 = 3 - pierwsza m = 1, F 1 = 2 21 + 1 = 2 2 + 1 = 5 - pierwsza itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 8 / 13
Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 2m + 1 nazywamy liczbami Fermata Oznaczmy F m = 2 2m + 1. Fermat policzyª (i udowodniª): m = 0, F 0 = 2 20 + 1 = 2 1 + 1 = 3 - pierwsza m = 1, F 1 = 2 21 + 1 = 2 2 + 1 = 5 - pierwsza m = 2, F 2 = 2 22 + 1 = 2 4 + 1 = 17 - pierwsza Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 8 / 13
Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 2m + 1 nazywamy liczbami Fermata Oznaczmy F m = 2 2m + 1. Fermat policzyª (i udowodniª): m = 0, F 0 = 2 20 + 1 = 2 1 + 1 = 3 - pierwsza m = 1, F 1 = 2 21 + 1 = 2 2 + 1 = 5 - pierwsza m = 2, F 2 = 2 22 + 1 = 2 4 + 1 = 17 - pierwsza m = 3, F 3 = 2 23 + 1 = 2 8 + 1 = 257 - pierwsza Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 8 / 13
Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 2m + 1 nazywamy liczbami Fermata Oznaczmy F m = 2 2m + 1. Fermat policzyª (i udowodniª): m = 0, F 0 = 2 20 + 1 = 2 1 + 1 = 3 - pierwsza m = 1, F 1 = 2 21 + 1 = 2 2 + 1 = 5 - pierwsza m = 2, F 2 = 2 22 + 1 = 2 4 + 1 = 17 - pierwsza m = 3, F 3 = 2 23 + 1 = 2 8 + 1 = 257 - pierwsza m = 4, F 4 = 2 24 + 1 = 2 16 + 1 = 65537 - pierwsza Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 8 / 13
Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 2m + 1 nazywamy liczbami Fermata Oznaczmy F m = 2 2m + 1. Fermat policzyª (i udowodniª): m = 0, F 0 = 2 20 + 1 = 2 1 + 1 = 3 - pierwsza m = 1, F 1 = 2 21 + 1 = 2 2 + 1 = 5 - pierwsza m = 2, F 2 = 2 22 + 1 = 2 4 + 1 = 17 - pierwsza m = 3, F 3 = 2 23 + 1 = 2 8 + 1 = 257 - pierwsza m = 4, F 4 = 2 24 + 1 = 2 16 + 1 = 65537 - pierwsza m = 5, F 5 = 2 25 + 1 = 2 32 + 1 = 4294967297 - Fermat nie wiedziaª Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 8 / 13
Przypuszczenie Fermata Fermat wysnuª takie przypuszczenie: Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 9 / 13
Przypuszczenie Fermata Fermat wysnuª takie przypuszczenie: Dla ka»dego m liczba F m = 2 2m + 1 jest pierwsza. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 9 / 13
Rozwi zanie Eulera itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 10 / 13
Rozwi zanie Eulera Rozwi zanie podaª matematyk szwajcarski Leonhard Euler (1707-1783) Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 10 / 13
Rozwi zanie Eulera Twierdzenie (L. Euler) Liczba F 5 = 2 25 + 1 = 2 32 + 1 = 4294967297 nie jest pierwsza. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 11 / 13
Rozwi zanie Eulera Twierdzenie (L. Euler) Liczba F 5 = 2 25 + 1 = 2 32 + 1 = 4294967297 nie jest pierwsza. F 5 = 4294967297 = 641 6700417 Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 11 / 13
Kryterium Theophile'a Pépina Oznaczmy n = Fm 1 2 = 2 2m 1 itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 12 / 13
Kryterium Theophile'a Pépina Oznaczmy n = Fm 1 2 = 2 2m 1 Twierdzenie (T. Pépin, 1887) Liczba F m jest pierwsza wtedy i tylko wtedy gdy liczba 3 n + 1 jest podzielna przez F m. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 12 / 13
Kryterium Theophile'a Pépina Oznaczmy n = Fm 1 2 = 2 2m 1 Twierdzenie (T. Pépin, 1887) Liczba F m jest pierwsza wtedy i tylko wtedy gdy liczba 3 n + 1 jest podzielna przez F m. Przykªad We¹my liczb F 2 = 2 22 + 1 = 2 4 + 1 = 17. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 12 / 13
Kryterium Theophile'a Pépina Oznaczmy n = Fm 1 2 = 2 2m 1 Twierdzenie (T. Pépin, 1887) Liczba F m jest pierwsza wtedy i tylko wtedy gdy liczba 3 n + 1 jest podzielna przez F m. Przykªad We¹my liczb F 2 = 2 22 + 1 = 2 4 + 1 = 17. Obliczmy n = Fm 1 2 = 16 2 = 8. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 12 / 13
Kryterium Theophile'a Pépina Oznaczmy n = Fm 1 2 = 2 2m 1 Twierdzenie (T. Pépin, 1887) Liczba F m jest pierwsza wtedy i tylko wtedy gdy liczba 3 n + 1 jest podzielna przez F m. Przykªad We¹my liczb F 2 = 2 22 + 1 = 2 4 + 1 = 17. Obliczmy n = Fm 1 2 = 16 2 = 8. 3 8 + 1 = 81 2 + 1 = 6562 = 17 386. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 12 / 13
Kryterium Theophile'a Pépina Oznaczmy n = Fm 1 2 = 2 2m 1 Twierdzenie (T. Pépin, 1887) Liczba F m jest pierwsza wtedy i tylko wtedy gdy liczba 3 n + 1 jest podzielna przez F m. Przykªad We¹my liczb F 2 = 2 22 + 1 = 2 4 + 1 = 17. Obliczmy n = Fm 1 2 = 16 2 = 8. 3 8 + 1 = 81 2 + 1 = 6562 = 17 386. A wi c zgodnie z kryterium T. Pépine'a liczba F 2 jest pierwsza. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 12 / 13
Pytanie otwarte Wiadomo,»e dla 5 m 19 liczby F m nie s pierwsze. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 13 / 13
Pytanie otwarte Wiadomo,»e dla 5 m 19 liczby F m nie s pierwsze. Nieznane s»adne liczby pierwsze Fermata oprócz F m dla m = 0, 1, 2, 3, 4. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 13 / 13
Pytanie otwarte Wiadomo,»e dla 5 m 19 liczby F m nie s pierwsze. Nieznane s»adne liczby pierwsze Fermata oprócz F m dla m = 0, 1, 2, 3, 4. Pytanie Czy liczb pierwszych Fermata jest sko«czenie czy niesko«czenie wiele? Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail: pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 13 / 13