Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw"

Transkrypt

1 Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw 3 kwietnia 2014 roku 1 / 106

2 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2 / 106

3 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 3 / 106

4 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek Czy mo»liwe jest, aby wyruszy z dowolnej cz ±ci l dowej miasta przej± przez ka»dy z mostów dokªadnie jeden raz i powróci do punktu wyj±ciowego (bez przepªywania przez rzek )? 4 / 106

5 Mosty królewieckie Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 r. w Bazylei - Szwajcaria, zm. 18 wrze±nia 1783 r. w Petersburgu - Rosja) - szwajcarski matematyk, zyk i astronom, jeden z twórców nowoczesnej matematyki. 5 / 106

6 Mosty królewieckie 6 / 106

7 Mosty królewieckie 7 / 106

8 Mosty królewieckie 8 / 106

9 Mosty królewieckie 9 / 106

10 Mosty królewieckie 10 / 106

11 Mosty królewieckie 11 / 106

12 Podstawowe denicje Denicja Grafem nazywamy par (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchoªków, natomiast zbiór E jest zbiorem kraw dzi ªuków ª cz cych odpowiednie wierzchoªki. 12 / 106

13 Podstawowe denicje Denicja Grafem nazywamy par (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchoªków, natomiast zbiór E jest zbiorem kraw dzi ªuków ª cz cych odpowiednie wierzchoªki. 13 / 106

14 Podstawowe denicje Denicja Drog w grae nazywamy taki ci g kraw dzi,»e ko«cem dowolnej kraw dzi tego ci gu, oprócz ostatniej, jest pocz tek nast pnej kraw dzi. 14 / 106

15 Podstawowe denicje Denicja Drog w grae nazywamy taki ci g kraw dzi,»e ko«cem dowolnej kraw dzi tego ci gu, oprócz ostatniej, jest pocz tek nast pnej kraw dzi. 15 / 106

16 Podstawowe denicje Denicja Drog w grae nazywamy taki ci g kraw dzi,»e ko«cem dowolnej kraw dzi tego ci gu, oprócz ostatniej, jest pocz tek nast pnej kraw dzi. 16 / 106

17 Podstawowe denicje Denicja Drog w grae nazywamy taki ci g kraw dzi,»e ko«cem dowolnej kraw dzi tego ci gu, oprócz ostatniej, jest pocz tek nast pnej kraw dzi. 17 / 106

18 Podstawowe denicje Denicja Drog w grae nazywamy taki ci g kraw dzi,»e ko«cem dowolnej kraw dzi tego ci gu, oprócz ostatniej, jest pocz tek nast pnej kraw dzi. 18 / 106

19 Podstawowe denicje Denicja Drog w grae nazywamy taki ci g kraw dzi,»e ko«cem dowolnej kraw dzi tego ci gu, oprócz ostatniej, jest pocz tek nast pnej kraw dzi. 19 / 106

20 Podstawowe denicje Denicja Drog w grae nazywamy taki ci g kraw dzi,»e ko«cem dowolnej kraw dzi tego ci gu, oprócz ostatniej, jest pocz tek nast pnej kraw dzi. 20 / 106

21 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 21 / 106

22 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 22 / 106

23 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 23 / 106

24 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 24 / 106

25 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 25 / 106

26 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 26 / 106

27 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 27 / 106

28 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 28 / 106

29 Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 29 / 106

30 Podstawowe denicje Denicja Stopniem wierzchoªka nazywamy liczb kraw dzi wychodz cych z tego wierzchoªka. Stopie«wierzchoªka v oznaczamy symbolem deg(v). 30 / 106

31 Podstawowe denicje Denicja Stopniem wierzchoªka nazywamy liczb kraw dzi wychodz cych z tego wierzchoªka. Stopie«wierzchoªka v oznaczamy symbolem deg(v). b h a c e d deg(a) = 3 deg(b) = 3 deg(c) = 4 deg(d) = 3 deg(e) = 4 deg(f ) = 3 deg(g) = 4 deg(h) = 2 g f 31 / 106

32 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog, która przechodzi przez ka»d z kraw dzi dokªadnie jeden raz. 32 / 106

33 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog, która przechodzi przez ka»d z kraw dzi dokªadnie jeden raz. 33 / 106

34 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog, która przechodzi przez ka»d z kraw dzi dokªadnie jeden raz. 34 / 106

35 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog, która przechodzi przez ka»d z kraw dzi dokªadnie jeden raz. 35 / 106

36 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog, która przechodzi przez ka»d z kraw dzi dokªadnie jeden raz. 36 / 106

37 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog, która przechodzi przez ka»d z kraw dzi dokªadnie jeden raz. 37 / 106

38 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog, która przechodzi przez ka»d z kraw dzi dokªadnie jeden raz. 38 / 106

39 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog, która przechodzi przez ka»d z kraw dzi dokªadnie jeden raz. 39 / 106

40 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog, która przechodzi przez ka»d z kraw dzi dokªadnie jeden raz. 40 / 106

41 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog, która przechodzi przez ka»d z kraw dzi dokªadnie jeden raz. 41 / 106

42 Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog, która przechodzi przez ka»d z kraw dzi dokªadnie jeden raz. 42 / 106

43 Cykl Eulera Twierdzenie (Euler, 1736) W grae istnieje cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy wierzchoªek tego grafu ma stopie«parzysty, tzn. gdy w ka»dym wierzchoªku tego grafu spotyka si parzysta liczba kraw dzi. 43 / 106

44 Cykl Eulera Twierdzenie (Euler, 1736) W grae istnieje cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy wierzchoªek tego grafu ma stopie«parzysty, tzn. gdy w ka»dym wierzchoªku tego grafu spotyka si parzysta liczba kraw dzi. 44 / 106

45 Cykl Eulera Twierdzenie (Euler, 1736) W grae istnieje cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy wierzchoªek tego grafu ma stopie«parzysty, tzn. gdy w ka»dym wierzchoªku tego grafu spotyka si parzysta liczba kraw dzi. 45 / 106

46 Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. 46 / 106

47 Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci do domu, przebywaj c najmniejsz liczb kilometrów? 47 / 106

48 Problem komiwoja»era Konin Konin Kalisz 227 Warszawa Kalisz 227 Warszawa Sieradz 60 Lodz Sieradz 60 Lodz Kalisz, Konin, Warszawa, Šód¹, Sieradz, Kalisz 498 Kalisz, Sieradz, Konin, Šód¹, Warszawa, Kalisz / 106

49 Cykl Hamiltona Denicja Cyklem Hamiltona nazywamy tak drog zamkni t, która przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz. 49 / 106

50 Cykl Hamiltona Denicja Cyklem Hamiltona nazywamy tak drog zamkni t, która przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz. 50 / 106

51 Cykl Hamiltona Denicja Cyklem Hamiltona nazywamy tak drog zamkni t, która przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz. 51 / 106

52 Cykl Hamiltona Denicja Cyklem Hamiltona nazywamy tak drog zamkni t, która przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz. 52 / 106

53 Cykl Hamiltona Denicja Cyklem Hamiltona nazywamy tak drog zamkni t, która przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz. 53 / 106

54 Problem komiwoja»era Znale¹ cykl Hamiltona w grae Konin Kalisz Warszawa Sieradz 60 Lodz 54 / 106

55 Problem komiwoja»era Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi za poprzez wyznaczenie (5 1)! 2 = 12 cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz sum wag. 55 / 106

56 Problem komiwoja»era Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi za poprzez wyznaczenie (5 1)! 2 = 12 cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz sum wag. Ogólnie rozwi zuj c problem komiwoja»era mamy cykli. (n 1)! 2 56 / 106

57 Problem komiwoja»era Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi za poprzez wyznaczenie (5 1)! 2 = 12 cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz sum wag. Ogólnie rozwi zuj c problem komiwoja»era mamy cykli. (n 1)! 2 Je±li mieliby±my komputer generuj cy milion permutacji na sekund, to 57 / 106

58 Problem komiwoja»era Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi za poprzez wyznaczenie (5 1)! 2 = 12 cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz sum wag. Ogólnie rozwi zuj c problem komiwoja»era mamy cykli. (n 1)! 2 Je±li mieliby±my komputer generuj cy milion permutacji na sekund, to dla n = 10 ilo± cykli wynosi (10 1)! 2 = , czas oblicze«wynosi ok. 0.18s 58 / 106

59 Problem komiwoja»era Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi za poprzez wyznaczenie (5 1)! 2 = 12 cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz sum wag. Ogólnie rozwi zuj c problem komiwoja»era mamy cykli. (n 1)! 2 Je±li mieliby±my komputer generuj cy milion permutacji na sekund, to dla n = 10 ilo± cykli wynosi (10 1)! 2 = , czas oblicze«wynosi ok. 0.18s dla n = 20 ilo± cykli wynosi (20 1)! 2 = czas oblicze«wynosi ok. 2 tys. lat 59 / 106

60 Historia TSP - Travelling salesman problem 60 / 106

61 Problem komiwoja»era 61 / 106

62 Problem chi«skiego listonosza Problem ten zostaª postawiony pierwszy raz w 1962 roku przez matematyka chi«ski Mei-Ku Kwan. 62 / 106

63 Problem chi«skiego listonosza Problem ten zostaª postawiony pierwszy raz w 1962 roku przez matematyka chi«ski Mei-Ku Kwan. Wiadomo,»e listonosz dor czaj c poczt musi przej± przez wszystkie ulice danego rejonu i powróci na poczt. 63 / 106

64 Problem chi«skiego listonosza Problem ten zostaª postawiony pierwszy raz w 1962 roku przez matematyka chi«ski Mei-Ku Kwan. Wiadomo,»e listonosz dor czaj c poczt musi przej± przez wszystkie ulice danego rejonu i powróci na poczt. Jak zaplanowa drog listonosza, aby odwiedziª on wszystkie ulice i jednocze±nie pokonaª jak najkrótsz drog? 64 / 106

65 Droga listonosza 65 / 106

66 Droga listonosza 66 / 106

67 Droga listonosza 67 / 106

68 Droga listonosza 68 / 106

69 Droga listonosza 69 / 106

70 Droga listonosza 70 / 106

71 Droga listonosza 71 / 106

72 Droga listonosza 72 / 106

73 Droga listonosza 73 / 106

74 Droga listonosza 74 / 106

75 Droga listonosza 75 / 106

76 Droga listonosza 76 / 106

77 Droga listonosza 77 / 106

78 Droga listonosza 78 / 106

79 Program EuleX 79 / 106

80 Skojarzenia Denicja Niech dany b dzie graf G = (V, E). Dowolny podzbiór kraw dzi U E nazywamy skojarzeniem, je±li»adne dwie kraw dzie w M nie maj wspólnego wierzchoªka. 80 / 106

81 Skojarzenia Denicja Niech dany b dzie graf G = (V, E). Dowolny podzbiór kraw dzi U E nazywamy skojarzeniem, je±li»adne dwie kraw dzie w M nie maj wspólnego wierzchoªka. x 5 x 6 x 4 x 1 x 2 x 3 kraw dzie {{x 1, x 2}, {x 5, x 6}} tworz skojarzenia kraw dzie {{x 1, x 4}, {x 2, x 3}, {x 5, x 6}} tworz skojarzenie kraw dzie {{x 1, x 2}, {x 1, x 4}} nie tworz skojarzenia ka»da pojedyncza kraw d¹ grafu te» tworzy skojarzenie 81 / 106

82 Skojarzenie peªne w grae dwudzielnym I Ze wzgl du na szerokie zastosowania b dziemy dalej rozwa»a skojarzenia peªne ograniczaj c si do grafów dwudzielnych to znaczy takich grafach, w których mo»emy wydzieli dwa rozª czne zbiory wierzchoªków V 1 i V 2 (biaªe wierzchoªki i czarne wierzchoªki) takie,»e wszystkie kraw dzie ª cz jedynie wierzchoªki z ró»nych zbiorów V 1 i V 2 (biaªe z czarnymi). Niech wi c G = (V 1 V 2, E), b dzie grafem dwudzielnym. Denicja Skojarzeniem peªnym (lub caªkowitym) z V 1 do V 2 w grae dwudzielnym G = (V 1 V 2, E) nazywamy takie skojarzenie,»e dla ka»dego wierzchoªka v V 1 istnieje w skojarzeniu kraw d¹ nim incydentna. 82 / 106

83 Skojarzenie peªne w grae dwudzielnym I V 1 x 1 x 2 x 3 V x 1 x 2 x 3 1 V 1 x 1 x 2 x 3 V 2 y 1 y 2 y 3 y 4 V 2 y 1 y 2 y 3 y 4 V 2 y 1 y 2 y 3 y 4 a) b) c) a) przykªadowe skojarzenie peªne: {{x 1, y 1}, {x 2, y 2}, {x 3, y 4}}, b) przykªadowe skojarzenie peªne: {{x 1, y 2}, {x 2, y 3}, {x 3, y 4}}, c) nie istnieje skojarzenie peªne z V 1 do V 2, poniewa» trzy wierzchoªki zbioru V 1 s incydentne tylko z dwoma wierzchoªkami ze zbioru V / 106

84 Twierdzenie Halla Rozwa»my graf dwudzielny G = (V 1 V 2, E). Niech dla ka»dego podzbioru wierzchoªków U zawartego w zbiorze V 1 (U V 1) zbiór ϕ(u) oznacza zbiór tych wierzchoªków v 2 V 2, dla których istnieje v 1 U, taki»e»e {v 1, v 2} E. 84 / 106

85 Twierdzenie Halla Rozwa»my graf dwudzielny G = (V 1 V 2, E). Niech dla ka»dego podzbioru wierzchoªków U zawartego w zbiorze V 1 (U V 1) zbiór ϕ(u) oznacza zbiór tych wierzchoªków v 2 V 2, dla których istnieje v 1 U, taki»e»e {v 1, v 2} E. V 1 a 1 a 2 a 3 a 4 V 2 p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 U = {a 1, a 3} V 1 ϕ(u) = {p 2, p 4} V 2 85 / 106

86 Twierdzenie Halla Rozwa»my graf dwudzielny G = (V 1 V 2, E). Niech dla ka»dego podzbioru wierzchoªków U zawartego w zbiorze V 1 (U V 1) zbiór ϕ(u) oznacza zbiór tych wierzchoªków v 2 V 2, dla których istnieje v 1 U, taki»e»e {v 1, v 2} E. V 1 a 1 a 2 a 3 a 4 V 2 p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 U = {a 1, a 3} V 1 ϕ(u) = {p 2, p 4} V 2 Twierdzenie Halla, W grae dwudzielnym G = (V 1 V 2, E) istnieje skojarzenie caªkowite z V 1 do V 2 wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego podzbioru U zbioru V 1 zachodzi nierówno± U ϕ(u) 86 / 106

87 Przykªad - problem kojarzenia maª»e«stw Dany jest sko«czony zbiór dziewcz t V 1, z których ka»da zna pewn liczb chªopców ze zbioru V 2. Jakie musz by speªnione warunki, by ka»da dziewczyna mogªa zosta»on, którego± ze znanych jej chªopców? 87 / 106

88 Przykªad - problem kojarzenia maª»e«stw Dany jest sko«czony zbiór dziewcz t V 1, z których ka»da zna pewn liczb chªopców ze zbioru V 2. Jakie musz by speªnione warunki, by ka»da dziewczyna mogªa zosta»on, którego± ze znanych jej chªopców? Zbiór dziewcz t {d 1, d 2, d 3, d 4} Zbiór chªopców {c 1, c 2, c 3, c 4, c 5, c 6} V 1 d 1 d 2 d 3 d 4 V 2 c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 Istnienie kraw dzi {d i, c j } oznacza,»e dziewczyna d i zna chªopca c j. 88 / 106

89 Przykªad - problem kojarzenia maª»e«stw Dany jest sko«czony zbiór dziewcz t V 1, z których ka»da zna pewn liczb chªopców ze zbioru V 2. Jakie musz by speªnione warunki, by ka»da dziewczyna mogªa zosta»on, którego± ze znanych jej chªopców? Zbiór dziewcz t {d 1, d 2, d 3, d 4} Zbiór chªopców {c 1, c 2, c 3, c 4, c 5, c 6} V 1 d 1 d 2 d 3 d 4 V 2 c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 Istnienie kraw dzi {d i, c j } oznacza,»e dziewczyna d i zna chªopca c j. Jednym z rozwi za«jest skojarzenie peªne {{d 1, c 1}, {d 2, c 4}, {d 3, c 5}, {d 4, c 6}} 89 / 106

90 Problem dwóch magików W przedstawieniu bierze udziaª dwóch magików. Jeden z nich chowa si poza scen. Drugi wyci ga z tali 52 kart. Kto± z publiczno±ci wybiera pi dowolnych kart z talii. Magik wybiera jedn z nich i odkªada j do talii. Pozostaªe cztery karty s skªadane. W tym momencie drugi magik, który do tej pory nie widziaª co dziaªo si na scenie wchodzi na scen. Pierwszy magik rozkªada przed nim w poziomie cztery odªo»one karty. Czy jest mo»liwe, aby pierwszy drugi magik odgadª, któr kart z pi ciu kart wybranych przez publiczno± odªo»yª do talii pierwszy magik? 90 / 106

91 Kolorowanie map Ile najmniej kolorów potrzeba u»y do pokolorowania mapy? 91 / 106

92 Dla danej mapy szukamy takiej reprezentacji, aby ka»da kraw d¹ byªa granic mi dzy s siednimi pa«stwami (regionami). 92 / 106

93 Dla danej mapy szukamy takiej reprezentacji, aby ka»da kraw d¹ byªa granic mi dzy s siednimi pa«stwami (regionami). W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafu przypisanego tej mapie. 93 / 106

94 Dla danej mapy szukamy takiej reprezentacji, aby ka»da kraw d¹ byªa granic mi dzy s siednimi pa«stwami (regionami). W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafu przypisanego tej mapie. 94 / 106

95 Kolorowanie map Twierdzenie Map mo»na pokolorowa dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy jej wierzchoªek jest stopnia parzystego. 95 / 106

96 Kolorowanie map Twierdzenie Map mo»na pokolorowa dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy jej wierzchoªek jest stopnia parzystego. 96 / 106

97 Kolorowanie map Twierdzenie Map mo»na pokolorowa dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy jej wierzchoªek jest stopnia parzystego. 97 / 106

98 Kolorowanie map 98 / 106

99 Kolorowanie map 99 / 106

100 Kolorowanie map Twierdzenie (O czterech kolorach, 1976) Ka»da mapa mo»e by pokolorowana wªa±ciwie co najwy»ej czterema kolorami. 100 / 106

101 Zagadka do domu Na przyj cie do pa«stwa Szaradków przychodz 4 pary. W sumie jest wi c 5 par 10 osób. 101 / 106

102 Zagadka do domu Na przyj cie do pa«stwa Szaradków przychodz 4 pary. W sumie jest wi c 5 par 10 osób. Go±cie witaj si ze sob, przy czym osoby w parze nie wymieniaj powita«mi dzy sob. 102 / 106

103 Zagadka do domu Na przyj cie do pa«stwa Szaradków przychodz 4 pary. W sumie jest wi c 5 par 10 osób. Go±cie witaj si ze sob, przy czym osoby w parze nie wymieniaj powita«mi dzy sob. W pewnym momencie Pan Szaradek przerywa powitania i prosi ka»dego z uczestników (oprócz siebie) o wpisanie na karteczce liczby osób, z którymi si przywitaª/przywitaªa. 103 / 106

104 Zagadka do domu Na przyj cie do pa«stwa Szaradków przychodz 4 pary. W sumie jest wi c 5 par 10 osób. Go±cie witaj si ze sob, przy czym osoby w parze nie wymieniaj powita«mi dzy sob. W pewnym momencie Pan Szaradek przerywa powitania i prosi ka»dego z uczestników (oprócz siebie) o wpisanie na karteczce liczby osób, z którymi si przywitaª/przywitaªa. Nie ogl daj c karteczek Pan Szaradek chowa je do pudeªka. 104 / 106

105 Zagadka do domu Na przyj cie do pa«stwa Szaradków przychodz 4 pary. W sumie jest wi c 5 par 10 osób. Go±cie witaj si ze sob, przy czym osoby w parze nie wymieniaj powita«mi dzy sob. W pewnym momencie Pan Szaradek przerywa powitania i prosi ka»dego z uczestników (oprócz siebie) o wpisanie na karteczce liczby osób, z którymi si przywitaª/przywitaªa. Nie ogl daj c karteczek Pan Szaradek chowa je do pudeªka. Kiedy karteczki zostaªy zebrane okazaªo si,»e na ka»dej z nich jest wypisana inna liczba. 105 / 106

106 Zagadka do domu Na przyj cie do pa«stwa Szaradków przychodz 4 pary. W sumie jest wi c 5 par 10 osób. Go±cie witaj si ze sob, przy czym osoby w parze nie wymieniaj powita«mi dzy sob. W pewnym momencie Pan Szaradek przerywa powitania i prosi ka»dego z uczestników (oprócz siebie) o wpisanie na karteczce liczby osób, z którymi si przywitaª/przywitaªa. Nie ogl daj c karteczek Pan Szaradek chowa je do pudeªka. Kiedy karteczki zostaªy zebrane okazaªo si,»e na ka»dej z nich jest wypisana inna liczba. Z iloma go± mi przywitaªa si Pani Szaradkowa? 106 / 106

Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126

Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na. Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie

c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie 2: Drogi i Cykle Spis Zagadnie«drogi i cykle spójno± w tym sªaba i silna k-spójno± (wierzchoªkowa i kraw dziowa) dekompozycja grafu na bloki odlegªo±ci w grae i poj cia pochodne grafy Eulera i Hamiltona

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów i sieci 1 / 58

Teoria grafów i sieci 1 / 58 Teoria grafów i sieci 1 / 58 Literatura 1 B.Korte, J.Vygen, Combinatorial optimization 2 D.Jungnickel, Graphs, Networks and Algorithms 3 M.Sysªo, N.Deo Metody optymalizacji dyskretnej z przykªadami w Turbo

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów 18 maja 2013 Twierdzenie Halla o maª»e«stwach Problem Wyobra¹my sobie,»e mamy m dziewczyn i pewn liczb chªopców. Ka»da dziewczyna chce wyj± za m», przy czym ka»da z nich godzi si po±lubi tylko pewnych

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G b dzie grafem spójnym. Denicja Je»eli w grae G istnieje zamkni ta droga prosta zawieraj ca wszystkie kraw dzie

Bardziej szczegółowo

Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów

Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów 1 / 112 Literatura 1 W. Lipski; Kombinatoryka dla programistów. 2 T. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest; Wprowadzenie do algorytmów. 3 K. A. Ross, Ch. R. B.

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie

c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie 8: Kolorowanie Grafów Spis zagadnie«kolorowanie wierzchoªków Kolorowanie map Kolorowanie kraw dzi Wielomian chromatyczny Zastosowania Problem kolorowania grafów ma wiele odmian (np. kolorowanie wierzchoªków,

Bardziej szczegółowo

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 11: Twierdzenia Minimaksowe. c Marcin Sydow. Wst p: Tw. Halla. Dualno± Zbiory niezale»ne. Skojarzenia c.d.

Grafy i Zastosowania. 11: Twierdzenia Minimaksowe. c Marcin Sydow. Wst p: Tw. Halla. Dualno± Zbiory niezale»ne. Skojarzenia c.d. 11: Twierdzenia Minimaksowe Spis zagadnie«wst p: Kojarzenie Maª»e«stw i i twierdzenia minimaksowe i pokrycia (Tw. Gallai) w grafach (tw. Berge'a) w grafach dwudzielnych (tw. Königa, ) Pokrycia macierzy

Bardziej szczegółowo

Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.

Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza 165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Minimalne drzewa rozpinaj ce

Minimalne drzewa rozpinaj ce y i y i drzewa Spis zagadnie«y i drzewa i lasy cykle fundamentalne i rozci cia fundamentalne wªasno±ci cykli i rozci minimalne drzewa algorytm algorytm Drzewo y i spójnego, nieskierowanego grafu prostego

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach

c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach 12: w sieciach Spis zagadnie«sieci przepªywowe przepªywy w sieciach ±cie»ka powi kszaj ca tw. Forda-Fulkersona Znajdowanie maksymalnego przepªywu Zastosowania przepªywów Sieci przepªywowe Sie przepªywowa

Bardziej szczegółowo

Szeregowanie zada« Wykªad nr 6. dr Hanna Furma«czyk. 11 kwietnia 2013

Szeregowanie zada« Wykªad nr 6. dr Hanna Furma«czyk. 11 kwietnia 2013 Wykªad nr 6 11 kwietnia 2013 System otwarty - open shop O3 C max Problem O3 C max jest NP-trudny. System otwarty - open shop O3 C max Problem O3 C max jest NP-trudny. Dowód Redukcja PP O3 C max : bierzemy

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych

Algorytmy i Struktury Danych Lista zada«. Nr 4. 9 kwietnia 2016 IIUWr. II rok informatyki. Algorytmy i Struktury Danych 1. (0pkt) Rozwi» wszystkie zadania dodatkowe. 2. (1pkt) Uªó» algorytm znajduj cy najta«sz drog przej±cia przez

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne 1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych

Bardziej szczegółowo

Grafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska

Grafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska Andrzej Jastrz bski Akademia ET I Graf Grafem nazywamy par G = (V, E), gdzie V to zbiór wierzchoªków, E zbiór kraw dzi taki,»e E {{u, v} : u, v V u v}. Wierzchoªki v, u V s s siaduj ce je±li s poª czone

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska.

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska. Grafy dla każdego dr Krzysztof Bryś brys@mini.pw.edu.pl Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska www.mini.pw.edu.pl Warszawa, 28 marca 2015 Graf składa się z elementów pewnego zbioru

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Metoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych

Metoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych 1 Zarówno metoda tablic semantycznych, jak i rezolucji, to dosy sprawny algorytm do badania speªnialni±ci formuª, a wi c i tautologii. Chodzi w niej o wskazanie, je±li istnieje, modelu dla formuªy. Opiera

Bardziej szczegółowo

Biedronka. Wej±cie. Wyj±cie. Przykªady. VI OIG Zawody dru»ynowe, Finaª. 19 V 2012 Dost pna pami : 64 MB.

Biedronka. Wej±cie. Wyj±cie. Przykªady. VI OIG Zawody dru»ynowe, Finaª. 19 V 2012 Dost pna pami : 64 MB. Biedronka Pªot ma D cm dªugo±ci i zbudowany jest z desek zako«czonych trójk tami równoramiennymi, poª czonych ze sob w jedn caªo±. Dªugo± ramienia ka»dego z trójk tów stanowi P % dªugo±ci podstawy. Po

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Drzewa Gomory-Hu Wprowadzenie. Drzewa Gomory-Hu. Jakub Š cki. 14 pa¹dziernika 2009

Drzewa Gomory-Hu Wprowadzenie. Drzewa Gomory-Hu. Jakub Š cki. 14 pa¹dziernika 2009 Wprowadzenie Drzewa Gomory-Hu Jakub Š cki 14 pa¹dziernika 2009 Wprowadzenie 1 Wprowadzenie Podstawowe poj cia i fakty 2 Istnienie drzew Gomory-Hu 3 Algorytm budowy drzew 4 Problemy otwarte Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne.

Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne. Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne. IIUWr. II rok informatyki. Przygotowaª: Krzysztof Lory± 1 Schemat ogólny. Typowe zadanie rozwi zywane metod zachªann ma charakter optymalizacyjny.

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie

c Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie 7: Spis zagadnie«twierdzenie Kuratowskiego Wªasno±ci planarno±ci Twierdzenie Eulera Grafy na innych powierzchniach Poj cie dualno±ci geometrycznej i abstrakcyjnej Graf Planarny Graf planarny to taki graf,

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2

Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2 Algorytmy grafowe 2 Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Minimalne drzewo spinaj ce Drzewem nazywamy spójny graf nie posiadaj cy cyklu. Liczba wierzchoªków drzewa jest o jeden wi ksza od liczby jego kraw dzi.

Bardziej szczegółowo

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz Lekcja 8 - ANIMACJA 1 Polecenia Za pomoc Baltiego mo»emy tworzy animacj, tzn. sprawia by obraz na ekranie wygl daª jakby si poruszaª. Do animowania przedmiotów i tworzenia animacji posªu» nam polecenia

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Stereometria (geometria przestrzenna)

Stereometria (geometria przestrzenna) Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 1: Wprowadzenie i poj cia podstawowe. c Marcin Sydow. Wprowadzenie. Podstawowe poj cia. Operacje na grafach.

Grafy i Zastosowania. 1: Wprowadzenie i poj cia podstawowe. c Marcin Sydow. Wprowadzenie. Podstawowe poj cia. Operacje na grafach. 1: i podstawowe Spis Zagadnie«zastosowania grafów denicja grafu (i skierowanego), prostego, multigrafu s siedztwo i incydencja izomorzm grafów stopnie wierzchoªków (w tym wej±ciowy i wyj±ciowy), lemat

Bardziej szczegółowo

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14 WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

Przekroje Dedekinda 1

Przekroje Dedekinda 1 Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2

Bardziej szczegółowo

10a: Wprowadzenie do grafów

10a: Wprowadzenie do grafów 10a: Wprowadzenie do grafów Spis zagadnie«zastosowania grafów denicja grafu (i skierowanego), prostego, multigrafu drogi i cykle, spójno± w tym sªaba i silna drzewo i las: denicja, charakteryzacje, wªasno±ci

Bardziej szczegółowo

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno± ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW. Graf skierowany dla ka»dej kraw dzi (oznaczanej tutaj jako ªuk) para wierzchoªków incydentnych jest par uporz dkowan {u, v}.

TEORIA GRAFÓW. Graf skierowany dla ka»dej kraw dzi (oznaczanej tutaj jako ªuk) para wierzchoªków incydentnych jest par uporz dkowan {u, v}. Podstawowe denicje: TEORIA GRAFÓW Graf (nieskierowany) G = (V, E) struktura skªadaj ca si ze: zbioru wierzchoªków V = {,,..., v n } oraz zbioru kraw dzi E = {e 1, e 2,..., e m }. Z ka»d kraw dzi e skojarzona

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką

Bardziej szczegółowo

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie

Bardziej szczegółowo

Podstawowepojęciateorii grafów

Podstawowepojęciateorii grafów 7 Podstawowepojęciateorii grafów Wiele sytuacji z»ycia codziennego mo»e by w wygodny sposób opisanych gracznie za pomoc rysunków skªadaj cych si ze zbioru punktów i linii ª cz cych pewne pary tych punktów.

Bardziej szczegółowo

Materiaªy do Repetytorium z matematyki

Materiaªy do Repetytorium z matematyki Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinaj ce. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinaj ce. Cykle i rozci cia fundamentalne. Zastosowania

Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinaj ce. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinaj ce. Cykle i rozci cia fundamentalne. Zastosowania Grafy i Grafy i 5: Rozpinaj ce Spis zagadnie«grafy i i lasy cykle fundamentalne i wªasno±ci cykli i rozci przestrzenie cykli i rozci * : zastosowanie w sieciach elektrycznych minimalne * algorytm Kruskala*

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow. Digrafy. Porz dki cz ±ciowe * Euler i Hamilton. Turnieje

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow. Digrafy. Porz dki cz ±ciowe * Euler i Hamilton. Turnieje 9: (grafy skierowane) Spis zagadnie«cz ±ciowe Przykªady: gªosowanie wi kszo±ciowe, Digraf (graf skierowany) Digraf to równowa»ny termin z terminem graf skierowany (od ang. directed graph). W grafach skierowanych

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,

1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0, XIII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne. Olsztyn 2015 Rozwi zania zada«dla szkóª ponadgimnazjalnych ZADANIE 1 Zakªadamy,»e a, b 0, 1 i a + b 1. Wykaza,»e z równo±ci wynika,»e a = -b 1 a + b 1 = 1

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie punktów na pªaszczy¹nie, czyli kilka sªów o geometrii kombinatorycznej.

Kolorowanie punktów na pªaszczy¹nie, czyli kilka sªów o geometrii kombinatorycznej. Kolorowanie punktów na pªaszczy¹nie, czyli kilka sªów o geometrii kombinatorycznej. Paulina Michta V Liceum Ogólnoksztaªc ce im. Augusta Witkowskiego w Krakowie Opiekun: dr Jacek Dymel 2 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie

Bardziej szczegółowo

Grafy. 3. G = (V, E ) jest podgrafem G = (V, G), je±li V V i E E. 4. G = (V, G) jest sum grafów G = (V, E ), G = (V, E ), je±li V = V V, E = E E.

Grafy. 3. G = (V, E ) jest podgrafem G = (V, G), je±li V V i E E. 4. G = (V, G) jest sum grafów G = (V, E ), G = (V, E ), je±li V = V V, E = E E. Grafy 1. Denicja. Graf jest par G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchoªków, a E zbiorem kraw dzi. Kraw dzie s nieuporz dkowanymi parami wierzchoªków lub parami uporz dkowanymi (mówimy wtedy o grafach

Bardziej szczegółowo

Strategia czy intuicja?

Strategia czy intuicja? Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),

Bardziej szczegółowo

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki dla informatyków

Podstawy matematyki dla informatyków Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru

Bardziej szczegółowo

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1 J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)

Bardziej szczegółowo

Egzaminy i inne zadania. Semestr II.

Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«ze Wst pu do Informatyki z egzaminów jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Ponadto doª czyªem szereg zada«, które pojawiaªy si

Bardziej szczegółowo

Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010

Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010 WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania

Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 2 Podstawowe zasady i prawa przeliczania

Bardziej szczegółowo

Indeksowane rodziny zbiorów

Indeksowane rodziny zbiorów Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny

Wojewódzki Konkurs Matematyczny sumaryczna liczba punktów (wypeªnia sprawdzaj cy) Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów 13 luty 2014 Czas 90 minut 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych.

Bardziej szczegółowo

Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne

Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne Maszyny Turinga Maszyna Turinga jest automatem ta±mowym, skª da si z ta±my (tablicy symboli) potencjalnie niesko«czonej w prawo, zakªadamy,»e w prawie wszystkich (tzn. wszystkich poza sko«czon liczb )

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze

Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych

Bardziej szczegółowo

O pewnym zadaniu olimpijskim

O pewnym zadaniu olimpijskim O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny

Wojewódzki Konkurs Matematyczny Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów ETAP SZKOLNY 16 listopada 2012 Czas 90 minut Instrukcja dla Ucznia 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych. 2. Obok

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów i sieci 1 / 188

Teoria grafów i sieci 1 / 188 Teoria grafów i sieci / Drzewa z wagami Drzewem z wagami nazywamy drzewo z korzeniem, w którym do ka»dego li±cia przyporz dkowana jest liczba nieujemna, nazywana wag tego li±cia. / Drzewa z wagami Drzewem

Bardziej szczegółowo

12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach

12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach 12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach Spis zagadnie«problem najkrótszych ±cie»ek z jednym ¹ródªem Rozwi zanie sznurkowe kraw dzi Wariant 1: Wariant 2: nieujemne kraw dzie (Dijkstra) Wariant 3:

Bardziej szczegółowo

Niezmienniki i póªniezmienniki. Weronika Koªodziejczykyg V Liceum Ogólnoksztaªc ce w Krakowie Opiekun pracy: dr Jacek Dymel

Niezmienniki i póªniezmienniki. Weronika Koªodziejczykyg V Liceum Ogólnoksztaªc ce w Krakowie Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Niezmienniki i póªniezmienniki Weronika Koªodziejczykyg V Liceum Ogólnoksztaªc ce w Krakowie Opiekun pracy: dr Jacek Dymel 2 3 Problemy 1 Wprowadzenie Niniejsza praca jest zbiorem problemów zwi zanych

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze

Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 2013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Grafy i Zastosowania BFS DFS 4: Przeszukiwanie Grafów (BFS, DFS i zastosowania) DFS nieskierowane DFS skierowane Podsumowanie

c Marcin Sydow Grafy i Zastosowania BFS DFS 4: Przeszukiwanie Grafów (BFS, DFS i zastosowania) DFS nieskierowane DFS skierowane Podsumowanie 4: Przeszukiwanie Grafów (, i zastosowania) Spis zagadnie«przeszukiwanie grafów (rola, schemat ogólny, zastosowania) realizacje (kolejka, stos, rekurencja) przeszukiwanie wszerz zastosowania przeszukiwanie

Bardziej szczegółowo

Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania

Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 2013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt pn. Wzmocnienie

Bardziej szczegółowo

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy

Bardziej szczegółowo

Skojarzenia. Najliczniejsze skojarzenia: Dokładne skojarzenia o maksymalnej sumie wag w obcionych pełnych grafach dwudzielnych.

Skojarzenia. Najliczniejsze skojarzenia: Dokładne skojarzenia o maksymalnej sumie wag w obcionych pełnych grafach dwudzielnych. 206 Skojarzenia Najliczniejsze skojarzenia: grafy proste dwudzielne, dowolne grafy proste. Dokładne skojarzenia o maksymalnej sumie wag w obcionych pełnych grafach dwudzielnych. 207 Definicje Def Zbiór

Bardziej szczegółowo

Listy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.

Listy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki 10 marca 2008 Spis tre±ci Listy 1 Listy 2 3 Co to jest lista? Listy List w Mathematice jest wyra»enie oddzielone przecinkami i zamkni te w { klamrach }. Elementy

Bardziej szczegółowo

Podzbiory Symbol Newtona Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada wª czania i wyª czania. Ilo± najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lema«ska

Podzbiory Symbol Newtona Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada wª czania i wyª czania. Ilo± najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lema«ska Kombinatoryka Magdalena Lema«ska Zasady zaliczenia przedmiotu Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to 100 punktów = 100 procent. Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski

Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem

Bardziej szczegółowo

Wektory w przestrzeni

Wektory w przestrzeni Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Podstawy Grafy i Zastosowania Kod Prüfera 3: Drzewa Drzewa ukorzenione * Drzewa binarne Zastosowania Podsumowanie

c Marcin Sydow Podstawy Grafy i Zastosowania Kod Prüfera 3: Drzewa Drzewa ukorzenione * Drzewa binarne Zastosowania Podsumowanie Grafy i Grafy i 3: Spis zagadnie«grafy i drzewo i las: denicja, charakteryzacje, wªasno±ci kodowanie Prüfera i zliczanie drzew etykietowanych (tw. Cayleya) drzewa drzewa zliczanie drzew binarnych (tw.

Bardziej szczegółowo

Ekstremalnie fajne równania

Ekstremalnie fajne równania Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów

Bardziej szczegółowo

tylko poprawne odpowiedzi, ale nie wszystkie 2 pkt poprawne i niepoprawne odpowiedzi lub brak zaznaczenia 0 pkt

tylko poprawne odpowiedzi, ale nie wszystkie 2 pkt poprawne i niepoprawne odpowiedzi lub brak zaznaczenia 0 pkt Wydziaª Matematyki i Informatyki UJ 14 wrze±nia 2017 TEST NA STUDIA DOKTORANCKIE Z INFORMATYKI Przed Pa«stwem test wielokrotnego wyboru. Po zapoznaniu si z pytaniami prosz zaznaczy w tabeli, na zaª czonej

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Problemy optymalizacyjne - zastosowania

Problemy optymalizacyjne - zastosowania Problemy optymalizacyjne - zastosowania www.qed.pl/ai/nai2003 PLAN WYKŁADU Zło ono obliczeniowa - przypomnienie Problemy NP-zupełne klika jest NP-trudna inne problemy NP-trudne Inne zadania optymalizacyjne

Bardziej szczegółowo

Ekstremalnie maªe zbiory

Ekstremalnie maªe zbiory Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci

Bardziej szczegółowo

WST P DO KRYPTOGRAFII. Grzegorz Szkibiel. Jesie«2012/13

WST P DO KRYPTOGRAFII. Grzegorz Szkibiel. Jesie«2012/13 WST P DO KRYPTOGRAFII Grzegorz Szkibiel Jesie«2012/13 Spis tre±ci 1 Protokoªy o zerowej wiedzy i przekazy nierozró»nialne 3 1.1 Kolorowanie mapy........................ 3 1.2 Logarytm dyskretny.......................

Bardziej szczegółowo

Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych

Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych Wielomian: W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 wspóªczynniki wielomianu: a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n ; wyraz wolny: a 0

Bardziej szczegółowo

W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji

W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki dla informatyków. Funkcje. Funkcje caªkowite i cz ±ciowe. Deniowanie funkcji. Wykªad pa¹dziernika 2012

Podstawy matematyki dla informatyków. Funkcje. Funkcje caªkowite i cz ±ciowe. Deniowanie funkcji. Wykªad pa¹dziernika 2012 Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 3 Funkcje 18 pa¹dziernika 2012 Deniowanie funkcji Funkcje caªkowite i cz ±ciowe Denicja wprost: f (x) = x + y f = λx. x + y Denicja warunkowa: { n/2, je±li n

Bardziej szczegółowo