Polska-Brazylia 5:0, czyli o poprawianiu błędów w przekazywanych informacjach

Transkrypt

1 Polska-Brazylia 5:0, czyli o poprawianiu błędów w przekazywanych informacjach Witold Tomaszewski Instytut Matematyki Politechniki Śląskiej Witold.Tomaszewski@polsl.pl

2 Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 2 / 24

3 Przykłady kodów wykrywających błędy Przykłady kodów wykrywających błędy Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 3 / 24

4 Kod ISBN RUDOLF KIPPENHAHN Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 4 / 24

5 Kod ISBN RUDOLF KIPPENHAHN TAJEMNE PRZEKAZY SZYFRY, ENIGMA I KARTY CHIPOWE Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 4 / 24

6 Kod ISBN RUDOLF KIPPENHAHN TAJEMNE PRZEKAZY SZYFRY, ENIGMA I KARTY CHIPOWE Na ścieżkach nauki Wydawnictwo Prószyński i S-ka Warszawa 2000 Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 4 / 24

7 Kod ISBN RUDOLF KIPPENHAHN TAJEMNE PRZEKAZY SZYFRY, ENIGMA I KARTY CHIPOWE Na ścieżkach nauki Wydawnictwo Prószyński i S-ka Warszawa 2000 ISBN Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 4 / 24

8 Kod ISBN Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 5 / 24

9 Kontrola poprawności kodu ISBN ISBN Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 6 / 24

10 Kontrola poprawności kodu ISBN ISBN = 264 = Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 6 / 24

11 Kontrola poprawności kodu ISBN ISBN = 264 = Każdy numer ISBN po zastosowaniu powyższej procedury daje wynik podzielny przez 11. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 6 / 24

12 Algorytm podzielności przez 11 Kiedy liczba x 1 x 2 x 3 x 4... x n jest podzielna przez 11? Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 7 / 24

13 Algorytm podzielności przez 11 Kiedy liczba x 1 x 2 x 3 x 4... x n jest podzielna przez 11? Kryterium Liczba naturalna x 1 x 2 x 3 x 4... x n (gdzie x 1, x 2, x 3, x 4..., x n są jej cyframi przy zapisie dziesiętnym) jest podzielna przez 11 dokładnie wtedy gdy wartość wyrażenia x 1 x 2 + x 3 x (stawiamy między cyframi raz plus, raz minus) jest podzielna przez 11. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 7 / 24

14 Algorytm podzielności przez 11 Kiedy liczba x 1 x 2 x 3 x 4... x n jest podzielna przez 11? Kryterium Liczba naturalna x 1 x 2 x 3 x 4... x n (gdzie x 1, x 2, x 3, x 4..., x n są jej cyframi przy zapisie dziesiętnym) jest podzielna przez 11 dokładnie wtedy gdy wartość wyrażenia x 1 x 2 + x 3 x (stawiamy między cyframi raz plus, raz minus) jest podzielna przez 11. Przykład Liczba jest podzielna przez 11 bo = 11 jest podzielne przez 11. Rzeczywiście : 11 = Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 7 / 24

15 Karty Visa Każdy numer karty Visa złożony jest z 12 cyfr. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 8 / 24

16 Karty Visa Każdy numer karty Visa złożony jest z 12 cyfr. Weźmy kartę Visa o numerze: Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 8 / 24

17 Karty Visa Każdy numer karty Visa złożony jest z 12 cyfr. Weźmy kartę Visa o numerze: Pod spodem wypisujemy cyfry z nieparzystych pozycji: Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 8 / 24

18 Kontrola poprawności numeru karty Visa Cyfry z pozycji parzystych mnożymy przez dwa i wpisujemy kolejno w puste miejsca (jeśli przy mnożeniu otrzymamy liczbę większą od 9 to odejmujemy od niej 9). itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 9 / 24

19 Kontrola poprawności numeru karty Visa Cyfry z pozycji parzystych mnożymy przez dwa i wpisujemy kolejno w puste miejsca (jeśli przy mnożeniu otrzymamy liczbę większą od 9 to odejmujemy od niej 9) itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 9 / 24

20 Kontrola poprawności numeru karty Visa Cyfry z pozycji parzystych mnożymy przez dwa i wpisujemy kolejno w puste miejsca (jeśli przy mnożeniu otrzymamy liczbę większą od 9 to odejmujemy od niej 9) Tak otrzymane cyfry dodajemy do siebie: I sprawdzamy czy wynik jest podzielny przez 10. Jeśli tak jest to numer karty jest poprawny. W naszym przypadku wynik jest równy 70. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 9 / 24

21 Kod kontroli parzystości Rozważmy wszystkie binarne ciągi ośmiobitowe. To znaczy wszystkie ciagi x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8, dla których każda pozycja x i jest równa 1 lub 0 (jest ich 2 8 = 256). itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 10 / 24

22 Kod kontroli parzystości Rozważmy wszystkie binarne ciągi ośmiobitowe. To znaczy wszystkie ciagi x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8, dla których każda pozycja x i jest równa 1 lub 0 (jest ich 2 8 = 256). Niech C będzie zbiorem tych wszystkich ciągów, które mają w swoim zapisie parzystą liczbę 1. Na przykład nie należy do C, a należy. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 10 / 24

23 Kod kontroli parzystości Rozważmy wszystkie binarne ciągi ośmiobitowe. To znaczy wszystkie ciagi x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8, dla których każda pozycja x i jest równa 1 lub 0 (jest ich 2 8 = 256). Niech C będzie zbiorem tych wszystkich ciągów, które mają w swoim zapisie parzystą liczbę 1. Na przykład nie należy do C, a należy. Uznajemy ciągi należące do C za prawidłowe, a te które do C nie należą za nieprawidłowe. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 10 / 24

24 Kod kontroli parzystości Rozważmy wszystkie binarne ciągi ośmiobitowe. To znaczy wszystkie ciagi x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8, dla których każda pozycja x i jest równa 1 lub 0 (jest ich 2 8 = 256). Niech C będzie zbiorem tych wszystkich ciągów, które mają w swoim zapisie parzystą liczbę 1. Na przykład nie należy do C, a należy. Uznajemy ciągi należące do C za prawidłowe, a te które do C nie należą za nieprawidłowe. C nazywamy kodem kontroli parzystości. Kod ten jest wykorzystywany do testowania pamięci komputera. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 10 / 24

25 Kod kontroli parzystości Rozważmy wszystkie binarne ciągi ośmiobitowe. To znaczy wszystkie ciagi x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8, dla których każda pozycja x i jest równa 1 lub 0 (jest ich 2 8 = 256). Niech C będzie zbiorem tych wszystkich ciągów, które mają w swoim zapisie parzystą liczbę 1. Na przykład nie należy do C, a należy. Uznajemy ciągi należące do C za prawidłowe, a te które do C nie należą za nieprawidłowe. C nazywamy kodem kontroli parzystości. Kod ten jest wykorzystywany do testowania pamięci komputera. Kod ten wykrywa błędy pojedyńcze. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 10 / 24

26 Przykłady kodów umozliwiających poprawianie błędów Przykłady kodów korekcyjnych Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 11 / 24

27 Kod powtórzeniowy Rozważmy wszystkie trzybitowe ciągi binarne 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 12 / 24

28 Kod powtórzeniowy Rozważmy wszystkie trzybitowe ciągi binarne 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 Umówmy się teraz, że nadawca wysyła tylko dwa ciągi 000 i 111. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 12 / 24

29 Kod powtórzeniowy Rozważmy wszystkie trzybitowe ciągi binarne 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 Umówmy się teraz, że nadawca wysyła tylko dwa ciągi 000 i 111. Możemy to rozumieć tak, że podstawowymi znakami wysyłanymi są 0 i 1. Aby poprawić niezawodność przekazu nadawca zamiast wysyłać do odbiorcy 0 to wysyła 000, a zamiast wysyłać 1 wysyła 111. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 12 / 24

30 Kod powtórzeniowy Rozważmy wszystkie trzybitowe ciągi binarne 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 Umówmy się teraz, że nadawca wysyła tylko dwa ciągi 000 i 111. Możemy to rozumieć tak, że podstawowymi znakami wysyłanymi są 0 i 1. Aby poprawić niezawodność przekazu nadawca zamiast wysyłać do odbiorcy 0 to wysyła 000, a zamiast wysyłać 1 wysyła 111. Ponieważ w trakcie transmisji mogło dojść do przekłamań na każdej pozycji to odbiorca może otrzymać każdy trzybitowy ciąg. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 12 / 24

31 Przykład korekcji C = {000, 111}. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 13 / 24

32 Przykład korekcji C = {000, 111}. Przypuśćmy, że odborca otrzymał wiadomość 101. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 13 / 24

33 Przykład korekcji C = {000, 111}. Przypuśćmy, że odborca otrzymał wiadomość 101. Wie, że ona jest błędna ale zauważa, że ciąg ten różni się od 000 dwoma pozycjami, a od 111 tylko jedną. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 13 / 24

34 Przykład korekcji C = {000, 111}. Przypuśćmy, że odborca otrzymał wiadomość 101. Wie, że ona jest błędna ale zauważa, że ciąg ten różni się od 000 dwoma pozycjami, a od 111 tylko jedną. Zakładając, że rzadziej popełnia się dwa błędy niż jeden może stwierdzić (z przekonaniem graniczącym z pewnością), że nadanym ciągiem był 111. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 13 / 24

35 Ogólna zasada korekcji Możemy teraz trzybitowe ciągi binarne podzielić na dwa obozy : itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 14 / 24

36 Ogólna zasada korekcji Możemy teraz trzybitowe ciągi binarne podzielić na dwa obozy : Obóz czerwony to ciągi bliżej położone do 000, a niebieski ciągi bliżej położone do 111. Zatem ciągi czerwone będziemy odczytywać jako 000, a niebieskie jako 111. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 14 / 24

37 Ogólna zasada korekcji Możemy teraz trzybitowe ciągi binarne podzielić na dwa obozy : Obóz czerwony to ciągi bliżej położone do 000, a niebieski ciągi bliżej położone do 111. Zatem ciągi czerwone będziemy odczytywać jako 000, a niebieskie jako 111. Tak przyjęta zasada nazywana jest Zasadą Największej Wiarygodności itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 14 / 24

38 Ogólna zasada korekcji Możemy teraz trzybitowe ciągi binarne podzielić na dwa obozy : Obóz czerwony to ciągi bliżej położone do 000, a niebieski ciągi bliżej położone do 111. Zatem ciągi czerwone będziemy odczytywać jako 000, a niebieskie jako 111. Tak przyjęta zasada nazywana jest Zasadą Największej Wiarygodności Kod ten wykrywa błędy podwójne, koryguje błędy pojedyńcze. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 14 / 24

39 Zasada Największej Wiarygodności Ustalmy liczbę n. Rozważmy zbiór wszystkich n-bitowych ciągów binarnych. Oznaczymy go przez {0, 1} n. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 15 / 24

40 Zasada Największej Wiarygodności Ustalmy liczbę n. Rozważmy zbiór wszystkich n-bitowych ciągów binarnych. Oznaczymy go przez {0, 1} n. Niech C będzie niepustym podzbiorem tego zbioru. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 15 / 24

41 Zasada Największej Wiarygodności Ustalmy liczbę n. Rozważmy zbiór wszystkich n-bitowych ciągów binarnych. Oznaczymy go przez {0, 1} n. Niech C będzie niepustym podzbiorem tego zbioru. Nadawca nadaje do odbiorcy tylko ciągi ze zbioru C. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 15 / 24

42 Zasada Największej Wiarygodności Ustalmy liczbę n. Rozważmy zbiór wszystkich n-bitowych ciągów binarnych. Oznaczymy go przez {0, 1} n. Niech C będzie niepustym podzbiorem tego zbioru. Nadawca nadaje do odbiorcy tylko ciągi ze zbioru C. Odbiorca może otrzymać dowolny ciąg n-bitowy. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 15 / 24

43 Zasada Największej Wiarygodności Ustalmy liczbę n. Rozważmy zbiór wszystkich n-bitowych ciągów binarnych. Oznaczymy go przez {0, 1} n. Niech C będzie niepustym podzbiorem tego zbioru. Nadawca nadaje do odbiorcy tylko ciągi ze zbioru C. Odbiorca może otrzymać dowolny ciąg n-bitowy. Jeśli otrzyma ciąg y i ten ciąg należy do zbioru C to przyjmuje, że y został prawidłowo odebrany. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 15 / 24

44 Zasada Największej Wiarygodności Ustalmy liczbę n. Rozważmy zbiór wszystkich n-bitowych ciągów binarnych. Oznaczymy go przez {0, 1} n. Niech C będzie niepustym podzbiorem tego zbioru. Nadawca nadaje do odbiorcy tylko ciągi ze zbioru C. Odbiorca może otrzymać dowolny ciąg n-bitowy. Jeśli otrzyma ciąg y i ten ciąg należy do zbioru C to przyjmuje, że y został prawidłowo odebrany. Jeśli y nie należy do C to (odbiorca) szuka element c ze zbioru C, który różni się o najmniejszą liczbę pozycji od y. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 15 / 24

45 Zasada Największej Wiarygodności Ustalmy liczbę n. Rozważmy zbiór wszystkich n-bitowych ciągów binarnych. Oznaczymy go przez {0, 1} n. Niech C będzie niepustym podzbiorem tego zbioru. Nadawca nadaje do odbiorcy tylko ciągi ze zbioru C. Odbiorca może otrzymać dowolny ciąg n-bitowy. Jeśli otrzyma ciąg y i ten ciąg należy do zbioru C to przyjmuje, że y został prawidłowo odebrany. Jeśli y nie należy do C to (odbiorca) szuka element c ze zbioru C, który różni się o najmniejszą liczbę pozycji od y. Jeśli takie c jest jedyne to odbiorca uznaje, że c zostało nadane (koryguje y na c). itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 15 / 24

46 Przykład Rozważmy zbiór czterobitowych ciągów binarnych. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 16 / 24

47 Przykład Rozważmy zbiór czterobitowych ciągów binarnych. Niech C = {0000, 1111} Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 16 / 24

48 Przykład Rozważmy zbiór czterobitowych ciągów binarnych. Niech C = {0000, 1111} Jeśli odbiorca otrzymał 0001 to może przyjąć, że nadany został 0000 bo 0001 różni się o jedną pozycję od 0000 i aż o trzy pozycje od Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 16 / 24

49 Przykład Rozważmy zbiór czterobitowych ciągów binarnych. Niech C = {0000, 1111} Jeśli odbiorca otrzymał 0001 to może przyjąć, że nadany został 0000 bo 0001 różni się o jedną pozycję od 0000 i aż o trzy pozycje od Jeśli otrzymał jednak 0011 to ma problem bo ciąg ten różni się od dwie pozycje i od 0000 i od Musi więc zrezygnować (lub przyjąć jakąś inną zasadę). Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 16 / 24

50 Kody Hamminga Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 17 / 24

51 Działania modulo 2 W zbiorze {0, 1} możemy zdefiniować działania dodawania i mnożenia modulo 2: = = = = = = = = 0 Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 18 / 24

52 Macierz Wypiszmy w kolumnach wszystkie niezerowe trzybitowe ciągi binarne: Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 19 / 24

53 Macierz Wypiszmy w kolumnach wszystkie niezerowe trzybitowe ciągi binarne: H = Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 19 / 24

54 Mnożenie macierzy Definiujemy mnożenie: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 0 x x x x x x x 7 0 x x x x x x x 7 1 x x x x x x x 7 x 4 + x 5 + x 6 + x 7 x 2 + x 3 + x 6 + x 7 x 1 + x 3 + x 5 + x 6 + x 7 = Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 20 / 24

55 Mnożenie macierzy x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = x 4 + x 5 + x 6 + x 7 x 2 + x 3 + x 6 + x 7 x 1 + x 3 + x 5 + x 6 + x 7 itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 21 / 24

56 Mnożenie macierzy x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = x 4 + x 5 + x 6 + x 7 x 2 + x 3 + x 6 + x 7 x 1 + x 3 + x 5 + x 6 + x 7 Działania wykonujemy oczywiście modulo 2. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 21 / 24

57 Kod Hamminga Za prawidłowe (wysyłane) uznajemy te ciągi siedmiobitowe x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7, dla których x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 22 / 24

58 Kod Hamminga Za prawidłowe (wysyłane) uznajemy te ciągi siedmiobitowe x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7, dla których x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = Na przykład , są prawidłowe, a nie Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 22 / 24

59 Algorytm korekcji 1 Otrzymujemy ciąg y = y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 23 / 24

60 Algorytm korekcji 1 Otrzymujemy ciąg y = y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7. 2 Obliczamy y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 = s 1 s 2 s 3 Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 23 / 24

61 Algorytm korekcji 1 Otrzymujemy ciąg y = y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7. 2 Obliczamy y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 = 3 Jeśli s 1 s 2 s 3 = 000 to y został prawidłowo odebrany. s 1 s 2 s 3 Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 23 / 24

62 Algorytm korekcji 1 Otrzymujemy ciąg y = y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7. 2 Obliczamy y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 = 3 Jeśli s 1 s 2 s 3 = 000 to y został prawidłowo odebrany. s 1 4 Jeśli s 1 s 2 s to s 2 jest jedną z kolumn macierzy H. s 3 Szukamy numeru tej kolumny i y korygujemy zmieniając znak na pozycji odpowiadającej temu numerowi (to znaczy zmieniamy 0 na 1 i 1 na 0). itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 23 / 24 s 1 s 2 s 3

63 Algorytm korekcji 1 Otrzymujemy ciąg y = Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 24 / 24

64 Algorytm korekcji 1 Otrzymujemy ciąg y = Obliczamy = Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Śląskiej Witold.Tomaszewski@polsl.pl) Polska-Brazylia 5:0, czyli o poprawianiu błędów w przekazywanych informacjach 24 / 24

65 Algorytm korekcji 1 Otrzymujemy ciąg y = Obliczamy = Ponieważ to co otrzymaliśmy jest czwartą kolumną macierzy H to w wektorze odebranym zmieniamy czwartą pozycję otrzymując itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Polska-Brazylia Politechniki Śląskiej 5:0, czyli o poprawianiu Witold.Tomaszewski@polsl.pl) błędów w przekazywanych informacjach 24 / 24