Rozmaitości matematyczne. dr Agnieszka Kozak Instytut Matematyki UMCS

Transkrypt

1 Rozmaitości matematyczne dr Agnieszka Kozak Instytut Matematyki UMCS

2 Liczby i zbiory Liczby naturalne Liczby pierwsze Liczby złożone Liczby doskonałe I i II Liczby bliźniacze Liczby zaprzyjaźnione Liczby całkowite Liczby wymierne Liczby rzeczywiste Liczby niewymierne

3 Liczby pierwsze Liczbę naturalną n nazywamy liczbą pierwszą jeśli n>1 Jedynymi jej dzielnikami są 1 i n Przykłady: 2,3,5,7,11,13 Zasadnicze twierdzenie arytmetyki Każda liczba naturalna może być przedstawiona w postaci iloczynu liczb pierwszych.

4 Euklides Euklides ur. 330 BC Miejsce zamieszkania: Aleksandria- Egipt Narodowość: Grek Niezapomniane dzieło: Elementy Euklidesa

5 Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych - Euklides Jak je znaleźć? Eratostenes - odkrył w jaki sposób można znaleźć liczby pierwsze pośród innych. (metoda sita) Uwaga: Każda liczba naturalna złożona n ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy p, który spełnia nierówność p n.

6 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18, 19, 20,21,22,23,24,25,26,27,28,29, Usuwamy podzielne przez 2 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19, 21,23,25,27,29,...99 Usuwamy podzielne przez 3 1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,...,.97 Usuwamy podzielne przez 5 1,7,11,13,17,19,23,29,31,...97 Usuwamy podzielne przez 7 i ostatecznie dostajemy: Przykład N=100 p=2,3,5,7 < 10

7 Liczby pierwsze, które są w przedziale od 1 do 100 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41, 53,59,61,71,73,79,83,89,97

8 Twierdzenie Czebyszewa Dla dowolnej liczby naturalnej n większej od jedynki, między liczbami n i 2n istnieje co najwyżej jedna liczba pierwsza. Erdös-wzmocnił to twierdzenie.

9 Liczby doskonałe Liczbę m nazywamy liczbą doskonałą gdy jest równa sumie wszystkich swoich dzielników 6= = =

10 Znów Euklides Euklides odkrył, że niektóre liczby parzyste, doskonałe zapisuja się w postaci: 2 n 1 (2 n 1) Nie wiedział, czy wszystkie!!! Wyznaczył cztery pierwsze

11 Liczby doskonałe znane w starożytności d=2 n 1 (2 n 1) n = 2: 2 1 (2 2 1) = 6 n = 3: 2 2 (2 3 1) = 28 n = 5: 2 4 (2 5 1) = 496 n = 7: 2 6 (2 7 1) = 8128

12 Uwagi o liczbach doskonałych Co będzie następne (n=11)? Jaka jest długość kolejnych liczb doskonałych (1,2,3,4,?) Jaka jest ostatnia cyfra w liczbie doskonałej (6,8)? Czy czynnik iloczynu 2 n 1 daje nam zawsze liczbę pierwszą?

13 Co będzie następne? (n=11) Następna liczba niestety nie jest doskonała. Dla n=11 mamy 2 10 (2 11 1) = =

14 Następna: Okazuje się, że nastepną liczba doskonałą jest liczba, ktorej długość nie wynosi 5 cyfr, ale 8 i na końcu ma planową (2 13 1) =

15 Następna? Nastepną liczbą doskonałą jest liczba, która na końcu ma 6, a nie jak przypuszczaliśmy (2 17 1) =

16 Leonard Euler Leonard Euler ur Narodowość: Szwajcar

17 Twierdzenie Euklidesa-Eulera 2000 lat po Euklidesie, Euler pokazał, że wzór 2 n 1 (2 n 1) wyznacza wszystkie liczby doskonałe parzyste. Ponadto jeśli liczba 2 n 1jest liczbą pierwszą, to powyższy wzór wyznacza nam liczbe doskonałą.

18 Liczby Mersenne'a Liczbę postaci M=2 n 1 nazywamy liczbą Mersenne'a. Niektóre z tych liczb są liczbami pierwszymi. Np. dla n=3,5 mamy odpowiednio 7 i 31, ale dla n=11 mamy = Największa liczba Mersenne'a, która jest pierwsza to:

19 Liczba ta ma cyfr w zapisie dziesiętnym. Została ona odkryta 4 września 2006 roku przez Curtisa Coopera i Stevena Boone'a - uczestników projektu GIMPS. Poprzednia największa liczba pierwsza, 43 liczba Mersenne'a, została odkryta w grudniu Electronic Frontier Foundation ustanowiła nagrodę 100 tysięcy dolarów dla odkrywcy liczby pierwszej o więcej niż 10 milionach cyfr. Zatem liczba ( ) jest doskonała

20 Czego nie wiemy! Nie wiemy, czy liczb doskonałych jest nieskończenie wiele. Nie wiemy, czy istnieją liczby doskonałe nieparzyste. Nie wiemy jak efektywnie wyznaczać liczby pierwsze.

21 Ciekawostka N=6 1/6+1/3+1/2+1/1=2 N=28 1/28+1/14+1/7+1/2+1/1=2 Co będzie dla innych liczb doskonałych? Czy jest to przypadek?

22 Inne ciekawe liczby Liczby lustrzane: To pary liczb pierwszych, z których jedna powstaje przez zapisanie cyfr dziesiętnych drugiej w odwrotnej kolejności. Przykłady: 13 i 31, 17 i 71, 37 i 73, 79 i 97,107 i 701,... Liczby palindramiczne pierwsze To liczby pierwsze, które nie zmieniają się, gdy ich cyfry zapiszemy w odwrotnej kolejności. Przykłady: 11, 101, 131, 191, 929.

23 Cd. ciekawych liczb Liczby bliźniacze: Para liczb pierwszych różniacych się o 2. 5,7 Liczby zaprzyjaźnione: Jedna liczba jest równa sumie dzielników drugiej liczby. 220= = ~ ~18416

24 Uwaga! Każda liczba doskonała jest zaprzyjażniona sama ze sobą. Widziecie to?????

25 Zadania Zadanie 1 Znaleźć wszystkie liczby pierwsze p takie, że liczba p+4 jest kwadratem liczby naturalnej. Zadanie 2 Wykazać, że dla każdej liczby pierwszej p>3 liczba p²-1 jest podzielna przez 24. Zadanie 3 Znaleźć wszystkie liczby pierwsze p i q takie, że p²-2q²=1.