Grupy generowane przez mep-pary
|
|
|
- Klaudia Szulc
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Grupy generowane przez mep-pary Witold Tomaszewski (przy współudziale Zbigniewa Szaszkowskiego i Marka Żabki) Zakład Algebry Instytut Matematyki Politechnika Śląska Witold.Tomaszewski@polsl.pl
2 Oznaczenia Niech G będzie grupą, a x, y są jej elementami. Przyjmujemy standardowe oznaczenia: [x, y] = [x, 1 y] = x 1 y 1 xy [x, n+1 y] = [[x, n y], y] dla n 1 Witold Tomaszewski (przy współudziale Zbigniewa Grupy Szaszkowskiego generowane przez i Marka mep-pary Żabki) (Zakład AlgebryInstytut Matematyki 2 / 16Pol
3 Definicje Definicja (H. Heineken 2000) Parę x, y nazywamy mep-parą jeśli istnieją liczby naturalne n, m takie, że: x = [x, n y] y = [y, m x] Jeśli n i m są minimalne o tej własności to parę x, y nazywamy (n, m)-mep-parą. Słowo mep jest skrótem: mutually Engel periodic. Definicja Grupę generowaną przez mep-parę nazywamy mep-grupą. Witold Tomaszewski (przy współudziale Zbigniewa Grupy Szaszkowskiego generowane przez i Marka mep-pary Żabki) (Zakład AlgebryInstytut Matematyki 3 / 16Pol
4 Własności mep-grup Proste własności: Jeśli G jest mep-grupą to G jest doskonała (tzn. G = G ) Jeśli x, y jest mep parą to element x jest sprzężony z xy 1 i y 1 Jeśli G jest rozwiązalną mep-grupą to G jest trywialna. Niech n będzie najmniejszą liczbą naturalną taką, że x = [x, n y]. Wtedy równość x = [x, m y] zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy n m. Jeśli x, y G jest mep-parą to dla każdego a G para x a, y b też jest mep-parą. (x a = a 1 xa) Witold Tomaszewski (przy współudziale Zbigniewa Grupy Szaszkowskiego generowane przez i Marka mep-pary Żabki) (Zakład AlgebryInstytut Matematyki 4 / 16Pol
5 Pytania 1 Które ze skończonych grup prostych (lub grup doskonałych) są mep-grupami? 2 Czy istnieje nieskończona mep-grupa? 3 Czy istnieje mep-para, w której (minimalne) m, n są różne? 4 Dla jakich m, n istnieje (m, n)-mep-para? Witold Tomaszewski (przy współudziale Zbigniewa Grupy Szaszkowskiego generowane przez i Marka mep-pary Żabki) (Zakład AlgebryInstytut Matematyki 5 / 16Pol
6 Mep-pary w grupach macierzowych H. Heineken (2000) W grupie Sl 2 (q) istnieją mep-pary dla: pewnych liczb pierwszych q postaci 8t + 1, pewnych liczb pierwszych q postaci 8t + 5, wszystkich liczb pierwszych q takich, że q 3 q jest podzielna przez 7. wszystkich liczb q = p 3, gdzie p jest liczbą pierwszą taką, że 7 nie dzieli p 3 p. Witold Tomaszewski (przy współudziale Zbigniewa Grupy Szaszkowskiego generowane przez i Marka mep-pary Żabki) (Zakład AlgebryInstytut Matematyki 6 / 16Pol
7 Mep-pary w grupach alternujących A n A 5 jest mep-grupą generowaną przez (5, 5)-mep parę x = (12345), y = (13254). Dla każdej mep-pary a, b w grupie A 5 istnieje c, że a c = (12345), b c = (13254). A 6 nie jest mep-grupą. Każda mep-para w A 6 generuje podgrupę izomorficzną z A 5. A 7 jest mep-grupą i jest generowana przez (49, 49)-mep-parę x = ( ), y = ( ). W A 7 istnieją też (18, 18)-mep-pary, (16, 16)-mep-pary generujące A 7. Witold Tomaszewski (przy współudziale Zbigniewa Grupy Szaszkowskiego generowane przez i Marka mep-pary Żabki) (Zakład AlgebryInstytut Matematyki 7 / 16Pol
8 Mep-pary w A n dla 5 n 13, opracowanie Marek Żabka (obliczenia w języku C) i Witold Tomaszewski (uzupełnienie w programie GAP) A n x, y (A n : G) mep x = (1, 2, 3, 4, 5) A 5 y = (1, 3, 5, 4, 2) 1 5 x = (1, 2, 3, 4, 5) A 6 y = (2, 6, 5, 3, 4) 6 5 x = (1, 2, 3)(4, 5)(6, 7) A 7 y = (1, 4, 7)(2, 5)(3, 6) 1 18 x = (1, 2, 3, 4)(5, 6) A 7 y = (2, 5, 3, 4)(6, 7) 1 16 x = (1, 2, 3, 4)(5, 6) A 7 y = (2, 5, 6, 4)(3, 7) 15 8 x = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) A 7 y = (1, 3, 6, 2, 4, 7, 5) 1 49 x = (1, 2, 3, 4)(5, 6, 7, 8) A 8 y = (1, 3, 5, 2)(4, 6, 8, 7) x = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) A 9 y = (1, 4, 8, 6, 3, 9, 7, 2, 5) x = (1, 2, 3, 4, 5)(6, 7, 8, 9, 10) A 10 y = (1, 3, 5, 4, 2)(6, 8, 10, 9, 7) Witold Tomaszewski (przy współudziale Zbigniewa Grupy Szaszkowskiego generowane przez i Marka mep-pary Żabki) (Zakład AlgebryInstytut Matematyki 8 / 16Pol
9 A n x, y (A n : G) mep x = (1, 2, 3, 4, 5)(6, 7, 8, 9, 10) A 10 y = (1, 3, 5, 8, 2)(4, 6, 10, 7, 9) x = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) A 10 y = (2, 6, 5, 10, 7, 3, 4, 9, 8) x = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) A 10 y = (2, 7, 8, 4, 10, 6, 5, 9, 3) x = (1, 2, 3, 4)(5, 6, 7, 8)(9, 10, 11) A 11 y = (1, 3, 9, 11)(2, 5, 10, 8)(4, 7, 6) x = (1, 2, 3, 4, 5)(6, 7, 8, 9, 10) A 11 y = (2, 11, 5, 3, 4)(6, 8, 10, 9, 7) x = (1, 2, 3, 4, 5, 6)(7, 8, 9, 10, 11, 12) A 12 y = (1, 3, 6, 10, 4, 8)(2, 7, 11, 5, 12, 9) x = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)(8, 9, 10, 11, 12) A 12 y = (1, 3, 6, 2, 4, 7, 5)(8, 10, 12, 11, 9) x = (1, 2, 3, 4, 5, 6)(7, 8, 9)(10, 11) A 12 y = (2, 6, 8, 5, 3, 7)(4, 10, 11)(9, 12) x = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)(11, 12) A 12 y = (1, 4, 11, 7, 10, 6, 9, 12, 2, 5)(3, 8) x = (1, 2, 3, 4, 5)(6, 7, 8)(9, 10)(11, 12) A 12 y = (1, 3, 5, 4, 2)(6, 9, 12)(7, 10)(8, 11) Witold Tomaszewski (przy współudziale Zbigniewa Grupy Szaszkowskiego generowane przez i Marka mep-pary Żabki) (Zakład AlgebryInstytut Matematyki 9 / 16Pol
10 A n x, y (A n : G) mep x = (1, 2, 3, 4, 5)(6, 7, 8)(9, 10, 11) A 12 y = (2, 6, 4, 8, 12)(3, 9, 5)(7, 10, 11) x = (1, 2, 3, 4, 5)(6, 7, 8, 9)(10, 11) A 12 y = (1, 3, 5, 4, 2)(7, 10, 8, 9)(11, 12) x = (1, 2, 3, 4, 5)(6, 7, 8, 9)(10, 11) A 12 y = (1, 3, 5, 4, 2)(7, 10, 11, 9)(8, 12) x = (1, 2, 3, 4, 5)(6, 7, 8, 9, 10) A 12 y = (2, 11, 5, 3, 4)(7, 12, 10, 8, 9) x = (1, 2, 3, 4, 5)(6, 7, 8, 9, 10) A 12 y = (2, 11, 8, 3, 4)(5, 6, 7, 10, 12) x = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)(10, 11, 12) A 12 y = (1, 4, 11, 9, 8, 7, 6, 3, 10)(2, 5, 12) x = (1, 2, 3, 4, 5)(6, 7, 8)(9, 10)(11, 12) A 13 y = (2, 13, 5, 3, 4)(6, 9, 12)(7, 10)(8, 11) x = (1, 2, 3, 4, 5)(6, 7, 8, 9)(10, 11) A 13 y = (2, 12, 5, 3, 4)(7, 10, 8, 9)(11, 13) x = (1, 2, 3, 4, 5)(6, 7, 8, 9)(10, 11) A 13 y = (2, 12, 5, 3, 4)(7, 10, 11, 9)(8, 13) x = (1, 2, 3, 4, 5)(6, 7, 8, 9)(10, 11, 12, 13) A 13 y = (1, 3, 5, 4, 2)(6, 8, 10, 7)(9, 11, 13, 12) Witold Tomaszewski (przy współudziale Zbigniewa Grupy Szaszkowskiego generowane przez i Marka mep-pary Żabki) (Zakład AlgebryInstytut Matematyki 10 / 16Pol
11 A n x, y (A n : G) mep x = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)(9, 10, 11, 12) A 13 y = (2, 5, 4, 9)(3, 8, 7, 11, 12, 6, 10, 13) x = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)(9, 10, 11, 12) A 13 y = (2, 9, 5, 6, 11, 10, 13, 3)(4, 8, 7, 12) x = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)(9, 10, 11, 12) A 13 y = (1, 2, 4, 9, 5, 8, 6, 11)(3, 7, 12, 13) mep oznacza najmniejsze k takie, że x = [x, k y] i y = [y, k x], (A n : G) oznacza indeks grupy generowanej przez x, y w A n. Witold Tomaszewski (przy współudziale Zbigniewa Grupy Szaszkowskiego generowane przez i Marka mep-pary Żabki) (Zakład AlgebryInstytut Matematyki 11 / 16Pol
12 Mep-pary w splotach grup Twierdzenie Przyjmijmy x = (12345), y = (13254) oraz f = [x; 0, 0, 0, 0, 0], g = [y; 0, 0, 0, 1, 1] A 5 Z s. Dla każdego s takiego, że 5 s para f, g jest mep-parą. Para f, g generuje komutant grupy A 5 Z s. Jeśli s = p jest liczbą pierwszą i f, g jest (n, n)-mep-parą w A 5 Z p k to f, g jest (pn, pn)-mep-parą w A 5 Z p k+1. Wniosek Dla każdego s takiego, że 5 s grupa (A 5 Z s ) jest mep-grupą. Witold Tomaszewski (przy współudziale Zbigniewa Grupy Szaszkowskiego generowane przez i Marka mep-pary Żabki) (Zakład AlgebryInstytut Matematyki 12 / 16Pol
13 Wyniki poszukiwania mep-par w A 5 Z s (Zbigniew Szaszkowski) f = [x; 0, 0, 0, 0, 0], g = [y; 0, 0, 0, 1, 1]. s mep s mep [f, 2 g] = [f, 262 g] [f, 2 g] = [f, 22 g] [f, 2 g] = [f, 62 g] [f, 2 g] = [f, 62 g] [f, 4 g] = [f, 24 g] Witold Tomaszewski (przy współudziale Zbigniewa Grupy Szaszkowskiego generowane przez i Marka mep-pary Żabki) (Zakład AlgebryInstytut Matematyki 13 / 16Pol
14 s mep s mep [f, 2 g] = [f, 782 g] 45 [f, 2 g] = [f, 782 g] [f, 2 g] = [f, 3422 g] 50 [f, 4 g] = [f, 64 g] [f, 2 g] = [f, 62 g] 55 [f, 2 g] = [f, 382 g] Witold Tomaszewski (przy współudziale Zbigniewa Grupy Szaszkowskiego generowane przez i Marka mep-pary Żabki) (Zakład AlgebryInstytut Matematyki 14 / 16Pol
15 Nadzieja Najprawdopodobniej (tak wynika z analiz komputerowych) dla dowolnej liczby m > 1 istnieje w splocie A 5 S m podgrupa G m generowana przez (30, 30)-mep-parę. Dodatkowo dla różnych m i k grupy G k i G m nie są izomorficzne. To daje nadzieję na znalezienie nieskończonej mep-grupy. Witold Tomaszewski (przy współudziale Zbigniewa Grupy Szaszkowskiego generowane przez i Marka mep-pary Żabki) (Zakład AlgebryInstytut Matematyki 15 / 16Pol
16 Literatura [1] H. Heineken, Groups generated by two mutually Engel periodoc elements, Bolletino U.M.I., (8) 3-B (2000), [2] P. Słanina, W. Tomaszewski, Groups generated by (near) mutually Engel periodic elements, Bolletino U.M.I., (8) 10-B (2007), Witold Tomaszewski (przy współudziale Zbigniewa Grupy Szaszkowskiego generowane przez i Marka mep-pary Żabki) (Zakład AlgebryInstytut Matematyki 16 / 16Pol
1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy
1 Grupy 1.1 Grupy 1.1.1. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 2 = a 2 b 2 dla dowolnych a, b G. Udowodnić, że grupa G jest abelowa. 1.1.2. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 1 = a 1 b 1 dla dowolnych a,
Teoria ciała stałego Cz. I
Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 9: Grupy skończone Gniewomir Sarbicki Grupy cykliczne Definicja: Jeżeli każdy element grupy G jest postaci a n dla pewnego a G, to mówimy, że grupa G jest grupą cykliczną o
Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne
Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,
1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup
1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3 є G - (g 1
Centralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu
Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Wyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)
Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem
Zbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Wygra Polska czy Brazylia, czyli o tym jak zwięźle zapisywać informacje
Wygra Polska czy Brazylia, czyli o tym jak zwięźle zapisywać informacje Witold Tomaszewski Instytut Matematyki Politechniki Śląskiej e-mail: Witold.Tomaszewski@polsl.pl Je n ai fait celle-ci plus longue
Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.
DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:
5. Wykład 5: Grupy proste. Definicja 5.1. Grupę (G, ) nazywamy grupą prostą, gdy G nie zawiera właściwych podgrup normalnych.
5. Wykład 5: Grupy proste. Definicja 5.1. Grupę (G, ) nazywamy grupą prostą, gdy G nie zawiera właściwych podgrup normalnych. Przeprowadzimy obecnie skróconą klasyfikację skończonych grup prostych. 5.1.
1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,
Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej
Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Algebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Logika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji
Logika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji Rafał Gruszczyński Katedra Logiki Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011/2012 Spis treści 1 Zbiory 2 Pary uporządkowane 3 Relacje Zbiory dystrybutywne
Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Teoria węzłów matematycznych - warkocze. Karolina Krzysztoń 10B2
Teoria węzłów matematycznych - warkocze Karolina Krzysztoń 10B2 Pojęcie węzła W matematyce węzły to zamknięte pętle umieszczone w przestrzeni trójwymiarowej, czyli zaplątane sznurki z połączonymi końcami.
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
O centralizatorach skończonych podgrup
O centralizatorach skończonych podgrup GL(n, Z) Rafał Lutowski Instytut Matematyki Uniwersytetu Gdańskiego III Północne Spotkania Geometryczne Olsztyn, 22-23 czerwca 2009 1 Wprowadzenie Grupy podstawowe
Kongruencje i ich zastosowania
Kongruencje i ich zastosowania Andrzej Sładek sladek@ux2.math.us.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Poznamy nowe fakty matematyczne, które pozwolą nam w łatwy sposób rozwiązać
cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Zbiory wypukłe i stożki
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R
Matematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Grupa klas odwzorowań powierzchni
Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Projekt matematyczny
Projekt matematyczny Tomasz Kochanek Uniwersytet Śląski Instytut Matematyki Katowice VI Święto Liczby π 15 marca 2012 r. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 1 / 32 Wielkie twierdzenie
. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Programowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój
Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Programowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
Przestrzeń liniowa. Algebra. Aleksander Denisiuk
Algebra Przestrzeń liniowa Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p.
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Matematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Pierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał.
Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał. Definicja Niech F będzie ciałem. Podzbiór L H zbioru F nazywamy podciałem ciała F (piszemy L ă F ), gdy pl, `æ LˆL, æ LˆL q jest ciałem. Jeżeli
Komentarz do arkusza maturalnego z matematyki, poziom podstawowy maj 2014r.
Komentarz do arkusza maturalnego z matematyki, poziom podstawowy maj 2014r. Podczas tegorocznego kursu do każdego działu matematyki przygotowałem średnio około 60 zadań zamkniętych i około 40 zadań otwartych,
Liczby pierwsze Fermata
Liczby pierwsze Fermata Witold Tomaszewski Instytut Matematyki Politechniki l skiej e-mail: Witold.Tomaszewski@polsl.pl Pierre de Fermat Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skieje-mail:
Metody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Luty 2001 Algorytmy (4) 2000/2001
Mając dany zbiór elementów, chcemy znaleźć w nim element największy (maksimum), bądź najmniejszy (minimum). We wszystkich naturalnych metodach znajdywania najmniejszego i największego elementu obecne jest
Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013
Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia
1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych
& " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,
Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Wykład VII. Kryptografia Kierunek Informatyka - semestr V. dr inż. Janusz Słupik. Gliwice, 2014. Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej
Wykład VII Kierunek Informatyka - semestr V Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej Gliwice, 2014 c Copyright 2014 Janusz Słupik Problem pakowania plecaka System kryptograficzny Merklego-Hellmana
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo
Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013
Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy
Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego
Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................
R n jako przestrzeń afiniczna
R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1
Autoreferat. Tożsamości, relacje w grupach i powiązane z nimi automorfizmy. Witold Tomaszewski
Załącznik 2 Autoreferat Tożsamości, relacje w grupach i powiązane z nimi automorfizmy Witold Tomaszewski Zakład Algebry Instytut Matematyki Wydział Matematyki Stosowanej Politechnika Śląska Gliwice 2015
Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe
Wykłady z matematyki inżynierskiej Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe JJ, IMiF UTP 17 f (x, y) DEFINICJA. Funkcja dwóch zmiennych określona w zbiorze D R 2, to przyporządkowanie każdemu punktowi
Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Podstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Matematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Definicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Podstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
DEFINICJA. Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B.
RELACJE Relacje 1 DEFINICJA Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B. Relacje 2 Przykład 1 Wróćmy do przykładu rozważanego
Aproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Algebra liniowa z geometrią. wykład I
Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych
Algebraiczne własności grup klas odwzorowań
Algebraiczne własności grup klas odwzorowań Michał Stukow Uniwersytet Gdański Forum Matematyków Polskich 7 września 2006 1 Definicje i przykłady 2 Zastosowania 3 Skręcenia Dehna 1 Definicje i przykłady
Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Pierścienie łączne - ich grafy i klasy Veldsmana
Marta Nowakowska Uniwersytet Śląski Letnia Szkoła Instytutu Matematyki, Podlesice, wrzesień 22-26, 2014 Oznaczenia Graf przecięć R - łączny pierścień z 1 Z - pierścień liczb całkowitych M - lewostronny
w edukacji matematycznej uczniów
Zadania Wykaż, udowodnij w edukacji matematycznej uczniów szkół podstawowych i klas gimnazjalnych Zadania pochodzą z materiałów CKE, egzaminów próbnych i zbiorów zadań GWO, Operon, Nowa Era, WSiP Opracowanie
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Definicja. Niech pg, q będzie grupą. Wówczas ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G p0q G,
Grupy rozwiązalne. Definicja Niech pg, q będzie grupą. Wówczas ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G p0q G, G piq rg pi 1q, G pi 1q s, dla i P N nazywamy górnym ciągiem centralnym grupy
W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:
dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.
... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1
![... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1](/thumbs/23/1918788.jpg "... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1")
4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy
Definicje- Algebra III
Definicje- Algebra III Opracowane na podstawie notatek z wykładu w semetrze zimowym roku 2007r. (mocno niekompletne- umieszczono kilka pierwszych wykładów) 21.11.2007r. Algebry Definicja1(K-algebra)- Przestrzeń
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 4: Podzielność liczb całkowitych Gniewomir Sarbicki Dzielenie całkowitoliczbowe Twierdzenie: Dla każdej pary liczb całkowitych (a, b) istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Matematyka Dyskretna Zestaw 2
Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje
0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi