Paweł Gładki. Algebra. pgladki/
|
|
- Sebastian Szulc
- 9 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Paweł Gładki Algebra pgladki/
2 Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach, zadzwoń do jego pokoju, lub wyślij mu a.
3 Zasady zaliczania przedmiotu: Każde kolokwium będzie trwało 90 minut, każdy sprawdzian 20 minut, a egzamin końcowy 120 minut. 2 kolokwia, każde warte 15 punktów, 2 sprawdziany, każdy warty 6 punktów, aktywność na zajęciach, warta 3 punkty, zadania domowe, warte 15 punktów, egzamin, warty 40 punktów. Do egzaminu przystępują tylko te osoby, które uzyskają zaliczenie z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia ćwiczeń jest zdobycie co najmniej 30 punktów. Warunkiem zdania egzaminu jest zdobycie co najmniej 60 wszystkich punktów. Sprawdziany odbędą się na zajęciach 18 marca i 29 kwietnia. Kolokwia odbędą się na zajęciach 1 kwietnia i 3 czerwca. Egzamin odbędzie się 9 czerwca.
4 Zadania domowe: Do każdego wykładanego tematu został opracowany zestaw zadań, który należy rozwiązać w Moodle: Inne matematyka Algebra dla WIiNoM (studia niestacjonarne) Dostępnych jest 7 zadań domowych na każdy tydzień, w którym odbywają się zajęcia. Każdy zestaw składa się z 15 zadań, które zostaną udostępnione w każdą niedzielę, w którą odbywać się będą zajęcia i które muszą zostać rozwiązane nie później niż do kolejnej niedzieli. Uwaga! Zadania rozwiązywać należy w Moodle Wydziału Matematyki, Fizyki i Chemii, a nie w Moodle Wydziału Informatyki i Nauk o Materiałach. Studenci, którzy jeszcze nie mają konta zobowiązani są do jak najszybszego jego założenia.
5 Plan wykładu: NWD, NWW i algorytm Euklidesa. Grupy, pierścienie i ciała Izomorfizmy algebr. Ciało liczb zespolonych Układy równań liniowych. Macierze i ich własności Mnożenie i odwracanie macierzy. Wyznaczniki Przestrzenie liniowe. Podprzestrzenie. Kombinacje liniowe wektorów Liniowa zależność i niezależność wektorów. Baza i wymiar Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Przekształcenia liniowe.
6 Literatura: 1. G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej, cz.i, WNT G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej, cz.ii, WNT A. Białynicki-Birula, Algebra, PWN A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN N. W. Jefimow, E. R. Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową, PWN A. J. Kostrykin, Wstęp do algebry, cz.i: Podstawowe struktury algebraiczne, PWN A. J. Kostrykin, Wstęp do algebry, cz.ii: Algebra liniowa, PWN 2004.
7 Zbiory zadań: 1. L. Jeśmianowicz, J. Łoś, Zbiór zadań z algebry, PWN 1975 oraz A. I. Kostrykin (red.), Zbiór zadań z algebry, PWN D. K. Fadiejew, I. S. Sominskij, Sbornik zadacz po wyższej algebrie, Moskwa 1977 (w jęz. rosyjskim). 4. S. Przybyło, A. Szlachtowski, Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zadaniach, WNT 1992.
8 NWD, NWW i algorytm Euklidesa
9 Twierdzenie o dzieleniu z resztą Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r < b.
10 Dowód: Pokażemy najpierw istnienie stosownej pary. Załóżmy, że b > 0 i zdefiniujmy q = [ a b ] oraz r = a bq. Wówczas q a b < q + 1. Zatem bq a < bq + b. Stąd 0 r = a bq < b = b. W przypadku, gdy b < 0, definiujemy [ ] a q = oraz r = a bq b i dalej rozumujemy analogicznie.
11 Pozostaje wykazać jednoznaczność wyboru powyższej pary. Załóżmy, że a = bq 1 + r 1 = bq 2 + r 2, gdzie 0 r 1, r 2 < b. Wówczas r 2 r 1 = b(q 1 q 2 ). Jeśli r 2 r 1 0, to wówczas b r 2 r 1 max{r 1, r 2 } < b. Zatem r 2 r 1 = 0 i w konsekwencji q 1 q 2 = 0.
12 Definicja: Niech a, b Z, b 0, niech q, r Z będą jednoznacznie wyznaczonymi liczbami całkowitymi takimi, że a = qb + r i 0 r < b. Liczbę q nazywamy niepełnym ilorazem z dzielenia a przez b, zaś liczbę r resztą z dzielenia a przez b.
13 Przykłady: 1. Niech a = 26, b = 11. Bez trudu sprawdzamy, że wówczas q = 2 oraz r = Niech a = 26, b = 11. Wówczas q = 3, a r = 7; w szczególności nie możemy powiedzieć, że resztą z dzielenia 26 przez 11 jest -4, gdyż wprawdzie 26 = , ale 4 < 0.
14 Definicja: Niech a, b Z. Mówimy, że b dzieli a (lub że a jest podzielna przez b), jeśli dla pewnej liczby całkowitej q Z zachodzi a = bq, co oznaczamy b a. W przeciwnym razie piszemy b a. Liczbę q nazywamy ilorazem z dzielenia a przez b.
15 Przykłady: 3. Jest jasne, że 2 4, 3 18, 8 16 i Bezpośrednio z definicji podzielności wynika też, że 0 a wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0. Widzimy wszakże, że iloraz z dzielenia 0 przez 0 nie jest jednoznacznie określony.
16 Twierdzenie: Niech a, b, c Z. Wówczas: 1. a a; 2. a b b c a c; 3. a b b a a = b a = b; 4. a 0; 5. 1 a; 6. a b a bc; 7. a b a c a b + c.
17 Dowód: Udowodnimy dla przykładu część (3) twierdzenia. Jeżeli a = 0, to a b wtedy i tylko wtedy, gdy b = 0, a więc a = b. Podobnie, gdy b = 0, to a = b = 0, załóżmy więc, że a, b 0. Niech b = q 1 a i a = q 2 b, dla pewnych q 1, q 2 Z. W szczególności q 1, q 2 0. Wówczas b = q 1 q 2 b. Zatem q 1 q 2 = 1. Stąd q 1 = q 2 = 1 lub q 1 = q 2 = 1.
18 Definicja: Niech a 1,..., a k Z, k 2. Liczbę d N taką, że 1. d a 1,..., d a k, 2. e a 1,..., e a k e d, nazywamy największym wspólnym dzielnikiem liczb a 1,..., a k i oznaczamy NWD(a 1,..., a k ). Liczbę m N taką, że 1. a 1 m,..., a k m, 2. a 1 n,..., a k n m n, nazywamy najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb a 1,..., a k i oznaczamy NWW (a 1,..., a k ).
19 Przykład: 5. Sprawdzamy, że NWD(24, 36) = 12. Zauważmy, że, na przykład, 6 24 i 6 36, ale oczywiście 6 NWD(24, 36). Ponadto NWW (24, 26) = 72. Podobnie zauważmy, że i , ale 144 NWW (24, 36).
20 Twierdzenie: Niech a, b N. Wówczas NWD(a, b) NWW (a, b) = a b.
21 Dowód: Rozważmy ab NWD(a,b). Ponieważ a, b, NWD(a, b) N, widzimy, że ab NWD(a,b) 0. ab Ponadto NWD(a,b) Z. Niech NWD(a, b)q 1 = a, dla pewnej liczby q 1 N. ab Wówczas NWD(a,b) = NWD(a,b)q 1b ab NWD(a,b) = q 1 b, a więc b ab Analogicznie a NWD(a,b). Wobec tego NWW (a, b) NWD(a,b), czyli NWW (a, b)nwd(a, b) ab. ab NWD(a,b).
22 Rozważmy ab NWW (a,b). ab Zauważmy, że NWW (a,b) N. Niech NWW (a, b) = s 1 a, dla pewnej liczby s 1 N. ab Wówczas NWW (a,b) = ab s 1 a = b s 1. ab Wobec tego Analogicznie NWW (a,b) b. ab NWW (a,b) a. ab NWW (a,b) Wobec tego NWD(a, b), czyli ab NWW (a, b)nwd(a, b).
23 Przykład: 6. Odwołując się do poprzedniego przykładu sprawdzamy, że NWD(24, 36)NWW (24, 36) = = 864 =
24 Twierdzenie (algorytm Euklidesa): Niech a, b Z i niech a = q 1 b + r 1, dla 0 < r 1 < b, q 1, r 1 Z, b = q 2 r 1 + r 2, dla 0 < r 2 < r 1, q 2, r 2 Z, r 1 = q 3 r 2 + r 3, dla 0 < r 3 < r 2, q 3, r 3 Z,. r n 2 = q n r n 1 + r n, dla 0 < r n < r n 1, q n, r n Z, r n 1 = q n+1 r n, dla q n+1 Z. Wówczas r n = NWD(a, b).
25 Dowód: Algorytm zawsze się zatrzymuje, bo jest tylko skończenie wiele liczb naturalnych w przedziale [0, b ]. Niech d = NWD(a, b). Sprawdzamy, że kolejno r n r n 1, r n r n 2,..., r n r 1, r n b, r n a, a więc w szczególności r n d. Podobnie, d a i d b, a więc kolejno d r 1, d r 2,..., d r n 1, d r n. Ponieważ zarówno d jak i r n są liczbami dodatnimi, oraz równocześnie d r n i r n d, więc d = r n.
26 Przykład: 7. Zastosujemy algorytm Euklidesa, aby obliczyć NWD(66, 48). Wykonując kolejne kroki algorytmu otrzymujemy: a więc NWD(66, 48) = = = = = 2 6,
27 Przykłady: 9. Główna zaleta w stosowaniu algorytmu Euklidesa w porównaniu ze znanym ze szkoły średniej algorytmem polegającym na wypisaniu wszystkich dzielników liczb, dla których chcemy znaleźć największy wspólny dzielnik, polega na tym, że nie potrzebujemy rozkładać liczb na czynniki pierwsze. W istocie, nie musimy nawet wiedzieć, czy są to liczby pierwsze, czy złożone.
28 Jako przykład rozważmy tak zwane liczby Fermata. W liście do Frénicle de Bessy z 1640 roku Fermat wyraził przypuszczenie, że wszystkie liczby postaci F n = 2 2n + 1 są pierwsze. Jest tak w istocie dla małych n: F 0 = = 3, F 1 = = 5, F 2 = = 17, F 3 = = 257, F 4 = = 65537, ale już Euler w 1733 roku udowodnił, że liczba F 5 jest złożona i pokazał, że 641 jest jej dzielnikiem pierwszym: F 5 = = = W 1909 roku Klein pokazał, że F 7 nie jest pierwsza, ale dopiero w 1970 roku Morrison i Brillhart znaleźli jej dzielnik pierwszy. Podobnie, Selfridge i Hurwitz udowodnili, że F 14 nie jest liczbą pierwszą, ale do dziś nie są znane żadne dzielniki pierwsze liczby F 14.
29 Pierwsze dwa przykłady liczb Fermata, dla których nie tylko nie znamy dzielników pierwszych, ale o których nie wiemy nawet, czy są pierwsze, czy zlożone, to F 22 i F 24. Stosując algorytm Euklidesa możemy jednak łatwo i szybko sprawdzić, że ich największym wspólnym dzielnikiem jest 1. Istotnie: = (2 222 ) = [( ) 1] = = ( ) 4 4( ) 3 + 6( ) 2 4( ) = [( ) 3 4( ) 2 + 6( ) 4]( ) + 2, = , 2 = 2 1, a zatem NWD(F 22, F 24 ) = 1.
30 9. Dane wygenerowane przez algorytm Euklidesa pozwalają wyznaczyć liczby całkowite x i y takie, że 66x + 48y = NWD(66, 48). Istotnie, zaczynając od przedostatniego kroku i kolejno podstawiając otrzymujemy: 6 = a więc x = 3 i y = 4. = 18 ( ) = = 3(66 48) 48 = ,
31 Uwaga: Niech a, b, c Z. Algorytm Euklidesa dostarcza metody rozwiązywania równań ax + by = c w liczbach całkowitych.
32 Twierdzenie: Niech a, b, c Z. Równanie ax + by = c ma rozwiązanie w liczbach całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy d = NWD(a, b) c.
33 Dowód: ( ) : Załóżmy, że ax 0 + by 0 = c, dla pewnych liczb x 0, y 0 Z. Wówczas, skoro d a i d b, więc d ax 0 i d by 0, a zatem również d ax 0 + by 0 = c.
34 ( ) : Załóżmy, że d c i niech q Z będzie taką liczbą, że dq = c. Stosując algorytm Euklidesa znajdujemy liczby całkowite x 1, y 1 Z takie, że ax 1 + by 1 = d. Wówczas aqx 1 + bqy 1 = c.
35 Przykład: 10. Rozwiążemy równanie 66x + 48y = 18. Na podstawie poprzedniego przykładu wiemy już, że ( 3) = 6, a więc ( 12) = 18.
36 Twierdzenie: Niech a, b, c Z i niech d = NWD(a, b) c. Niech x 0, y 0 Z będą rozwiązaniami równania ax + by = c. Wówczas wszystkie całkowite rozwiązania tego równania dane są przez x = x 0 + bt d oraz y = y 0 at d, t Z.
37 Dowód: Sprawdzamy, że a ( x 0 + bt d ) ( + b y 0 at d ) = ax 0 + by 0 = c. Dalej, niech x, y Z będzie rozwiązaniem równania ax + by = c. Wtedy ax + by = c = ax 0 + by 0. Stąd a(x x 0 ) = b(y 0 y). Jeżeli a = a 1 d i b = b 1 d, dla pewnych a 1, b 1 Z, to wówczas też a 1 (x x 0 ) = b 1 (y 0 y). Ponieważ NWD(a 1, b 1 ) = 1, więc b 1 x x 0. Niech x x 0 = b 1 t, dla pewnego t Z. Stąd x = x 0 + b 1 t = x 0 + bt d. Ponadto a 1 b 1 t = b 1 (y 0 y), skąd y = y 0 at d.
38 Przykład: 11. Wszystkie rozwiązania równania 66x + 48y = 18 wyrażą się wzorami x = 9 + 8t, y = 12 11t, t Z.
39 Grupy, pierścienie i ciała
40 Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem. Działaniem zewnętrznym w zbiorze A nazywamy funkcję : B A A.
41 Uwaga: To, że w zbiorze A określono działanie wewnętrzne w szczególności oznacza, że: 1. x, y A[ (x, y) istnieje], 2. x, y A[ (x, y) A]. Zamiast (x, y) będziemy na ogół pisać x y.
42 Podobnie, jeśli B, to to, że w zbiorze A określono działanie zewnętrzne w szczególności oznacza, że: 1. a B x A[ (a, x) istnieje], 2. a B x A[ (a, x) A]. Zamiast (a, x) będziemy na ogół pisać a x.
43 Na tym wykładzie będziemy zajmować się prawie wyłącznie działaniami wewnętrznymi.
44 Przykłady: 1. Dodawanie liczb naturalnych jest działaniem w zbiorze N. 2. Mnożenie liczb naturalnych jest działaniem w zbiorze N. 3. Odejmowanie i dzielenie nie są działaniami w zbiorze N: 3 5 / N oraz 1 2 / N. Z drugiej strony, odejmowanie jest działaniem w Z, a dzielenie jest działaniem w Q \ {0}. 4. Mnożenie wektorów na płaszczyźnie przez skalary rzeczywiste jest przykładem działania zewnętrznego.
45 Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem, a i działaniami w A. 1. Mówimy, że jest łączne, jeżeli x, y, z A[x (y z) = (x y) z]. 2. Mówimy, że jest przemienne, jeżeli x, y A[x y = y x]. 3. Mówimy, że ma element neutralny e, jeżeli x A[x e = e x = x]. 4. Mówimy, że y jest elementem odwrotnym do x, jeżeli x y = y x = e. 5. Mówimy, że jest rozdzielne względem, jeżeli x, y, z A[x (y z) = x y x z].
46 Przykłady: 5. Dodawanie i mnożenie liczb naturalnych są łączne i przemienne. 0 jest elementem neutralnym dodawania, a 1 jest elementem neutralnym mnożenia. Ponadto mnożenie jest rozdzielne względem dodawania. 1 nie ma elementu odwrotnego względem dodawania, a 2 nie ma elementu odwrotnego względem mnożenia.
47 6. Rozważmy dodawanie i mnożenie liczb całkowitych. Każda liczba całkowita ma element odwrotny względem dodawania, ale 2 nie ma elementu odwrotnego względem mnożenia.
48 7. Rozważmy dodawanie i mnożenie liczb wymiernych. Każda liczba wymierna ma element odwrotny względem dodawania i każda niezerowa liczba wymierna ma element odwrotny względem mnożenia.
49 Definicja: 1. Algebrą nazywamy system (A, 1,..., n, B 1,..., B m, 1,..., m ), gdzie A jest niepustym zbiorem, 1,..., n działaniami wewnętrznymi w zbiorze A, a 1,..., m działaniami zewnętrznymi w zbiorze A (wraz z odpowiadającymi im zbiorami B 1,..., B m ).
50 2. Grupą nazywamy algebrę (G, ), gdzie jest łaczne, ma element neutralny i każdy element w zbiorze G ma element odwrotny. Jeżeli ponadto jest przemienne, to grupę (G, ) nazywamy przemienną (lub abelową).
51 3. Pierścieniem nazywamy algebrę (R, +, ), gdzie (R, +) jest grupą abelową, a jest łączne i rozdzielne względem +. Jeżeli jest przemienne, to (R, +, ) nazywamy pierścieniem przemiennym. Jeżeli ma element neutralny 1, to (R, +, ) nazywamy pierścieniem z jedynką. W tym wykładzie ograniczymy się do pierścieni przemiennych z jedynką, które będziemy krótko nazywać pierścieniami.
52 4. Ciałem nazywamy pierścień przemienny z jedynką (F, +, ), w którym 0 1, przy czym 0 oznacza element neutralny +, a 1 to element neutralny i taki, że każdy 0 element ma element odwrotny względem.
53 Przykłady: 8. (Z, +), (Q, +), (R, +) są przykładami grup przemiennych. (N, +) nie jest grupą. Podobnie (Q, ), (R, ), gdzie A = A \ {0}, są grupami przemiennymi. (N, ) i (Z, ) nie są grupami.
54 9. (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) są przykładami pierścieni.
55 10. (Q+, ), (R, +, ) są przykładami ciał. (Z, +, ) nie jest ciałem.
56 Definicja: Niech n N i oznaczmy przez Z n = {0, 1,..., n 1}. W zbiorze Z n definiujemy dodawanie modulo n: x n y = reszta z dzielenia x + y przez n oraz mnożenie modulo n: x n y = reszta z dzielenia x y przez n.
57 Przykłady: 11. Sprawdzamy, że = 4, = 1, = 0, = 2 i = Podobnie, = 4, = 3, = 1, = 0 i = 96.
58 Twierdzenie: Niech n N. 1. (Z n, n ) jest grupą przemienną. 2. (Z n, n ) jest grupą przemienną, o ile n jest liczbą pierwszą. 3. (Z n, n, n ) jest pierścieniem. 4. (Z n, n, n ) jest ciałem, o ile n jest liczbą pierwszą.
59 Dowód: Sprawdzenie wszystkich aksjomatów jest dość czasochłonne, ale proste. Ograniczymy się do pokazania, że jeśli n jest liczbą pierwszą, to każdy element x Z n ma element odwrotny względem n.
60 Ustalmy x Z n. Chcemy pokazać, że istnieje y Z n taki, że x n y = 1, to znaczy xy = 1 + qn, dla pewnej liczby całkowitej q Z. Jest to równoważne pokazaniu, że równanie xy qn = 1 ma rozwiązanie w liczbach całkowitych. Ponieważ n jest liczbą pierwszą, a zatem NWD(x, n) = 1, równanie to istotnie ma rozwiązanie.
61 W dowolnej grupie (G, ) wprowadzamy oznaczenie n x i = x 1... x n. i=1 W szczególności n i=1 x = x n. Tradycyjnie używamy w teorii grup dwóch równoległych terminologii: addytywnej i multyplikatywnej, według następującego schematu: Definicja Notacja addytywna Notacja multyplikatywna działanie + dodawanie mnożenie suma iloczyn element neutralny 0 1 zero jedynka potęga nx x n wielokrotność potęga element odwrotny x x 1 element przeciwny element odwrotny
62 Twierdzenie: Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas: 1. element neutralny e jest wyznaczony jednoznacznie; 2. m i=1 x i n j=1 x j = m+n j=1 x j, dla x 1,..., x m+n G; 3. x m+n = x m x n, dla x G; 4. (x m ) n = x mn, dla x G; 5. element odwrotny jest wyznaczony jednoznacznie; 6. (x n x n k k ) 1 = x n k k... x n 1 1, dla x 1,..., x k G; 7. (x 1 ) 1 = x, dla x G; 8. (x 1 y x) n = x 1 y n x, dla x, y G; 9. jeżeli x y = x z, to y = z.
63 Dowód: Udowodnimy dla przykładu część (1): jeśli e i e są dwoma elementami neutralnymi, to wówczas e = e e = e.
64 W dowolnym pierścieniu (R, +, ) wprowadzamy oznaczenia: xy + z = (x y) + z, n x i = 0 x x n, x i = 0, i=1 n x i = x 1... x n, i=1 nx = n x, x n = i=1 0 x i = 1, i=1 n x. i=1 i=1
65 Twierdzenie: Niech (R, +, ) będzie pierścieniem, niech x, y, z R, n, m N. Wówczas: 1. ( x) = x; 2. (x + y) = x y; 3. n(mx) = nmx; 4. nx + mx = (n + m)x; 5. 0x = x0 = 0; 6. ( 1)x = x; 7. ( x)y = (xy) = x( y); 8. ( x)( y) = xy; 9. x(y z) = xy xz; 10. (x y)z = xz yz; 11. jeżeli x + y = x + z, to wówczas y = z; 12. x n x m = x n+m ; 13. (x n ) m = x nm ; 14. (x + y) n = n k=0 ( n k) x n k y k.
66 Dowód: Udowodnimy dla przykładu część (5): a zatem 0x = 0. 0x + 0x = (0 + 0)x = 0x
1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Paweł Gładki. Algebra. pgladki/
Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,
Grupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Podstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Podstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Definicja1.2.Niech Abędzieniepustymzbiorem,a i działaniamiwa. (1)Mówimy,że jestłączne,jeżeli. x,y,z A[x (y z) = (x y) z].
1. Wykład 1: Grupy i izomorfizmy grup. Definicja 1.1. Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym(lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi
Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne
Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,
Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.
DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:
Algebra abstrakcyjna
Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą
Kierunek i poziom studiów: Sylabus modułu: Wstęp do algebry i teorii liczb (03-M01N-WATL) Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie): -
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Sylabus modułu: Wstęp do algebry i teorii liczb (03-M01N-WATL) Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie): - 1. Informacje ogólne koordynator
. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Przykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
Informatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a
Działania na zbiorach i ich własności Informatyka Stosowana 1. W dowolnym zbiorze X określamy działanie : a b = b. Pokazać, że jest to działanie łączne. 2. W zbiorze Z określamy działanie : a b = a 2 +
1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
1. Informacje ogólne. 2. Opis zajęć dydaktycznych i pracy studenta. wykład
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok I Sylabus modułu: Wstęp do algebry i teorii liczb (03-MO1S-12-WATL) Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie):
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,
Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,
Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.
Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której
0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Algebra liniowa z geometrią. wykład I
Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych
Zadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Kombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),
Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Linear algebra and analytical geometry Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka,
R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Liczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Zał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)
Zał nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim : Algebra z Geometria Analityczna Nazwa w języku angielskim : Algebra and Analytic Geometry Kierunek studiów
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Przestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Matematyka Dyskretna Zestaw 2
Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje
Algebra. Jakub Maksymiuk. lato 2018/19
Algebra Jakub Maksymiuk lato 2018/19 Algebra W1/0 Zbiory z działaniami Podstawowe własności Potęgi Tabelka działania Przykłady Grupa symetryczna Algebra W1/1 Podstawowe własności Definicja: Działaniem
Pierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.
2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,
0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 7, 13.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Ułamki pierścienia całkowitego Cel: Wprowadzenie pojęcia funkcji
Przestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Nazwa Algebra liniowa z geometrią Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot Kod Studia Kierunek
ALGORYTMY MATEMATYCZNE Ćwiczenie 1 Na podstawie schematu blokowego pewnego algorytmu (rys 1), napisz listę kroków tego algorytmu:
ALGORYTMY MATEMATYCZNE Ćwiczenie 1 Na podstawie schematu blokowego pewnego algorytmu (rys 1), napisz listę kroków tego algorytmu: Rys1 Ćwiczenie 2 Podaj jaki ciąg znaków zostanie wypisany po wykonaniu
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA M1 Nazwa w języku angielskim ALGEBRA M1 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Stopień studiów
Maciej Grzesiak. Wielomiany
Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca
1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
KARTA PRZEDMIOTU. 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Algebra liniowa (ALL010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA. 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/1
KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Algebra liniowa (ALL010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/1 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 8 6. LICZBA GODZIN: 30 / 30 7. TYP
(4) W zbiorze R R definiujemy działania i wzorami. (a, b) (c, d) =(a + c, b + d),
Zestaw zadań 2: Ciało liczb zespolonych Układy równań liniowych () Ile działań można określić na zbiorze n-elementowym? Ile z nich to działania przemienne? (2) Zbadaj własności działania różnicy symetrycznej
φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 4: Podzielność liczb całkowitych Gniewomir Sarbicki Dzielenie całkowitoliczbowe Twierdzenie: Dla każdej pary liczb całkowitych (a, b) istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych
http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych pojęć dotyczących
Algebra liniowa Linear algebra
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014
Matematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Kongruencje pierwsze kroki
Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod
Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych
Teoria liczb Zajmuje się własnościami liczb, przede wszystkim całkowitych Niepraktyczna? - kryptografia Dzielenie liczb całkowitych z resztą Niech b>0, wtedy dla każdej liczby całkowitej a istnieją jednoznacznie
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
KARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 6. Znajomość podstaw logiki, teorii mnogości i algebry liniowej.
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Algebra abstrakcyjna Abstract algebra Kod Punktacja ECTS* 6 Koordynator Prof. dr hab. Kamil Rusek Zespół dydaktyczny: Dr Antoni Chronowski Opis kursu (cele kształcenia)
OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS)
OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne: 1 Nazwa modułu Matematyka 2 2 Kod modułu 04-A-MAT2-60-1L 3 Rodzaj modułu obowiązkowy 4 Kierunek studiów astronomia 5 Poziom studiów I stopień 6 Rok
Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Pojęcie pierścienia.
Pojęcie pierścienia. Definicja: Niech R będzie zbiorem niepustym. 1. Algebrę pr, `, q nazywamy pierścieniem, gdy pr, `q jest grupą abelową, działanie jest łaczne oraz rozdzielne względem działania `, to
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań
Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona
Algebra liniowa Linear algebra
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Równania diofantyczne
Równania diofantyczne Beata Łojan b.lojan@knm.katowice.pl Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach www.knm.katowice.pl III Liceum Ogólnokształcące im. Lucjana Szenwalda w Dąbrowie Górniczej
Liczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji
Matematyka w klasie IE Zadania do zajęć w Marynce Jesień 2012 Liczby całkowite prof. W. Gajda Zagadka Pomyśl sobie jakąś dużą liczbę całkowitą. Dodaj do niej tę samą liczbę. Do uzyskanej sumy dodaj jeszcze
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Rozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Wybrane zagadnienia teorii liczb
Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja
Równania Pitagorasa i Fermata
Równania Pitagorasa i Fermata Oliwia Jarzęcka, Kajetan Grzybacz, Paweł Jarosz 7 lutego 18 1 Wstęp Punktem wyjścia dla naszych rozważań jest klasyczne równanie Pitagorasa związane z trójkątem prostokątnym
Algebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność