Tajemnice liczb pierwszych i tych drugich

Transkrypt

1 Tajemnice liczb pierwszych i tych drugich Barbara Roszkowska-Lech MATEMATYKA DLA CIEKAWYCH ŚWIATA

2 Liczby całkowite stworzył dobry Bóg, wszystko inne wymyślili ludzie Leopold Kronecker ( )

3 Liczby rzadzą światem

4 Definicja Kongruencje czyli arytmetyka zegara a b(modn) n a b

5 Definicja Kongruencje czyli arytmetyka zegara a b(modn) n a b Warunek a b(modn) jest spełniony wtedy i tylko wtedy, gdy liczby a i b dają równe reszty z dzielenia przez n.

6 Definicja Kongruencje czyli arytmetyka zegara a b(modn) n a b Warunek a b(modn) jest spełniony wtedy i tylko wtedy, gdy liczby a i b dają równe reszty z dzielenia przez n. a n b

7 Definicja Kongruencje czyli arytmetyka zegara a b(modn) n a b Warunek a b(modn) jest spełniony wtedy i tylko wtedy, gdy liczby a i b dają równe reszty z dzielenia przez n. a n b Każda liczba przystaje mod n do dokładnie jednej liczby ze zbioru Z n = {0, 1,..., n 1}.

8 Twierdzenie Niech a n b oraz c n d. Wtedy a + c n b + d ac n bd. a k n b k

9 Przykład ,

10 Przykład ,

11 Przykład , = = 90

12 Przykład , = =

13 Przykład , = = ?

14 Przykład , = = ? NIE!

15

16

17

18

19 = ,

20 = , 3 20 =

21 = , 3 20 =

22 Definicja Element k Z n nazywamy odwracalnym modulo n, jeśli istnieje element m Z n taki, że mk n 1.

23 Definicja Element k Z n nazywamy odwracalnym modulo n, jeśli istnieje element m Z n taki, że mk n 1. Przykład 5 jest odwracalne mod 7,

24 Definicja Element k Z n nazywamy odwracalnym modulo n, jeśli istnieje element m Z n taki, że mk n 1. Przykład 5 jest odwracalne mod 7, 3 nie jest odwracalne mod 6.

25 Definicja Element k Z n nazywamy odwracalnym modulo n, jeśli istnieje element m Z n taki, że mk n 1. Przykład 5 jest odwracalne mod 7, 3 nie jest odwracalne mod 6. Twierdzenie Element k Z n jest odwracalny modulo n wtedy i tylko wtedy gdy NWD(n, k) = 1.

26 Nikogo nie obchodzi los podzielnych Zadanie Jaka jest cyfra jedności liczby ?

27 Nikogo nie obchodzi los podzielnych Zadanie Jaka jest cyfra jedności liczby ?

28 Nikogo nie obchodzi los podzielnych Zadanie Jaka jest cyfra jedności liczby ? = 9,

29 Nikogo nie obchodzi los podzielnych Zadanie Jaka jest cyfra jedności liczby ? = 9,

30 Nikogo nie obchodzi los podzielnych Zadanie Jaka jest cyfra jedności liczby ? = 9, ( 1) 100 = 1.

31 Zadanie Jaka jest reszta z dzielenia liczby przez 7? ,

32 Zadanie Jaka jest reszta z dzielenia liczby przez 7? , ,

33 Zadanie Jaka jest reszta z dzielenia liczby przez 7? , , ,

34 Zadanie Jaka jest reszta z dzielenia liczby przez 7? , , , ,

35 Zadanie Jaka jest reszta z dzielenia liczby przez 7? , , , , = = (3 6 )

36 Zadanie Jaka jest reszta z dzielenia liczby przez 7? , , , , = = (3 6 )

37 Małe jest piękne: Małe Twierdzenie Fermata Twierdzenie Niech p bedzie liczba pierwszą. Wtedy dla dowolnej liczby całkowitej a, a p p a. Pierre Fermat ( )

38 Małe jest piękne: Małe Twierdzenie Fermata Pierre Fermat ( ) Twierdzenie Niech p bedzie liczba pierwszą. Wtedy dla dowolnej liczby całkowitej a, a p p a. Jeśli p a, to a p 1 1(modp).

39

40

41

42

43

44

45

46 p a p a

47 Czy można twierdzenie Fermata odwrócić?

48 Czy można twierdzenie Fermata odwrócić? Czy z faktu, że p a p a wynika, że p jest liczbą pierwszą?

49 Czy można twierdzenie Fermata odwrócić? Czy z faktu, że p a p a wynika, że p jest liczbą pierwszą? 3 90 = (3 4 ) (( 10) 2 )

50 Czy można twierdzenie Fermata odwrócić? Czy z faktu, że p a p a wynika, że p jest liczbą pierwszą? 3 90 = (3 4 ) (( 10) 2 ) ( 10) ( 10)

51 Czy można twierdzenie Fermata odwrócić? Czy z faktu, że p a p a wynika, że p jest liczbą pierwszą? 3 90 = (3 4 ) (( 10) 2 ) ale ( 10) ( 10) = 7 13

52 Czy można twierdzenie Fermata odwrócić? Czy z faktu, że p a p a wynika, że p jest liczbą pierwszą? 3 90 = (3 4 ) (( 10) 2 ) ( 10) ( 10) ale 91 = 7 13 Liczba 91 jest liczbą pseudopierwszą przy podstawie 3.

53 Liczbowi oszuści

54 Liczbowi oszuści Liczba 2 jest świadkiem złożoności liczby 91.

55 Liczbowi oszuści Liczba 2 jest świadkiem złożoności liczby 91. Najmniejszą liczbą pseudopierwszą przy podstawie 2 jest ,

56 Liczbowi oszuści Liczba 2 jest świadkiem złożoności liczby 91. Najmniejszą liczbą pseudopierwszą przy podstawie 2 jest , 341 =

57 Czy dla każdej liczby złożonej istnieje świadek złożoności?

58 Czy dla każdej liczby złożonej istnieje świadek złożoności? Liczba 561 = jest liczbą pseudopierwszą przy dowolnej podstawie,

59 Czy dla każdej liczby złożonej istnieje świadek złożoności? Liczba 561 = jest liczbą pseudopierwszą przy dowolnej podstawie, NWD(a, 561) = 1 = a

60 Czy dla każdej liczby złożonej istnieje świadek złożoności? Liczba 561 = jest liczbą pseudopierwszą przy dowolnej podstawie, NWD(a, 561) = 1 = a Liczby złożone spełniające ten warunek nazywamy liczbami Carmichaela.

61 Czy dla każdej liczby złożonej istnieje świadek złożoności? Liczba 561 = jest liczbą pseudopierwszą przy dowolnej podstawie, NWD(a, 561) = 1 = a Liczby złożone spełniające ten warunek nazywamy liczbami Carmichaela.

62 Daniel Carmichael ( )

63 Daniel Carmichael ( ) Liczb Carmichaela jest nieskończenie wiele.

64 Kongruencje Małe twierdzenie Fermata liczby pseudopierwsze Twierdzenie Chińskie o resztach Reszty kwadratowe Chińskie początki Około 100 roku naszej ery chiński matematyk Sun Zi rozwiązał problem znajdowania liczb całkowitych, które przy dzieleniu przez 3, 5, 7 dają reszty odpowiednio 2, 3, 2.

65 x 3 2, x 5 3, x 7 2

66 x 3 2, x 5 3, x 7 2 3k+2 :

67 x 3 2, x 5 3, x 7 2 3k+2 : 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29,...

68 x 3 2, x 5 3, x 7 2 3k+2 : 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29,... 5k+3 :

69 x 3 2, x 5 3, x 7 2 3k+2 : 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29,... 5k+3 : 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48...

70 x 3 2, x 5 3, x 7 2 3k+2 : 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29,... 5k+3 : 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48...

71 3k + 2 : 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29,... 5k+3 : 8, 13 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48,...

72 3k + 2 : 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29,... 5k+3 : 8, 13 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48,... 7k + 2 : 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58...

73 3k + 2 : 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29,... 5k+3 : 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48,... 7k + 2 : 9, 16, 23, 30, 37, 44,

74 3k + 2 : 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29,... 5k+3 : 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48,... 7k + 2 : 9, 16, 23, 30, 37, 44, x = k,

75 3k + 2 : 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29,... 5k+3 : 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48,... 7k + 2 : 9, 16, 23, 30, 37, 44, x = k, x

76

77 Twierdzenie Dla parami względnie pierwszych modułów m 1, m 2,..., m r, oraz liczb całkowitych a 1, a 2,... a r układ kongruencji x m1 a 1 x m2 a 2. x mr ma dokładnie jedno rozwiązanie modulo M = m 1... m r. a r

78 Definicja Liczbę całkowitą a względnie pierwszą z liczbą n nazywamy resztą kwadratową modulo n, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba całkowita x, taka że x 2 n a.

79 Przykład Resztami kwadratowymi mod 11 są:

80 Przykład Resztami kwadratowymi mod 11 są: 1, 4, 9, 5, 3.

81 Przykład Resztami kwadratowymi mod 11 są: Reszty kwadratowe mod 15 to 1, 4, 9, 5, 3.

82 Przykład Resztami kwadratowymi mod 11 są: Reszty kwadratowe mod 15 to 1, 4, 9, 5, 3. 1, 4.

83 Przykład Resztami kwadratowymi mod 11 są: Reszty kwadratowe mod 15 to 1, 4, 9, 5, 3. 1, 4.

84 Reszty kwadratowe mod liczby pierwsze Twierdzenie Jest dokładnie p 1 reszt kwadratowych mod liczba pierwsza 2 p > 2.

85 Reszty kwadratowe mod liczby pierwsze Twierdzenie Jest dokładnie p 1 reszt kwadratowych mod liczba pierwsza 2 p > 2. Twierdzenie Niech p będzie liczbą pierwszą a 0. Kongruencja x 2 p a ma dwa rozwiązania, jeśli a jest resztą kwadratową mod p.

86 Przykład ,

87 Przykład , ,

88 Przykład , , ,

89 Przykład , , ,

90

91 O nieprawdopodobne liczby pierwsze, niech łowcy formuł krążą w oparach abstrakcji i tracą resztki poloru: Wy bądźcie nonkonformistyczne, uprzykrzone, nie dajcie się złowić w sieci układów, ciągów, wyjaśnień i wzorów. (Helen Spalding)

92

93 Bibliografia Gardner Martin, Ostatnie Rozrywki, rozdział 12 Prószyński i s-ka, Warszawa Animacje i wykresy wygenerowane za pomocą programu Wolfram mathematica 7. Portrety matematyków, obrazki: wikipedia.

94 KONIEC Dziękuję za uwagę