Scenariusz lekcji 1. Informacje wstępne: Data: 28 maja 2013r.; Klasa: I c liceum (profil bezpieczeństwo wewnętrzne); Czas trwania zajęć: 45 minut; Nauczany przedmiot: matematyka; 2. Program nauczania: Kształcenie w zakresie podstawowym. Program nauczania w liceach i technikach (autor programu Alina Przychoda, Zygmunt Łaszczyk). 3. Temat lekcji: Wykazywanie tożsamości trygonometrycznych; 4. Integracja: wewnątrzprzedmiotowa działania na ułamkach, potęgowanie liczb, twierdzenie Pitagorasa, wzory skróconego mnożenia; 5. Cele lekcji: Uczeń potrafi: - zdefiniować pojęcia sinus, cosinus, tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym (A1), - zapisać podstawowe tożsamości trygonometryczne (A2),
- wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym (B1), - obliczać długości boków trójkąta prostokątnego, mając daną wartość jednej funkcji trygonometrycznej kąta ostrego (C1), - obliczać wartości funkcji trygonometrycznych, mając daną wartość jednej z nich (C3), - przekształcać wyrażenia, stosując tożsamości trygonometryczne (D1), - sprawdzać tożsamości trygonometryczne (D2), - dobrać metodę rozwiązania zadania (D3); 6. Postawy i zainteresowania: - doskonalenie umiejętności logicznego myślenia, - doskonalenie umiejętności współdziałania przy realizacji zadania, wypowiadania się na forum grupy, - wdrażanie do dobrej organizacji pracy; 7. Strategie nauczania: asocjacyjna, problemowa; 8. Metody nauczania: - pogadanka (M1), - ćwiczeniowa (M2);
9. Zasady nauczania: - świadomego i aktywnego uczestnictwa w zajęciach, - stopniowania trudności; 10. Formy pracy uczniów: - zbiorowa (F1), - w grupach stoliki eksperckie (F2); 11. Środki dydaktyczne: - tablica; 12. Wykaz piśmiennictwa: dla ucznia i nauczyciela: - załącznik nr 1, - załącznik nr 2, - załącznik nr 3;
13. Struktura lekcji: ETAPY LEKCJI ZAGADNIENIA, ZADANIA, PROBLEMY LEKCJI 1. FAZA WSTĘPNA Czynności organizacyjne; Sprawdzenie pracy domowej; Przypomnienie definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym; Przypomnienie podstawowych tożsamości trygonometrycznych; SPOSOBY REALIZACJI ZAGADNIEŃ, ZADAŃ, PROBLEMÓW LEKCJI (F1) (M1) (F1) (M1) SPEŁNIENIE ZAŁOŻONYCH CELÓW LEKCJI (A1) (A2)
2. FAZA REALIZACYJNA Podział klasy na trzy zespoły, wybór lidera zespołu (utworzenie stolików eksperckich ) na zasadzie: 1. Stolik (A1, A2), (D1) 2. Stolik (A1, A2), (D1) 3. Stolik (A1), (B1), (C1, C2) Każda z grup otrzymuje jeden ze sposobów rozwiązania tego samego zadania (Załącznik nr 1). Zadanie jest rozwiązane trzema sposobami. Celem członków zespołu jest przeanalizowanie i zrozumienie rozwiązania zadania. Podział klasy na grupy (uczniowie z poszczególnych zespołów spotykają się w grupach a, b, c, d). Uczniowie uczą się wzajemnie:
I grupa II grupa (A1, A2), (B1), (C1, C2), (D1) (A1, A2), (B1), (C1, C2), (D1) III grupa (A1, A2), (B1), (C1, C2), (D1) IV grupa (A1, A2), (B1), (C1, C2), (D1) Po wykonaniu ćwiczenia każdy uczeń powinien rozumieć rozwiązanie zadania każdym z trzech sposobów. Rozwiązywanie zadań w grupach (Załącznik nr 2): Nagrodzenie tej grupy, która rozwiązała najwięcej zadań, oceną. (A1, A2), (B1), (C1, C2, C3), (D1, D2, D3)
3. FAZA Podsumowanie lekcji pytanie do uczniów: PODSUMOWUJĄCA Który sposób rozwiązywania zadań jest, waszym zdaniem, najłatwiejszy? (F1) (M1) (D3) Informacja o zadaniu domowym Załącznik nr 3. Opracowała Irena Wosz - Łoba
(Załącznik nr 1) Przeanalizuj rozwiązanie zadania: Kąt jest ostry i tg =. Wykaż, że sin + cos =. I sposób (zespół 1.) Korzystamy z definicji tangens i otrzymujemy zatem mnożąc stronami przez cos : Podstawiamy tę równość do tożsamości: i otrzymujemy a stąd Zatem cos = lub cos = -. =, sin = cos. sin α + cos α = 1 ( cos )2 + cos α = 1 cos α =. Ujemny wynik odrzucamy, ponieważ zgodnie z warunkami zadania kąt jest kątem ostrym. Obliczamy wartość funkcji sin =, a następnie wartość wyrażenia sin + cos = + sin + cos =.
Przeanalizuj rozwiązanie zadania: Kąt jest ostry i tg =. Wykaż, że sin + cos =. II sposób (zespół 2.) Korzystamy z definicji tangens i otrzymujemy stąd Podstawiamy tę równość do tożsamości: i otrzymujemy czyli =, 4 cos = 3 sin cos = sin. sin α + cos α = 1 sin 2 + ( sin )2 = 1, sin2 = 1. Wynika stąd, że sin = lub sin = -. Ujemny wynik odrzucamy, ponieważ zgodnie z warunkami zadania kąt jest kątem ostrym. Obliczamy wartość funkcji cos =, a następnie wartość wyrażenia sin + cos = + sin + cos =.
Przeanalizuj rozwiązanie zadania: Kąt jest ostry i tg =. Wykaż, że sin + cos =. III sposób (zespół 3.) Rysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych 3x i 4x, gdzie x > 0 oraz zaznaczamy kąt ostry taki, aby tg =. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość przeciwprostokątnej: r 2 = (4x) 2 + (3x) 2 r 2 = 25x 2 r = 5x lub r = -5x. Zatem przeciwprostokątna ma długość 5x (odrzucamy ujemne rozwiązanie: -5x). Obliczamy wartość funkcji sin = i cos =. Stąd sin + cos = + sin + cos =.
(Załącznik nr 2) Zadania dla grup Zad. 1. Kąt jest ostry, a tg = 3. Wyznacz wartość wyrażenia sin cos. Zad. 2. Kąt jest ostry, a sin =. Oblicz wartość wyrażenia: a) 1 3cos 2, b). Zad. 3. Oblicz sinus i cosinus kata ostrego, jeżeli tg 2 8 = 0. Zad. 4. Oblicz wartość wyrażenia + sin. Zad. 5. Kąt jest ostry i + = 2. Oblicz wartość wyrażenia sin cos. Zad. 6. Wykaż, że nie istnieje kąt, taki, że cos = i tg =.
(Załącznik nr 3) Zadanie domowe Zad. 1. Kąt jest ostry, a cos =. Wykaż, że tg α + 1 =. Zad. 2. Wiedząc, że sin + cos =, oblicz sin cos. (Wsk.: Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.) Zad. 3. Wiedząc, że sin cos =, wykaż, że = 3. Zad. 4. Wykaż, że =, jeśli jest kątem ostrym, a tg = 2. Zad. 5. Dany jest trójkąt prostokątny o kątach i β. Uzasadnij równość tg ( + tgβ) = 2.