Wprowadzenie do logiki Kategorie synaktyczne

Wprowadeie do logiki Kategorie syaktyce Marius Urbański Istytut Psychologii UAM Marius.Urbaski@.edu.pl

Kategorie sytaktyce porądek recy 1 Skąd się to więło? Krótka historia pojęcia 2 Co to jest? Defiicja, miej więcej 3 Jakie tego są rodaje? Podiał kategorii sytaktycych 4 Jak sprawdać, cy się dobre poukładało? Kategorie w diałaiu Notacja prefiksowa i otacja ifiksowa Test spójości sytaktycej kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 2 / 31

1 Skąd się to więło? Krótka historia pojęcia 2 Co to jest? Defiicja, miej więcej 3 Jakie tego są rodaje? Podiał kategorii sytaktycych 4 Jak sprawdać, cy się dobre poukładało? Kategorie w diałaiu Notacja prefiksowa i otacja ifiksowa Test spójości sytaktycej kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 3 / 31

κατ ηγωρια (kategoria) - pierwotie: skarga, oskarżeie, akt oskarżeia. Arystoteles użył tego termiu jako skrótu dla sposobu orekaia o dowolym podmiocie i wyróżił diesięć kategorii: substacji, stosuku, ilości, jakości, casu, miejsca, położeia, posiadaia, doawaia, casu i miejsca. Kat miaem kategorii określał cyste (aprioryce) pojęcia itelektu, które umożliwiają pomyśleie predmiotów. Dielił je a ctery grupy, odpowiadające poscególym rodajom sądów (po try kategorie ilości, jakości, stosuku i modalości). kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 4 / 31

Pojęcie kategorii sytaktycej biere się roważań ad agadieiami składi jęyka, które źródło swe miały w odkryciu atyomii w teorii mogości, i posukiwaia kryterium spójości sytaktycej wyrażeń łożoych: W agadieiu tym [spójości sytaktycej] idie o podaie waruków, pry których spełieiu twór słowy łożoy sesowych prostych wyraów staowi wyrażeie sesowe, posiadające jedolite aceie (...) Takie estawieie wyraów jest sytaktycie spóje. Kaimier Ajdukiewic, O spójości sytaktycej (w: Jęyk i poaie, t. I, s. 222) kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 5 / 31

Podobe ituicje (ieco wceśiej) Edmud Husserl wyrażał a pomocą pojęcia kategorii aceiowej : Jeśli swobodie amieiamy materie [tj. wyrażeia] w ramach tej samej kategorii aceiowej, w wyiku mogą powstawać aceia fałsywe, głupie, śmiese (...), ale koiecości powstają aceia jedolite, resp. wyrażeia gramatyce, których ses moża jedolicie spełić. Gdy tylko wykracamy poa kategorie, tak już ie jest. (...) w wypowiedi relacyjej a jest podobe do b możemy słowo podobe astąpić pre słowo koń ale w te sposób otrymujemy awse tylko sereg słów, w którym każde słowo jako takie ma pewie ses, (...) ale asady ie otrymujemy jedolitego amkiętego sesu. Edmud Husserl, Badaia logice, t. II, c. I, ss. 399 400 kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 6 / 31

Kaimier Ajdukiewic, korystając wyików Staisława Leśiewskiego, skostruował symbolikę, którą w asadie moża astosować do wsystkich prawie jęyków i pry pomocy której moża budować rachuek, powalający defiiować i badać spójość sytaktycą estawieia słów. I tym właśie ajmiemy się dalej. Nb: awiska logików e skoły lwowsko-warsawskiej pojawiają się tu ie be powodu, ale o tym trochę późiej. kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 7 / 31

Dwa wyrażeia ależą do tej samej kategorii sytaktycej wtedy i tylko wtedy, gdy dowole poprawie budowae wyrażeie, awierające jedo ich, ie prestaje być poprawie budowaym wyrażeiem po astąpieiu jedego pre drugie. Wyrażeia ależące do tej samej kategorii sytaktycej są więc wajemie astępowale achowaiem gramatycości. Kategoria sytaktyca jest to klasa wyrażeń wajemie astępowalych achowaiem gramatycości. kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 9 / 31

Pojęcie achowywaia gramatycości awse musi być relatywiowae do kokretego jęyka, a co a tym idie, estawy kategorii sytaktycych różych jęyków mogą wyglądać pryajmiej do pewego stopia różie. Dalej ajmiemy się gramatyką, którą a Witoldem Marcisewskim awać możemy gramatyką logicą (por.: W. Marcisewski, O gramatyce, logice, algorytmach i cywiliacji iformatycej) gramatyką takiego jęyka, którego jedyą fukcją jest wyrażaie roumowań. kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 10 / 31

Podiał kategorii sytaktycych: podstawowe (pierwote) awy daia pochode całe móstwo fuktorów kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 12 / 31

Zdaia symbol kategorii: Posługiwać będiemy się podejraym ale poręcym pojęciem daia w sesie logicym, oacającym wyrażeia, które mają wartość logicą (t.j. są prawdiwe albo fałsywe). Z grubsa odpowiada to pojęciu daia oajmującego, ale tylko grubsa. Zdaiami w tym sesie są też, p. pytaia retoryce albo wyrażeia takie jak: Pożar! Nb. gramatyce kryterium dla bycia daiem jest wykle kryterium sytaktycym. Tutaj posługiwać się będiemy kryterium sematycym. kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 13 / 31

Nawy symbol kategorii: Dla uprosceia pryjmiemy, że roważać będiemy jęyki, w których wsystkie awy będą ależały do jedej i tej samej kategorii sytaktycej (co jest uprosceiem idącym dość daleko por. supoycja prosta a supoycja formala). I awami, i daiami ajmiemy się dokładiej a cas jakiś. kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 14 / 31

Fuktory symbol kategorii: ułamki licyć będiemy Wyrażeia, które ie są ai awami, ai daiami, ale służą do wiąaia iych wyrażeń (swoich argumetów) w wyrażeia bardiej łożoe. fuktory i argumety: f (x, y) 3+254, 6 Jaś kocha Małgosię ieloa ławka Poań leży międy Warsawą a Berliem kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 15 / 31

Symbol kategorii fuktorowej: ułamek, w którego liciku ajduje się symbol kategorii sytaktycej wyrażeia łożoego fuktora i jego argumetów, a w miaowiku ajdują się symbole kategorii sytaktycych kolejych argumetów fuktora. co powstaje cego powstaje kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 16 / 31

Jaś kocha Małgosię kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 17 / 31

Jaś kocha Małgosię Jaś kocha Małgosię daie () Jaś, Małgosia awy () kocha fuktor daiotwórcy od dwóch argumetów awowych (, ew. /) kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 17 / 31

Podiały fuktorów Z uwagi a kategorie sytaktyce wyrażeń pre ie tworoych: daiotwórce, awotórce, fuktorotwórce. Z uwagi a licbę argumetów: jedoargumetowe, dwuragumetowe,... Z uwagi a kategorie sytaktyce argumetów: od argumetów daiowych, awowych, fuktorowych, w dowolych kombiacjach. kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 18 / 31

Kilka co bardiej istotych typów fuktorów: fuktory daiotwórce od argumetów awowych (predykaty): kocha, jest ieloy, leży międy a ; fuktory daiotwórce od argumetów daiowych (spójiki daiowe): i, a, mimo że, jeżeli to ; fuktory awotwórce od argumetów awowych (spójiki awowe): i (ale w iym kotekście, iż wyżej), ad ; fuktory daiotwórce od jedego argumetu awowego i jedego argumetu daiowego (spójiki epistemice): wiery że, wątpi cy. kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 19 / 31

Do testowaia spójości sytaktycej będiemy potrebowali odróżieia prefiksowej i ifiksowej otacji fuktorów: w otacji ifiksowej fuktory wpisuje się międy ich argumetami: 2 + 2 = 4 w otacji prefiksowej fuktory wypisuje się pred ich argumetami: = + 2 2 4 kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 21 / 31

Kaimiera Ajdukiewica test spójości sytaktycej I Niech N będie roważaym wyrażeiem. 1. Prypis wyrażeiom składowym wyrażeia N odpowiadające im kategorie sytaktyce. 2. Zapis wyrażeie N w otacji prefiksowej. 3. Zastąp wyrażeia składowe wyrażeia N symbolami ich kategorii sytaktycych, tworąc w te sposób ciąg symboli kategorii sytaktycych. 4. Sprawdź, cy w ciągu tym występuje warta (tj. powiąaa bepośredim sąsiedtwem) grupa wskaźików, mająca a pierwsym miejscu wskaźik ułamkowy, po którym bepośredio astępują takie wskaźiki, jakie ajdują się w miaowiku owego ułamka. Jeśli ajdies taką grupę, astąp ją licikiem wskaźika ułamkowego. 5. Postępowaie to powtaraj do mometu, gdy się okaże, że żada warta grupa wskaźików ie spełia waruku opisaego w pukcie 4. kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 22 / 31

Kaimiera Ajdukiewica test spójości sytaktycej II 6. Jeśli ciąg symboli kategorii sytaktycych redukuje się do jedego tylko wskaźika, będącego pojedycą literą lub pojedycym ułamkiem, acy to, że N jest wyrażeiem spójym sytaktycie kategorii oacoej tak uyskaym wskaźikiem. W preciwym prypadku N ie jest wyrażeiem spójym sytaktycie. kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 23 / 31

Prykład 1. Niech roważaym wyrażeiem N będie 16 = 2 (11 + 3). 1. Prypis wyrażeiom składowym wyrażeia N odpowiadające im kategorie sytaktyce. 16 = 2 (11 + 3) kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 24 / 31

2. Zapis wyrażeie N w otacji prefiksowej. = 16 2 + 11 3 3. Zastąp wyrażeia składowe wyrażeia N symbolami ich kategorii sytaktycych, tworąc w te sposób ciąg symboli kategorii sytaktycych. kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 25 / 31

4. Sprawdź, cy w ciągu tym występuje warta (tj. powiąaa bepośredim sąsiedtwem) grupa wskaźików, mająca a pierwsym miejscu wskaźik ułamkowy, po którym bepośredio astępują takie wskaźiki, jakie ajdują się w miaowiku owego ułamka. Jeśli ajdies taką grupę, astąp ją licikiem wskaźika ułamkowego. kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 26 / 31

5. Postępowaie to powtaraj do mometu, gdy się okaże, że żada warta grupa wskaźików ie spełia waruku opisaego w pukcie 4. kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 27 / 31

6. Jeśli ciąg symboli kategorii sytaktycych redukuje się do jedego tylko wskaźika, będącego pojedycą literą lub pojedycym ułamkiem, acy to, że N jest wyrażeiem spójym sytaktycie kategorii oacoej tak uyskaym wskaźikiem. W preciwym prypadku N ie jest wyrażeiem spójym sytaktycie. A atem wyrażeie 16 = 2 (11 + 3) jest spóje sytaktycie i jest daiem. kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 28 / 31

Prykład 2. Niech roważaym wyrażeiem N będie 16 = 2 (11 = 3).... kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 29 / 31

Dalsa kariera kategorii sytaktycych: gramatyki kategoriale; gramatyki geeratywe; programowaie logice;... kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 30 / 31

Kategorie sytaktyce Poostaie: Na cym polega wajema astępowalość wyrażeń achowaiem gramatycości? Co to jest kategoria sytaktyca? Jakie wyróżiamy rodaje kategorii sytaktycych? Na cym polega spójość sytaktyca wyrażeń? Jak testować spójość sytaktycą? kogitywistyka, rok I (IP UAM) Wprowadeie do logiki 11 paźdierika 2007 31 / 31