Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne

Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Poświȩcimy teraz uwagȩ przede wszystkich kratowym w lasnościom klasy wszystkich liczb porz adkowych. Wed lug Tw.14, Rozdzia l 5, każdy zbiór dobrze uporz adkowany z elementem najwiȩkszym jest krat a zupe ln a. Naturalnie nie zamierzamy twierdzić, że klasa wszystkich liczb porz adkowych wraz z relacj a inkluzji jest krat a zupe ln a, i to nie tylko z tego powodu, że klasa ta nie jest zbiorem (można by przecież, wykraczaj ac poza teoriȩ ZFC, odpowiednio uogólnić pojȩcie kraty zupe lnej, aby stosowa lo siȩ ono do wszelkich mnogości zbiorów), lecz dlatego, iż w klasie wszystkich liczb porz adkowych nie ma elementu najwiȩkszego, tzn. nie ma takiej liczby porz adkowej, w której każda liczba porz adkowa siȩ zawiera. Gdyby bowiem taka liczba istnia la, to jej nastȩpnik, bȩd acy na mocy Tw.9, Rozdzia l 8 liczb a porz adkow a, zawiera lby siȩ w niej, zatem, wobec przeciwnej inkluzji, by lby jej równy, co jest niemożliwe. Jednakże pokażemy, że dla dowolnego niepustego zbioru (nie jakiejkolwiek mnogości, lecz w laśnie zbioru) liczb porz adkowych, w klasie wszystkich liczb porz adkowych uporz adkowanej relacj a inkluzji istniej a jego kresy dolny i górny, tzn. wykażemy, że dla dowolnego niepustego zbioru z liczb porz adkowych istniej a takie liczby porz adkowe a, b, że y z, a y, x[x jest liczb a porz adkow a (( y z, x y) x a)], (wtedy w laśnie a = infz) oraz y z, y b, x[x jest liczb a porz adkow a (( y z, y x) b x)] (wtedy b = supz). Rozważmy dowolny niepusty zbiór z liczb porz adkowych oraz formu lȩ φ(x) postaci: x z. Wówczas na mocy Tw.21, Rozdzia l 8 istnieje najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że x z, czyli najmniejsza liczba porz adkowa w zbiorze z. Na mocy Tw.20, Rozdzia l 8 wprowadźmy jednoargumentow a operacjȩ nlp przyporz adkowuj ac a każdemu niepustemu zbiorowi z liczb porz adkowych najmniejsz a liczbȩ porz adkow a w zbiorze z. Wówczas z definicji najmniejszej liczby porz adkowej x takiej, że φ(x) mamy: nlp(z) z oraz y z, nlp(z) y, co natychmiast prowadzi do konkluzji: nlp(z) = infz. Jest oczywiste na podstawie Tw.23, Rozdzia l 8, że w przypadku, gdy z jest liczb a porz adkow a (niepust a), nlp(z) =. Uwaga: Wprowadzamy operacjȩ nlp w celu zaznaczenia, że term nlp(z) nazywa pewn a liczbȩ porz adkow a. Można by nie wprowadzać do teorii tej operacji, lecz wyrażać najmniejsz a liczbȩ porz adkow a w danym zbiorze w inny,

1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych 106 sk adin ad znany sposób. Mianowicie, skoro nlp(z) z, wiȩc na mocy Tw.18(1), Rozdzia l 1, z nlp(z). Skoro zaś y z, nlp(z) y, wiȩc na mocy Tw.18(2), Rozdzia l 1, nlp(z) z. Ostatecznie nlp(z) = z. Naturalnie dla dowolnego niepustego zbioru z liczb porz adkowych (w szczególności dla niepustej liczby porz adkowej), zbiór czȩściowo uporz adkowany < z, > jest dobrze uporz adkowany (dla dowolnego niepustego y z, nlp(y) jest elementem najmniejszym w <y, >). Zwróćmy jeszcze uwagȩ na to, iż operacja nlp ma, na mocy Tw.19(i) (iii), Rozdzia l 8, nastȩpuj ac a w lasność: nlp(z) z y(y nlp(z) y z), co świadczy o tym, iż nlp(z) jest elementem minimalnym zbioru z. Co wiȩcej, jak mówi o tym nastȩpne twierdzenie, jest to jedyny element minimalny zbioru z: Twierdzenie 1: Dla dowolnego niepustego zbioru z liczb porz adkowych oraz dowolnej liczby porz adkowej y, y jest elementem minimalnym zbioru z wtw y = nlp(z). Dowód: Niech z bȩdzie zbiorem liczb porz adkowych oraz y liczb a porz adkow a. ( ): Za lóżmy, że (1) y z oraz (2) y z =. Rozważmy dowolny x z. Wówczas z (2): x y. St ad, ponieważ x, y s a liczbami porz adkowymi, na mocy Twierdzeń 17 i 18, Rozdzia l 8, otrzymujemy: y x. Ostatecznie, wobec (1) i dowolności wyboru zbioru x ze zbioru z, y = nlp(z). ( ): oczywisty. Aby opisać kres górny dowolnego zbioru liczb porz adkowych, rozważmy sumȩ tego zbioru: Twierdzenie 2: Suma dowolnego zbioru liczb porz adkowych jest liczb a porz adkow a. Dowód: Niech z bȩdzie zbiorem liczb porz adkowych. Wykazujemy, że z jest zbiorem tranzytywnym. Niech wiȩc x z. Wówczas dla pewnego a, a z oraz x a. Aby wykazać, że x z rozważmy y x. Z za lożenia a jest liczb a porz adkow a, zatem na mocy Tw.13, Rozdzia l 8, x jest liczb a porz adkow a, a wiȩc konsekwentnie również y jest liczb a porz adkow a. Na mocy Tw.14, Rozdzia l 8 mamy zatem: y a. Ostatecznie, z definicji sumy, y z. Wykazujemy, że x(x z x jest tranzytywny). Niech wiȩc x z. Wówczas x a oraz a z dla pewnego a. Na mocy za lożenia, a jest liczb a porz adkow a, wiȩc skoro x a, to x jest tranzytywny. Wniosek: x(x jest liczb a porz adkow a x jest liczb a porz adkow a) (suma liczby porz adkowej jest liczb a porz adkow a).

2. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych 107 Dowód: Niech x bȩdzie liczb a porz adkow a. Na mocy Tw.13, Rozdzia l 8, x jest zbiorem liczb porz adkowych, zatem na mocy Tw.2, x jest liczb a porz adkow a. Skoro dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, z jest liczb a porz adkow a oraz na mocy Twierdzeń 11(1), 11(2) z Rozdzia lu 1, mamy: (1) y z, y z oraz (2) x[x jest liczb a porz adkow a (( y z, y x) z x)], wiȩc z = supz. Zauważmy ponadto, że wed lug Tw.18, Rozdzia l 8, warunek (1) jest równoważny wyrażeniu y z, y S( z), które z kolei jest równoważne formule: (1) z S( z). Rozumuj ac analogicznie stwierdzamy, że (2) jest równoważne wyrażeniu: (2) x[x jest liczb a porz adkow a (z S(x) z x)]. Bezpośredni a konsekwencj a (1) i (2) oraz Tw.2 jest Twierdzenie 3: Dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, z jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że z S(x). 2. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Rozważmy teraz, dla dowolnego ustalonego zbioru z liczb porz adkowych, formu lȩ φ(x) postaci: z x. Na mocy Tw.2 ( 1) oraz Tw.9, Rozdzia l 8, S( z) jest liczb a porz adkow a, zatem wed lug Tw.3, istnieje liczba porz adkowa x taka, że φ(x). Zatem, na mocy Tw.21, Rozdzia l 8, istnieje najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że z x. Nastȩpuj ace twierdzenie podaje jej postać: Twierdzenie 4: Dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, S(z) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że z x. Dowód: Rozważmy dowolny zbiór liczb porz adkowych z. Na mocy Tw.4, Rozdzia l 7, S(z) = z z, zatem z S(z). Wykazujemy, że S(z) jest liczb a porz adkow a. Na mocy Tw.2, z jest liczb a porz adkow a, zatem wed lug Tw.13, Rozdzia l 8 zbiorem liczb porz adkowych. Wobec tego z z jest zbiorem liczb porz adkowych, zatem każdy jego element, bȩd ac liczb a porz adkow a, jest zbiorem tranzytywnym. Okazuje siȩ, że również sam zbiór z z jest tranzytywny. Weźmy bowiem dowolny y z z. Wówczas y z lub y z. Gdy y z, to y z (Tw.11(1), Rozdzia l 1). Gdy zaś y z, to na mocy Tw.18, Rozdzia l 8, y z (bo y, z s a liczbami porz adkowymi). W obu przypadkach: y z z. Ostatecznie z z (tzn. S(z)) jest liczb a porz adkow a.

2. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych 108 Rozważmy φ(x) postaci: z x. Wykazaliśmy do tej pory, że S(z) jest liczb a porz adkow a tak a, że φ( S(z)). Aby wykazać, że S(z) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x), rozważmy dowoln a liczbȩ porz adkow a y tak a, że φ(y), tzn. (1) z y. Wówczas (2) z y. Weźmy bowiem dowolny x z. Zatem x a dla pewnej liczby porz adkowej a z. Z (1), a y. Ponieważ x jest liczb a porz adkow a (Tw.13, Rozdzia l 8), wiȩc na mocy Tw.14, Rozdzia l 8, x y. Z (1) i (2) mamy: z z y, tzn. S(z) y. W przypadku, gdy z jest liczb a porz adkow a, na podstawie Tw.2, Rozdzia l 8 mamy: S(z) = z, i oczywiście najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że z x jest z. Rozważmy teraz dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych oraz dowolnej liczby porz adkowej a nastȩpuj ace warunki: (3) y z, y a, (4) x[x jest liczb a porz adkow a (( y z, y x) a x a = x)]. Jest sensowne nazwać liczbȩ porz adkow a a, dla której spe lnione s a warunki (3), (4) kresem górnym zbioru z ze wzglȩdu na relacjȩ porz adkuj ac a. Pewne w atpliwości może tu budzić nastȩpnik implikacji ( y z, y x) a x a = x w warunku (4), bowiem dla nazwania liczby a kresem górnym ze wzglȩdu na, ów nastȩpnik powinien być postaci: a x. Jednakże wówczas warunek (3) z tak zmodyfikowanym warunkiem (4), niczego nie definiuj a nie istnieje bowiem liczba porz adkowa a, która by takie warunki spe lnia la (jeśli mamy a takie, że zachodzi (3), to wed lug zmodyfikowanego warunku (4), a a, co jest niemożliwe). Jest jasne na mocy definicji najmniejszej liczby porz adkowej x takiej, że φ(x) oraz Tw.4 i Twierdzeń 20, 18, Rozdzia l 8, że dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych istnieje dok ladnie jedna liczba porz adkowa a, dla której spe lnione s a warunki (3), (4), mianowicie a = S(z). W literaturze przedmiotu w laśnie S(z) nazywana jest kresem górnym zbioru z w klasie liczb porz adkowych. Dla odróżnienia od kresu górnego supz wzglȩdem inkluzji, oznaczmy kres górny wzglȩdem jako sup z. Zatem sup z = S(z) = z z. Ponieważ supz = z, wiȩc supz sup z, czyli supz sup z lub supz = sup z. W zależności od postaci zbioru z, każdy z tych dwóch przypadków, jeden b adź drugi, jest realizowany. Naturalnie równość obu kresów ma miejsce dok ladnie wówczas, gdy z z: (=sup) supz = sup z wtw z z.

2. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych 109 Zatem w przypadku, gdy z jest liczb a porz adkow a, czyli z jest zbiorem tranzytywnym, a wiȩc z z (Tw.2, Rozdzia l 8) mamy: (=suplp) supz = sup z wtw z = z. Ponadto, dla z bȩd acego liczb a porz adkow a, supz sup z wtw supz sup z wtw z z wtw (z z z = z) wtw z z z z wtw z z, na mocy Twierdzeń 18, 17, Rozdzia l 8. Ostatecznie: ( suplp) supz sup z wtw z z. Na przyk lad dla z =, supz = sup z oraz dla dowolnej niepustej liczby naturalnej z, supz sup z, bo, jak latwo sprawdzić, wówczas z = S( z), zaś z S( z). Weźmy pod uwagȩ przyk lad zbioru z liczb porz adkowych, który nie jest liczb a porz adkow a, powiedzmy, z = N {0}. Tutaj supz = sup z, bowiem z z: jeśli x N {0}, to również S(x) N {0}, lecz x S(x), zatem x (N {0}). Niech z = {1, 2}, tzn. z = 3 {0}. Oczywiście z nie jest liczb a porz adkow a. W tym przypadku, supz sup z. Bowiem z = {1, 2} = 1 2 = 2, st ad 2 z, jednakże 2 z, zatem z z, czyli zgodnie z warunkiem (=sup), supz sup z. Zauważmy, że tutaj zachodzi: z z. Wykażemy w nastȩpnym paragrafie, że warunek ( suplp) jest prawdziwy dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych (nie tylko dla dowolnej liczby porz adkowej z). W ogólności kres dolny inf z niepustego zbioru z ze wzglȩdu na porz adek, może nie istnieć. Kres ten winien być bowiem liczb a porz adkow a spe lniaj ac a warunki: y z, inf z y, x[x jest liczb a porz adkow a (( y z, x y) x inf z)]. Pierwszy z tych warunków jest równoważny formule: inf z z, drugi zaś wyrażeniu: x[x jest liczb a porz adkow a (x z x inf z)]. Lecz z = nlp(z) (zobacz poprzedni a uwagȩ). Zatem inf z by lby najwiȩksz a liczb a porz adkow a (ze wzglȩdu na inkluzjȩ) należ ac a do liczby porz adkowej nlp(z). Taka zaś liczba porz adkowa dla pewnych zbiorów z liczb porz adkowych nie istnieje. Na przyk lad, gdy z jest dowoln a niepust a liczb a porz adkow a, to nlp(z) =, wiȩc nie istnieje najwiȩksza liczba porz adkowa należ aca do nlp(z).

3. Suma nastȩpnika i nastȩpnik sumy dow. zbioru liczb porz adkowych 110 3. Suma nastȩpnika i nastȩpnik sumy dowolnego zbioru liczb porz adkowych Powyżej, dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, porównaliśmy ze sob a dwie liczby porz adkowe (kresy górne zbioru z) : z, S(z), mianowicie w ogólności, z S(z). Twierdzenia 3, 4 umożliwiaj a dokonanie porównania innej pary liczb porz adkowych: S(z), S( z). Skoro S(z) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że z x, zaś z S( z), wiȩc S(z) S( z). Ostatecznie mamy nastȩpuj acy Wniosek: Dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, (1) z S(z) S( z), (2) z S(z) S( z). Jedn a z konsekwencji tego Wniosku jest alternatywa roz l aczna: (*) albo S(z) S( z) albo S(z) = S( z), dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych (na mocy Tw.18, Rozdzia l 8). Przypadek S(z) S( z) jest, wed lug Tw.6, Rozdzia l 7, równoważny warunkowi z z, a ten z kolei, na mocy (=sup) warunkowi z = S(z). Zatem, jeżeli S(z) S( z), to na mocy Wniosku, z z = S(z) S( z). W szczególności, gdy zbiór liczb porz adkowych z jest liczb a porz adkow a, a wiȩc gdy z z, warunek S(z) S( z) jest równoważny równości z = z, co już wcześniej zosta lo ustalone w Tw.6, Rozdzia l 8. Gdy wiȩc ów warunek zachodzi, to: z = z = S(z) S( z). Z kolei przypadek S(z) = S( z) jest, jak pokazuje nastȩpuj ace twierdzenie, równoważny warunkowi z z: Twierdzenie 5: S(z) = S( z). Dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, z z wtw Dowód: Niech z bȩdzie zbiorem liczb porz adkowych. ( ): Za lóżmy, że z z. Wówczas na mocy Tw.7, Rozdzia l 7, S( z) S(z). Ponieważ przeciwna inkluzja zachodzi (por. Wniosek), wiȩc S(z) = S( z). ( ): oczywisty na mocy Tw.7, Rozdzia l 7. Jeśli wiȩc S(z) = S( z), to na mocy Wniosku oraz Tw.5, z z S(z) = S( z),

4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 111 w szczególności zaś, gdy z jest liczb a porz adkow a, to: z z = S(z) = S( z). Przy okazji zauważmy, że skoro warunek S(z) S( z) jest równoważny inkluzji z z, oraz warunek S(z) = S( z) jest równoważny temu, że z z, wiȩc, na mocy (*), mamy dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych prawdziw a alternatywȩ roz l aczn a: (**) albo z z albo z z. Pierwszy z cz lonów tej alternatywy, co już dawno ustalono, jest równoważny równości supz = sup z, drugi zaś wyrażeniu supz sup z. Jeśli bowiem z z, to ponieważ z S(z), wiȩc z S(z), tzn. supz sup z. Jeśli zaś z z, to prawdziwy jest pierwszy z cz lonów alternatywy (**), co oznacza równość obu kresów, zatem wówczas supz sup z. Krótko mówi ac, warunek ( suplp) jest prawdziwy dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych. Zauważmy ponadto, że z alternatywy (**) uzyskujemy wyrażenie: dla dowolnej liczby porz adkowej z: albo z = z albo z z. Inn a, oczywist a konsekwencj a wyżej sformu lowanego Wniosku jest wyrażenie: dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych istnieje liczba porz adkowa x taka, że z x, z którego wynika Twierdzenie 6: Nie istnieje zbiór wszystkich liczb porz adkowych. Dowód: Za lóżmy, że z jest zbiorem wszystkich liczb porz adkowych. Niech x bȩdzie liczb a porz adkow a tak a, że z x. Wówczas, skoro x jest liczb a porz adkow a, zaś z zbiorem wszystkich liczb porz adkowych, wiȩc x z. Wtedy jednak x x, co jest niemożliwe. Naturalnie, nie istnieje również zbiór wszystkich zbiorów tranzytywnych. Gdyby bowiem istnia l, to stosuj ac aksjomat podzbiorów z formu l a φ(x) postaci: x jest liczb a porz adkow a, oraz zmienn a woln a z oznaczaj ac a w laśnie ów zbiór, uzyskalibyśmy istnienie zbioru wszystkich liczb porz adkowych. 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne Nastȩpuj acy fakt jest odpowiednikiem Tw.6, Rozdzia l 8: Twierdzenie 7: równoważne: (i) x x, Dla dowolnej liczby porz adkowej x nastȩpuj ace warunki s a

4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 112 (ii) x = S( x), (iii) S(x) = S( x). Dowód: Niech x bȩdzie dowoln a liczb a porz adkow a. (i) (iii): Na mocy Tw.5, x jest bowiem zbiorem liczb porz adkowych. (ii) (iii): na mocy Tw.2(i) (iv), Rozdzia l 8, x jest bowiem zbiorem tranzytywnym. Tw.6, Rozdzia l 8 jest oczywiście prawdziwe dla dowolnej liczby porz adkowej x. Zauważmy, że wed lug alternatywy (*) z poprzedniego paragrafu, dla dowolnej liczby porz adkowej x przynajmniej jeden z warunków (iii) z Tw.6, Rozdzia l 8 oraz Tw.7 musi być spe lniony. Jest oczywiste, że jednocześnie oba te warunki nie mog a być prawdziwe. Podobnie, skoro wed lug Tw.3, x S( x), wiȩc na mocy Tw.18, Rozdzia l 8, dla dowolnej liczby porz adkowej x prawdziwa jest alternatywa: (***) x S( x) lub x = S( x), tzn. dla dowolnej liczby porz adkowej x dok ladnie jeden z warunków (ii) Tw.6, Rozdzia l 8 oraz Tw.7 jest prawdziwy. Konsekwentnie, bior ac pod uwagȩ Tw.6, Rozdzia l 8 oraz Tw.7, możemy podzielić klasȩ liczb porz adkowych na dwie grupy: w jednej grupie znajduj a siȩ te liczby porz adkowe, dla których prawdziwe s a warunki z Tw.6, Rozdzia l 8, w drugiej grupie te liczby porz adkowe, dla których prawdziwe s a warunki Tw.7. Definicja. Mówimy, że liczba porz adkowa x jest izolowana, gdy istnieje liczba porz adkowa y taka, że x = S(y). Liczbȩ porz adkow a, która nie jest izolowana, nazywamy graniczn a. Twierdzenie 8: (1) Dla dowolnej liczby porz adkowej x nastȩpuj ace warunki s a równoważne: (i) x x, (ii) x = S( x), (iii) S(x) = S( x), (iv) supx sup x, (v) x jest izolowana. (2) Dla dowolnej liczby porz adkowej x nastȩpuj ace warunki s a równoważne: (i) x = x, (ii) x S( x), (iii) S(x) S( x), (iv) supx = sup x, (v) x jest graniczna. Dowód: Pierwsze trzy warunki z (1) oraz (2) s a naturalnie równoważne na mocy Tw.7 oraz Tw.6, Rozdzia l 8. Równoważności (i) (iv) z (1) oraz z (2) to warunki, odpowiednio, ( suplp), (=suplp) z 2.

4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 113 Na mocy Tw.8, Rozdzia l 7, warunek (2)(i) implikuje warunek (2)(v). Jest oczywiste, że warunek (1)(ii) implikuje warunek (1)(v). St ad prawd a jest, że jeżeli x jest liczb a porz adkow a graniczn a (tzn. x nie jest izolowana), to x S( x). Zatem na mocy (***), x S( x), co dowodzi, że warunek (2)(v) implikuje warunek (2)(ii). Zatem 2(v) jest równoważny każdemu z pozosta lych warunków z (2). Analogicznie, zak ladaj ac, że x jest izolowana (a wiȩc nie jest graniczna) mamy na mocy równoważności z (2), iż x S( x), co daje (wed lug (***)): x = S( x). Tak wiȩc warunek (1)(v) implikuje warunek 1(ii), Zatem (1)(v) jest równoważny każdemu z pozosta lych warunków z (1). Przyk ladem liczby porz adkowej granicznej jest zbiór (bo =, zob. Tw.8(2)). Przyk ladem liczby porz adkowej izolowanej jest jakakolwiek niepusta liczba naturalna. Prawdziwa jest bowiem interpretacja tw.2 arytmetyki elementarnej, 1, Rozdzia l 7, w teorii ZFC: x N(x = y N(x = S(y))). Rozważymy teraz najmniejsze liczby porz adkowe x takie, że φ(x) dla nastȩpuj acych formu l φ(x): y x, y x, y x y x, gdzie y jest dowoln a ustalon a liczb a porz adkow a. Oczywiście najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y x jest liczba porz adkowa y. Formu la y x y x, na mocy Tw.18, Rozdzia l 8, jest równoważna formule y x. Zatem najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że y x jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y x y x. Bior ac pod uwagȩ Tw.1 Rozdzia l 7, oczekujemy wiȩc, że najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y x jest S(y): Twierdzenie 9: Dla dowolnej liczby porz adkowej y, S(y) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y x. Dowód: Niech y bȩdzie dowoln a liczb a porz adkow a. Naturalnie, na mocy Tw.9, Rozdzia l 8, S(y) jest liczb a porz adkow a. Wystarczy wiȩc teraz powo lać siȩ na Tw.1, Rozdzia l 7, aby skończyć dowód. Niemniej jednak wykonajmy ten dowód odwo luj ac siȩ do warunku (iii) Tw.19, Rozdzia l 8. Naturalnie y S(y), tzn. spe lnione jest φ(s(y)), gdzie φ(x) jest postaci: y x. Wykazujemy, że z(z S(y) y z). Za lóżmy nie wprost, że dla pewnego z : z S(y) oraz y z. Wówczas z pierwszego wyrażenia, na mocy Tw.18, Rozdzia l 8 (z jest liczb a porz adkow a) mamy: z y. St ad oraz z drugiego wyrażenia, y y, co jest niemożliwe. Wniosek: Dla dowolnej liczby porz adkowej y nie istnieje taka liczba porz adkowa x, że y x oraz x S(y).

4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 114 Dowód: Rozważmy dowoln a liczbȩ porz adkow a y i za lóżmy nie wprost, że dla pewnej liczby porz adkowej z: (1) y z oraz (2) z S(y). Wówczas z (1) mamy: φ(z). Ponadto, skoro na mocy Tw.9, S(y) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x) (gdzie φ(x) := y x), wiȩc wed lug Tw.19(i) (iii), Rozdzia l 8 z (2) otrzymujemy: φ(z); sprzeczność (por. również uwagȩ po dowodzie Tw.1, Rozdzia l 7, 4). Jak widać, nazwa nastȩpnik liczby porz adkowej y dla zbioru S(y) jest uzasadniona. S(y) nastȩpuje bezpośrednio po y w porz adku wyznaczonym przez relacjȩ należenia do zbioru. Rozważmy, analogicznie jak powyżej, nastȩpuj ace trzy formu ly φ(x) dla ustalonej liczby porz adkowej y: y S(x), y S(x), y S(x) y S(x). Jest oczywiste, że dla liczby porz adkowej x formu ly: y S(x) oraz y S(x) y S(x) s a równoważne. Ponadto wyrażenie y S(x) jest na mocy Tw.18, Rozdzia l 8, równoważne formule y x. Zatem najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y S(x) (oraz tak a, że y S(x) y S(x)) jest liczba porz adkowa y. Interesuj acy jest wiȩc jedynie przypadek formu ly φ(x) postaci: y S(x). Na mocy Tw.3 mamy natychmiast: Wniosek 1: Dla dowolnej liczby porz adkowej y, najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y S(x) jest y. St ad oraz na podstawie Wniosku z Tw.9 otrzymujemy kolejny wniosek, analogiczny do Wniosku z Tw.9: Wniosek 2: Dla dowolnej liczby porz adkowej y nie istnieje taka liczba porz adkowa x, że y x oraz x y. Dowód: Rozważmy dowoln a liczbȩ porz adkow a y i za lóżmy nie wprost, że dla pewnej liczby porz adkowej z mamy: (1) y z oraz (2) z y. Na mocy Wniosku 1 (por. również alternatywȩ (***)), y S( y). Zatem z (2), z S( y). Lecz to, wraz z (1) jest, na mocy Wniosku z Tw.9 ( y jest liczb a porz adkow a), niemożliwe. Jest jasne, że w przypadku, gdy y jest liczb a porz adkow a izolowan a, a wiȩc gdy y = S( y) (Tw.8(1)), liczba porz adkowa y jest bezpośrednim poprzednikiem liczby y w porz adku liczb porz adkowych wyznaczonym relacj a.

4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 115 W przypadku, gdy y jest liczb a graniczn a, y = y (Tw.8(2)) i wówczas y nie ma bezpośredniego poprzednika. Gdyby bowiem x by l takim bezpośrednim poprzednikiem liczby y, to y by lby jego nastȩpnikiem: y = S(x). Oznacza loby to, że y jest, wbrew za lożeniu, liczb a porz adkow a izolowan a: y jest izolowana: y S( y) y S(y) y jest graniczna: y y S( y) S(y) Naturalnie, jeżeli y jest niepust a liczb a porz adkow a graniczn a, to y jest zbiorem indukcyjnym. Istotnie, y (Tw.23, Rozdzia l 8) oraz gdy x y, to na mocy Tw.9, S(x) y, co implikuje S(x) y, skoro y jest graniczna (y S(x)). Jest również oczywiste, że jeżeli liczba porz adkowa jest zbiorem indukcyjnym, to jest ona graniczna. Izolowana liczba y nie jest bowiem zbiorem indukcyjnym, skoro y y, zaś S( y) y. Gdy y jest izolowana, to sytuacja postaci:... n y... y y y nie ma miejsca. Gdyby bowiem zachodzi la, to y mia lby nieskończone zejście: y, y, y,..., n y,.... Dok ladniej zanalizujmy możliwość takiej sytuacji w oparciu o nastȩpuj ace twierdzenia. Twierdzenie 10: Dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych granicznych, z jest liczb a porz adkow a graniczn a. Dowód: Niech z bȩdzie zbiorem liczb porz adkowych granicznych. Za lóżmy nie wprost, że z jest izolowana. Wówczas dla pewnej liczby porz adkowej x: (1) z = S(x). Skoro x S(x), wiȩc x z, zatem z definicji sumy, dla pewnego u mamy: (2) x u oraz (3) u z. Oczywiście z (3) na mocy Tw.11(1), Rozdzia l 1, otrzymujemy: (4) u z. Na mocy Tw.9, z (2), S(x) u (wed lug (3) u jest liczb a porz adkow a), co wraz z (1) daje z u i konsekwentnie z (4) otrzymujemy: z = u. Lecz wed lug (3), u jest graniczna, zatem z jest graniczna. Sprzeczność z za lożeniem.

4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 116 Twierdzenie 11: Dla dowolnej liczby porz adkowej izolowanej, wśród wszystkich liczb granicznych do niej należ acych, istnieje liczba najwiȩksza. Dowód: Niech y bȩdzie dowoln a licz a porz adkow a izolowan a. Rozważmy aksjomat podzbiorów dla formu ly φ(x) postaci: x jest liczb a porz adkow a graniczn a x y. Na podstawie tego aksjomatu natychmiast stwierdzamy istnienie zbioru z = {x : x jest graniczna x y} wszystkich liczb porz adkowych granicznych bȩd acych elementami zbioru y. Naturalnie z (bo z) oraz (1) z y. Wykażemy, że z jest elementem najwiȩkszym w zbiorze liniowo uporz adkowanym <z, >. W tym celu rozważmy prawdziw a alternatywȩ: (2) albo z z albo z z (zobacz (**), 3). Za lóżmy, że zachodzi: (3) z z. Wówczas naturalnie z jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że z x (taka najmniejsza liczba porz adkowa jest wed lug Tw.4 postaci S(z), co jest równe z z, co z kolei jest równe z; por. również (=sup) z 3). Zatem z (1) otrzymujemy: z y, czyli z y lub z = y (Tw.18, Rozdzia l 8). Lecz z jest zbiorem liczb granicznych, wiȩc wed lug Tw.10, z jest graniczna, tymczasem y jest izolowana. Wobec tego z y i konsekwentnie z y. Wówczas jednak, z definicji zbioru z, z z, co wobec (3) oznacza, że z z, a to jest niemożliwe (jest sk adin ad wiadome, że obydwa cz lony alternatywy (2) nie mog a być prawdziwe). Skoro nie jest prawd a, że z z, wiȩc z (2) otrzymujemy: z z. Lecz przecież u z, u z (Tw.11(1), Rozdzia l 1). Ostatecznie z jest najwiȩksz a liczb a porz adkow a w zbiorze z. Weźmy pod uwagȩ dowoln a liczbȩ porz adkow a izolowan a y. Na mocy Tw.11, niech ng(y) bȩdzie najwiȩksz a liczb a porz adkow a graniczn a należ ac a do y. Rozważmy zbiór y S(ng(y)). Dla dowolnej liczby porz adkowej x mamy: x y S(ng(y)) wtw (x y i x S(ng(y))) wtw (x y i x ng(y) i x ng(y)) wtw (x y i ng(y) x). Ostatecznie, y S(ng(y)) = {x : ng(y) x y}. Zauważmy, że (ng) x y S(ng(y)), x jest izolowana. Gdyby bowiem pewna liczba x 0 taka, że ng(y) x 0 y by la graniczna, to by loby x 0 ng(y) i jednocześnie ng(y) x 0 oraz ng(y) x 0 (Wniosek z Tw.18, Rozdzia l 8), co jest niemożliwe. Po lóżmy dla dowolnej liczby porz adkowej x, S 0 (x) = x oraz S n+1 (x) = S(S n (x)) dla n = 0, 1,.... Lemat: Dla dowolnej liczby porz adkowej x oraz dowolnej liczby naturalnej n : S n+1 (x) = x {x, S(x), S 2 (x),..., S n (x)}.

4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 117 Dowód: (indukcyjny). Niech x bȩdzie dowoln a liczb a porz adkow a (lub po prostu dowolnym zbiorem). Dla n = 0 powyższa równość jest spe lniona na mocy definicji nastȩpnika. Za lóżmy, że dla jakiegoś n równość ta jest spe lniona. Wówczas S (n+1)+1 (x) = S(S n+1 (x)) = S n+1 (x) {S n+1 (x)} = x {x, S(x), S 2 (x),..., S n (x)} {S n+1 (x)} = x {x, S(x), S 2 (x),..., S n (x), S n+1 (x)}. Twierdzenie 12: Dla dowolnej izolowanej liczby y, zbiór y S(ng(y)) = {x : ng(y) x y} jest skończony. Dowód: Za lóżmy nie wprost, że y jest tak a liczb a porz adkow a izolowan a, że {x : ng(y) x y} nie jest zbiorem skończonym. Weźmy pod uwagȩ zbiór z = {ng(y)} {x : ng(y) x y} = {x : ng(y) x y}. Wykażmy indukcyjnie, że (1) dla dowolnego n = 0, 1,..., S n (ng(y)) z. Jest oczywiste, że ng(y) z, zatem S 0 (ng(y)) z. Za lóżmy, że dla jakiegoś n N, S n (ng(y)) z. St ad (2) S n (ng(y)) y. Z (2) i przechodniości relacji, ponieważ ng(y) S(ng(y)) S 2 (ng(y))... S n (ng(y)), otrzymujemy: (3) {S(ng(y)),..., S n (ng(y))} {x : ng(y) x y}. Ponieważ S(S n (ng(y)) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że S n (ng(y)) x (Tw.9), wiȩc z (2), S(S n (ng(y))) y. Dlatego S(S n (ng(y))) y lub S(S n (ng(y))) = y (Tw.18, Rozdzia l 8). Lecz równość S(S n (ng(y))) = y wraz z (3) oznacza (zob. Wniosek z Tw.9), że {S(ng(y)),..., S n (ng(y))} jest zbiorem wszystkich liczb porz adkowych x takich, że ng(y) x x y czyli zbiór y S(ng(y)) by lby skończony wbrew za lożeniu. Zatem S(S n (ng(y))) y, tzn. S n+1 (ng(y)) y. Naturalnie ng(y) S n+1 (ng(y)), ostatecznie S n+1 (ng(y)) z, co kończy dowód (1). Z kolei, dziȩki (1) można rozważyć funkcjȩ (ci ag) f : N z postaci: n N, f(n) = S n (ng(y)). Wykazujemy, że (4) zbiór ng(y) f (N) jest liczb a porz adkow a. Oczywiście elementami tego zbioru s a wy l acznie liczby porz adkowe, zatem zbiory tranzytywne, wystarczy wiȩc wykazać, że ng(y) f (N) jest zbiorem tranzytywnym. Niech wiȩc x ng(y) f (N). Gdy x ng(y), to oczywiście x ng(y), zatem x ng(y) f (N). Niech x f (N). Wówczas x = S n (ng(y)), dla pewnego n N. Zatem x = ng(y), gdy n = 0, oraz x = ng(y) {ng(y), S(ng(y)),..., S n 1 (ng(y))}, gdy n 0 (zobacz lemat powyżej). Ostatecznie, x ng(y) f (N), bo gdy n 0, to {ng(y), S(ng(y)),..., S n 1 (ng(y))} f (N). Po lóżmy: u = ng(y) f (N). Na mocy (4), u u (Tw.2, Rozdzia l 8). Wykazujemy teraz, że u u, co daje równość u = u i dowodzi (Tw.8(2)), że (5) u jest graniczna.

5. Niepuste liczby porz adkowe graniczne 118 Niech wiȩc x u. Zatem x ng(y) lub x f (N). Gdy x ng(y), to S(x) ng(y), bo ng(y) jest graniczna (tzn. S(x) ng(y), zaś S(x) ng(y)), st ad S(x) u. Podobnie, gdy x f (N), czyli x = S n (ng(y)) dla pewnego n N, mamy: S(x) = S n+1 (ng(y)) f (N), zatem S(x) u. Ostatecznie, skoro x S(x) oraz S(x) u, wiȩc x u. (Krótko mówi ac, wykazaliśmy tu, że zbiór u jest zamkniȩty na operacjȩ S, a ponieważ u, wiȩc u jest liczb a porz adkow a, która jest zbiorem indukcyjnym, zatem u nie jest izolowana.) Naturalnie f (N) z y, z definicji funkcji f oraz zbioru z. Oczywiście ng(y) y (bo ng(y) y). Zatem ng(y) f (N) y, tzn. u y. St ad zaś u y lub u = y (Tw.18, Rozdzia l 8). Lecz wobec (5) i za lożenia, że y jest izolowana, u y. Zatem u y. St ad, ponieważ ng(y) u (bo f(0) = ng(y), zaś f(0) u), otrzymujemy: u {x : ng(y) x y}, co, wobec (5), jest sprzeczne z wyrażeniem (ng). Wniosek: Dla dowolnej liczby izolowanej y istnieje liczba naturalna n taka, że y = ng(y) {ng(y), S(ng(y)),..., S n (ng(y))} = S n+1 (ng(y)). Dowód: Niech y bȩdzie izolowana. Wykazujemy, że dla pewnego n N pierwsza z równości jest spe lniona. Druga jest bezpośredni a konsekwencj a lematu powyżej. Naturalnie y = S(ng(y)) (y S(ng(y)). St ad (1) y = ng(y) {ng(y)} {x : ng(y) x y}. Zbiór {x : ng(y) x y}, na mocy Tw.12, jest skończony, zatem (2) {x : ng(y) x y} = lub (3) dla pewnego k 1, {x : ng(y) x y} jest k-elementowy. Gdy zachodzi (2), to z (1) mamy: (4) y = ng(y) {S 0 (ng(y))}. Gdy zachodzi (3), to mamy: (5) {x : ng(y) x y} = {S(ng(y)),..., S k (ng(y))}, bowiem ng(y) S(ng(y))... S k (ng(y)) y, oraz S(ng(y)),..., S k (ng(y)) s a jedynymi liczbami x takimi, że ng(y) x y, gdy zbiór {x : ng(y) x y} jest k-elementowy. Na mocy (1) i (5) otrzymujemy: y = ng(y) {ng(y), S(ng(y)),..., S k (ng(y))}. 5. Niepuste liczby porz adkowe graniczne Powyższe ustalenia mog a wydawać siȩ nieco zbyt abstrakcyjne, w sytuacji, gdy jedynym przyk ladem liczby granicznej, jakim do tej pory dysponujemy, jest zbiór. Aby dostarczyć przyk ladów niepustych liczb granicznych, rozważymy najpierw najmniejsz a liczbȩ porz adkow a nie bȩd ac a liczb a naturaln a.

5. Niepuste liczby porz adkowe graniczne 119 Weźmy pod uwagȩ φ(x) postaci: (x jest liczb a naturaln a), lub x N. Ponieważ zachodzi φ(n) oraz N jest liczb a porz adkow a, wiȩc na mocy Tw.21, Rozdzia l 8 istnieje najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że x nie jest liczb a naturaln a. Oznaczamy j a symbolem ω. Na mocy Tw.19(i) (iii), Rozdzia l 8 mamy zatem: (ω1) ω N oraz (ω2) y(y ω y N). Wyrażenie (ω2) jest równoważne temu, iż ω N. Ponieważ zarówno ω jak N s a liczbami porz adkowymi, wiȩc na mocy Tw.18, Rozdzia l 8, ω N lub ω = N, co wraz z (ω1) prowadzi do wniosku: Wniosek: ω = N, tzn. najmniejsz a liczb a porz adkow a nie bȩd ac a liczb a naturaln a jest zbiór liczb naturalnych N. Twierdzenie 13: ω jest najmniejsz a niepust a liczb a porz adkow a graniczn a. Dowód: Mamy wykazać, że ω jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x), gdzie φ(x) jest postaci: x x jest graniczna. Oczywiście ω. Wykazujemy, że ω jest graniczna. Za lóżmy, że tak nie jest. Wówczas ω jest izolowana, czyli ω = S(a), dla pewnej liczby porz adkowej a. Ponieważ a S(a), wiȩc a ω, tzn. (wed lug powyższego Wniosku) a N czyli a jest liczb a naturaln a. Na mocy Tw.10, Rozdzia l 7, S(a) jest liczb a naturaln a, zatem ω N, tzn. N N, co jest niemożliwe. Zatem spe lniona jest formu la φ(ω). Na mocy Tw.19(i) (iii), Rozdzia l 8 wystarczy teraz wykazać, że y(y ω φ(y)), czyli y(y ω (y = y jest izolowana)). Weźmy wiȩc pod uwagȩ dowolny y ω taki, że y. Wówczas y jest niepust a liczb a naturaln a, zatem jest nastȩpnikiem jakiejś liczby naturalnej a, tzn. y = S(a) dla pewnej liczby porz adkowej a, czyli y jest liczb a porz adkow a izolowan a. ω nie jest jedyn a niepust a liczb a graniczn a. Aby podać nastȩpn a z kolei liczbȩ graniczn a, a wiȩc najmniejsz a liczbȩ graniczn a x tak a, że ω x musimy rozważyć aksjomat podstawiania (AxSUB) ψ, w którym formu la ψ(y, z) jest postaci: (ψ) (y ω z = y) (y ω z = S y (ω)). Na pierwszy rzut oka można by mieć w atpliwości (mog ly one już pojawić siȩ poprzednio przy okazji operowania definicj a termu S n (x)) czy (ψ) jest formu l a jȩzyka teorii ZFC, a to z tego powodu, że ci ag symboli: S y (ω), gdzie y jest przecież zbiorem, nie wydaje siȩ być termem tego jȩzyka. Oznaczenie S n (ω) ma sens, ale wówczas, gdy n nie jest żadnym zbiorem, lecz ilości a zastosowań operacji S. Aby rozwiać te w atpliwości, rozważmy skończony zbiór

5. Niepuste liczby porz adkowe graniczne 120 A ω = {ω, S(ω), S(S(ω)),..., S(... (S(ω))...)}. Niech w ostatnim z wypisanych termów ilość wyst apień symbolu S wynosi n. Rozważmy liczbȩ naturaln a (zbiór) {, S( ), S(S( )),..., S(... (S( ))...)} tak a, że ilość wyst apień S w ostatnim termie również wynosi n. Zgodnie z ustalon a konwencj a notacyjn a tak a liczbȩ naturaln a oznaczamy S(n), gdzie n jest teraz liczb a naturaln a bȩd ac a zbiorem. Weźmy pod uwagȩ funkcjȩ fn ω : S(n) A ω, mianowicie fn ω = {<, ω>, <S( ), S(ω)>, <S(S( )), S(S(ω))>,..., < S(... (S( ))...), S(... (S(ω))...) >}. Oznaczmy teraz dla dowolnego y S(n), S y (ω) = fn ω (y), w szczególności wiȩc S n (ω) = fn ω (n) (n jest tutaj zbiorem). Naturalnie w ten sam sposób mamy również dla dowolnej liczby porz adkowej (czy w ogóle dowolnego zbioru) x : S n (x) = fn(n), x gdzie n jest zbiorem (fn x : S(n) A x ). Jest zatem jasne, że formu la ψ(y, z) ma w laściwie postać nastȩpuj ac a: (y ω z = y) (y ω z = f ω y (y)), w której nie mamy już do czynienia ze zbiorem y postrzeganym jako ilość zastosowań operacji S. W dalszym ci agu bȩdziemy rozważać postać (ψ), pamiȩtaj ac, że mamy tam do czynienia z pewnym skrótem definicyjnym. Formu la ψ(y, z) ustala przyporz adkowanie każdemu zbiorowi y jego samego, gdy y ω, oraz zbioru S y (ω), gdy y ω. Spe lniony jest wiȩc poprzednik w (AxSUB) ψ : y z[ψ(y, z) v(ψ(y, v) v = z)]. Wobec tego mamy nastȩpnik postaci: u z(z u y(y ω ψ(y, z)). Bior ac pod uwagȩ aksjomat identyczności mamy jedyny zbiór u, którego istnienie stwierdza powyższa formu la. Ponieważ wyrażenie y ω ψ(y, z) jest równoważne formule y ω z = S y (ω), wiȩc ów zbiór, oznaczaj ac go symbolem S ω (ω), możemy określić nastȩpuj aco: z(z S ω (ω) y(y ω z = S y (ω))). Istnieje zatem zbiór, który nieformalnie zapisalibyśmy w postaci: S ω (ω) = {ω, S(ω),..., S n (ω),...}. Twierdzenie 14: Zbiór ω S ω (ω) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że x jest graniczna i ω x. Dowód: Wykazanie faktu, że ω S ω (ω) jest liczb a porz adkow a graniczn a przebiega analogicznie jak wykazanie warunków (4), (5) w dowodzie Tw.12. Zamiast liczby granicznej ng(y) mamy teraz liczbȩ graniczn a ω, oraz zamiast obrazu f (N) zbiór S ω (ω), który jest również obrazem zbioru N wed lug funkcji g : N S ω (ω) przyporz adkowuj acej każdej liczbie naturalnej n zbiór S n (ω).

5. Niepuste liczby porz adkowe graniczne 121 Oczywiście, ω ω S ω (ω). Niech teraz x bȩdzie dowoln a liczb a graniczn a tak a, że ω x. Aby wykazać, że ω S ω (ω) x, co skończy dowód, wykazujemy, że (1) ω x oraz (2) S ω (ω) x. (1) jest oczywiste, skoro ω x (Tw.18, Rozdzia l 8). Wykazanie, że zachodzi (2) sprowadza siȩ do indukcyjnego dowodu faktu, iż n ω, S n (ω) x. Dowód ten jest podobny do wykazania waruku (1) z dowodu Tw.12. Oczywiście, S 0 (ω) x. Zak ladamy, że dla jakiegoś n, S n (ω) x. Wówczas, na mocy Tw.9, S(S n (ω)) x lub S(S n (ω)) = x. Lecz ostatnia równość nie może zachodzić skoro x jest graniczna. Zatem S n+1 (ω) x. Zauważmy, że zastosowanie aksjomatu podstawiania dla stwierdzenia istnienia zbioru S ω (ω), można uogólnić dla dowolnej operacji jednoargumentowej F oraz dowolnego zbioru X, tak, aby ustalić istnienie zbioru F ω (X). Wystarczy wzi ać pod uwagȩ ten aksjomat z formu l a ψ(y, z) postaci: (y ω z = y) (y ω z = F y (X)), aby uzyskać istnienie zbioru: F ω (X) = {z : y(y ω z = F y (X))}, nieformalnie zapisywanego w postaci: {X, F (X),..., F n (X),...}. Jasne jest wiȩc, że możemy ustalić kolejne liczby porz adkowe graniczne, mianowicie: ω 2 = ω 1 S ω (ω 1 ), gdzie ω 1 = ω S ω (ω), ω 3 = ω 2 S ω (ω 2 ),..., ω n = ω n 1 S ω (ω n 1 ),..., przy czym ω ω 1 ω 2... ω n... oraz miȩdzy nimi w porz adku ustalonym relacj a, nie ma innych liczb granicznych.