Wyiał Matematyki Stosowanej Zestaw adań nr 8 Akademia Górnico-Hutnica w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, II rok Elżbieta Adamus grudnia 206r. Funkcje espolone Ciągi i seregi licb espolonych Zadanie. Zbadaj bieżność ciągów ( n ) n N. Dla ciągów bieżnych wynac ich granice. a) n = n+2 n + i 3n 3 n + b) n = ein n c) n = ( i) n d) n = n 2ni n+ e) n = ( ) n 3ni n+ f) n = 2n+ 3n i g) n+ n = (+i) n h) n = ( ) n n i) n = [( i) n +i n ]n 2 j) n = n2 +2in in 2 k) n = 3n+2+ni n+4i l) n = (+ i n )2 (2 i n )2 m) n = ( i n 2 2i + n ) ( 2 3 2 i)n Zadanie 2. Zbadaj bieżność i bieżność bewględną następujących seregów: a) + 3+2ni n= b) + 2 2 +i3 n n 2 n= c) + 5 n n= g) + 3 n n=0 h) + (+i) n (e i) n n=0 n2 n 2 i) + n= l) + n= ( 4 )n (cos nπ 6 + i sin nπ 6 ) m) + n= d) + n+i n= ein e) + n= 2n+i j) + in 3 + n= 4 n n) + n 2 (π+i) n n= n f) + ( 3+i) n i n n= n 3 2 n e in n n k) + n!(e+ i 2 )n n= (cos nπ + i sin nπ) 3 3 n! o) + sin n+n cos n (ni) n n= n 3 + 2 Elementarne funkcje espolone miennej espolonej Pryjmujemy onacenia: Log() - logarytm licby espolonej 0, cyli biór wsystkich w C, takich że e w = log() - logarytm główny licby espolonej. Zadanie 3. Udowodnij, że Log() = {ln + i arg () + 2kπi; k Z}. Zadanie 4. Oblic: a) e 2+2i b) e 2+ π 2 i c) e πi d) cos (i) e) sin ( + i) f) tg π i g) ctg( π + 2i) h) Log(2i) 4 i) log ( 2) j) Log ora log k) Log( 3 + 3 3i) ora log ( 3 + 3 3i) Zadanie 5. Uasadnij tożsamości, dla C: a) e + 2 = e e 2 b) sin 2 = 2 sin cos c) cos 2 = cos 2 sin 2 d) sin ( + π 2 ) = cos e) e = e f) sin 2 + cos 2 =
Zadanie 6. Wynac cęść recywistą i cęść urojoną funkcji espolonej miennej espolonej f(), jeśli: a) f() = 5 2 + 2i b) f() = (3 + i) c) f() = Re() f) f() = 2 g) f() = e i h) f() = cos Zadanie 7. Uasadnij, że: a) C : sin = 0 k Z : = kπ d) f() = i +i e) f() = i 2 + b) Log( ) = Log(), gie Log() = { w w Log()} c) Log( ) = Log(), gie Log() = { w w Log()} Zadanie 8. Dla jakich C achoi e R? Zadanie 9. Rowiąż równania (dla C): a) e 2 = 2i b) e = e i c) cos = 2i 3 Granica i ciągłość funkcji espolonej miennej espolonej Zadanie 0. Zbadaj, cy funkcja f() = ( ) ma granicę w punkcie = 0. 2 Zadanie. Oblic następujące granice: a) lim b) lim m, gie m N c) lim i 2 + 2 d) lim 0 e) lim e 2 f) lim +i ( 2 2 + ) g) lim +i 2 2i 2 2+2 Zadanie 2. Zbadaj ciągłość funkcji f() = a 0 n + a n +... + a n, gie a C, dla i = 0,,..., n. Zadanie 3. Zbadaj cy funkcja f() = { (Re( 2 )) 2 2 dla 0 0 dla = 0 jest ciągła w punkcie = 0. 4 Pochodna funkcji espolonej miennej espolonej Zadanie 4. Sprawdź, że podanej funkcje spełniają równania Cauchy ego-riemanna: a) f() = 2 b) f() = sin Zadanie 5. Uasadnij, że podane funkcje nie mają pochodnej: a) f() = b) f() = Re() c) f() = Zadanie 6. Roważ funkcję f() = Re() Im() i w punkcie 0 = 0, aby prekonać się, że spełnienie równań Cauchy ego-riemanna nie gwarantuje istnienia pochodnej. 2
Zadanie 7. Zbadaj, w których punktach podane funkcje mają pochodne i oblic te pochodne w punktach, w których istnieją: a) f() = ( + ) b) f() = e c) f() = Re()Im() Zadanie 8. Zbadaj, w których punktach podane funkcje f() mają pochodne, a w których są holomorficne. Oblic pochodne w punktach, w których one istnieją. a) f() = Re( 2 ) b) f() = e i Zadanie 9. Wynac funkcję holomorficną f() = u(x, y) + iv(x, y) ( i wyraź f() worem ależnym od miennej ) wieąc, że: a) v(x, y) = 2xy + 3x, f(i) = 0 b) u(x, y) = e y cos x 2x, f( π ) = π + 2i 2 c) u(x, y) = xe x cos y e x y sin y ( dokładnością do stałej C) 5 Funkcja espolona miennej recywistej Zadanie 20. Jakie linie (biory punktów na płascyźnie espolonej) predstawiają podane równania? a) (t) = t + + 3it, < t < b) (t) = e t + ie 2t, t [0, ] c) (ϕ) = re iϕ, r > 0 d) (t) = 0 + re it, t ( π, π] gie r > 0, 0 = x 0 + iy 0 e) (t) = 0 + at, t R, gie 0 = x 0 + iy 0, a = α + iβ C, α 2 + β 2 0 f) (t) = t 3 + it 3, t [, ] g) (t) = t + it, t [, ] h) (t) = sin t + i sin t, t [0, 2π] i) (t) = t + i sin t, t R j) (t) = t + i, t R \ {0} k) (t) = cos t, t R t l) (t) = i + ( 2i)t, t R m) (t) = 2e it + e it, t R n) (t) = (3e it + e it ) 2, t (0, π] Zadanie 2. Cy prosta, którą predstawia równanie (t) = 3i+(+2i)t, prechoi pre punkty = + i, 2 = 2 3i? Zadanie 22. Napis w postaci espolonej równanie prostej prechoącej pre punkty = + 3i, 2 = 2 + 5i. Zadanie 23. Znajdź punkty precięcia krywych predstawionych równaniami: a) (t) = (+i)t i, 2 (t) = 3 2i+(i )t b) (t) = i+(+2i)t, 2 (t) = 3 2i (2+4i)t Zadanie 24. Napis równanie parametrycne postaci = (t), t I R następujących krywych: 3
a) prostej prechoącej pre punkty = + 3i i 2 = 2 + i b) odcinka łącącego punkty = 2 i 2 = 4 3i c) okręgu o środku 0 = + 3i i promieniu r = 2 d) elipsy o środku 0 = + 2i i półosiach a = 3, b = 2 e) cęści krywej y = x 3 awartej mięy punktami i ora + i Zadanie 25. Oblic granice: a) lim t 0 e t + i cos t b) lim t 0 sin t t + (t 2 + 2t + 3)i c) lim t 5 sin t + ie t Zadanie 26. Cy funkcja (t) = + i + (2 i)te t jest ciągła w punkcie t = 2? Zadanie 27. Oblic pochodne funkcji: a) (t) = 5e it b) (t) = e w(t), gie w : R C różnickowalna c) (t) = t 2 e 4it d) (t) = ( + 2i)t + ( 2i) t e) (t) = 2e it + 3e it 6 Całki funkcji espolonych 6. Całka onacona funkcji espolonej miennej recywistej Zadanie 28. Korystając faktu, że b (t)dt = b u(t)dt + i b v(t)dt, dla (t) = u(t) + iv(t), a a a t [a, b] R, oblic podane całki. Zauważ, że wory do oblicania całek, są takie same jak w pryapdku recywistym. a) π 2 0 (t2 + i sin t)dt b) π 0 e it dt c) π sin (it)dt d) b ( + 0 a ti)2 dt e) (3 + 2it)dt 0 Zadanie 29. Korystając faktu, że b a (t)dt = F (t) b a, gie F (t) to pierwotna funkcji (t), oblic całki: a) π 0 sin tdt b) 2 0 e4it dt c) 0 ( 0 + it) n dt d) β 0 teit dt 6.2 Całka krywoliniowa funkcji espolonej miennej espolonej Zadanie 30. Oblic podane całki krywoliniowe amieniając je na całki onacone: a) C e Im() Re(), gie C jest odcinkiem o pocątku = i końcu 2 = 2 + i b) C Im(2 ), gie C jest leżącą w pierwsej ćwiartce układu współrędnych cęścią okręgu = R, prebieganą od punktu Ri do punktu R c) C, gie C jest fragmentem łuku paraboli y = + x2 o pocątku + i ora końcu e + ei 4
d) C e, gie C jest łamaną o wierchołkach kolejno w punktach π 2 i, ( + i) π 2, 0 e) C, gie C jest półokręgiem o równaniu (ϕ) = rei(π ϕ), 0 ϕ π, r > 0 orientowanym godnie ruchem wskaówek egara f) K, gie K jest okręgiem o środku a C i promieniu r > 0 orientowanym dodatnio a g) Re(), gie C jest odcinkiem o pocątku w punkcie 0 i końcu w punkcie + i C h) Re(), gie C jest łamaną o wierchołkach prebieganych w kolejności 0,, + i C i) C ( 0, gie C jest okręgiem ) n 0 = r orientowanym dodatnio, n N, 0 C to punkt ustalony Zadanie 3. Korystając e wiąku f() = u(x, y)dx v(x, y)dy + i v(x, y)dx + C C C u(x, y)dy oblic: a), gie C jest odcinkiem o pocątku w punkcie O i końcu w punkcie + i C b), gie K jest cęścią okręgu o promieniu R > 0 i środku w punkcie = 0, leżącą K 2 w pierwsej ćwiartce układu współrędnych i skierowaną preciwnie do ruchu wskaówek egara Zadanie 32. Wykorystując funkcję pierwotną danej funkcji podcałkowej oblic następujące całki krywoliniowe po krywej kawałkami gładkiej C: a) C sin (2i), gie C jest dowolną krywą o pocątku = 0 i końcu 2 = π 2 i b) C e, gie C jest dowolną krywą o pocątku = i końcu 2 = 2 + πi c*), gie C jest fragmentem okręgu = R w pierwsej ćwiartce układu współrędnych C łącącym punkty = R, 2 = Ri Zadanie 33. Niech C bęie krywą Jordana. a) Niech f() ma funkcję pierwotną F () w pewnym obsare D awierającym krywą C. Ile wynosi C f()? b) Cy C, gie a C, równa się ero? a Zadanie 34. Oblic całkę C 2 0 po okręgu C : (t) = re it, t [0, 2π], jeśli punkt 0 : a) leży na ewnątr C b) leży wewnątr C i jest środkiem tego okręgu Zadanie 35. Korystając uogólnienia twierenia całkowego Cauchy ego na obsar wielospójny oblic całkę, gie C jest elipsą o równaniu C 2 + 4x2 + y 2 4 = 0 orientowaną dodatnio. Zadanie 36. Korystając e woru całkowego Cauchy ego i jego uogólnienia oblic całki: 5
a) C, gie C jest okręgiem + 2i = orientowanym dodatnio 2 (+2i) b) C sin, po krywej C : x2 + y2 9 4 = orientowanej dodatnio c) C sin ( π 2 ), gie C jest okręgiem = orientowanym dodatnio 2 d) C e) C e π ( 2 +4) 2, gie C jest okręgiem + 2i = 2 orientowanym dodatnio cos, gie C jest okręgiem 3 = orientowanym dodatnio ( π) 3 Zadanie 37. Oblic całkę C a) o promieniu r < 2 i środku w punkcie i a) o promieniu r < 2 i środku w punkcie i, gie C jest dodatnio orientowanym okręgiem: ( 2 +) 2 a) o promieniu r > 2 i środku w punkcie i (skorystaj podpunktów a ora b) Zadanie 38. Oblic całki po podanych krywych amkniętych orientowanych dodatnio: a) C, gie C to okrąg = 4 b) 2 5+6 C 2 +2, gie C to okrąg = 4 ( 2 )(+2) Zadanie 39. a) Jaką krywą C opisuje równanie 4 + + 4 = 0? b) Korystając twierenia Cauchy ego oblic całkę sin. C c) Korystając wrou całkowego Cauchy ego oblic całkę C e (+) 2. 7 Seregi espolone funkcyjne i potęgowe, sereg Taylora Zadanie 40. Korystając kryterium Weierstrassa badaj jednostajną bieżność seregu + (sin ) n n= 5 n w pasie 0 Im(). Zadanie 4. Wynac promienie bieżności podanych seregów potęgowych: a) + n=0 n b) + e in (+i) n (2+i) n n= c) + ( 2+i) n n 2 n= d) + ( ) n 2n n 2 +in n=0 (3 e) + 7i) n n=0 f) + (+i) n n=0 2n g) + n n=0 (2+3i) n e ( π 2 i+)n n Zadanie 42. Zbadaj bieżność następujących seregów na bregu koła bieżności: a) + n=0 n b) + n n= c) + n 2 n= nn Zadanie 43. Oblic dla < sumy następujacych seregów: a) + n= n b) + n= nn c) + n n= n Zadanie 44. Rowiń w sereg Maclaurina funkcję: a) f() = cosh() = e +e 2 b) f() = 0 eζ2 dζ 6 (+i) n 2n n
Zadanie 45. Rowiń funkcję f() w sereg Taylora w otoceniu punktu 0 i najdź koło bieżności otrymanego seregu: a) f() = cos ( 2 ), 0 = 0 b) f() = 2+, 0 = i c) f() = e i, 0 = π 2 d) f() = 2 +2, 0 = 2 e) f() = 0 eζ2 dζ, 0 = 0 f) f() = 2 4+3, 0 = 0 g) f() = ln ( + ), 0 = 0 8 Miejsca erowe funkcji Zadanie 46. Znjadź wsystkie era funkcji f() i badaj ich krotność: a) f() = ( 3 ) 2 ( ) b) f() = 2 (cos ) c) f() = (e ) e e 2 d) f() = + 2 e) f() = 2 +2+ 9 Seregi Laurenta Zadanie 47. Znajdź rowinięcie funkcji f() w sereg Laurenta w pierścieniu P, jeśli: a) f() =, P = { C : 0 < < 3} b) f() =, P = { C : 3 < 3 < } ( 3) ( 3) c) f() =, P = { C : 2 < + < } 2 d) f() = 2, P = { C : < < 2} (+)( 2) e) f() = ( + ) sin ( i ), P = { C : 0 < < } f) f() = e, P = { C : 0 < < } Zadanie 48. Dana jest funkcja f() = 2. Rowiń ja w sereg Laurenta w pierścieniu: 2 a) P = { : 0 < + < 2} b) P = { : 0 < < 2} c) P = { : < 2 < 3} Zadanie 49. Znajdź wsystkie seregi Laurenta o środku w punkcie 0 bieżne do funkcji f() w pewnych pierscieniach wokół tego punktu, jeśli: a) f() = 4 + 3 + 2, 0 = b) f() = i ( )( i), 0 = + i Zadanie 50. Rowiń w sereg Laurenta o środku w punkcie 0 funkcję: a) f() = cos ( 2 ), 0 = 2 b) f() = 22 2i 2+4 4 2 ( 2 +2)( i), w otoceniu pierścieniowym 0 = i c) f() = e πi, 0 = πi d) f() = 2, 0 = 0 7
9. Punkty osobliwe i residua funkcji Zadanie 5. Podaj prykłady funkcji f(), dla których punkt 0 = 0 jest: a) punktem poornie osobliwym b) biegunem dwukrotnym c) punktem istotnie osobliwym Zadanie 52. Określ roaj punktów osobliwych odosobnionych funkcji f(). W prypadku biegunów określ ich krotność. Zbadaj achowanie funkcji f() w nieskońconości. a) f() = 2 ( 2 +2) 2 b) f() = 2 + 4 c) f() = sin d) f() = sin 4 e) f() = e i f) f() = e g) f() = e h) f() = 2 + + i) f() = 2 3+2 j) f() = e ( ) 3 k) f() = cos cos Zadanie 53. Uasadnij, że jeśli f() = g() h() ora g(), h() są analitycne w otoceniu punktu 0 i ponadto g( 0 ) 0, h( 0 ) = 0, h ( 0 ) 0, to wówcas res 0 f() = g( 0) h ( 0 ). Zadanie 54. Oblic residua podanych funkcji w ich punktach osobliwych (nie bieremy tu pod uwagę = ): a) f() = 2 +π 2 b) f() = e c) f() = e ( 5) 3 d) f() = ctg e) f() = 2 e i f) f() = sin π 2 Zadanie 55. Korystając twierenia całkowego o resiuach oblic podane całki po wskaanych krywych orientowanych dodatnio: a) C b) C c) C, gie C jest okręgiem = π orientowanym dodatnio 2 i+2, gie C jest trójkątem o wierchołkach prebieganych w kolejności i, i, 2i 3 ( 2 +2) 2, gie C : πi = 4 orientowany dodatnio e d) cos, gie C jest okręgiem = orientowanym dodatnio C Zadanie 56. Oblic podane całki niewłaściwe: a) + x 2 dx b) + (x 2 +4) 2 dx c) + x 4 +5x 2 +6 cos x dx (x 2 +) 2 WSKAZÓWKA do prykładu c): Zauważ, że + sin x dx = 0 (bo funkcja podcałkowa jest (x 2 +) 2 nieparysta, a całka bieżna bewględnie), a następnie skorystaj ależności e ix = cos x +i sin x. 8