Ciągłość funkcji. Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości. Jan Kowalski. 22 maja Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Podobne dokumenty
Ciągłość funkcji f : R R

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16

6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.

Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 Ci agło s c funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych.

Funkcje. Część druga. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5

Ekstrema globalne funkcji

1 Funkcje i ich granice

Pochodna funkcji odwrotnej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce

22 Pochodna funkcji definicja

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.

Wykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik

Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe

Funkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej

11. Pochodna funkcji

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Pochodna funkcji. Zastosowania

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.

4. Granica i ciągłość funkcji

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji: definicja, podstawowe własności wykład 6

WYKŁAD 8: GRANICE I CIAGŁOŚĆ

TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

Wykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!

Funkcje addytywne gorszego sortu

F t+ := s>t. F s = F t.

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

26 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym. Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

Granica funkcji wykład 4

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

Funkcje ciagłe. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI. JJ, IMiF UTP

Funkcje wielu zmiennych

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Elementy metod numerycznych

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0

Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5

Granica funkcji wykład 4

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)

Granica funkcji wykład 5

AM1.2 zadania 14. Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka

Rachunek Różniczkowy

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania

f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf

Analiza Matematyczna. Właściwości funkcji ciagłych

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Elementy logiki matematycznej

Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 (G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz

Metody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

1 Zbiory i działania na zbiorach.

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe

Analiza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji

Metody numeryczne I Równania nieliniowe

Transkrypt:

Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 22 maja 2013

1 Podstawowe definicje i fakty 2

funkcji w punkcie Definicja Niech f będzie funkcją określoną na zbiorze D R o wartościach w R. Mówimy, że f jest ciągła w punkcie x 0 D wtedy i tylko wtedy, gdy ε>0 δ>0 x D x x 0 < δ = f (x) f (x 0 ) < ε

funkcji w punkcie Definicja Niech f będzie funkcją określoną na zbiorze D R o wartościach w R. Mówimy, że f jest ciągła w punkcie x 0 D wtedy i tylko wtedy, gdy ε>0 δ>0 x D x x 0 < δ = f (x) f (x 0 ) < ε Mówimy, że funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x 0 D wtedy i tylko wtedy, gdy ε>0 δ>0 x D, x<x0 x x 0 < δ = f (x) f (x 0 ) < ε

funkcji w punkcie Definicja Niech f będzie funkcją określoną na zbiorze D R o wartościach w R. Mówimy, że f jest ciągła w punkcie x 0 D wtedy i tylko wtedy, gdy ε>0 δ>0 x D x x 0 < δ = f (x) f (x 0 ) < ε Mówimy, że funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x 0 D wtedy i tylko wtedy, gdy ε>0 δ>0 x D, x<x0 x x 0 < δ = f (x) f (x 0 ) < ε Mówimy, że funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x 0 D wtedy i tylko wtedy, gdy ε>0 δ>0 x D, x>x0 x x 0 < δ = f (x) f (x 0 ) < ε

Funkcja ciągła Podstawowe definicje i fakty Warunek konieczny i dostateczny ciągłości Funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie ciągła lewo- i prawostronnie.

Funkcja ciągła Podstawowe definicje i fakty Warunek konieczny i dostateczny ciągłości Funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie ciągła lewo- i prawostronnie. Definicja Funkcja jest ciągła na zbiorze, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

Funkcja ciągła Podstawowe definicje i fakty Warunek konieczny i dostateczny ciągłości Funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie ciągła lewo- i prawostronnie. Definicja Funkcja jest ciągła na zbiorze, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru. Przykład Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe na swoich dziedzinach.

Twierdzenie Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x 0, to

Twierdzenie Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x 0, to funkcja f + g jest ciągła w punkcie x 0,

Twierdzenie Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x 0, to funkcja f + g jest ciągła w punkcie x 0, funkcja f g jest ciągła w punkcie x 0,

Twierdzenie Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x 0, to funkcja f + g jest ciągła w punkcie x 0, funkcja f g jest ciągła w punkcie x 0, funkcja f g jest ciągła w punkcie x 0,

Twierdzenie Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x 0, to funkcja f + g jest ciągła w punkcie x 0, funkcja f g jest ciągła w punkcie x 0, funkcja f g jest ciągła w punkcie x 0, funkcja f g jest ciągła w punkcie x 0, o ile g(x 0 ) 0.

Twierdzenie Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x 0, to funkcja f + g jest ciągła w punkcie x 0, funkcja f g jest ciągła w punkcie x 0, funkcja f g jest ciągła w punkcie x 0, funkcja f g jest ciągła w punkcie x 0, o ile g(x 0 ) 0. Twierdzenie Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x 0, a funkcja g jest ciągła w punkcie y 0 = f (x 0 ), to funkcja złożona g f jest ciągła w punkcie x 0.

Karl Friedrich Weierstrass (1815 1897) matematyk niemiecki

Karl Friedrich Weierstrass (1815 1897) matematyk niemiecki Twierdzenie (Weierstrassa o ograniczoności funkcji ciągłej) Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym, to jest na nim ograniczona.

Karl Friedrich Weierstrass (1815 1897) matematyk niemiecki Twierdzenie (Weierstrassa o osiąganiu kresów) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym, to osiąga swoje kresy, tzn. c [a,b] f (c) = inf f (x) d [a,b] f (d) = sup f (x) x [a,b] x [a,b]

Jean Gaston Darboux (1842 1917) matematyk francuski

Jean Gaston Darboux (1842 1917) matematyk francuski Twierdzenie (Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a, b] oraz spełnia warunek f (a) < f (b), to y (f (a),f (b)) c (a,b) f (c) = y.

Jean Gaston Darboux (1842 1917) matematyk francuski Twierdzenie (Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a, b] oraz spełnia warunek f (a) < f (b), to y (f (a),f (b)) c (a,b) f (c) = y. Gdyby w powyższym twierdzeniu założyć dodatkowo, że f jest rosnąca, to punkt c byłby wyznaczony jednoznacznie.

Jean Gaston Darboux (1842 1917) matematyk francuski Twierdzenie (Darboux o miejscach zerowych funkcji) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a, b] oraz spełnia warunek f (a)f (b) < 0, to istnieje taki punkt c (a, b), że f (c) = 0.