Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na skończone i nieskończone. W dalszym ciągu będziemy rozpatrywać jedynie ciągi, których wartościami są liczby rzeczywiste. Wartość przyporządkowaną liczbie n oznaczamy a n lub b n, c n, x n itp.) i nazywamy n-tym wyrazem ciągu. Cały ciąg oznaczamy symbolem a n ). Są różne sposoby określenia ciągów. Można podać wzór na wyraz ogólny ciągu, np. a n = 3n 3 n + 5. Wtedy możemy obliczyć dowolny konkretny wyraz, np. a 00 = 998059, nie znając innych wyrazów. Ale często określa się ciąg rekurencyjnie, tzn. podaje się pierwszy wyraz a i wzór określający a n+ jako funkcję a n. Przykładowo, niech a = 3, a n+ = a n 4. Wtedy obliczamy kolejno a = 3 4 =, a 3 = 4 = 0, itd. Dysponując tylko wzorem rekurencyjnym musimy obliczać wyrazy po kolei. Czasem można na podstawie wzoru rekurencyjnego znaleźć wzór ogólny. Np. ciąg określony równościami a = 5, a n+ = a n + 4 jest dobrze znanym ciągiem arytmetycznym, i jego wyraz ogólny to a n = 5 + 4n ) = 4n +. Wzór ogólny może być jednak zaskakująco skomplikowany. Weźmy jako przykład ciąg Fibonacciego u n określony zależnościami: u = u =, u n+ = u n + u n+ dla n =,,... Kolejne wyrazy tego ciągu to,,, 3, 5, 8, 3,,.... Ale wzór ogólny trudny do znalezienia, chociaż łatwy do udowodnienia przez indukcję) ma postać: [ ) n ) n ] u n = dla n =,,... 5 + 5 5 Niektóre ciągi można określić tylko opisowo. Przykładowo: p n = n ta kolejna liczba pierwsza. Tak więc jest to ciąg, 3, 5, 7,, 3, 7, 9,.... Niestety nie jest znany ani wzór ogólny ani rekurencyjny dla tego ciągu. Ciąg jest szczególnym przypadkiem funkcji. Jego wykres to zbiór izolowanych punktów na płaszczyźnie o współrzędnych n, a n )). Definicja. Ciąg a n ) nazywamy ograniczonym z dołu z góry), gdy zbiór {a n } jego wyrazów jest ograniczony z dołu odp.: z góry), tj., gdy: m R n N a n m M R n N a n M). Jeżeli ciąg jest ograniczony z dołu i z góry, to nazywamy go po prostu ograniczonym. Symbolicznie: M R n N a n M. Przykłady.. Ciąg a n = n+5 n jest ograniczony, bo: a n = a n = n + 5 n n + 5 = + 5 6. n n. Ciąg b n = ctg n nie jest ograniczony, bo dla dowolnie dużego M istnieje liczba n taka, że ctg /n > M wystarczy wziąć n > / arcctg M). Np. dla M = 000 obliczamy przy pomocy kalkulatora) arcctg 000 = 7, 45. arc tg 0, 00

Zatem dla n = 8, 9, 0,... wartości ciągu b n są większe od 000. Uwaga. Kalkulatory na ogół nie mają funkcji arcctg, bo nie jest potrzebna. Aby obliczyć arcctg x = arc tg /x wpisujemy x, i kolejno klawisze: /x, Shift, tan. Definicja. Ciąg a n ) nazywamy rosnącym malejącym), gdy dla n N mamy a n+ > a n odpowiednio a n+ < a n ). Ciągi rosnące i malejące nazywamy ciągami monotonicznymi. Monotoniczność ciągu stwierdzamy badając znak różnicy a n+ a n. Przykład.. Ciąg a n = n jest malejący, bo a n+ a n = n + n = nn + ) < 0. Przykład.. Ciąg a n = n+ n + jest również malejący oblicz a n+ a n = n+ n +n+ n+ n + ). Uwaga. Jeżeli ciąg ma wyrazy dodatnie to zamiast różnicy a n+ a n można badać iloraz. Jeśli jest on większy od, to ciąg jest rosnący, jeśli mniejszy malejący. a n+ a n Przykład. 3. Ciąg a n = nn n! jest rosnący, bo a n+ a n = n + )n+ n + )! n! n + )n = nn n n >.. Granice ciągów Mówimy, że ciąg a n ) jest zbieżny do granicy a, gdy w dowolnym otoczeniu punktu a leżą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Definicja 3. Ciąg a n ) jest zbieżny do granicy a, gdy ε>0 n0 N n N n > n 0 a n a < ε. Piszemy wtedy a n = a lub a n a. Ciąg mający granicę nazywamy zbieżnym. Każdy ciąg zbieżny ma tylko jedną granicę. Nierówność a n a < ε jest równoważna nierówności czyli ε < a n a < ε, a ε < a n < a + ε. Rysunek. Ilustracja pojęcia granicy ciągu Przykład. Ciąg a n = n ma kolejne wyrazy,, 3, 4, 5,.... Zatem można przypuszczać, że n = 0. Aby wykazać to formalnie, weźmy ε > 0. Jakie musi być n, by n < ε? Wystarczy n > ε. Zatem jako N można obrać część całkowitą liczby ε lub dowolną liczbę większą od niej). Np. gdy ε = 0 6, to N = 0 = 0 6. 6 Jeżeli dalekie wyrazy ciągu są większe od dowolnie dużej liczby, to mówimy, że ciąg jest rozbieżny do nieskończoności lub, że ma granicę niewłaściwą równą ). Dokładniej:

Definicja 4. Ciąg a n ) jest rozbieżny do, gdy M>0 n0 N n N n > n 0 a n > M. Piszemy a n =. Analogicznie określamy ciąg rozbieżny do : a n = M n n0 N n N n > n 0 a n < M. Przykład. n3 n ) =. Uzasadnienie: Niech M > 0. Ponieważ n 3 n = n n ) n dla n >, więc wystarczy by było n > M, czyli n > M. Jeśli przyjmiemy N = [ M], to dla n > N będzie a zatem n3 n ) =. n 3 n n > M, Twierdzenie. własności arytmetyczne granicy ciągu) Niech a n ), b n ) będą ciągami zbieżnymi, a liczba c stałą. Wtedy. ca n ) = c a n ;. a n ± b n ) = a n ± b n ; 3. a n b n ) = a n b n ; 4. a n bn = an b n, o ile b n 0 i b n 0. Krótko: granica sumy różnicy, iloczynu, ilorazu) jest sumą różnicą, iloczynem, ilorazem) granic. Twierdzenia nie można stosować, gdy chociaż jedna z granic jest niewłaściwa tzn. ± ). Na symbolach ± nie można wykonywać działań! Przykłady.. Obliczymy granicę ciągu a n = n n+3 3n +4. Tutaj licznik dąży do, a mianownik do, więc twierdzenia o granicy ilorazu nie można bezpośrednio stosować. Możemy jednak przekształcić ułamek: n n + 3 3n + 4 = n n + 3 n ) n n 3 + 4 = + 3 n n ) 3 + 4 = 3 = 3. n Pokazany wyżej sposób wyłączenie najwyższej potęgi z licznika i mianownika, a następnie skrócenie ułamka) jest często stosowany przy obliczaniu granic.. Granicę ciągu a n = n + 3n + 0 n obliczamy tak. Ze wzoru a b = a b mamy n + 3n + 0 n n + 3n + 0 + n = n3 + 0 n ) n + 3 n + 0 n + ) = 3. Niesłychanie ważna jest granica ciągu a n = n. + n) Zobaczmy, jak wyglądają jego pierwsze wyrazy: a =, 3 ) a = =, 5, 4 ) 3 a 3 =, 37, 3 5 ) 4 a 4 =, 44, 4 6 ) 5 a 5 =, 49, 5 3 a+b

7 ) 6 a 6 =, 5. 6 Widać, że kolejne wyrazy ciągu rosną. Oczywiście kilka wartości to mało, ale można całkiem formalnie wykazać, że ciąg + n) n jest rosnący. Nie rośnie on jednak do ; już z tych kilku wypisanych wyrazów widać, że różnice między kolejnymi wyrazami są coraz mniejsze. Posługując się arkuszem kalkulacyjnym możemy szybko wyliczyć np. 00 pierwszych wyrazów i utwierdzić się w tym przekonaniu. Np. a 50 =, 696, a 00 =, 7048, a 50 =, 7093, a 00 =, 75 w przybliżeniu). Przekonanie nie stanowi dowodu, ale już w XVIII wieku matematyk szwajcarski Leonhard Euler udowodnił, że ten ciąg ma granicę skończoną. Nie można jej dokładnie obliczyć ponieważ jest to liczba niewymierna. Euler wprowadził więc literę e na oznaczenie tej granicy. e, 78883 Liczba e jest, obok liczby π definiowanej jako stosunek długości okręgu do jego średnicy), jedną z najważniejszych liczb w matematyce. Można wykazać, że dla dowolnego ciągu a n ), dla którego a n = lub a n = mamy Przykład. Przykład. Inne twierdzenia o granicy ciągu. + ) an = e. a n + ) n + n = e. + + ) 3n = + ) ) 3 n 3 = e. n n Twierdzenie. o trzech ciągach) Jeżeli ciągi a n ), b n ), c n ) spełniają warunki:. a n b n c n dla każdego n n 0 ;. a n = c n = b, to b n = b. Przykład. Aby obliczyć n + 3 n + 4 n korzystamy z nierówności 4n < n + 3 n + 4 n < 3 4 n. Ciągi skrajne są zbieżne do 4, a więc ciąg środkowy jest także zbieżny do 4. Przykład. n a = dla a > 0) D o w ó d. Załóżmy, że a >, i niech a n = n a. Wtedy a = + a n ) n + na n korzystamy z nierówności Bernoullego). Zatem na n a, a więc 0 a n a n. Ciągi skrajne mają granicę 0, zatem a n = 0, a więc n a =. Dla a = oczywiście n a =, a dla a < mamy: n a = 4 n a,

a ponieważ a >, więc mianownik dąży do, zatem n a też. Należy także znać następujące granice: n n = qn = 0 dla q < ) W zapisie poniższego twierdzenia zastosujemy symboliczne skróty. Np. zamiast pisać dokładnie: jeżeli a n = a, gdzie < a oraz b n =, to a n + b n ) = napiszemy krótko: a + =. Twierdzenie 3. o granicach niewłaściwych ciągów) Dla granic niewłaściwych obowiązują następujące reguły:. a + = dla < a. a = dla 0 < a a 3. = 0 dla < a < a 4. 0 = dla < a + 5. a = 0 dla a < 6. a = dla < a 7. b = 0 dla b < 0 8. b = dla 0 < b Uwaga. Brak ogólnych twierdzeń dotyczących następujących granic:, 0, 0 0,,, 0, 0 0 Powyższe symbole nazywamy wyrażeniami nieoznaczonymi. 3. Granica funkcji Przy określaniu granicy funkcji będziemy posługiwali się pojęciem sąsiedztwa punktu. Definicja 5. Sąsiedztwem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór Sx 0, δ) = x 0 δ, x 0 ) x 0, x 0 + δ) = {x : 0 < x x 0 < δ}. Analogicznie definiujemy sąsiedztwo lewostronne: i sąsiedztwo prawostronne: Sx 0, δ) = x 0 δ, x 0 ), Sx + 0, δ) = x 0, x 0 + δ). Czasem w zapisie będziemy opuszczali promień δ, pisząc np. tylko Sx 0 ). Definicja 6. Niech x 0 R i niech y = fx) będzie określona przynajmniej w sąsiedztwie Sx 0 ). Mówimy, że granica funkcji w punkcie x 0 jest równa g, jeżeli dla dla dowolnego ciągu x n ), x n Sx 0 ) zbieżnego do x 0 ciąg wartości funkcji fx n )) dąży do g. W zapisie symbolicznym: [ fx) = g xn) Sx x x 0) x n = x 0 0 Przykład.. Korzystając z definicji uzasadnić, że: x a) x 3 x + 4) = 0; b) x x+3 = 4 5. a) Dla dowolnego ciągu x n ), x n 3 mamy fx n) = g ] x n + 4) = x n + 4 = 3 + 4 = 0. 5

b) Dla dowolnego ciągu x n ), x n mamy x n x n + 3 = x n ) x n + 3 = + 3 = 4 5. Przykład.. Uzasadnić, że nie istnieje x 0 sin x. Wystarczy podać dwa ciągi x n, x n dla których granice wartości funkcji będą różne. Niech x n = nπ. Wtedy sin = sinnπ) = x 0 = 0. n Biorąc x n = π/+nπ otrzymamy: sin x = sinπ + nπ) = n =. Otrzymaliśmy różne liczby dla różnych ciągów, zatem granica nie istnieje. Zastępując w powyższej definicji sąsiedztwo Sx 0 ) sąsiedztwem lewostronnym lub sąsiedztwem prawostronnym otrzymamy definicję granicy lewostronnej bądź prawostronnej: [ fx) = g xn) Sx x x 0 ) x n = x 0 0 [ fx) = g xn) Sx + x x + 0 ) x n = x 0 0 fx n) = g ] fx n) = g ] Podobnie określamy granice przy x czy x. Uwaga. Podana wyżej definicja granicy pochodzi od Heinego. Popularna jest równoważna jej definicja Cauchy ego, ale ją pominiemy. Ponieważ przy wprowadzaniu granicy funkcji posłużyliśmy się granicą ciągu, to następujące niżej twierdzenie wynika z podobnego twierdzenia dla granic ciągów. Twierdzenie 4. własności arytmetyczne granicy funkcji) Niech fx), gx) będą funkcjami, a liczba c stałą. Wtedy. x x0 cfx)) = c x x0 fx);. x x0 fx) ± gx)) = x x0 fx) ± x x0 gx); 3. x x0 fx) gx)) = x x0 fx) x x0 gx); fx) 4. x x0 gx) = x x 0 fx) x x0 gx), o ile gx) 0 i x x 0 gx) 0. Krótko: granica sumy różnicy, iloczynu, ilorazu) jest sumą różnicą, iloczynem, ilorazem) granic. W tym twierdzeniu x 0 może być liczbą lub jednym z symboli ±. Stosuje się także do granic jednostronnych. Twierdzenia nie można stosować, gdy chociaż jedna z granic jest niewłaściwa tzn. ± ). Na symbolach ± nie można wykonywać działań. Przykłady obliczania granic. x x + x x 3 x = 3 + 3 3 = 7, x 9 x 3 x + 3 = x + 3)x 3) = x 3) = 3 3 = 6, x 3 x + 3 x 3 x 4 x 4 x x 3 + x x 3 + x = x ) 4 x + ) = x x = 4 x x 3 + x ) x 3 + x x 3 ) = + 0 + 0 0 =, Ważna jest następująca bynajmniej nie oczywista!) granica. sin x x 0 x =. 6 x x )x + ) = x x + = 4

Znając ją można obliczać inne granice, np.: sin 4x x 0 5x = 4 sin 4x x 0 5 4x = 4 5 = 4 5, tg 3x x 0 4x = 3 sin 3x x 0 4 3x cos 3x = 3 4 = 3 4. Należy znać również następujące granice: + x = e x x) ) x = x x e 4. Asymptoty wykresu funkcji Definicja 7. Prostą x = a nazywamy asymptotą pionową lewostronną funkcji y = fx), gdy Analogicznie, warunek określa asymptotę pionową prawostronną. x a fx) = lub x a fx) =. fx) = lub fx) =. x a + x a + Rysunek. Asymptota pionowa lewostronna Jeżeli zarówno granica lewo- i prawostronna są nieskończone, to mówimy o asymptocie obustronnej. Definicja 8. Prostą y = ax + b nazywamy asymptotą ukośną funkcji y = fx), gdy fx) ax b) = 0 lub fx) ax b) = 0. x x W szczególności, gdy a = 0 asymptota jest pozioma. Zauważmy, że z równości fx) ax b) = 0, x 7

Rysunek 3. Asymptota pozioma po podzieleniu obustronnie przez x otrzymamy x fx) x fx) x x = a. a b x ) = 0, czyli Oznacza to, że jeżeli istnieje asymptota y = ax + b, to współczynnik a jest granicą ilorazu. W konsekwencji można wykazać następujące twierdzenie. fx) x Twierdzenie 5. Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną funkcji y = fx), wtedy, i tylko wtedy, gdy fx) a = oraz b = fx) ax). x x x Przykłady. Znaleźć asymptoty ukośne funkcji:. y = x x odp.: y = x);. y = 3x +5x x+ odp.: y = 3x + ); 3. y = xe x odp.: y = x + ); 4. y = x lne + x ) odp.: y = x + e ); 5. y = x3 x+3 x 3x odp.: y = x + 3 4 ). 5. Ciągłość funkcji Wprowadzimy najpierw pojęcie otoczenia punktu. Definicja 9. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór Ox 0, δ) = x 0 δ, x 0 + δ). Definicja 0. Niech x 0 R i niech y = fx) będzie określona przynajmniej w otoczeniu Ox 0 ). Funkcja fx) jest ciągła w punkcie x 0 wtedy, i tylko wtedy, gdy fx) = fx 0 ). x x 0 Potocznie mówimy, że funkcja fx) jest ciągła w punkcie gdy jej wykres nie przerywa się w tym punkcie. Z definicji wynika, że funkcja jest nieciągła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje x x0 fx) albo, gdy x x0 fx) fx 0 ). Punkt, w którym funkcja jest nieciągła nazywamy punktem nieciągłości funkcji. Ciągłość jest zachowana przy wykonywaniu działań na funkcjach. Mówi o tym następujące twierdzenie. Twierdzenie 6. o rachunku funkcji ciągłych) Niech fx), gx) będą funkcjami ciągłymi w punkcie x 0, a liczba c stałą. Wtedy. funkcja cfx) jest ciągła w punkcie x 0 ;. funkcja fx) + gx) jest ciągła w punkcie x 0 ; 8

Rysunek 4. Wykres funkcji ciągłej i nieciągłej 3. funkcja fx) gx) jest ciągła w punkcie x 0 ; 4. funkcja fx) gx) jest ciągła w punkcie x 0 ; 5. funkcja fx) gx) jest ciągła w punkcie x 0, o ile gx 0 ) 0. Krótko: Suma różnica, iloczyn, iloraz) funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Mówimy, że funkcja jest ciągła na zbiorze, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru. Twierdzenie 7. Darboux) Jeżeli funkcja fx) jest ciągła na przedziale [a, b] oraz fa) < fb), to w fa),fb)) c a,b) fc) = w. Oznacza to, że funkcja przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między fa) i fb). Np. jeśli dla pewnej funkcji ciągłej fx) mamy f) = 5 oraz f5) =, to musi istnieć liczba c, 5) dla której fc) = 0. Przykład. Uzasadnić, że równanie x 4 + x = 0 ma rozwiązanie dodatnie. Niech fx) = x 4 +x. Obliczamy; f0) =, f) =. Stąd wnioskujemy, że funkcja musi mieć w pewnym punkcie przedziału 0, ) wartość 0 i ten punkt jest rozwiązaniem równania. Można ten pierwiastek lokalizować dokładniej: ponieważ f ) = 6 + < 0, więc pierwiastek leży w, ). Ciągłość niektórych funkcji. Łatwo uzasadnić, że funkcja stała y = c, c = const oraz funkcja tożsamościowa y = x są ciągłe w każdym punkcie x R. Ponieważ wielomian powstaje z tych dwóch typów funkcji za pomocą dodawania i mnożenia, więc na podstawie twierdzenia o rachunku funkcji ciągłych jest on też funkcją ciągłą. Z tego samego twierdzenia wynika dalej, że funkcja wymierna jako iloraz dwóch wielomianów) jest ciągła w każdym punkcie, który nie jest miejscem zerowym mianownika. Ponieważ n x a x = n a, więc funkcja pierwiastkowa jest także ciągła. Dalej, funkcje sinus i cosinus są ciągłe w każdym punkcie x R, a zatem tangens i cotangens są ciągłe wszędzie tam, gdzie są określone. Ciągłe są też funkcje wykładnicze i logarytmiczne. Uwaga. Może powstać wrażenie, że większość funkcji jest ciągła. Jest to nieprawda, chociaż w istocie w praktyce posługujemy się przeważnie funkcjami ciągłymi. Przykład. Funkcja Dirichleta: { gdy x jest liczbą wymierną, fx) = 0 gdy x jest liczbą niewymierną jest przykładem skrajnie nieciągłej funkcji; można wykazać, że w żadnym punkcie nie ma ona żadnej z granic jednostronnych. 9