Prognozowanie i smulacje
Ramow plan wkładu.wprowadzenie w przedmio.rafność dopuszczalność i błąd prognoz 3.Prognozowanie na podsawie szeregów czasowch 4.Prognozowanie na podsawie modelu ekonomercznego 5.Heursczne modele prognosczne 6. Smulacje
Wbrana lieraura. Prognozowanie gospodarcze. Meod i zasosowanie red. M. Cieślak PWN Warszawa 00. Zeliaś A. Pawełek B. Wana S. Prognozowanie ekonomiczne. eoria przkład zadania PWN Warszawa 003 3. Gajda J. Prognozowanie i smulacja a deczje gospodarcze Wd. C.H. Beck Warszawa 00 4. Prognozowanie gospodarcze red. E. Nowak AW Place Warszawa 998 5. Prognozowanie i smulacja red. W. Milo Wd. UŁ Łódź 00
Przewidwanie przszłości Przewidwanie przszłości Racjonalne Nieracjonalne Zdroworozsądkowe Naukowe PROGNOZOWANIE o przewidwanie przszłości w sposób racjonaln z wkorzsaniem meod naukowch PREDYKCJA o prognozowanie na podsawie modelu ekonomercznego
Prognoza jako wnik prognozowania PROGNOZA o sąd sformułowan z wkorzsaniem dorobku nauki odnosząc się do określonej przszłości werfikowaln empircznie niepewn (ale akcepowaln) Eap prognozowania: I. Sformułowanie zadania prognoscznego II. Podanie przesłanek prognoscznch III. Wbór meod prognozowania IV. Ocena dokładności lub dopuszczalności prognoz V. Werfikacja prognoz
Funkcje prognoz Wróżnia się rz podsawowe funkcje prognoz: I. PREPARACYJNA (do podejmowania deczji swarza dodakowe przesłanki do podejmowania racjonalnch deczji) II. AKYWIZUJĄCA (pobudzenie do działań sprzjającch realizacji korzsnej prognoz przeciwdziałającch prognozie niekorzsnej) III. INFORMACYJNA (dosarcza informacji o badanm zjawisku)
Meoda prognozowania MEODA PROGNOZOWANIA o sposób przeworzenia danch z przeszłości wraz ze sposobem przejścia od przeworzonch danch do prognoz. Isnieją więc dwie faz: faza diagnozowania przeszłości - odbwa się przez budowę modelu formalnego (model ekonomerczn) lub mślowego (w umśle ekspera) faza określania przszłości polega na zasosowaniu odpowiedniej reguł prognoz
Reguł prognoz reguła podsawowa prognoza posawiona na podsawie modelu prz założeniu że będzie on akualn w prognozowanm okresie reguła podsawowe z poprawką prognoza posawiona na podsawie modelu z poprawką uwzględniającą że osanio zaobserwowane odchlenia od modelu urzmają się w przszłości reguła największego prawdopodobieńswa (dla zmiennch losowch kórch rozkład prawdopodobieńswa jes znan) prognozą jes warość zmiennej kórej odpowiada największe prawdopodobieńswo dla zmiennch skokowch lub maksmalna warość funkcji gęsości prawdopodobieńswa dla zmiennch ciągłch reguła minimalnej sra przjmuje się że wielkość sra jes funkcją błędu prognoz i poszukuje się minimum ej funkcji. Prognozą jes warość dla kórej a funkcja przjmuje minimum.
Meod prognozowania Meod prognozowania Meod maemaczno-sasczne Meod niemaemaczne Meod opare na modelach ekonomercznch Modele jednorównaniowe Klasczne modele rendu Adapacjne modele rendu pros Modele przcznowo-opisowe Modele auoregresjne Meod opare na modelach deerminiscznch Modele wielorównaniowe: rekurencjn o równaniach współzależnch Meod ankieowe Meod inuicjne Meod kolejnch przbliżeń Meoda eksperz Meoda delficka Meoda refleksji Meod analogowe Inne
Meod prognozowania Prognozowanie na podsawie modelu maemaczno-sascznego o prognozowanie ilościowe Prognozowanie na podsawie modeli niemaemacznch o zwkle prognozowanie jakościowe Prognoz ilościowe dzielim na: punkowe gdzie dla zmiennej prognozowanej wznacza się jedną warość dla >n przedziałowe w kórch wznacza się przedział w kórm znajdzie się rzeczwisa warość zmiennej prognozowanej w prognozowanm okresie >n.
Prognozowanie Bazą danch do modelu zmiennej prognozowanej () F(ε ) lub () F(x x...x k ε ) jes szereg czasow w posaci: x x... x k x x... x k x x... x k........................ n n n n x n x n... x kn Prognoz zmiennej prognozowanej wznaczam na okres > n Prognozę na okres będziem oznaczać Y
Horzon czasow prognoz Prognoza krókookresowa o prognoza na aki przedział czasow w kórm zakłada się isnienie lko zmian ilościowch. Prognoz akie wznacza się przez eksrapolację dochczasowch związków (na podsawie modeli ekonomercznch lub rendów) Prognoza średniookresowa docz okresów czasu w kórch oczekuje się zmian ilościowch oraz ewenualnie niewielkich zmian jakościowch. Prognoza musi uwzględniać oba p zmian musi prznajmniej umiarkowanie odchodzić od eksrapolacji Prognoza długookresowa docz przedziału czasu w kórm mogą wsępować zmian ilościowe oraz znaczące zmian jakościowe
Modele ilościowe Prognozę na okres > n można posawić wkorzsując model F () lub() jeśli spełnione są nasępujące założenia:. funkcja F wraża pewną prawidłowość ekonomiczną kóra jes sabilna w czasie (nie spodziewam się żadnch zmian jakościowch). składnik losow ε jes sabiln 3. w przpadku modelu ekonomercznego znane są warości zmiennch objaśniającch w okresie > n czli znane są warości prognoz X X...X k 4. dopuszczalna jes eksrapolacja modelu poza próbę czli poza obszar zmienności zmiennch objaśniającch jak i zmiennej (zmiennch) objaśnianej.
Analiza danch w szeregu czasowm Analiza danch polega na:. Wodrębnieniu obserwacji odsającch. Swierdzeniu braku lub isnienia rendu Y 35 30 5 0 5 0 5 0 A 0 4 6 8 0
Obserwacje odsające Po wodrębnieniu obserwacji odsającch należ usalić:. Cz dana obserwacja pojawiła się w skuek błędu rejesracji danch. Cz obserwacja pojawiła się w skuek jednokronego zjawiska zewnęrznego wpłwu (np. realizacja pewnego dużego jednokronego zamówienia o kórm wiem że nie nasąpi już w przszłości) 3. Cz obserwacja pojawiła się jako normalne wahanie losowe (przpadkowe) w próbie. W przpadku. oraz. obserwację A można pominąć a brakującą warość uzupełnić średnią armeczną z obserwacji poprzedniej i nasępnej. W przpadku 3. obserwacja powinna pozosać w bazie danch sascznch.
Błąd prognoz Po wborze modelu prognoscznego F można wznaczć prognoz dla >n: () Y F() lub () Y F(x x...x k ) wraz z prognozą Y należ wznaczć miernik dokładności prognoz Prz wborze modelu prognoscznego należ dążć do osiągnięcia zadowalającego poziomu miernika dokładności Wróżniam dwa p mierników:. błąd ex pos. błąd ex ane Błąd prognoz można zapisać jako B Y gdzie Y o warość prognoz zmiennej Y na okres wznaczona na podsawie modelu F a o rzeczwisa warość zmiennej prognozowanej w okresie.
Dopuszczalność prognoz: błąd ex ane Błąd ex ane wznacza się dla modeli liniowch kórch paramer oszacowano Meodą Najmniejszch Kwadraów (MNK). Niech model ma posać: dla n. o po oszacowaniu MNK jego paramerów model eoreczn przjmuje posać: dla n. w zapisie macierzowm: α + α X + α X +... + α X + ε 0 0 Ŷ a + a X + a X +... + Ŷ Xa k a k k X k
Dopuszczalność prognoz () Gdzie w zapisie macierzowm: oraz kn n n k k n X X X X X X X X X X Y........................ Xa Ŷ Y X ) X X ( a... a a a k 0
Dopuszczalność prognoz (3) Prognozę na okres > n można wznaczć ze wzoru: gdzie: X X X k o prognoz zmiennch objaśniającch X X X k w okresie >n co w zapisie macierzowm: Y ( X ) a gdzie: Y α α α + α 0 + X + X +... k X k X X X... X k
Błąd ex ane Błąd ex ane o odchlenie sandardowe błędu B prognoz Y na okres. Błąd ex ane oznacza się przez V : V Se ( X ) ( X X ) X + gdzie S e o odchlenie sandardowe resz modelu liniowego. Względn błąd ex ane prognoz Y : W V ( 00%) Y kór informuje jaką część prognoz sanowi błąd ex ane
rafność prognoz błąd ex pos () Błąd ex pos może bć wznaczon dla wszskich modeli ilościowch. Jeśli będzie okresem na kór posawiono prognozę Y i okres en już minął o znana jes warość rzeczwisa Y zmiennej prognozowanej. aką prognozę Y nazwać będziem prognozą wgasłą. Dla prognoz wgasłch można wznaczć błąd ex pos. Rozróżniam:. względn błąd prognoz (procenow):. absolun błąd prognoz: 3. względn absolun błąd prognoz (procenow): 4. kwadraow błąd prognoz: AE 5. względn kwadraow błąd prognoz: SE PE ( ) PSE APE ( ( 00%) ) ( 00%)
rafność prognoz błąd ex pos () Do ocen rafności prognoz wgasłch (a a więc dopasowania modelu prognoscznego F do danch o zmiennej prognozowanej Y można wkorzsać nasępujące błęd:. średni absolun błąd ex pos prognoz wgasłch. średni względn absolun błąd ex pos prognoz wgasłch 3. średni błąd ex pos prognoz wgasłch 4. średni względn błąd ex pos prognoz wgasłch 5. średni kwadraow błąd ex pos prognoz wgasłch 6. pierwiasek średniego kwadraowego błędu ex pos prognoz wgasłch 7. współcznnik heila Do badania akualności modelu prognoscznego możem użć współcznnika Janusowego
Oznaczm przez M {... n} zbiór numerów okresów/momenów w kórch werfikujem rafność prognoz wgasłch wznaczonch za pomocą modelu card M liczebność zbioru M.
Średni absolun błąd ex pos prognoz wgasłch MAE MAE M card Y M
Średni względn absolun błąd ex pos prognoz wgasłch MAPE(procenow) Y MAPE M ( 00%) card M
Średni błąd ex pos prognoz wgasłch ME ME M ( Y ) card M
Średni względn błąd ex pos prognoz wgasłch MPE MPE M card M
Średni kwadraow błąd ex pos prognoz wgasłch MSE MSE M ( Y ) card M
Pierwiasek średniego kwadraowego błędu ex pos prognoz wgasłch RMSE RMSE MSE
Współcznnik heila () I M ( M Y ) I I + I + I 3
Współcznnik heila () I ( Y Y ) M card M Wraża wielkość błędu z powodu nieodgadnięcia średniej warości zmiennej prognozowanej (nieobciążoności prognoz). YY Warości średnie wznaczane są dla warości akich że Iˆ I I 00 % M
Współcznnik heila (3) card M S S I M Y Y ) ( Wraża wielkość błędu z powodu nieodgadnięcia wahań zmiennej prognozowanej (niedosaecznej elasczności) 00% ˆ I I I M card Y S M Y ) ( card M Y Y S M Y ) (
Współcznnik heila (4) I 3 S Y S Y M card ( M r Y Y ) Wraża wielkość błędu z powodu nieodgadnięcia kierunku endencji rozwojowej zmiennej prognozowanej (niedosaecznej zgodności prognoz z rzeczwism kierunkiem zmian zmiennej prognozowanej) r YY o współcznnik korelacji pomiędz warościami i Y dla Iˆ I 3 I 00% M
Współcznnik Janusow J P K ( card ( card P zbiór numerów okresów/momenów dla kórch posawiono prognoz za pomocą modelu i sał się one prognozami wgasłmi card P liczebność zbioru P {... n} K o zbiór numerów okresów/momenów dla kórch zbudowano model i wznaczono prognoz wgasłe Card K liczebność zbioru K Jeżeli J o model jes nadal akualn i może bć uż do prognozowania na nasępne okres. Y P Y K ) )
Prognozowanie na podsawie szeregów czasowch Składowe szeregu czasowego: I. Składowa ssemaczna II. Składowa przpadkowa Składowa ssemaczna:. rend (endencja rozwojowa) długookresowa skłonność do jednokierunkowch zmian warości badanej zmiennej. Sał przecięn poziom prognozowanej zmiennej warości osclują wokół sałego poziomu 3. Wahania ckliczne długookresowe powarzające się rmicznie w przedziałach czasu dłuższch niż rok wahania warości zmiennej wokół rendu lub sałego poziomu 4. Wahania sezonowe wahania warości zmiennej wokół rendu lub sałego poziomu w przedziałach czasu nie przekraczającch roku.
Dekompozcja szeregu czasowego Proces wodrębniania poszczególnch składowch szeregu czasowego Ocena wzrokowa sporządzonego wkresu Idenfikacja poszczególnch składowch szeregu czasowego na podsawie wkresów szeregu czasowego Analiza auokorelacji Oblicza się warości współcznników korelacji międz oraz -i (dla i...k) czli współcznniki auokorelacji różnch rzędów. Bada się sasczną isoność ch współcznników. Jeśli współcznniki dla kilku pierwszch rzędów są duże i sascznie isone o wskazuje o na wsępowanie rendu. Jeśli wsępuje sascznie ison współcznnik auokorelacji rzędu równego liczbie faz cklu sezonowego o wskazuje o na wsępowanie wahań sezonowch.
Ocena wzrokowa () 4 0 8 6 4 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4
Ocena wzrokowa () 40 35 30 5 0 5 0 5 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4
Ocena wzrokowa (3) 8 6 4 0 8 6 4 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4
Ocena wzrokowa (4) 45 40 35 30 5 0 5 0 5 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4
Modele szeregów czasowch ze sałm poziomem zmiennej prognozowanej bez wahań okresowch () Meoda naiwna Y meodę można sosować w przpadku niskiej zmienności zmiennej prognozowanej zazwczaj w suacjach gd współcznnik zmienności nie przekracza 0% Meoda średniej ruchomej ważonej k-elemenowej k Y i w i+ k + wi wi > 0dlai i k i Sałą wgładzania k usala się na podsawie najmniejszego błędu prognoz wgasłch wagi w i usala prognosa na podsawie wiedz o zmiennej prognozowanej Y. Jeśli przjmie się średniej ruchomej k-elemenowej. w i k... k. o meodę nazwam meodą
Modele szeregów czasowch ze sałm poziomem zmiennej prognozowanej () Pros model wgładzania wkładniczego Y α + ( α) Y dla 3 n. α (0]. model można sosować jeśli szereg nie cechuje zb silna zmienność (wahania przpadkowe nie są zb duże). Sałą wgładzania α wznacza się ekspermenalnie na podsawie wbranego krerium jakie powinn spełniać prognoz wgasłe. Do wboru modelu prognoscznego (prognoz) można wkorzsać analizę błędów ex pos prognoz wgasłch
Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej bez wahań okresowch() Modele analiczne Y ( ) sosuje się do prognozowana zjawisk kóre charakerzował się w przeszłości regularnmi zmianami kóre można opisać za pomocą funkcji czasu i wobec kórch zakłada się niezmienność kierunku rendu. f Wbór posaci analicznej modelu dokonuje się na podsawie: przesłanek eorecznch doczącch mechanizmu rozwojowego prognozowanego zjawiska ocen wzrokowej wkresu przeszłch warości zmiennej dopasowania modelu do warości rzeczwisch zmiennej prognozowanej.
Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej () Do ocen dopasowania modelu liniowego kórego paramer oszacowano MNK do warości empircznch można się posłużć: a) współcznnikiem deerminacji: b) sandardowm błędem szacunku modelu (odchleniem sandardowm resz): gdzie: k oznacza liczbę zmiennch objaśniającch w modelu [ ] 0 ) ( ) ˆ ( ) ˆ ( R ns R n n Y n ϕ n e k n S ) ˆ (
Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej (3) Model rendu liniowego (lub zlinearzowanego) przedsawia się w nasępując sposób: Y a0 + a Paramer srukuralne modelu można oszacować meodą najmniejszch kwadraów : cov( Y ) a S n ( ) ( n ( ) Prognozę na okres >n wznacza się z wzoru: ) a 0 a Y a0 + a
Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej (4) ~ Do ocen dopuszczalności zbudowanch prognoz użwa się błędów ex ane: a) dla modelu liniowego: V S e ( n ) ) + + n b) dla modeli nieliniowch sprowadzalnch do liniowch poprzez ransformację g: V ~ V d ~ d ( zmienna określona ransformacją liniową g() o błąd ex ane prognoz zmiennej ~ na okres a pochodna jes liczona w punkcie ~ V ~
Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej (5) k k X X X... Model rendu wielomianowego: Przekszałcenie do posaci liniowej: podsawienie: Prognoza: k k 0 a... a a a + + + + k k X a X a X a a Y 0... + + + + ) ( ) ( 4 + X X X X S e V k X k n n n k X M L M O M M M L L
Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej (6) Model rendu wkładniczego: Przekszałcenie do posaci liniowej: e a a 0 ξ ~ 0 ~ Y e Y b b Y + 0 0 a ln b lna b ln ~ + + ) ( ) ( ~ ln ln ln ~ 3 n S Y V n X n e n M M M
Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej (7) Model rendu poęgowego: Przekszałcenie do posaci liniowej: e a a 0 ξ ~ 0 ~ ~ Y e Y b b Y + 0 0 a b lna ln b ~ ln ~ ] ~ ) ~ ~ ( ) ~ [( ~ ln ln ln ln ~ ln ln3 ln ln ~ 3 + e n X X X X S Y V n X M M M
Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej (8) Model rendu logarmicznego: Przekszałcenie do posaci liniowej: a a Y ln 0 + a a Y ~ 0 + ln ~ ] ~ ) ~ ~ ( ) ~ [( ln ln 3 ln ln ~ 3 + e n X X X X S V n X M M M
Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej (9) Model rendu hiperbolicznego: Przekszałcenie do posaci liniowej: ~ a a 0 + ~ a a 0 + ] ~ ) ~ ~ ( ) ~ [( 3 ~ 3 + e n X X X X S V n X M M M
Przkład obliczeniow () Wielkość sprzedaż rowerów sacjonarnch firm Weler u przedsawiciela na Górn Śląsk w osanich kwarałach przedsawiała się nasępująco [w sz.]: 05 09 5 8 0 3 4 5 Przjmując że cznniki kszałujące sprzedaż nie ulegną zmianie: a) posawić prognozę sprzedaż na kolejn kwarał (3) 6 8 8 30 5 0 5 0 05 00 3 4 5 6 7 8 9 0
Przkład obliczeniow (rend liniow) () 35 30 93x + 0767 R 08969 5 0 5 0 05 00 3 4 5 6 7 8 9 0
Przkład obliczeniow (rend logarmiczn) (3) 30 5 0 5 0 9646Ln(x) + 04 R 09907 05 00 3 4 5 6 7 8 9 0
Przkład obliczeniow (4) ln Y 964648 ln + 04075 05 00000 04 09 0693 3 5 0986 5 4 8 3863 7 5 0 6094 0 6 798 7 3 9459 3 8 4 0794 4 9 5 97 5 0 6 306 6 8 3979 7 8 4849 8 3 5649 9 W kolejnm kwarale prognozowana sprzedaż wnosi 9 szuk rowerów.
Przkład obliczeniow (błąd ex ane) (5) b) przjmując że błąd prognoz nie może sanowić więcej niż % jej warości zbadaj dopuszczalność prognoz ln Y 964648 ln + 04075 ( -Y ) 05 00000 04 07965 09 0693 3063 3 5 0986 5 00900 4 8 3863 7 0770 5 0 6094 0 0405 6 798 0467 7 3 9459 3 007 8 4 0794 4 0046 9 5 97 5 00855 0 6 306 6 00950 8 3979 7 0597 8 4849 8 00044 3 5649 9 54808
Przkład obliczeniow (błąd ex ane) (6) S e n ( n k Y ) 54808 0548 00000 0693 0986 3863 X ~ 5649 X ~ 6094 798 9459 0794 97 306 3979 4849
Przkład obliczeniow (błąd ex ane) (7) V S e ~ [( X ) ~ ( X ~ X ) ~ X + ] 0548 (00+ ) 0850 V η 00% 0633% Prognozę na kolejn kwarał (3) można uznać za dopuszczalną.
Przkład obliczeniow (8) c) posaw prognoz na nasępne dwa kwarał (4 i 5) oraz oceń ich dopuszczalność ln Y 964648 ln + 04075 05 00000 04 09 0693 3 5 0986 5 4 8 3863 7 5 0 6094 0 6 798 7 3 9459 3 8 4 0794 4 9 5 97 5 0 6 306 6 8 3979 7 8 4849 8 3 5649 9 4 639 30 5 708 30
Przkład obliczeniow (9) X ~ 4 X ~ 639 5 708 ~ ~ ~ ~ V4 Se [( X ) ( X X ) X + ] 0548 (034+ ) ~ ~ ~ ~ V5 Se [( X ) ( X X ) X + ] 0548 (0563+ ) 084 0898 η 0635% η 5 0637% 4 Obie prognoz (na kwarał 4 oraz 5) można uznać za dopuszczalne.
Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej (0) Jeżeli zaobserwuje się odchodzenie warości zmiennej prognozowanej od dochczasowej endencji rozwojowej (spowodowane zmianą jakościową) o można wkorzsać prognozę w formie reguł podsawowej z poprawką: ( w) Y Y + p 50 45 40 35 30 5 0 5 0 5 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4
50 45 40 35 30 333x + 87536 R 08964 5 0 5 0 5 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 50 45 40 35 30 5 0 5 0 5 0 08x + 6 R 08 09579x + 64 R 0987 0 5 0 5 0 5 30
09598+64 - z poprawką 3 4 5 6 7 8 9 3 5 6 7 7 8 9 608 3566 454 548 644 74008 83606 9304 080 608 3566 454 548 644 74008 83606 9304 080 50 45 40 35 30 5 0 5 0 5 09579x + 64 R 0987 08x + 6 R 08 0 3 4 998 4 998 0 0 5 0 5 0 5 30 4 3596 3596 3 4 5 6 7 8 4 5 5 7 7 8 494 5079 6039 69988 79586 8984 494 5079 6039 69988 79586 8984 50 45 40 35 30 5 9 30 9878 9878 0 0 3 4 3 43 43 45 45 30838 37978 37576 33774 34677 0 044 86 038 30838 45603 4350 444799 454397 5 0 5 0 0 5 0 5 0 5 30 5 średnia: 0765 463995
Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej () Prognozę przedziałową dla z gór zadanej wiargodności p (dla z gór zadanego prawdopodobieńswa że warość rzeczwisa zmiennej prognozowanej w okresie >n znajdzie się w danm przedziale) konsruuje się w nasępując sposób: P u współcznnik związan z wiargodnością prognoz p rozkładem resz modelu oraz długością szeregu czasowego. Jeśli rozkład resz modelu nie jes zgodn z rozkładem normalnm lub hipoeza o normalności nie bła werfikowana o u zależ włącznie od wiargodności prognoz a obliczając u korzsa się z nierówności Czebszewa: Jeśli rozkład resz modelu jes zgodn z rozkładem normalnm o u odczuje się z ablic rozkładu normalnego dla dużej prób dla prawdopodobieńswa + p lub z ablic rozkładu -Sudena dla małej prób (n<30) dla prawdopodobieńswa (-p) oraz n-k- sopni swobod. { Y u V Y + u V } p u p
Przkład obliczeniow () Wielkość sprzedaż rowerów sacjonarnch firm Weler u przedsawiciela na Górn Śląsk w osanich kwarałach przedsawiała się nasępująco [w sz.]: 05 09 5 8 0 3 4 5 6 8 8 Przjmując że cznniki kszałujące sprzedaż nie ulegną zmianie posawić prognozę przedziałową na kolejn kwarał na poziomie wiargodności 095. a) rozkład resz modelu nie jes badan lub nie jes zgodn z rozkładem normalnm u 0 95 4 47 b) jeśli rozkład resz jes zgodn z rozkładem normalnm o u 3
Przkład obliczeniow () a) rozkład resz modelu nie jes badan lub nie jes zgodn z rozkładem normalnm wed 3 [9 447 0850;9 + 447 0850] [5;33] b) jeśli rozkład resz jes zgodn z rozkładem normalnm o 3 3 [9 3 0850;9 + 3 0850] 3 [7;3] z prawdopodobieńswem p0.95.
Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej () Model liniow Hola gdzie dla 3 n. Paramer wgładzania α i β dobiera się ekspermenalnie na podsawie wbranego krerium kóre powinn spełniać prognoz wgasłe. Ponado α i β należą do przedziału [0;]. Model wmaga warości począkowch F oraz S. Można przjąć: n n S n ) ( F + ) S F ( ) ( F + + α α S ) ( ) F ( F S β + β liniowego z modelu lub lub 0 0 a S a F S F S F
Przkład obliczeniow () Wielkość sprzedaż pralek auomacznch firm Kolar u jednego z przedsawicieli w osanich miesiącach przedsawiała się nasępująco [w sz.]: 37 4 40 45 48 53 58 67 79 85 88 Przjmując że cznniki kszałujące sprzedaż nie ulegną zmianie: 90 a) posaw prognozę na nasępn miesiąc 00 90 80 70 60 50 40 30 0 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0
Przkład obliczeniow () Począkowe rozwiązanie dla α05 oraz β05 F S F - +S - ( - ) 37 37 0 - - 4 39 37 6 3 40 40 40 0 4 45 43 4 6 5 48 465 75 45 9 6 53 55 36875 49 4065 7 58 564065 4484375 55 0606 8 67 639453 6079 6 373446 9 79 744785 8746 70 87758 0 85 8387549 883477 83 505806 88 90355 765766 93 8603 90 940063 5654099 98 649644 3 00 506936
Przkład obliczeniow (3) α09859876355985 oraz β070640655568 F S F - +S - ( - ) 37 37 0 - - 4 40964 758843 37 6 3 40 400678 07095 44 358098 4 45 44934 346944 40 309 5 48 4800704 3054 48 0465 6 53 5967 4438306 5 39534 7 58 5798906 4848399 57 0353534 8 67 66934 779349 63 73676 9 79 78998 07459 75 89856 0 85 8508546 759 90 57054 88 8808477 4343963 93 7 90 9004469 66884 9 5898745 3 93 7738
Przkład obliczeniow (4) α oraz β07083393637758 F S F - +S - ( - ) 37 37 4 - - 4 4 4 4 0 3 40 40 0490933 45 5 4 45 45 3655457 40 03368 5 48 48 395448 49 04963 6 53 53 446907 5 356407 7 58 58 4839548 57 089544 8 67 67 7759409 63 730936 9 79 79 07355 75 7986 0 85 85 74066 90 4508 88 88 43569 9 946633 90 90 690487 9 53609 3 93 9866
Przkład obliczeniow (5) α0800350598983 oraz β0 F a 0 oraz S a na podsawie wszskich obserwacji F S F - +S - ( - ) 37 56 543007 - - 4 390958 543007 3 9897699 3 40 4083497 543007 45 5635 4 45 45766 543007 46 600336 5 48 484783 543007 5 7063547 6 53 536347 543007 54 08534 7 58 58068 543007 59 03595 8 67 6637676 543007 64 9935 9 79 7770548 543007 7 57468 0 85 8466446 543007 83 347666 88 8837694 543007 90 4387076 90 906853 543007 94 449335 3 96 96760
Przkład obliczeniow (6) α oraz β059647803853797 F a 0 oraz S a na podsawie 3 pierwszch obserwacji F S F - +S - ( - ) 37 3633333 5 - - 4 4 338780 38 00778 3 40 40 07703 44 958 4 45 45 395 4 787579 5 48 48 3836 48 0085569 6 53 53 440005 5 35443 7 58 58 4693074 57 057759 8 67 67 760639 63 85496 9 79 79 0086 74 4655 0 85 85 765039 89 669538 88 88 4877969 93 638 90 90 3674 93 88706 3 93 634
Przkład obliczeniow (7) α oraz β0955460905999 F oraz S na podsawie najmniejszego błędu prognoz wgasłch F S F - +S - ( - ) 37 435685 0 - - 4 4-0339554 4 07339 3 40 40-0967996 4 043689 4 45 45 47080 39 356697 5 48 48 308903 50 96839 6 53 53 49070 5 36756 7 58 58 4995498 58 000863 8 67 67 8805948 63 603603 9 79 79 845 76 0097 0 85 85 6835 9 34666 88 88 3590 9 077973 90 90 05668 9 34355 3 9 048355
Model rendu pełzającego z wagami harmonicznmi Procedura meod jes nasępująca: I. Usalenie sałej wgładzania k < n; II. III. IV. Oszacowanie na podsawie kolejnch fragmenów szeregu o długości k liniowch funkcji rendu Obliczenie warości eorecznch wnikającch z poszczególnch funkcji rendu; Obliczenie warości rendu pełzającego dla każdego okresu (średnia armeczna z warości eorecznch adekwanch funkcji rendu dla danego okresu); V. Obliczenie przrosów funkcji rendu: VI. Nadanie wag poszczególnm przrosom: VII. Określenie średniego przrosu rendu jako średniej ważonej wszskich n obliczonch przrosów n + VIII. Wznaczenie prognoz punkowej na okres : w w C w w w + C n + Y n i n i w n + ( n) w
Przkład obliczeniow () Na podsawie danch z poprzedniego przkładu (sprzedaż pralek firm Wolar ) posaw prognozę na nasępn miesiąc prz zasosowaniu modelu rendu pełzającego z wagami harmonicznmi. I. Niech k3 im wższa warość sałej k m większe wgładzenie szeregu i m słabsze reagowanie na zmian zachodzące w szeregu czasowm a a0 "-3" 5 3633333 "-4" 36 3 "3-5" 4 833333 4 "4-6" 4 866667 5 "5-7" 5 3 6 "6-8" 7 033333 7 "7-9" 05-6 8 "8-0" 9-4 9 "9-" 45 39 0 "0-" 5 606667
Przkład obliczeniow () Warości eoreczne 3 4 5 6 7 8 9 0 3783 3933 4000 3 4083 400 4033 4 4400 4433 4467 5 4833 4867 4800 6 567 5300 533 7 5800 5933 5750 8 6633 6800 6800 9 7850 7700 7950 0 8600 8400 857 8850 8767 907
Przkład obliczeniow (3) Warości wgładzone- rend pełzając średnie waroście eoreczne 3783 3967 3 406 4 4433 5 4833 6 567 7 588 8 6744 9 7833 0 8506 8808 907
Przkład obliczeniow (4) Przros funkcji rendu pełzającego przros 83 3 39 4 38 5 400 6 433 7 56 8 97 9 089 0 67 303 08
Przkład obliczeniow (5) Nadanie wag przrosom Wagi realizują posula posarzania informacji najnowsze przros mają największe znaczenia. Suma wag wnosi. wagi 000864463 3 00735537 4 00745638 5 00388008 6 00580703 7 0066958547 8 008540365 9 007867637 0 03870668 083653 074534304
Przkład obliczeniow (6) wagi przros iloczn 000864463 83 0055 3 00735537 39 00405 4 00745638 38 0089996 5 00388008 400 0558 6 00580703 433 04497 7 0066958547 56 03757 8 008540365 97 0780453 9 007867637 089 74559 0 03870668 67 09884 083653 303 0555976 074534304 08 057946 489649 Y 907 + (3 ) 4 89649 3 95
Modele szeregów czasowch z wahaniami okresowmi zmiennej prognozowanej () Meoda wskaźników gd wsępują wahania sezonowe wraz z endencją rozwojową lub sałm przecięnm poziomem prognozę wznacza się na podsawie warości funkcji rendu skorgowanej o wskaźnik sezonowości prz wahaniach bezwzględnie sałch (gd ampliud wahań w analogicznch okresach są sałe) może bć model addwn: ( w) i + prz wahaniach względnie sałch (wielkości ampliud zmieniają się mniej więcej w m samm sosunku) może bć model muliplikawn: (w) i ( w) gdzie o wielkość prognoz wznaczona z funkcji rendu lub sałego przecięnego poziomu c c i i
Modele szeregów czasowch z wahaniami okresowmi zmiennej prognozowanej ().Oblicza się nasępujące warości (eliminacja rendu):.oblicza się surowe wskaźniki sezonowości (eliminacja oddziałwania składnika losowego): k liczba jednoimiennch faz w szeregu; r liczba faz w cklu 3.Wznacza się czse wskaźniki sezonowości (informują o naężeniu wahań sezonowch): r q 4.Wznacza się warość prognoz: c i z i lub c i z ŷ lub z z i i k i z i + j r i k j 0 zi q gdzie q r i i z i ŷ i i ( w) + c i lub i ( w) c i
Przkład obliczeniow () Firma Czarn diamen prowadzi sprzedaż paliwa opałowego klienom indwidualnm. Dochod firm zależą prakcznie od wielkości sprzedaż miału opałowego. Dane doczące kwaralnej wielkości sprzedaż miału [] z osanich la przedsawiono w poniższej abeli. Należ wznaczć prognozę na kolejne kwarał. 450 550 400 30 560 660 480 360 590 700 50 40 660 770 590 480
Przkład obliczeniow () 900 800 700 600 500 400 300 00 00 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 Analiza ampliud wahań dopuszcza sosowanie modelu addwnego jak i muliplikawnego.
Przkład obliczeniow (3) Model addwn 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 450 550 400 30 560 660 480 360 590 700 50 40 660 770 590 ^ 450 46 47 48 493 504 54 55 536 547 558 568 579 590 60 -^ 0 89-7 -7 67 56-34 -65 54 53-38 -58 8 80-7 8 9 3 0 4 i z i c i 5054 5054 4476 4476 3-385 -385 4-5679 -5679 0 6 5 63303+ 44 76 643 8+ ( 654 59 + 50 54 38 5) 67 79 777 79 + ( 56 79 ) 605 30 497 80 6 480 6-3
3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 450 550 400 30 560 660 480 360 590 700 50 40 660 770 590 480 Przkład obliczeniow (4) Model muliplikawn ^ /^ i z i c i 450 46 47 48 493 504 54 55 536 547 558 568 579 590 60 6 00049 940 0848647 064997 364 30365 093305 0685407 0076 8089 0936 07383 39636 3058 0980 0784993 7 8 9 3 0 4 09 09 7 7 3 09 09 4 07 07 09999 6 5 09 63303 7 643 8 0 9 654 59 0 7 680 97 805 6 595 0 463 95
Modele szeregów czasowch z wahaniami okresowmi zmiennej prognozowanej (3) Meoda rendów jednoimiennch okresów gd wsępują wahania sezonowe wraz z endencją rozwojową lub sałm przecięnm poziomem polega na szacowaniu paramerów analicznej funkcji rendu oddzielnie dla poszczególnch faz cklu prognozę sawia się przez eksrapolację odpowiedniej funkcji rendu
Przkład obliczeniow Należ wznaczć prognozę sprzedaż miału przez firmę Czarn diamen na kolejne kwarał meodą rendów jednoimiennch okresów. I II III IV 450 550 400 30 560 660 480 360 590 700 50 40 660 770 590 480 449 5 + 6 5 7 8 9 3 0 4 449 5 + 6 5 7 530 + 7 5 8 50 + 4 0 845 530 730 360 5 + 5 5 9 650 3 4 530 + 7 5 360 5 50 + 4 + 5 5
Modele szeregów czasowch z wahaniami okresowmi zmiennej prognozowanej (4) Model Winersa gd wsępują wahania sezonowe wraz z endencją rozwojową lub sałm przecięnm poziomem jes modelem z rzema równaniami może bć muliplikawn wed prognoza wnosi: [ F n + S n ( n )] C r może bć addwn wed prognoza wnosi: F n + S n ( n ) + C r
Modele szeregów czasowch z wahaniami okresowmi zmiennej prognozowanej (5) Model Winersa muliplikawn ] ; [ )C ( F C )S ( ) F F ( S ) S F )( ( C F r r 0 + + + + γ β α γ γ β β α α
Modele szeregów czasowch z wahaniami okresowmi zmiennej prognozowanej (6) Model Winersa addwn ] ; [ )C ( ) F ( C )S ( ) F F ( S ) S F )( ( ) C ( F r r 0 + + + + γ β α γ γ β β α α
Modele szeregów czasowch z wahaniami okresowmi zmiennej prognozowanej (7) Propozcje warości począkowch F S C (w pierwszm cklu) I II Warość zmiennej z pierwszej faz drugiego cklu Średnia warość zmiennej prognozowanej z pierwszego cklu Różnica średnich warości z drugiego i pierwszego cklu 0 Dowolne kombinacje Iloraz warości rzeczwisch do warości średniej (w pierwszm cklu)
Przkład obliczeniow () Firma Save Lock prowadzi sprzedaż wkładek bębenkowch wsokiej klas bezpieczeńswa. Dane doczące miesięcznej wielkości sprzedaż [j.p.] z osanich la przedsawiono w poniższej abeli. Należ wznaczć prognozę na kolejne kwarał. 480 60 490 430 70 840 690 600 860 940 730 590 80 890 680 540
Przkład obliczeniow () 000 900 800 700 600 500 400 300 00 00 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6
Przkład obliczeniow (3) szereg cechuje sezonowość osanie obserwacje wskazują na zmianę endencji najlepiej wkorzsać model adapacjn można wkorzsać model Winersa Zosanie wkorzsan muliplikawn model Winersa
Przkład obliczeniow (4) Rozwiązanie począkowe dla αβγ05 F S C ( -^ ) 480 0955 60 4 3 490 0975 4 430 0856 5 70 70 30 097769 6 840 859836 68 684 4 9065794 7 690 8457887 99 08954655 959 769393 8 600 895 38 07944 808 434599 9 860 870385 43 098878 84 33607975 0 940 875558 4 09766 04 7076506 730 8573503 3 0873463 805 5693488 590 804005-6 07638538 68 8408008 3 80 800407-4 09975367 763 06908 4 890 7984804-8 0639 863 733363 5 680 784536-0870 69 06448 6 540 740675-8 07466599 59 590659 7 7 59983 8 758 9 57 0 470
Przkład obliczeniow (5) 000 900 800 700 600 500 400 300 00 00 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0
Przkład obliczeniow (6) α08; β053; γ00 F S C ( -^ ) 480 0955 60 4 3 490 0975 4 430 0856 5 70 70 30 6 840 736405 406806 4 9065794 7 690 7347055 57 093958 838 76369 8 600 773676 8 083639 677 599408 9 860 837688 7 067 735 5607336 0 940 8393696 35 9888 037 9490407 730 7946583-7 0986338 8 883078 590 7056-43 08939 659 475909 3 80 7689355 6 0534043 695 37563 4 890 79069 4 5006 867 507776 5 680 75958-4 09043566 740 3590787 6 540 67349-48 080094 605 47943 7 658 67363 8 649 9 478 0 386
Przkład obliczeniow (7) 000 900 800 700 600 500 400 300 00 00 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0
Modele szeregów czasowch z wahaniami okresowmi zmiennej prognozowanej (8) Analiza harmoniczna gd wsępują wahania sezonowe wraz z endencją rozwojową lub sałm przecięnm poziomem model buduje się w posaci sum zw. harmonik funkcji sinusoidalnch lub cosinusoidalnch o danm okresie pierwsza harmonika ma okres równ n druga n/ rzecia n/3 id.. liczba wszskich harmonik wnosi n/ prognozę sawia się na podsawie modelu: ( w ) + n / i α i sin π i n + βi cos π i n
Modele szeregów czasowch z wahaniami okresowmi zmiennej prognozowanej (9). Jeśli wsępuje rend o oblicza się nasępujące warości (eliminacja rendu):. Szacuje się paramer α 0 α i β i modelu: korzsając z zależności: ŷ ' n... i i n cos ' n b n... i i n sin ' n a ' n a n i n i n dla dla 0 π π + + 0 n / i i i i n cos i n sin ' π β π α α
Modele szeregów czasowch z wahaniami okresowmi zmiennej prognozowanej (0) 3. Z modelu można weliminować harmoniki kórch udział w wjaśnianiu wariancji rozparwanej zmiennej jes najmniejsz. Udział w wariancji zmiennej prognozowanej dla wszskich oprócz osaniej harmoniki wnosi: naomias dla osaniej: gdzie: i ω i ω i c i s c i s jes szacunkiem wariancji zmiennej prognozowanej i s c a + b i
Przkład obliczeniow () Firma Save Lock prowadzi sprzedaż wkładek bębenkowch wsokiej klas bezpieczeńswa. Dane doczące miesięcznej wielkości sprzedaż [j.p.] z osanich la przedsawiono w poniższej abeli. Należ wznaczć prognozę na kolejne kwarał za pomocą analiz harmonicznej. 480 60 490 430 70 840 690 600 860 940 730 590 80 890 680 540
Przkład obliczeniow () 000 900 800 700 600 500 400 300 00 00 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 Wsępuje rend wielomianow
Przkład obliczeniow (3) eliminacja rendu ^ '( -^) 450 43989 70708 550 4 4504485 995547 400 3 9 4670053-670055 30 4 6 48599-7599 560 5 5 4973 676996 660 6 36 50898 4909 480 7 49 536033-436039 360 8 64 5353456-753456 590 9 8 5465 43875 700 0 00 555945 440585 50 564795-447957 40 44 576859-66859 660 3 69 579638 80386 770 4 96 5855788 844 590 5 5 5905809-058088 480 6 56 59460-460
Przkład obliczeniow (4) Szacowanie warości paramerów α 0 α β '(-^) x(p/6) sinx cosx sin x cos x 70707843 039699 0383 09 65389 5776 995547059 0785398 0707 07 703935 703935 3-670055 78097 094 038-690478 -5648 4-75990896 5707963 0-7599 -06E-4 5 676995798 9634954 094-038 579988-400 6 4908908 356945 0707-07 0543-0543 7-4360393 7488936 0383-09 -66866 40849 8-75345588 34597 E-6 - -5E-4 753456 9 43875 353497-0383 -09-67904 -40535 0 440584734 3969908-0707 -07-08647 -08647-447956807 4396899-094 -038 438534 7437-6685944 47389 - -0 66859 99E-4 3 803860448 505088-094 038-74677 307647 4 84485 5497787-0707 07-304055 304055 5-058088353 5890486-0383 09 094-0536665 6-460098 683853 -E-6 8E-4-460 Σ 7374E-3 Σ -9875 6745477 α 0 409E-4 α -63438 843846 β
Przkład obliczeniow (5) Szacowanie warości paramerów α β x sinx cosx sin x cos x 0785 07 070707 0708 0708 57 63E-7 995547 6E-5 356 07-070707 -4737987 4737987 34 0 - -E-4 7599 397-07 -070707-4438506 -4438506 47 - -84E-6-4909 -74E-4 5498-07 070707 30838-30838 683-0 43E-4-753456 7069 07 070707 3043 3043 7854 306E-6 440585 44E-4 8639 07-070707 -367497 367497 945 0 - -598E-4 66859 0-07 -070707-568463 -568463 - -49E-6-844 -79E-4 78-07 070707 040746-040746 57-0 56E-4-460 Σ -958564 3499993 α -44805 437499 β
Przkład obliczeniow (6) Szacowanie warości paramerów α 3 β 3 3x sinx cosx sin x cos x 78 09 038683 5776 65389 356 07-070707 703935-703935 3534-038 -09388 5648 690478 47 - -84E-6 7599 37E-4 589-038 09388-400 579988 7069 07 070707 0543 0543 847 09-038683 -40849 66866 945 0 - -644E-4 753456 06-09 -038683-40535 -67904 78-07 070707-08647 08647 96 038 09388-7437 -438534 44 55E-6-66859 -897E-4 53 038-09388 307647-74677 649-07 -070707-304055 -304055 767-09 038683 0536665-094 885-0 843E-4-460 Σ -95808 776786 α 3-97535 970907 β 3
Przkład obliczeniow (7) Szacowanie warości paramerów α 4 β 4 4x sinx cosx sin x cos x 57 63E-7 70708 05E-5 34 0 - E-4-995547 47 - -84E-6 670055 3E-4 683-0 43E-4-7599 7854 306E-6 676996 9E-4 945 0-548E-4-4909 - -49E-6 436039 87E-4 57-0 859E-4-753456 44 55E-6 43875 4E-4 57 0-88E-4-440585 78 - -45E-5 447957 E-3 885-0 E-3-66859 04-98E-6 80386-788E-4 99 0-58E-3-844 356 - -7E-5 058088 57E-5 53-0 E-3-460 Σ 3600868-0384 α 4 450085-5098 β 4
Przkład obliczeniow (8) Szacowanie warości paramerów α 5 β 5 5x sinx cosx sin x cos x 963 09-038683 5776-65389 397-07 -070707-703935 -703935 589-038 09388 5648-690478 7854 306E-6-7599 -59E-4 987-038 -09388-400 -579988 78-07 070707-0543 0543 374 09 038683-40849 -66866 57 0 - -07E-3 753456 767-09 038683-40535 67904 963 07 070707 08647 08647 6 038-09388 -7437 438534 356 - -7E-5 66859 438E-3 553 038 09388 307647 74677 749 07-070707 304055-304055 945-09 -038683 0536665 094 34-0 4E-3-460 Σ -737666 567746 α 5-03408 709643 β 5
Przkład obliczeniow (9) Szacowanie warości paramerów α 6 β 6 6x sinx cosx sin x cos x 356 07-070707 0708-0708 47 - -84E-6-995547 -83E-4 7069 07 070707-4737987 -4737987 945 0 - -634E-4 7599 78-07 070707-4438506 4438506 44 55E-6 4909 8E-4 649-07 -070707 30838 30838 885-0 9E-3-753456 07-070707 3043-3043 356 - -7E-5-440585 -388E-3 59 07 070707-367497 -367497 87 0 - -79E-3 66859 3063-07 070707-568463 568463 399-49E-6 844-904E-4 3534-07 -070707 040746 040746 377-0 69E-3-460 Σ -603005 5563873 α 6-003756 695484 β 6
Przkład obliczeniow (0) Szacowanie warości paramerów α 7 β 7 7x sinx cosx sin x cos x 749 038-09388 65389-5776 5498-07 070707-703935 703935 847 09-038683 -690478 5648 - -49E-6 7599 74E-4 374 09 038683 579988 400 649-07 -070707-0543 -0543 94 038 09388-66866 -40849 99 0 - -5E-3 753456 474-038 09388-67904 40535 749 07-070707 08647-08647 304-09 038683 438534-7437 399-49E-6-66859 797E-4 3574-09 -038683-74677 -307647 3848 07 070707 304055 304055 43-038 -09388 094 0536665 4398-0 97E-3-460 Σ 84793 40088 α 7 0355349 5536 β 7
Przkład obliczeniow () Szacowanie warości paramerów α 8 β 8 8x sinx cosx sin x cos x 34 0-09E-5-70708 683-0 -44E-4 995547 945 0 - -46E-4 670055 57-0 846E-4-7599 57 0-385E-4-676996 885-0 -E-3 4909 99 0 - -374E-4 436039 53-0 7E-3-753456 87 0-484E-4-43875 34-0 -76E-3 440585 3456 0 - -E-3 447957 377-0 39E-3-66859 4084-0 - -58E-3-80386 4398-0 -36E-3 844 47 0 - -33E-5 058088 507-0 5E-3-460 Σ -6E-3-96359 α 8-35E-4-094 β 8
Przkład obliczeniow () Udział harmonik w wariancji Nr harmoniki a i b i c i c i ω i [%] -63438 843846 89347 33465 8% -44805 437499 486989 685 36% 3-97535 970907 54674 376758 09% 4 450085-5098 56893 46546 9386% 5-03408 709643 704679 5047646 09% 6-003756 695484 737738 538485 00% 7 0355349 5536 537664 639559 00% 8-35E-4-094 094 447067 0% 447067 0000% Σ 6496 s 348 Ponieważ harmonika 4 wjaśnia prawie 94% zmienności zmiennej prognozowanej o do prognozowania wkorzsan będzie model lko z ą harmoniką
Przkład obliczeniow (3) Model prognosczn Posać analiczna funkcji rendu ( w ) f ( ) 44 45 + 8 96 0 48 Posać modelu π ŷ 44 45 + 8 96 0 48 + 45 0 sin 50 30 cos π
0 30 50 0 0 45 0 48 0 0 96 8 45 44 9 30 50 9 0 45 9 48 0 9 96 8 45 44 8 30 50 8 0 45 8 48 0 8 96 8 45 44 7 30 50 7 0 45 7 48 0 7 96 8 45 44 0 9 8 7 π π π π π π π π cos sin cos sin cos sin cos sin + + + + + + + + Przkład obliczeniow (4) Prognoza 45 556 750 643 0 9 8 7
Prognozowanie na podsawie modelu ekonomercznego WIELORÓWNANIOWEGO. Model pros: każde równanie można porakować jako oddzieln model prognozowanie jak w przpadku modelu jednorównaniowego.. Model rekurencjn: wsępują jednokierunkowe powiązania międz nie opóźnionmi zmiennmi endogenicznmi. Sosuje się prognozowanie łańcuchowe kóre polega na określeniu warości prognoz pierwszej zmiennej endogenicznej i obliczeniu prz jej wkorzsaniu prognoz nasępnch zmiennch w kolejności zgodnej z uporządkowaniem przcznowm. Błęd ex ane wznacza się dla każdego równania oddzielnie analogicznie jak w modelu jednorównaniowm.
Przkład obliczeniow () Przedsiębiorswo Urban produkujące sprzę wędkarski zleciło wznaczenie wielkości produkcji i zarudnienia na nasępn okres. Prognoz e będą służł wspomaganiu deczji doczącej przjmowanej sraegii markeingowej w najbliższm czasie. Przjęo że prognoz będą użeczne jeśli nie będą obarczone błędem większm niż 5%. Rozwiązanie. Wielkość produkcji (Y ) oraz zarudnienia (Y ) opisano modelem: Y Y α 0 + αx β + β Y gdzie X oznacza wielkość sprzedaż z poprzedniego roku 0 + ξ + ξ
Przkład obliczeniow () x - 34 5 34 300 79 55 3 334 94 66 4 389 8 84 5 405 5 89 6 45 9 9 7 430 35 97 8 50 74 36 9 574 97 343 0 348
Przkład obliczeniow (3) REGLINP dla pierwszego równania: 3667 000596 099998 3454065 87857 505738053 5304367 0504339769 7 780509 Y 738053 3 667 X 505 + + ξ
Przkład obliczeniow (4) Y Obliczanie warość eorecznch Y kóre będą wkorzsane do szacowania drugiego równania: 3 4 5 6 7 8 9 0 34 300 334 389 405 45 430 50 574 5 79 94 8 5 9 35 74 97 x - 34 55 66 84 89 9 97 36 343 348 340 99468 333708 389736 40599 44637 430 50468 573383 505738053 + 3 667 X
Przkład obliczeniow (5) REGLINP dla drugiego równania: 049987 0000839 0999973 64086 64379-379585 7868 04880 7 043339 Y 379585000 + 049987 Y + ξ
Przkład obliczeniow (6) Macierze wariancji i kowariancji: Y 505738053 + 3667 X D ( a) 344093-0008060 + - 0008060 000008 ξ Y D 379585000 ( a) + 38808 0000986 049987 Y + ξ 0000986 000000
Przkład obliczeniow (7) Warości prognoz i błęd ex ane: Y Y 0 0 505 738053 + 3667 348 588946 379585000 + 049987 588946 304 V 0 0674 η 0 0039093% V 0 0306440 η 0 0009% Prognozowana wielkość produkcji wnosi 588946 jes obarczona błędem względnm 0039093% naomias prognozowane zarudnienie wnosi 304 jes obarczone błędem względnm 0009%. W obu przpadkach prognoz są dopuszczalne.
Prognozowanie przez analogie () Analogie hisorczne Polegają na przenoszeniu prawidłowości hisorcznch wkrch w jednch zmiennch (wiodącch wprzedzającch służące do budow prognoz) na inne zmienne (opóźnione naśladujące prognozowane) doczące ego samego obieku prognoscznego Doczą prognoz średnio- i długookresowch. Prognosa przjmuje posawę akwną Analogie przesrzenno-czasowe Polegają na przenoszeniu prawidłowości hisorcznch wkrch w jednch obiekach na inne obiek Doczą prognoz średnio- i długookresowch. Prognosa przjmuje posawę akwną
Analogie hisorczne Przkład Przedsiębiorswo Podwiązka sp. z o.o. produkuje dwa rodzaje pończoch: wzorzse i ażurowe. Wzorzse są sprzedawane od kilku la a ażurowe od kilku miesięc. Wielkość sprzedaż obu rodzajów pończoch podano w kolejnej abeli. Należ wznaczć przewidwaną wielkość sprzedaż pończoch ażurowch na najbliższe miesiące wiedząc że wmagania menedżerów zosaną spełnione gd względn błąd ex ane nie przekrocz 5%.
Sprzedaż w siącach szuk Wzorzse Ażurowe 30 8 7 5 3 88 95 8 94 0 4 5 6 09 3 4 5 0 7 8 4 5 48 49 5 9 0 6 83 48 49 0 0 5 0 5 0 5 30 3 85 84 87 66 4 35 006359 003485 6375845 050368 4 0 45 09874 0339767 5 6 7 8 7 75 5 3 067 7938 9 93387 8 9 6 6 09 09 006 x 3 + 6376 0 5 4 4 07 08 wlk sprzedaż pończoch ażurowch w okresie [s. sz.] 3 4 4 43 X -3 wlk sprzedaż pończoch wzorzsch w okresie nr -3 [s. sz.]
Prognozowana wielkość sprzedaż pończoch ażurowch na kolejne 3 okres: 5 006 x + 6376 006 4 + 6376 6 006 x3 + 6376 006 4 + 6376 06 07 006 x4 6376 006 43 + 6376 7 + 08 Bezwględn Wględn błąd błąd ex ane ex ane 5 04598089 03% 6 04737739 93% 7 049569443 387%
Heursczne meod prognozowania Heurska (grec. heurisko znajduję odkrwam) umiejęność wkrwania nowch faków i związków międz fakami prowadząca do poznania nowch prawd. Heursczne meod prognozowania o meod wkorzsujące do budow prognoz opinie eksperów czli osób wbranch ze względu na ich wiedzę doświadczenie auore. Opinie eksperów są opare na ich inuicji i doświadczeniu MEODA DELFICKA Do prognozowania zjawisk nowch dla kórch ilość informacji hisorcznch jes niewielka. Polega na badaniu opinii niezależnch i kompeennch eksperów na określon prognosczn ema. Opinie e najczęściej doczą prawdopodobieńswa lub czasu zaisnienia przszłch zdarzeń kórą wznacza się przez zasosowananie reguł największego prawdopodobieńswa
SYMULACJA () similis (łac.) - podobieńswo podobn similo (łac.) - podobn simulare (łac.) - udawać upodabniać się mimeishai (grec.) - naśladować grać rolę imiaio (łac.) - naśladowanie
Wikipedia (hp://pl.wikipedia.org): SYMULACJA () Smulacja - ekspermen prowadzon na pewnego rodzaju modelu - maemacznm informacznm lub rzeczwism celem określenia znaczenia zmian warości paramerów lub warości zmiennch objaśniającch dla warości zmiennch prognozowanch. Smulacja kompuerowa o echnika polegająca na sprawdzaniu jak zachowuje się dan ssem w różnch okolicznościach a więc jaka jes warość zmiennej wjściowej prz założeniu różnch warości zmiennch wejściowch. Smulacje kompuerowe polegają na zbudowaniu odpowiedniego modelu maemacznego zapisanego w kompuerze (np. w arkuszu kalkulacjnm lub w dowolnm jęzku programowania) kór zawiera powiązania międz zmiennmi wejściowmi a ineresującą nas zmienną wjściową. echniki smulacjne są szczególnie przdane am gdzie analiczne wznaczenie rozwiązania błob bardzo pracochłonne a niekied nawe niemożliwe.
SYMULACJA DEERMINISYCZNA Smulacja z wkorzsaniem meod ieracjnej Gaussa-Seidela jako narzędzie do rozwiązwania (prognozowania) modeli ekonomercznch liniowch i nieliniowch Meoda ieracjna Gaussa-Seidela na przkładzie prognozowania na podsawie ekonomercznego modelu wielorównaniowego o równaniach współzależnch ) ( ) ( ) ( 3 3 3 3 3 x x x f x x f x x f 3
Meoda Gaussa-Seidela () Znane są posaci analiczne: f f f 3 warości paramerów srukuralnch oraz prognozowane warości zmiennch egzogenicznch. 0 Przjmuje się 3 30 jako warość począkową (może bć warością hisorczną lub wsmulowaną wcześniej) ) ( ) ( ) ( 3 3 3 3 0 3 x x x f x x f x x f 0
Meoda Gaussa-Seidela () ) ( ) ( ) ( 3 3 3 3 3 x x x f x x f x x f 3 0 ) ( ) ( ) ( 3 3 3 3 3 x x x f x x f x x f r r r r r r r (r+) 0
Meoda Gaussa-Seidela (3) Proces ieracjn jes konnuowan do momenu gd warości zmiennch endogenicznch ( 3 ) międz kolejnmi ieracjami nie różnią się w sposób znacząc. Najczęściej w celu swierdzenia cz proces można zakończć sosuje się krerium różnic względnch: r i r i r i ε lub krerium różnic bezwzględnch: Wsarczająco (arbiralnie) mała liczba np. 0000; 000000; r i r i ε PRZYKŁAD
Wznaczenie przbliżonej warości π () Y a a a a a X P P kw o a π a 4 P P o kw. Wbrać losowo punk ( x ) R x π π 4 [ 0;a] [ 0;a] 4. Cz wbran punk (x) należ do okręgu? Jeżeli AK o zwróć warość w przeciwnm wpadku 0 3. Punk powórzć n raz ( x a ) + ( a ) a P P o kw generaor 4. Warość p wnosi 4suma(ile raz AK w punkcie )/n
Obliczanie powierzchni figur Y a a. Wbrać losowo punk. Cz wbran punk (x) należ do figur? Jeżeli AK o zwróć warość w przeciwnm wpadku 0 3. Punk powórzć n raz 4. Pole figur wnosi a suma(ile raz AK w punkcie )/n