Układy liniowo niezależne

Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1 / 11

Definicja Niech V będzie przestrzenia liniowa. Wówczas układ wektorów v 1,..., v k V jest liniowo zależny jeśli istnieja liczby α 1,..., α k R, nie wszystkie równe 0, spełniajace: α 1 v 1 + + α k v k = 0. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 2 / 11

Definicja Niech V będzie przestrzenia liniowa. Wówczas układ wektorów v 1,..., v k V jest liniowo zależny jeśli istnieja liczby α 1,..., α k R, nie wszystkie równe 0, spełniajace: α 1 v 1 + + α k v k = 0. Układ wektorów jest liniowo niezależny jeśli nie jest liniowo zależny, czyli jeśli z równości α 1 v 1 + + α k v k = 0 wynika α 1 = α 2 = = α k = 0. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 2 / 11

Definicja Niech V będzie przestrzenia liniowa. Wówczas układ wektorów v 1,..., v k V jest liniowo zależny jeśli istnieja liczby α 1,..., α k R, nie wszystkie równe 0, spełniajace: α 1 v 1 + + α k v k = 0. Układ wektorów jest liniowo niezależny jeśli nie jest liniowo zależny, czyli jeśli z równości α 1 v 1 + + α k v k = 0 wynika α 1 = α 2 = = α k = 0. Przykłady 1. Układ wektorów (1, 0, 2), (2, 3, 1), (4, 3, 5) R 3 jest liniowo zależny, bo 2(1, 0, 2) + 1(2, 3, 1) + ( 1)(4, 3, 5) = (0, 0, 0). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 2 / 11

Definicja Niech V będzie przestrzenia liniowa. Wówczas układ wektorów v 1,..., v k V jest liniowo zależny jeśli istnieja liczby α 1,..., α k R, nie wszystkie równe 0, spełniajace: α 1 v 1 + + α k v k = 0. Układ wektorów jest liniowo niezależny jeśli nie jest liniowo zależny, czyli jeśli z równości α 1 v 1 + + α k v k = 0 wynika α 1 = α 2 = = α k = 0. Przykłady 1. Układ wektorów (1, 0, 2), (2, 3, 1), (4, 3, 5) R 3 jest liniowo zależny, bo 2(1, 0, 2) + 1(2, 3, 1) + ( 1)(4, 3, 5) = (0, 0, 0). 2. Układ (1, 2), (0, 3) R 2 jest liniowo niezależny. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 2 / 11

Definicja Niech V będzie przestrzenia liniowa. Wówczas układ wektorów v 1,..., v k V jest liniowo zależny jeśli istnieja liczby α 1,..., α k R, nie wszystkie równe 0, spełniajace: α 1 v 1 + + α k v k = 0. Układ wektorów jest liniowo niezależny jeśli nie jest liniowo zależny, czyli jeśli z równości α 1 v 1 + + α k v k = 0 wynika α 1 = α 2 = = α k = 0. Przykłady 1. Układ wektorów (1, 0, 2), (2, 3, 1), (4, 3, 5) R 3 jest liniowo zależny, bo 2(1, 0, 2) + 1(2, 3, 1) + ( 1)(4, 3, 5) = (0, 0, 0). 2. Układ (1, 2), (0, 3) R 2 jest liniowo niezależny. 3. W przestrzeni R n niech ε i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0), gdzie 1 występuje tylko na i-tym miejscu. Wektory ε 1, ε 2,..., ε n tworza układ liniowo niezależny. Nazywamy je wektorami jednostkowymi R n. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 2 / 11

Uwagi Przyjmujemy, że układ pusty jest liniowo niezależny. Twierdzenie Układ złożony z jednego wektora v V jest liniowo zależny tylko jeśli v = 0. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 3 / 11

Uwagi Przyjmujemy, że układ pusty jest liniowo niezależny. Twierdzenie Układ złożony z jednego wektora v V jest liniowo zależny tylko jeśli v = 0. Twierdzenie Podukład układu liniowo niezależnego jest też liniowo niezależny. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 3 / 11

Uwagi Przyjmujemy, że układ pusty jest liniowo niezależny. Twierdzenie Układ złożony z jednego wektora v V jest liniowo zależny tylko jeśli v = 0. Twierdzenie Podukład układu liniowo niezależnego jest też liniowo niezależny. Twierdzenie Jeśli układ ma co najmniej 2 wektory to jest liniowo zależny tylko wtedy jeśli jeden z wektorów układu jest kombinacja liniowa pozostałych. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 3 / 11

Uwagi Przyjmujemy, że układ pusty jest liniowo niezależny. Twierdzenie Układ złożony z jednego wektora v V jest liniowo zależny tylko jeśli v = 0. Twierdzenie Podukład układu liniowo niezależnego jest też liniowo niezależny. Twierdzenie Jeśli układ ma co najmniej 2 wektory to jest liniowo zależny tylko wtedy jeśli jeden z wektorów układu jest kombinacja liniowa pozostałych. Twierdzenie Układ niezerowych wektorów v 1, v 2,..., v k, z których żaden nie jest kombinacja liniowa poprzednich, jest liniowo niezależny. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 3 / 11

Twierdzenie Twierdzenie Steinitza Jeśli wektory w i lin(v 1,..., v m ) dla i = 1,..., k tworza układ liniowo niezależny w 1,..., w k to k m. (bez dowodu). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 4 / 11

Twierdzenie Twierdzenie Steinitza Jeśli wektory w i lin(v 1,..., v m ) dla i = 1,..., k tworza układ liniowo niezależny w 1,..., w k to k m. (bez dowodu). Przykład Mamy R n = lin(ε 1,..., ε n ) zatem z twierdzenia Steinitza wynika, że każdy układ liniowo niezależny wektorów w R n ma co najwyżej n wektorów. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 4 / 11

Bazy Definicja Układ v 1,..., v n nazywamy baza przestrzeni V jeśli spełnione sa dwa warunki (i) układ v 1,..., v n jest liniowo niezależny (ii) układ v 1,..., v n rozpina V, czyli V = lin(v 1,..., v n ). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 5 / 11

Bazy Definicja Układ v 1,..., v n nazywamy baza przestrzeni V jeśli spełnione sa dwa warunki (i) układ v 1,..., v n jest liniowo niezależny (ii) układ v 1,..., v n rozpina V, czyli V = lin(v 1,..., v n ). Przykłady 1. Układ ε 1,..., ε n złożony z wektorów jednostkowych stanowi bazę R n Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 5 / 11

Bazy Definicja Układ v 1,..., v n nazywamy baza przestrzeni V jeśli spełnione sa dwa warunki (i) układ v 1,..., v n jest liniowo niezależny (ii) układ v 1,..., v n rozpina V, czyli V = lin(v 1,..., v n ). Przykłady 1. Układ ε 1,..., ε n złożony z wektorów jednostkowych stanowi bazę R n 2. Przestrzeń rozwiazań układu jednorodnych równań liniowych ma bazę złożona z tylu elementów, ile parametrów (zmiennych wolnych) występuje w rozwiazaniu ogólnym. Kolejne wektory tej bazy można otrzymać przyjmujac kolejno wybierane parametry za równe 1 zaś pozostałe za 0. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 5 / 11

Przykład Rozważmy podprzestrzeń V R 5 opisana układem: { x1 + x 2 + 2x 4 + x 5 = 0 2x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 x 5 = 0 [ 1 1 0 2 1 0 Macierza tego układu jest 2 2 1 1 1 0 ]. Operacja w 2 [ 2w 1 sprowadzamy ja do ] postaci schodkowej zredukowanej 1 1 0 2 1 0 M =. Widzimy, że jako zmienne zależne 0 0 1 5 3 0 można przyjać x 1 i x 3 natomiast x 2, x 4, x 5 jako parametry. Rozwiazanie ogólne ma postać: x 1 = x 2 + 2x 4 x 5, x 3 = 5x 4 + 3x 5 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 6 / 11

Przykład Określimy bazę V złożona z wektorów v 1, v 2, v 3 w V następujaco: przyjmujac x 2 = 1, x 4 = x 5 = 0 mamy v 1 = ( 1, 1, 0, 0, 0). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 7 / 11

Przykład Określimy bazę V złożona z wektorów v 1, v 2, v 3 w V następujaco: przyjmujac x 2 = 1, x 4 = x 5 = 0 mamy v 1 = ( 1, 1, 0, 0, 0). Przyjmujac x 2 = 0, x 4 = 1, x 5 = 0 mamy v 2 = (2, 0, 5, 1, 0) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 7 / 11

Przykład Określimy bazę V złożona z wektorów v 1, v 2, v 3 w V następujaco: przyjmujac x 2 = 1, x 4 = x 5 = 0 mamy v 1 = ( 1, 1, 0, 0, 0). Przyjmujac x 2 = 0, x 4 = 1, x 5 = 0 mamy v 2 = (2, 0, 5, 1, 0) Przyjmujac x 2 = x 4 = 0, x 5 = 1 otrzymujemy v 3 = ( 1, 0, 3, 0, 1). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 7 / 11

Twierdzenie Jeśli przestrzeń V ma bazę złożona z n wektorów to każda baza V ma n wektorów Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 8 / 11

Twierdzenie Jeśli przestrzeń V ma bazę złożona z n wektorów to każda baza V ma n wektorów Definicja Mówimy, że przestrzeń jest n-wymiarowa jeśli ma bazę złożona z n wektorów. Liczbę n nazywamy wymiarem V, co zapisujemy dimv = n. Dla przestrzeni zerowej V = {0} przyjmujemy dimv = 0. Mówimy, że przestrzeń jest skończenie wymiarowa jeśli jest n-wymiarowa dla n = 0, 1, 2,.... W przeciwnym przypadku mówimy, że jest nieskończenie wymiarowa i piszemy dimv = Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 8 / 11

Twierdzenie Jeśli przestrzeń V ma bazę złożona z n wektorów to każda baza V ma n wektorów Definicja Mówimy, że przestrzeń jest n-wymiarowa jeśli ma bazę złożona z n wektorów. Liczbę n nazywamy wymiarem V, co zapisujemy dimv = n. Dla przestrzeni zerowej V = {0} przyjmujemy dimv = 0. Mówimy, że przestrzeń jest skończenie wymiarowa jeśli jest n-wymiarowa dla n = 0, 1, 2,.... W przeciwnym przypadku mówimy, że jest nieskończenie wymiarowa i piszemy dimv = Przykłady 1. dimr n = n Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 8 / 11

Twierdzenie Jeśli przestrzeń V ma bazę złożona z n wektorów to każda baza V ma n wektorów Definicja Mówimy, że przestrzeń jest n-wymiarowa jeśli ma bazę złożona z n wektorów. Liczbę n nazywamy wymiarem V, co zapisujemy dimv = n. Dla przestrzeni zerowej V = {0} przyjmujemy dimv = 0. Mówimy, że przestrzeń jest skończenie wymiarowa jeśli jest n-wymiarowa dla n = 0, 1, 2,.... W przeciwnym przypadku mówimy, że jest nieskończenie wymiarowa i piszemy dimv = Przykłady 1. dimr n = n 2. Jeśli V U R n jest przestrzenia rozwiazań układu jednorodnych równań liniowych U to wymiar V U równa się liczbie parametrów rozwiazania ogólnego U. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 8 / 11

Twierdzenie Jeśli przestrzeń V ma bazę złożona z n wektorów to każda baza V ma n wektorów Definicja Mówimy, że przestrzeń jest n-wymiarowa jeśli ma bazę złożona z n wektorów. Liczbę n nazywamy wymiarem V, co zapisujemy dimv = n. Dla przestrzeni zerowej V = {0} przyjmujemy dimv = 0. Mówimy, że przestrzeń jest skończenie wymiarowa jeśli jest n-wymiarowa dla n = 0, 1, 2,.... W przeciwnym przypadku mówimy, że jest nieskończenie wymiarowa i piszemy dimv = Przykłady 1. dimr n = n 2. Jeśli V U R n jest przestrzenia rozwiazań układu jednorodnych równań liniowych U to wymiar V U równa się liczbie parametrów rozwiazania ogólnego U. 2. dimr = bo R zawiera dowolnie duże układy liniowo niezależne. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 8 / 11

Własności baz i wymiaru Twierdzenie Niech v 1,..., v n będa wektorami przestrzeni liniowej V. Następujace warunki sa równoważne: (i) układ v 1,..., v n jest baza przestrzeni V (ii) v 1,..., v n jest maksymalnym układem liniowo niezależnym w V (iii) v 1,..., v n jest minimalnym układem rozpinajacym V Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 9 / 11

Własności baz i wymiaru Twierdzenie Niech v 1,..., v n będa wektorami przestrzeni liniowej V. Następujace warunki sa równoważne: (i) układ v 1,..., v n jest baza przestrzeni V (ii) v 1,..., v n jest maksymalnym układem liniowo niezależnym w V (iii) v 1,..., v n jest minimalnym układem rozpinajacym V Twierdzenie Niech dimv = n i niech v 1,..., v k V będzie układem liniowo niezależnym. Wówczas: (a) k dimv (b) v 1,..., v k tworzy bazę V k = dimv (c) Niech W będzie podprzestrzenia V. Wtedy dimw dimv oraz jeśli dimw = dimv to W = V d) Niech V = lin(v 1,..., v k ). Układ złożony z wektorów v 1,..., v k jest baza V dimv = k Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 9 / 11

Przykład Układ (1, 2), (0, 3) jest baza R 2, bo jest liniowo niezależny i ma 2 = dimr 2 wektory. Przykład Układ (1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0) rozpina R 3 zatem tworzy bazę tej przestrzeni Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 10 / 11

Współrzędne wektora w bazie Twierdzenie Układ wektorów v 1,..., v n V jest baza przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, kiedy każdy wektor w V można przedstawić w dokładnie jeden sposób jako kombinację liniowa: w = α 1 v 1 + + α n v n. (Dowód) Definicja Niech układ v 1,..., v n stanowi bazę V, i niech w V. Wtedy układ liczb α 1,..., α n spełniajacy w = α 1 v 1 + + α n v n nazywamy współrzędnymi wektora w w bazie v 1,..., v n. Przykłady Współrzędnymi wektora (1, 4, 3) w bazie ε 1, ε 2, ε 3 w R 3 sa liczby 1, 4, 3. Ogólnie: współrzędnymi wektora (x 1,..., x n ) R n w bazie ε 1,..., ε n sa liczby x 1,..., x n. (inne przykłady na tablicy) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 11 / 11