Analiza Funkcjonalna WPPT IIr. semestr letni 2011 WYK LADY 2 i 3: PRZESTRZENIE UNORMOWANE i BANACHA BAZA TOPOLOGICZNA 29/03/11 Definicja. Norm a w rzestrzeni liniowej V nazywamy funkcjȩ : V [0, ) se lniaj ac a warunki (zwane aksjomatami normy): 1. v = 0 v = 0 2. v +u v + u (odaddytywność) 3. av = a v (jednorodność) Norma zadaje metrykȩ d(u, v) = u v. Zamiast mówić, że jakiś ci ag zbiega w metryce zadanej rzez normȩ, bȩdziemy mówić, że ci ag ten zbiega w normie (odobnie bȩdziemy mówić, że funkcja jest ci ag la w normie). Na rzyk lad faktem jest, że norma jest funkcj a ci ag l a w normie. Definicja. Przestrzeń liniowa unormowana nazywa siȩ rzestrzeni a Banacha, jeśli jest ona zue lna. Definicja. Powiemy, że ci ag (v n ) w rzestrzeni liniowo-metrycznej tworzy szereg zbieżny jeśli ci ag sum czȩściowych s n = v 1 +v 2 + +v n zbieżny jest (w metryce). Granicȩ tego ci agu s nawiemy sum a szeregu utworzonego rzez v n, co zaiszemy jako s = v n. n=1 Definicja. W rzestrzeni unormowanej, ci ag v n jest bezwzglȩdnie zbieżny, jeśli zbieżny jest szereg liczbowy n=1 v n. (UWAGA ci ag taki nie musi być zbieżny). Twierdzenie. Przestrzeń liniowa unormowana jest zue lna (czyli Banacha) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy szereg bezwzglȩdnie zbieżny jest zbieżny. Dowód: Za lóżmy zue lność. Jeśli szereg v n jest bezwzglȩdnie zbieżny, to ci ag sum czȩściowych s n jest odstawowy, bowiem dla m > n mamy s m s n = v n+1 + +v m v n+1 + + v m i=n+1 v i, a to, jako ogon szeregu zbieżnego można uczynić dowolnie ma lym wybieraj ac dostatecznei duże n. Z zue lności ci ag sum czȩściowych jest zbieżny, a to oznacza zbieżność szeregu tworzonego rzez v n. Odwrotnie: Za lóżmy, że każdy szereg bezwzglȩdnie zbieżny jest zbieżny i weźmy dowolny ci ag odstawowy (v n ). Dla każdego k 1 istnieje indeks n k taki, że n,m nk v n v m < 2 k. Dodatkowo można wybrać ci ag n k tak, by by l on rosn acy. Zdefiniujmy u k = v nk+1 v nk. Mamy u k = v nk+1 v nk 2 k (gdyż oba indeksy n k+1 i n k s a n k ). Zatem normy elementów u k tworz a szereg sumowalny, co oznacza, że u k tworz a szereg bezwzglȩdnie zbieżny, a zatem z
za lożenia zbieżny. Istnieje wiȩc suma tego szeregu u. Ale suma szeregu, to granica ci agu sum czȩściowych. Czym jest suma czȩściowa elementów u k : u 1 +u 2 + +u k = v n2 v n1 +v n3 v n2 + v nk+1 v nk = v nk+1 v n1. Oznacza to, że ci ag v nk+1 v n1 jest zbieżny (o k) do u, a onieważ v n1 jest sta ly, to ci ag v nk+1 jest zbieżny do elementu u+v n1. Wykazaliśmy, że ci ag v n ma odci ag zbieżny. Ci ag odstawowy, który ma odci ag zbieżny, ca ly jest zbieżny, to kończy dowód zue lności. PRZYK LADY PRZESTRZENI BANACHA: Przestrzenie ci agowe: 1. l ci agi ograniczone, z norm a suremum (nie jest ośrodkowa) 2. c ci agi zbieżne, z norm a suremum (ośrodkowa) 3. c 0 ci agi zbieżne do zera, z norm a suremum (ośrodkowa) 4. l 1 ci agi bezwzglȩdnie sumowalne, z norm a l 1 (suma szeregu modu lów) (ośrodkowa) 5. l 2 ci agi bezwzglȩdnie sumowalne z kwadratem, z norm a l 2 (ierwiastek sumy szeregu kwadratów modu lów) (ośrodkowa) Przestrzenie funkcji ci ag lych: 1. CB(R) funkcje ci ag le ograniczone na R, z norm a suremum(nie jest ośrodkowa) 2. CL(R) funkcje ci ag le na R osiadaj ace granice w i w, z norm a suremum (ośrodkowa) 3. C 0 (R) funkcje ci ag le na R zbieżne do zera w i w, z norm a suremum (ośrodkowa) 4. C(X) funkcje ci ag le na rzestrzeni zwartej X, z norm a suremum(ośrodkowa) Przestrzenie funkcji mierzalnych 1. L (R) klasy (modulo równość rawie wszȩdzie) funkcji mierzalnych ograniczonych na R, z norm a suremum istotne (nie jest ośrodkowa) 2. L 1 (R) klasy(modulorównośćrawiewszȩdzie)funkcjica lkowalnychzmodu lem na R, z norm a L 1 (ca lka z modu lu) (ośrodkowa) 3. L 2 (R) klasy(modulorównośćrawiewszȩdzie)funkcjica lkowalnychzkwadratem modu lu na R, z norm a L 2 (ierwiastek ca lki z kwadratu modu lu) (ośrodkowa) Powyższe trzy rzestrzenie można też wrowadzić na [0, 1] (w miejsce R). Różnica jest taka, że teraz mamy miarȩ skończon a, co zmienia zawierania miȩdzy tymi rzestrzeniami. Na rzyk lad dla miary skończonej każda funkcja ograniczona jest ca lkowalnazmodu lem,wiȩcl ([0,1]) L 1 ([0,1]),coniejestrawd anar. Podobnie każda nieujemna funkcja ca lkowalna z kwadratem na [0, 1] jest ca lkowalna bez kwadratu, zatem L 2 ([0,1]) L 1 ([0,1]), co też nie jest rawd a na R. NIERÓWNOŚĆHÖLDERAINIERÓWNOŚĆMINKOWSKIEGO,PRZESTRZE- NIE l i L Ustalmy dowolne > 1. Rozważmy zbiór ci agów (x n ) se lniaj acych warunek n=1 x n <. Podobnie, na rzestrzeni miarowej rozważmy zbiór funkcji f takich, że f dµ <. Zauważmy oczywisty fakt, że zbiory te s a zamkniȩte na mnożenie rzez skalar. Teraz srawdzimy, że s a one też zamkniȩte na dodawanie.
Lemat. Jeśli szeregi x n i y n s a sumowalne, to szereg x n +y n też. Podobnie jeśli f dµ < i g dµ <, to f +g dµ <. Dowód: Z wyuk lości funkcji x na liczbach nieujemnych mamy, dla a,b 0: ( ) ( ) 1 (a+b) (a+b) = a +b. 2 2 2 Stosuj ac to do a = x n i b = y n, sumuj ac o n i mnoż ac rzez 2 dostajemy x n +y n ( x n + y n ) 2 1 x n + y n <. n n n n Dowód dla funkcji jest identyczny: wstawiamy a = f(x) i b = g(x) i zamiast sumowania jest ca lkowanie. Definicja. Powyższy zbiór ci agów nazywamy rzestrzeni a l, a zbiór klas funkcji (modulorównośćrawiewszȩdzie)nazywamyrzestrzeni al (µ)(rzestrzeniel (µ) określa siȩ mianem rzestrzeni Lebesgue a). W rzestrzeniach tych wrowadzamy normy: oraz ( (x n ) = x n ( f = n=1 ) 1 ) 1 f dµ. Warunek zerowy jest oczywisty, jak również to, że s a one jednorodne. Aby srawdzić warunek trójk ata otrzebujemy kilku faktów. Od teraz, rzy ustalonym > 1 rzez q oznaczać bȩdziemy liczbȩ q = 1 1 1. Zauważmy, że q > 1 oraz 1 + 1 q = 1 (co oznacza, że 1 i 1 q mog a być wsó lczynnikami kombinacji wyuk lej). Liczbȩ q czȩsto określa siȩ mianem dualnej do. Lemat. (Nierówność Younga) Dla dowolnych nieujemnych a i b zachodzi ab a + bq q. Dowód: To wynika z wklȩs lości logarytmu (i tego, że jest rosn acy): logab = 1 loga + 1 ( 1 q logbq log a + 1 ) q bq (i teraz zdejmujemy logarytm). Twierdzenie. (NierównośćHöldera)Dladowolnychci agówliczbnieujemnych(x n ) i (y n ) oraz > 1 zachodzi nierówność: x i y i (x n ) (y n ) q. i=1
Podobnie dla dowolnych funkcji nieujemnych f i g na dowolnej rzestrzeni miarowej zachodzi fgdµ f g q. Dowód: Nierówność Höldera jest rawdziwa jeśli jeden z ci agów (jedna z funkcji) jest zerowy(a) lub jeśli jeden szereg (jedna ca lka) o rawej jest nieskończony(a). Zostaje wiȩc rzyadek niezerowy skończony. Ponieważ lewa i rawa strona nierówności Höldera s a jednorodne, to możemy obie strony odzielić rzez (niezerow a) raw a stronȩ i z dzieleniem wejść od sumȩ (ca lkȩ) oraz od normy. Zatem wystarczy nierówność tȩ dowodzić dla wektorów (lub funkcji) o odowiednich normach równych 1, czyli takich, że n=1 x n = 1 i n=1 yq n = 1 (a w rzyadku funkcji f dµ = 1 i g q dµ = 1). Wtedy, stosuj ac nierówność Younga dla każdego n i sumuj ac o n, dostajemy: x xn y n n y q + n = 1 q + 1 q = 1, a jedynka o rawej stronie to jest, w rzyadku wektorów unormowanych, rawa strona nierówności Höldera. W rzyadku funkcji stosujemy nierówność Younga w każdym unkcie rzestrzeni miarowej i ca lkujemy: f dµ g q dµ fgdµ + = 1 q + 1 q = 1. Twierdzenie. (Nierówność Minkowskiego) Niech (x n ),(y n ) l. Wtedy (x n )+(y n ) (x n ) + (y n ). Analogiczna nierówność zachodzi dla funkcji f,g L (µ). Dowód: Nierówność jest trywialna, gdy o lewej stronie jest zero. Zatem zosta l rzyadek, gdy szereg n x n+y n jest niezerowy (i, jak wiemy, skończony; wtedy można rzez niego dzielić). Piszemy tak: xn +y n = xn +y n 1 x n +y n x n x n +y n 1 + y n x n +y n 1 ( xn ) 1 ( xn +y n ( 1)q)1 q ( + yn ) 1 ( xn +y n ( 1)q)1 q. Teraz zauważamy, że ( 1)q = (bo ( 1 = 1 1 = 1 q ), czyli możemy urościć wyk ladniki o rawej. Nastȩnie dzielimy obie strony rzez (skończone i niezerowe) wyrażenie ( x n +y n ) 1 q. Po lewej stronie wyjdzie szereg do otȩgi 1 1 q a to jest 1, czyli wyjdzie dok ladnie nierówność Minkowskiego. Dowód dla ca lek jest identyczny, tylko zamiast sumowania jest ca lkowanie. Udowodniliśmy w laśnie brakuj ac a odaddytywność norm. Twierdzenie. Przestrzenie l i L (µ) dla 1 s a zue lne (czyli Banacha). Dowód na ćwiczeniach.
PRZESTRZEŃ ROZPIȨTA I DOMNKIȨTA PRZESTRZEŃ ROZPIȨTA. Niech A bȩdzie odzbiorem rzestrzeni liniowo-metrycznej V. Przez Lin(A) oznaczać bȩdziemy odrzestrzeń sk ladaj ac a siȩ z wszystkich kombinacji liniowych elementów z A. Jest niemal oczywiste, że jest to rzetrzeń liniowa w V. Nastȩnie, rzez Lin(A) oznaczamy domkniȩcie rzestrzeni Lin(A). To również jest odrzestrzeń liniowa (to wynika z ci ag lości dzia lań). Jeśli Lin(A) = V, to owiemy, że A jest liniowo gȩsty w V. BAZA TOPOLOGICZNA W PRZESTRZENI BANACHA Definicja. Przeliczalny uk lad wektorów {e n : n N} nazwiemy baz a toologiczn a w rzestrzeni liniowo-metrycznej V jeśli każdy wektor v w tej rzestrzeni można jednoznacznie rzedstawić w ostaci szeregu v = n a ne n. Uwaga: Każda baza jest uk ladem niezależnym. Jast baz a Hamela tylko w rzestrzeni skończonego wymiaru. Przestrzeń osiadaj aca bazȩ toologiczn a jest ośrodkowa. Baza jest zbiorem liniowo gȩstym, ale nie odwrotnie (rzyk lady na ćwiczeniach). PRZYK LADY BAZ: Baza w l : e n = (0,0,...,0,1,0,0...) (jedynka na n-tym miejscu). Baza Schaudera w C([0,1]): Problem: (Stanis law Mazur, Ksiȩga Szkocka, 1936) Czy każda ośrodkowa rzestrzeń Banacha ma bazȩ toologiczn a? Od. (Per Enflo, 1972) Nie. 1 IZOMORFIZM, RÓWNOWAŻNOŚĆ NORM Definicja. Dwie rzestrzenie unormowane s a toologicznie izomorficzne jeśli istnieje miȩdzy nimi homeomorfizm liniowy. Jeśli istnieje surjektywna izometria liniowa, to rzestrzenie te s a izometrycznie izomorficzne. Definicja. Dwie normy na tej samej rzestrzeni s a równoważne jeśli identyczność jest izomorfizmem toologicznym (czyli gdy metryki zadane rzez te normy s a równoważne). Twierdzenie. Dwie normy na tej samej rzestrzeni s a równoważne wtedy i tylko wtedy gdy istniej a sta le C > 0 i D > 0 takie, że C x 1 x 2 D x 1 (czyli identyczność jest lishitzowska w obie strony, w szczególności metryki s a wtedy od razu jednostajnie równoważne). Dowód na ćwiczeniach. 1 Za rozwi azanie tego roblemu Stanis law Mazur obieca l w Ksiȩdze Szkockiej nagrodȩ w ostaci żywej gȩsi. Faktycznie, w roku 1972 odby la siȩ w warszawskim Centrum Banacha uroczysta ceremonia wrȩczenia gȩsi szweckiemu matematykowi Perowi Enflo, który roblem rozwi aza l o 36 latach od sformu lowania. Stanis law Mazur, w rzeciwieństwie do wielu tragicznie zmar lych w czasie okuacji rzedstawicieli tzw. Szko ly Lwowskiej, rzeży l wojnȩ i ży l do roku 1981.