3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N 0 = {0, 1, 2,...} zbiór liczb całkowitych: Z = {, N} {0} { N} = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} zbiór liczb wymierych: Q = { p, p Z, q N} q ułamek zwykły: 5 2 ułamek zwykły skrócoy: 5 2 13 78 1 6 128 10 64 5 ułamek dziesięty: 2, 5 12, 8 0, 166... ułamek dziesięty skończoy - gdy miaowik jest postaci 2 p 5 q, p, q N ułamek dziesięty ieskończoy - gdy miaowik w rozkładzie iloczyowym posiada ie czyiki Liczby iewymiere pojawiają się jako graice pewych rówań lub jako graice pewych ciągów. Każda liczba iewymiera rozdziela zbiór Q a dwie części: klasę dolą, tj. zbiór wszystkich liczb wymierych miejszych od iej, oraz klasę górą, tj. zbiór wszystkich liczb wymierych większych od iej. Mówimy więc, że każda liczba iewymiera jest przekrojem liczb wymierych. Dzięki temu liczby iewymiere moża przybliżać liczbami wymierymi. Przykład. Liczba π może być defiiowaa jako graica ciągu obwodów -kątów foremych wpisaych w koło o średicy 1. Wykoać stosowe obliczeia. liczby wymiere ależące do klasy dolej 3 < π < 4 3, 1 < π < 3, 2 3, 14 < π < 3, 15 3, 141 < π < 3, 142 itd. liczby wymiere ależące do klasy górej

zbiór liczb iewymierych: IQ zbiór liczb rzeczywistych: R = Q IQ Przykład. Wykazać, że 2 ie jest liczbą wymierą. Dowód. Moża wykazać, że Twierdzeie 3 Pierwiastek m-tego stopia z liczby aturalej iebędącej m-tą potęgą liczby aturalej, jest liczbą iewymierą. Ozacza to, że liczby postaci: 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10,... 3 2, 3 3, 3 4, 3 5, 3 6, 3 7, 3 9, 3 10,... 4 2,... są iewymiere. Wprowadza się też iy podział zbioru R a dwa podzbiory: liczb algebraiczych i liczb przestępych. Mówimy, że liczba jest algebraicza, jeśli jest pierwiastkiem wielomiau o współczyikach całkowitych. Liczba, która ie jest algebraicza, azywaa jest liczbą przestępą. Wszystkie liczby wymiere oraz pierwiastki z liczb wymierych dodatich są algebraicze gdyż dla m, N W 1 (x) = x m ma pierwiastek m oraz W 2 (x) = x p p m m ma pierwiastek, m, > 0. Twierdzeie 4 Liczba π jest liczbą iewymierą. Uwaga. Niewymierość liczby π udowodił w 1767 Joha Lambert. Wykazał o twierdzeie mówiące, że jeśli liczba x jest wymiera i róża od zera, to przyajmiej jeda z liczb cos x, si x jest iewymiera. Skoro cos π = 1 oraz si π = 0, zatem π ie może być wymiera. W 1882 Ferdyad Lidema udowodił podobym sposobem, że π jest liczbą przestępą. Narzędziem do tego celu było twierdzeie mówiące, że jeśli liczba x jest algebraicza i róża od zera, to przyajmiej jeda z liczb cos x, si x jest iewymiera. Stosując powyższe rozumowaie otrzymujemy przestępość liczby π.

Twierdzeie 5 Liczba e jest liczbą iewymierą. Dowód. Zadaie. Wyrazić liczbę 78, (1016) jako ułamek zwykły. 3.2 Kresy zbiorów. Niech A będzie pewym iepustym zbiorem liczbowym. Defiicja 1 Liczbę ależącą do zbioru A, która jest większa od wszystkich pozostałych liczb tego zbioru, azywamy elemetem ajwiększym zbioru A i ozaczamy max A. Defiicja 2 Liczbę ależącą do zbioru A, która jest miejsza od wszystkich pozostałych liczb tego zbioru, azywamy elemetem ajmiejszym zbioru A i ozaczamy mi A. W każdym skończoym zbiorze liczbowym istieje elemet ajwiększy i elemet ajmiejszy. W zbiorze ieskończoym takie elemety mogą ie istieć. Przykłady. mi{x R : x 2 2x 3 0} =, max{x R : x 2 2x 3 0} = mi{x R : x 2 2x 3 < 0} =, max{x R : x 2 2x 3 < 0} = mi{x + 1 : x > 0} = x, max{x + 1 : x > 0} = x Defiicja 3 Liczbę taką, że wszystkie liczby zbioru A są iewiększe od iej, azywamy ograiczeiem górym zbioru A. Defiicja 4 Liczbę taką, że wszystkie liczby zbioru A są iemiejsze od iej, azywamy ograiczeiem dolym zbioru A. Defiicja 5 Zbiór A azywamy ograiczoym od góry, jeśli istieje ograiczeie góre zbioru A. Defiicja 6 Zbiór A azywamy ograiczoym od dołu, jeśli istieje ograiczeie dole zbioru A. Defiicja 7 Zbiór A azywamy ograiczoym, jeśli jest ograiczoy zarówo z dołu, jak i z góry.

Przykłady. Zbiory {x R : x 2 2x 3 0} = [ 1, 3], {x R : x 2 2x 3 < 0} = ( 1, 3) mają ograiczeia zarówo dole jak i góre. Zbiór {x + 1 : x > 0} = [2, ) posiada tylko x ograiczeie dole. Defiicja 8 Najmiejszą liczbę spośród wszystkich ograiczeń górych zbioru A azywamy kresem górym zbioru A i ozaczamy sup A. Defiicja 9 Największą liczbę spośród wszystkich ograiczeń dolych zbioru A azywamy kresem dolym zbioru A i ozaczamy if A. Powyższe defiicje elemetów ajwiększego i ajmiejszego oraz kresów górego i dolego w zadaym zbiorze A moża wyrazić za pomocą kwatyfikatorów: Przykłady. x = max A ( x A x A x x ) ( x = mi A x A ) x x x A x = sup A x x x 0 > x ε x A ε>0 x 0 A x = if A x x x 0 < x + ε x A ε>0 x 0 A mi( 1, 3) =, max( 1, 3) = if( 1, 3) =, sup( 1, 3) = if{2, N} =, mi{2, N} = sup{2, N} =, max{2, N} =

3.3 Wartość bezwzględa. a, a 0 a = a, a < 0 Własości wartości bezwzględej. 1. a b b a b, 2. a = a, 3. a a a, 4. a + b a + b, ierówość trójkąta 5. a b a b a + b, 6. ab = a b, 7. jeśli a c i b d, to a + b c + d Dowód własości 1. Dowód własości 4. Dowód własości 5.

3.4 O liczbach aturalych i całkowitych. Defiicja 10 Liczba aturala m dzieli ( jest podziele przez m) jeśli iloraz m jest liczbą całkowitą. Piszemy wtedy m. Zatem m k Z = m k. Defiicja 11 Największą liczbę całkowitą, która dzieli dwie dae liczby całkowite m i azywamy ajwiększym wspólym dzielikiem tych liczb i ozaczamy ją NW D(m, ) lub (m, ). Defiicja 12 Najmiejszą liczbę aturalą, której dzielikami są dwie dae liczby aturale m i azywamy ajmiejszą wspólą wielokrotością tych liczb i ozaczamy ją NW W (m, ) lub [m, ]. Zatem dla m, Z : NW D(m, ) = max{k Z : k m i k }, dla m, N : NW W (m, ) = mi{l N : m l i l}. Przykład. 1 NW W (16, 12) = 48 stąd p. NW D(16, 12) = 4 + 1 = 4 + 3 = 7 16 12 48 48 48 Metoda obliczaia NWD algorytm Euklidesa. 1. Weź dwie liczby aturale m,. 2. A := max{m, }, a := mi{m, }. 3. Oblicz resztę r z dzieleia A przez a. 4. Jeśli r 0, to (A := a, a := r, przejdź do kroku 3.) 5. NW D(m, ) = a.

Przykład. NW D(735, 126). Twierdzeie 6 Dla m, N mamy NW D(m, ) NW W (m, ) = m. 3.5 Liczby pierwsze i złożoe. Defiicja 13 Liczba aturala p azywa się liczbą pierwszą jeśli ma dokładie dwa dzieliki: 1 oraz p. Defiicja 14 Liczba aturala, która ie jest liczbą pierwszą azywa się liczbą złożoą. Uwaga. Przyjmuje się, że 1 ie jest liczbą pierwszą. Koleje liczby pierwsze: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,... Podstawowe twierdzeie arytmetyki. Każda liczba aturala może być jedozaczie przedstawioa w postaci gdzie p j są liczbami pierwszymi. m = p j j, j 0, j=1 Na przykład 1452 = 2 2 3 1 5 0 7 0 11 2 = 2 2 3 1 11 2 11111 =... = 41 1 271 1

Twierdzeie 7 (Euklides) Liczb pierwszych jest ieskończeie wiele. Dowód. Nie zay jest żade wzór geerujący dowolie duże liczby pierwsze. Metoda elemetara wyzaczaia liczb pierwszych sito Eratosteesa Twierdzeie 8 (Wilso) Liczba p jest pierwsza wtedy i tylko wtedy gdy (p 1)! + 1 jest podziela przez p. Największe zae a przestrzei ostatich 2 wieków liczby pierwsze zawsze były tzw. liczbami Mersee a postaci 2 p 1, gdzie p jest liczbą pierwszą. Jedak ie każda liczba tej postaci musi być pierwsza! k p k M k pierwsza/złożoa uwagi 1 2 3 p 2 3 7 p 3 5 31 p 4 7 127 p 5 11 2047 z 2047 = 23 89 6 13 8191 p Największa zaa obecie (I 2013) liczba pierwsza M 48 = 2 57885161 1 ma 17,5 milioa cyfr. Dziesięć ajwiększych zaych dziś liczb pierwszych to liczby Mersee a. Istytucja Electroic Frotier Foudatio ustaowiła agrodę 100 tysięcy dolarów dla odkrywcy liczby pierwszej o więcej iż 10 milioach cyfr oraz agrodę 150 tysięcy dolarów dla odkrywcy liczby pierwszej o więcej iż 100 milioach cyfr. π(x) - fukcja Eulera, ilość liczb pierwszych miejszych od x

π(x) gęstość rozmieszczeia liczb pierwszych π(100) = 25 1/4 π(1000) = 168 1/6 π(10000) = 1229 1/8 Zae są przybliżeia fukcji π(x) p. lub l x 3/2 < x π(x) π(x) x l x < l x 1/2 dla x 67. Pierwszy ze wzorów ozacza, że biorąc duże x, p. x = 10 16 i wybierając losowo liczby bliskie x średio po l 10 16 = 16 l 10 = 36, 8... próbach trafimy a liczbę pierwszą. Zastosowaie dużych liczb pierwszych algorytmy szyfrujące (p. RSA) 3.6 Dwumia Newtoa. Dla, k N 0 mamy! = { 1, = 0 1 2..., 1 oraz ( ) = k! ( k)!k!. Uwaga. Dla N 0 mamy ( ( ( ) ( ) 0) = 1 = ) oraz 1 = = 1. Twierdzeie 9 ( ) ( ) + = k k + 1 ( ) + 1 k + 1,, k N 0, > k.

Dowód. Zadaia. Wykazać, że 1. ( ) ( k = +1 k+1 2. ( m)( m k ) = ( k ) k+1, +1 )( k m k ),, m, k N0, m k. Z ww. twierdzeia wyika kostrukcja trójkąta Pascala ( 0 0) ( ) ( 1 1 ( ) 0 ( ) 1) ( 2 2 2 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2) ( 3 3 3 3 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3) ( 4 4 4 4 4 0 1 2 3 4) 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 Twierdzeie 10 Dla dowolego N i dowolych a, b R mamy (a + b) = k=0 ( ) a k b k = k ( ) a 0 b + 0 ( ) a 1 b 1 +... + 1 ( ) a b 0. wzór dwumiey Newtoa W szczególości (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2, (a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3. Dowód. Ze wzoru dwumieego Newtoa moża uzyskać wiele wzorów. 1. k=0 ( k) = 2, 2. k=0 ( 1) k( ) k = 0,

3. p k=0 ( k )( k p k ) = 2 p ( p ), p 0, 4. /2 k=0 ( 2k) = 2 1 dla P ar, 5. ( ) /2 1 k=0 2k+1 = 2 1 dla P ar, 6. ( ) ( 1)/2 k=0 2k = 2 1 dla NP ar, 7. ( ) ( 1)/2 k=0 2k+1 = 2 1 dla NP ar.