O podzielności liczb

Transkrypt

1 Spis treści: I. Rys historyczy... 2 II. Podzielość liczb całkowitych Podzielość Dzieleie liczb całkowitych Największy wspóly dzielik i ajmiejsza wspóla wielokrotość dwóch liczb całkowitych Algorytm Euklidesa obliczaie ajwiększego wspólego dzielika dwóch liczb aturalych Liczby względie pierwsze Liczby pierwsze Sito Eratosteesa i ie sposoby odszukiwaia liczb pierwszych Kogruecje liczbowe Kryterium podzielości liczb aturalych Cechy podzielości przez 10,2,5,100,4,25,1000, Cechy podzielości przez 9,3,7,11, III. Propozycje tematów zajęć pozalekcyjych związaych z podzielością i przykłady zadań Wykaz literatury

2 I. Rys historyczy Zaiteresowaie ludzi liczbami aturalymi jest tak stare jak cywilizacja. Niezwykłe własości liczb itrygowały starożytych Greków, Hidusów i Chińczyków. Grecy zali metodę wyzaczaia ajwiększego wspólego dzielika (algorytm Euklidesa), Chińczycy (w związku z obliczeiami kaledarzowymi) metodę szukaia liczby aturalej dającej przy dzieleiu przez zadae liczby zadae reszty. Euklides zał prawo jedozaczości rozkładu liczb a czyiki pierwsze. W jego Elemetach zajdujemy defiicję liczby pierwszej i przykład rozumowaia matematyczego dowód ie wprost, że istieje ieskończeie wiele liczb pierwszych. Matematyka starożyta ma jeszcze jedo sławe osiągięcie w dziedziie liczb pierwszych. Jest im sito Eratosteesa, które podaje sposób wyszukiwaia liczb pierwszych aż do daej liczby. Itesywy rozwój teorii liczb w czasach owożytych zapoczątkował matematyk fracuski Pierre de Fermat ( ). Małe twierdzeie Fermata mówi, że liczba p dzieli a p a dla każdego całkowitego a, ie, że liczby pierwsze postaci 4k+1 są przedstawiale jako suma dwóch kwadratów liczb aturalych. Obie własości udowodił późiej Euler ( ). Fermat badał liczby postaci F = , = 0, 1, 2,... i wyraził przypuszczeie, że wszystkie są pierwsze. Euler wykazał, że już piąta liczba Fermata jest złożoa jest podziela przez 641. Liczby pierwsze Fermata mają iteresujący związek z klasyczym problemem kostrukcji kątów foremych za pomocą cyrkla i liijki. 2

3 W roku leti C. F. Gauss udowodił, że takakostrukcjajest możliwa wtedy i tylko wtedy, gdy ieparzyste dzieliki pierwsze są liczbami Fermata. Współczesy Fermatowi Mari Mersee rozpatrywał liczby postaci M =2-1, =0,1,2,...Jeśli liczba Mersee a M jest pierwsza, to jest rówież liczbą pierwszą, lecz ie a odwrót. Na przykład dla p=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 liczby M p są pierwsze, a dla p=11, 23, 29 są złożoe. Liczby pierwsze Mersee a wiążą się z klasyczym problemem liczb doskoałych. Liczba aturala azywa się doskoałą, jeśli jest rówa sumie wszystkich dzielików różych od siebie. Euler wykazał, że wszystkie liczby doskoałe parzyste są postaci =2 p 1 (2 p -1), gdzie M p =2 p 1 jest liczbą pierwszą Mersee a. Dodziś ie wiadomo, czy liczb pierwszych Fermata i liczb pierwszych Merse a jest ieskończeie wiele. Twórczość aukowa iemieckiego matematyka Carla Friedricha Gaussa ( ) wyzaczyła owe kieruki badań w teorii liczb. W wieku19latgauss opracował teorię kogruecji. Zakomici matematycy XIX i XX w. Rozwijali róże działy teorii liczb, rówież powstaje wiele prac z zakresu liczb pierwszych (Dirichlet, Czebyszew, Riema). 3

4 II. Podzielość liczb całkowitych. 1. Podzielość Mówimy, że liczba całkowita jest a podziela przez liczbę całkowitą b, przyczymb 0, jeżeli istieje liczba całkowita c taka, że a=b c Piszemy wówczas b a i czytamy: b dzieli a. Liczbę b azywamy dzielikiem liczby a, atomiast liczbę a wielokrotością liczby b. Wprost z określeia wyikają astępujące własości podzielości: Tw. 1.1 a) Jeżeli m a i m b, tom a+b i m a b. b) Jeżeli m a i a, to m. c) Jeżeli m a i b C, to m ab. d) Jeżeli a b oraz b 0, to a b. e) Jeżeli a b oraz b a, to b=a lub b=-a. Dowód: a) Zzałożeia mamy a=a 1 m. b=b 1 m, gdzie a 1, b 1 C więc a+b=(a 1 +b) m. Stąd m a+b. b) Zzałożeia mamy a=a 1 m = 1 a, gdzie a 1, 1 C wówczas = 1 (a 1 m)=m ( 1 a 1 ). Stąd m. c) Z założeia mamy m a, poadto a ab, więc amocyb)otrzymujemym ab. d) Zauważmy, że za b wyika całkowitość liczby a b, 4

5 b a zatem wobec b O, otrzymujemy 1, więc b a. a e) Zzałożeia i tw.d) mamy a b i b a, więc a = b. Stąd a=b lub a=-b. Tw. 1.2 Jeżeli jede składik sumy a+b jest podziely przez m, To suma a+b jest podziela przez m wtedy i tylko wtedy, gdy Drugi składik tej sumy jest podziely przez m. Dowód. Niech m a. Jeżeli m b, to a mocy tw. 1.1 a) m a+b. Odwrotie: jeżeli m a+b i m a, to a podstawie tw. 1.1 a) m (a+b)-a, czyli m b. 2. Dzieleie liczb całkowitych. Tw. 2.1 Jeżeli a C ib N, to istieje dokładie jeda para liczb całkowitych q i r, taka, że a =bq+r, 0 r<b. Dowód. Przyjmijmy q= a b oraz r=a-bq. a b a b Wówczas wobec < + 1 q a b a b < q + 1 bq a < bq + b 0 a bq < b, azatem0 r<b. Jeśli mamy a=bq 1 +r 1 =bq 2 +r 2, 0 r 1,r 2 <b, 5

6 to r 2 -r 1 =b(q 1 -q 2 ), zatem b r 2 -r 1. Gdybyśmy mieli r 1 r 2, to a mocy tw.1.1 d) zachodziłoby b r 2 -r 1 <b co jest iemożliwe. Zatem r 1 =r 2, awięc q 1 =q 2. Liczbę r azywamy resztą z dzieleia a przez b, a liczbę q ilorazem. Tw. 2.2 (o dzieleiu z resztą) Jeżeli a,b C ib 0, to istieje dokładie jeda para liczb całkowitych q, r spełiająca waruki a=bq+r, 0 r< b. 3. Największy wspóly dzielik i ajmiejsza wspóla wielokrotość dwóch liczb całkowitych. Niech a i b będą liczbami całkowitymi, z których co ajmiej jeda jest róża od zera. Największym wspólym dzielikiem liczb a i b azywamy ajwiększą liczbę aturalą, która jest dzielikiem liczb a i b. Największy wspóly dzielik liczb a i b ozaczać będziemy symbolem NWD(a,b). Najmiejszą wspólą wielokrotością liczb całkowitych a i b różych od zera azywamy ajmiejszą liczbę aturalą podzielą przez a i przez b. Najmiejszą wspólą wielokrotość liczb a i b ozaczamy symbolem NWW(a,b). Tw. 3.1 Każdy wspóly dzielik dwóch liczb całkowitych, z których co ajmiej jeda jest róża od zera, dzieli ich ajwiększy wspóly dzielik. Tw. 3.2 Najmiejsza wspóla wielokrotość dwóch liczb całkowitych różych od zera dzieli każdą ich wspólą wielokrotość. 6

7 Tw. 3.3 Dla dowolych dwóch liczb aturalych a i b jest: Dowód. a b=nwd(a,b) NWW(a,b). Ozaczmy NWD(a,b)=d i NWW(a,b)=w. Najpierw wykażemy, że aturalych a i b. a b d Moża to odczytać z rówości zarówo d b Zatem a b d = jak i c w a b d jest wspólą wielokrotością liczb = a b d a są liczbami aturalymi. d w b,gdziec jest liczbą aturalą. = b a d, poieważ Z rówości a= ( c d ), ( ) b = c d moża odczytać, że c d jest wspólym dzielikiem liczb a i b poieważ w b i w a są liczbami aturalymi. w a Z ierówości c d d otrzymujemy c=1 (c i d są liczbami aturalymi). Stąd a b d = w, czyli a b=d w. 4. Algorytm Euklidesa obliczaie ajwiększego wspólego dzielika dwóch liczb aturalych. Weźmy pod uwagę dwie dowole liczby aturale a i b. Jeżeli a=b, to NWD(a,b)=a=b. 7

8 Niech będzie a>b. Może się okazać, że b a, tz. istieje liczba aturala q>1, taka, że a=q b. Wówczas NWD(a,b)=b. Jeśli jedak b ie jest dzielikiem a, to istieją takie dwie liczby aturale q 1 i r 1, że a=q 1 b+r 1. Na mocy tw. 1.2 każdy wspóly dzielik liczb a i b jest dzielikiem liczby r 1 i każdy wspóly dzielik liczb b i r 1 jest dzielikiem liczby a, czyli NWD(a,b)=NWD(b,r 1 ). Ale b<a i zgodie z tw. 2.1 r 1 <b, więc obliczeie ajwiększego wspólego dzielika liczb a i b sprowadza się do obliczeia ajwiększego wspólego dzielika pary liczb aturalych b i r 1, odpowiedio miejszych iż poprzedio. Może się okazać, że r 1 b. Wtedy NWD(a,b)=NWD(b,r 1 )=r 1. Jeśli jedak r 1 ie jest dzielikiem b, tob=q 2 r 1 +r 2, q 2,r 2 są liczbami aturalymi, przy czym r 2 <r 1. Jak poprzedio wszystkie wspóle dzieliki liczb b i r 1 są rówocześie wspólymi dzielikami liczb r 1 i r 2 i odwrotie, Więc NWD(b,r 1 )=NWD(r 1, r 2 ). Jeśli r 2 r 1, to NWD(b,r 1 )=NWD(r 1, r 2 ). Jeśli r 2 ie jest dzielikiem r 1 postępujemy dalej poprzedio. Poieważ b>r 1 >r 2 >... i b, r 1, r 2,... są liczbami aturalymi, więc postępowaie asze może mieć ajwyżej b-1 takich działań jak poprzedio. W końcu otrzymamy r k r k-1, gdzie k b-1 i NWD(a,b)=NWD(b,r 1 )=...=NWD(r k-1,r k )=r k, gdzie r k jest ostatią resztą różą od zera. Takie postępowaie azywa się algorytmem Euklidesa. Np. Weźmy a=385 i b=105, a>b 385= , r 1 =70 105= , r 2 =35 70=2 35+0, r 3 =0 Poieważ r 3 =0, więc NWD(385,105)=35. 8

9 5. Liczby względie pierwsze. Jeżeli dwie liczby całkowite a, b spełiają waruek NWD(a,b)=1, a więc iemajążadego aturalego wspólego dzielika oprócz 1, to takie liczby azywamy liczbami względie pierwszymi. Tw. 5.1 Najmiejsza wspóla wielokrotość dwóch liczb aturalych a i b względie pierwszych jest rówa iloczyowi tych liczb. Dowód. Na mocy tw. 3.3 mamy a b=nwd(a,b) NWW(a,b). Zzałożeia mamy NWD(a,b)=1. Stąd a b=nww(a,b). Tw. 5.2 Jeżeli a i b są liczbami względie pierwszymi i liczba aturala c spełia waruek a bc, to a c. Dowód. Zzałożeia mamy NWD(a,b)=1, więc NWW(a,b)=a b i a bc. Ale b bc, więc okazuje się, że b c jest wspólą wielokrotością liczb a i b i a mocy tw. 3.2 ajmiejsza wspóla wielokrotość liczb a i b tz. a b dzieli wspólą wielokrotość b c. Otrzymaliśmy więc, że ab bc, czyli istieje taka liczba aturala q, że bc=abq, astąd c=aq,czyli a c. Nasze tw. moża sformułować astępująco: Jeżeli liczba jest dzielikiem iloczyu dwóch liczb i jest pierwsza względem jedego z czyików, to jest dzielikiem drugiego czyika. Tw. 5.3 Jeżeli a, b, c są liczbami aturalymi takimi, że NWD(a,c)=1 i NWD(b,c)=1, to NWD(ab,c)=1. 9

10 Dowód. Niech NWD(ab,c)=d, to d ab i d c. Ale skoro d c i z założeia NWD(a,c)=1, to NWD(a,d)=1. Gdyby bowiem a i d ie były liczbami względie pierwszymi, to istiałaby Liczba aturala d'>1 taka, że NWD(a,d)=d'. Wtedy mielibyśmy d' a i d' d, ale poieważ d c, więc d' c, co przeczy warukowi NWD(a,c)=1, czyli musi być d'=1. Z waruków NWD(a,d)=1 i d ab wyika, że d b. Z waruków d b i d c wypływa, że d jest wspólym dzielikiem liczb b i c. Ale z założeia b i c są liczbami względie pierwszymi, więc d=1. Tw. 5.3 daje się uogólić a dowolą skończoą liczbę czyików. Jeżeli NWD(a 1,c)=NWD(a 2,c)=...=NWD(a, c)=1, to NWD(a 1 a 2...a,c)=1. Tw. 5.4 Jeżeli b 1 a, b 2 a,...,b a ikażde dwie spośród liczb b 1,b 2,...,b są liczbami względie pierwszymi i a jest liczbą aturalą, tob 1 b 2...b a. Dowód. Z waruków b 1 a, b 2 a,... b a wyika, że a=q 1 b 1 =q 2 b 2 =...q 2 b, Gdzie q 1,q 2,...,q są liczbami aturalymi. Z a=q 1 b 1 ib 2 a otrzymujemy b 2 q 1 b 1. Poieważ b 1 i b 2 są liczbami względie pierwszymi, więc amocytw.5.2 jest b 2 q 1 czyli q 1 =q'b 2,astąd otrzymujemya=q'b 1 b 2. Podobie a=q''b 1 b 2 b 3 a=q'''b 1 b 2 b 3 b 4 i po wyczerpaiu b 1,b 2,...,b jest a=q -1 b 1 b 2...b. Stąd b 1 b 2...b a. 10

11 Np. Każda z liczb 2, 5, 7, 9 jest dzielikiem liczby 1260 i każde dwie spośród ich są liczbami względie pierwszymi, więc iloczy tych liczb tj. 630 jest dzielikiem liczby Liczby pierwsze. Liczbę aturalą p>1 azywamy liczbą pierwszą, jeśli ma tylko dwa dzieliki aturale, miaowicie 1 i p. Liczbę aturalą większą od 1, która ie jest liczbą pierwszą azywamy liczbą złożoą. Tw. 6.1 Liczb pierwszych jest ieskończeie wiele. Dowód (Euklides). Przypuśćmy, że tak ie jest, tz. że skończoy ciąg p 1,p 2,...,p zawiera już wszystkie liczby pierwsze. Ale liczba p=p 1 p 2...p +1 jest większa od każdej z wyżej apisaych i iepodziela przez żadą z ich bo z dzieleia przez każdą zich daje resztę 1. Liczba p ie jest też podziela przez żadą liczbę złożoą, gdyż każda taka liczba jest iloczyem pewych liczb spośród p 1,p 2,...,p, a wtedy liczba p musiałaby dzielić się przez którąś zich. Zatem i liczba p jest pierwsza. Z aszego założeia wyika zatem jego zaprzeczeia to zaczy, że założeie było fałszywe. Liczb pierwszych jest ieskończeie wiele. Tw. 6.2 Każda liczba aturala a>1 ma przyajmiej jede dzielik, który jest liczbą pierwszą. Dowód. Jeżeli a jest liczbą pierwszą, to jedyym dzielikiem pierwszym jest a, tj. a a. 11

12 Jeżeli a ie jest liczbą pierwsza, więc jest liczbą złożoą i ma przyajmiej jede dzielik d taki, że 1<d<a. Najmiejszy dzielik p spośród dzielików liczby a jest liczbą pierwszą. Gdyby bowiem dzielik ów ie był liczbą pierwszą, to istiałaby liczba aturala d 1 taka, że 1<d 1 <p i d 1 p oraz d 1 a, aletozajść ie może, gdyż p jest ajmiejszym dzielikiem liczby. Tw. 6.3 Każdą liczbę złożoą moża przedstawić w postaci iloczyu liczb pierwszych tylko w jede sposób, jeśli pomiiemy porządek czyików. Dowód. Jeśli a jest liczbą złożoą, towmyśl tw. 6.2 ajmiejszym dzielikiem liczby a jest liczba pierwsza p 1.Jestwięc a=q 1 p 1, gdzie q 1 jest liczbą aturalą. Może się okazać, że p 1 q 1 tj. q 1 =q 1 'p 1, wówczas a=q 1 'p 1 2. α 1 Niech p α będzie ajwyższą potęgą aturalą taką, że p 1 a, 1 podobie iech p α a,..., p α a 2 2, gdzie α 2 1,α 2,...,α są liczbami aturalymi i p 1,p 2,...,p są liczbami pierwszymi, przy czym są to α i wszystkie liczby pierwsze, będące dzielikami liczby a, gdzie p i jest ajwyższą potęgą liczby p i,taką, że α p i a i α 1 α 2 α Poieważ p p p,,..., są liczbami względie pierwszymi i każda 1 2 z ich jest dzielikiem liczby a, więc wmyśl tw.5.4jest a = b p α 1 1 p α gdzie b jest liczbą aturalą różą od p 1,p 2,...,p. p Jeśli b jest liczbą pierwszą i b a, to b jest jedą z liczb p 1,p 2,...p, p. b=p k,gdzie1 k. Lecz wtedy α,. α k p + 1 α k k wbrew założeiu, że p k jest ajwyższą potęgą liczby p k będącą dzielikiem liczby a. a 12

13 Zatem b ie może być liczbą ie może być liczbą pierwszą. Jeżeli b jest liczbą złożoą, to ajmiejszym dzielikiem liczby b większym od 1 jest liczba pierwsza. Owa liczba byłaby dzielikiem liczby a, a więc rówałaby się jedej z liczb p 1,p 2,...,p, co jak wyżej wykazaliśmy ie może zachodzić. Skoro b jest liczbą aturalą, ale ie jest ai liczbą pierwszą, ai złożoą, tomusibyć b=1. W te sposób wykazaliśmy, że liczba a>1 daje się przedstawić iloczyu liczb pierwszych α 1 α 2 * =... p,przyczymp 1 <p 2 <...<p, α i N, a p 1 p 2 α wzór * azywa się rozwiięciem lub rozkładem liczby aturalej różej od 1 a czyiki pierwsze. Wykażemy teraz, że rozkład * liczby a a czyiki pierwsze jest jedyym rozkładem. Przypuśćmy, że a rozkłada się rówież astępująco: β β β 1 2 a q q qk k =,przyczymq 1 <q 2 <...<q k, β j N. Przypuśćmy, że q 1 jest liczbą pierwszą różą od każdej liczby p i, 1 i. Poieważ każde dwie róże liczby pierwsze są względie pierwsze, więc NWD(q 1,p i )=1, zaś wmyśl tw. 5.3 jest NWD(a,q 1 )=1, lecz to jest sprzecze z tym, że q 1 a. Stąd wioskujemy, że istieje i 0, takie, że q p i 0 1 =,przyczym1 i 0. Aalogiczie każda z liczb q 2,q 3,...,q k jest rówa jedej z liczb p i i odwrotie każda z liczb p 1,p 2,...,p jest rówa jedej z liczb q j. Z tego wyika, że =k i p i =q i dla 1 i czyli a α 1 α 2 α β β β 1 2 = p p... p = p p... p Trzeba jeszcze wykazać, że α 1 =β 1, α 2 =β 2,...,α =β. 13

14 Gdyby jeda z liczb p występowała w jedym rozwiięciu liczby a w potędze α i, w drugim w potędze β i oraz α i <β i, to byłoby α i p i a a i β i p i a α i β = k p = i l p i i,,astąd gdzie ai liczba k, ai liczba l ie ma dzielika p i. α i Poieważ α i <β i, więc dzieląc obie stroy przez p i mamy k = l p i β i α i astąd p i k, więc otrzymaliśmy sprzeczość. Tak samo wykazalibyśmy, że iemoże być α i >β i. Wioskujemy stąd, że α i =β i dla 1 i. Dowiedliśmy więc, że liczba a rozwija się tylko w jede sposób a iloczy potęg liczb pierwszych. Przy pomocy rozkładu liczb a czyiki pierwsze moża zaleźć NWD i NWW dwóch lub kilku liczb. Niech dwie róże liczby aturale mają astępujące rozkłady: a b = = p q α 1 1 β 1 1 p q α β q p α k k β l l Rozwiięcie a czyiki pierwsze NWD(a,b) zawiera jedyie te czyiki p, któresą wspóle w rozwiięciu liczby a i rozwiięciu liczby b, przy czym każdy czyik p jest w potędze, której wykładik jest jedą z miejszych liczb α lub β. Rozwiięcie a czyiki pierwsze NWW(a,b) zawiera wszystkie czyiki, które ależą tylko do rozwiięcia b. Wykładik potęgi czyika wspólego p jest rówy większej liczbie spośród dwóch liczb α i β. 14

15 Tw. 6.4 Jeżeli liczba aturala >1 ie dzieli się przez żadą liczbę pierwszą ie większą od Dowód.,to jest liczbą pierwszą. Jeżeli liczba jest liczbą złożoą, to istieje liczba p, która jest ajmiejszym dzielikiem, czyli=qp, gdziep< i q p. Stąd =qp p 2, czyli p. Przez kotrapozycję otrzymujemy asze twierdzeie. Tw. 6.5 Istieją dowolie długie przedziały pozbawioe liczb pierwszych. Dowód. Niech m będzie dowolie ustaloą liczbą aturalą. Wykażemy, że istieją dwie koleje liczby pierwsze p i q takie, że q-p>m. Niech p będzie ajwiększą liczbą pierwszą miejszą od (m+1)!+2, tj. *p<(m+1)!+2. Żada z liczb (m+1)!+k, dla k=2,3,...,m+1 ie jest pierwsza, gdyż jest podziela przez k>1. Wobec tego ** q (m+1)!+m+2 Zierówości * i ** wyika, że a to mieliśmy wykazać. q-p>((m+1)!+m+2)-((m+1)!+2)=m, 7. Sito Erastoteesa i ie sposoby odszukiwaia liczb pierwszych. Istieje metoda wyzaczaia wszystkich liczb pierwszych ie większych od daej liczby zwaa sitem Eratostaesa. Wypisujemypo kolei wszystkie liczby aturale od 2 do wybraej liczby p.100. Pierwszą liczbę, awięc 2 podkreślamy, a wszystkie jej wielokrotości 15

16 tz. liczby parzyste wykreślamy. Pierwszą ie wykreśloą liczbę, którą jest liczba 3 podkreślamy i wykreślamy jej wielokrotości. Zauważmy przy tym, że pierwszą liczbą, którą ależy wykreślić będzie 6, która już została wykreśloa, bo jest liczbą parzystą, a astępą będzie9itak dalej. W astępym etapie podkreślamy 5, a wykreślamy wszystkie jej wielokrotości. Proces te kotyuujemy aż do wyczerpaia całego wypisaego a początku ciągu. Liczby ie wykreśloe (czyli te podkreśloe) są liczbami pierwszymi. Nazwa sito pochodzi od sposobu w jaki Eratostees zrealizował swój pomysł: a arkuszu papirusu umocowaym do odpowiediej ramy, wypisał koleje liczby, a astępie przekłuwał papirus w miejscach liczb złożoych. W rezultacie powstało coś w rodzaju sita, przez które wyciekły wszystkie liczby złożoe. Najwięksi matematycy wszystkich czasów poświęcali wiele pracy, aby zaleźć ogóly wzór do odszukiwaia liczb pierwszych. Legedre odkrył, że wyrażeie daje liczby pierwsze dla od 0 do 16, atomiast wyrażeie daje liczby pierwsze dla od 0 do 28. Euler odkrył, że wzór daje liczby pierwsze dla od0do39. Amerykai Escott zastąpił we wzorze Eulera przez -40 i otrzymał wyrażeie , które daje liczby pierwsze dla od0do79, wiele wartości się jedak powtarza. m 1 Na zakończeie jeszcze jede wzór: N m = Jeżeli w miejsce m będziemy podstawiali kolejo liczby pierwsze, oprócz 2, to wzór da am a razie liczby pierwsze: N 3 =3, N 5 =11, N 7 +43, N 11 =683,N 13 =2731, N 17 =43691, N 19 =174763, N 23 = , N 29 = , N 31 = , 16

17 Ale już przy m=37 wzór zawodzi, gdyż daje liczbę złożoą. Od dłuższego czasu koleje liczby pierwsze zajdujemy wśród tak zwaych liczb Merse'a. Są to liczby postaci M p =2 p -1, gdzie p jest liczbą pierwszą. Ich pierwszy badacz, Mari Mersee (1644r.) zdołał obliczyć, że M p jest pierwsza dla p=2,3,5,7,13,17,19. Fermat, a późiej Euler wykazali, że dzieliki liczb Merse'a są jedocześie postaci 2kp+1 i 8 ± 1, k,-liczby aturale, p-pierwsza. To odkrycie zaczie redukuje liczbę ewetualych dzielików liczb Mersee'a i Euler był w staie obliczyć, że M 31 = jest liczbą pierwszą. 8. Kogruecje liczbowe. Def. 1. Liczba całkowita a przystaje do liczby całkowitej b według modułu m jeżeli przy dzieleiu przez moduł daje tę samą samą resztę, co zapisujemy a b(mod m), gdzie m jest liczbą aturalą. Np. 7 13(mod2)bo7:2=3r1 13 : 2=6 r 1 Rówoważa defiicja: Def. 2.Liczba całkowita a przystaje do liczby całkowitej b według modułu m jeżeli różica a-b dzieli się przez m, Co zapisujemy *a b(mod m), gdzie m jest liczbą aturalą. Wzór * azywamy kogruecją. Dlawyrażeia, że liczbaa przystaje do liczby b według modułu m zakowaie * wprowadził C.F.Gauss, co czytamy: a przystaje do b modulo m. Np (mod 2), bo W zbiorze liczb całkowitych C określiliśmy relację zwaą kogruecją. 17

18 Liczbę m azywamy modułem kogruecji. Tw. 8.1 Relacja przystawaia (kogruecja) jest relacją rówoważości: a) zwrotość Dla każdej liczby całkowitej a i dla każdego aturalego m a a(mod m) b) symetria Jeżeli a b(mod m), to b a(mod m) c) przechodiość Jeżeli a b(mod m) i b c(mod m), to a c(mod m). Dowód. a) a a(mod m) poieważ dowola liczba aturala m jest dzielikiem a-a=0 b) Wystarczy zauważyć, że dwie liczby a-b oraz b-a są zawsze jedocześie podziele lub jedocześie iepodziele przez m. c) Mamy tożsamość: a-c=(a-b)+(b-c). Jeżeli m a-b i m b-c, to m a-c. Tw. 8.2 Jeżeli a b(mod m) i c jest liczbą całkowitą, to Dowód. a+c b+c(mod m) a-c b-c(mod m) a c b c(mod m) Korzystając ztożsamości: (a+c)-(b+c)=a-b (a-c)-(b-c)=a-b a c - b c=(a - b) c i założeia, żę m a-b mamy m [(a=c)-(b+c)] m [(a-c)-(b-c)] m (a c - b c), co kończy dowód. 18

19 Tw. 8.3 Jeżeli a b(mod m) i d jest aturalym dzielikiem a, b i m, to a b b d Dowód. (mod d m ). Jeżeli a b(mod m) id jest aturalym dzielikiem a, b i m, to istieje taka liczba p, że Tw. 8.4 a b m a b = p m oraz = p. d d d a b m (mod b d d Skąd mamy ). Jeżeli a b(mod m) id m, gdzied jest liczbą aturalą, toa b(mod d). Dowód. Jeżeli m a-b i d m, to poieważ dzielik dzielika daej liczby jest dzielikiem tejże liczby wyika, że d a-b, czyli a b(mod d). Tw. 8.5 Jeżeli a b(mod m) ic d(mod m), to Dowód. Korzystając ztożsamości: a+c b+d(mod m) a-c b-d(mod m) a c b d(mod m). (a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d) (a-c)-(b-d)=(a-b)-(c-d) a c-b d=(a-b) c+(c-d) b. i z założeia, że m a-b, m c-d mamy Tw. 8.6 m [(a+c)-(b+d)] m [(a-c)-(b-d)] m (a c-b d), co kończy dowód. Jeżeli a b(mod m), toa b (mod m), gdzie jest liczbą aturalą. 19

20 Dowód. Twierdzeie to jest uogólieiem tw. 8.5 a skończoą liczbę kogruecji. Tw. 8.7 Jeżeli a b(mod m) if(x)=c x +c -1 x c 1 x+c 0 Jest wielomiaem zmieej x o współczyikach całkowitych, to f(a) f(b)(mod m). Dowód. Z kogruecji a b(mod m) a podst. tw. 8.6 jest a b (mod m) i a podst. tw. 8.2 otrzymujemy Aalogiczie: c a c b (mod m). c -1 a -1 c -1 b -1 (mod m) c 1 a c 1 b(mod m) c 0 c 0 (mod m). Po dodaiu stroami tych kogruecji otrzymamy a podst. tw. 8.2 c a +c -1 a c 1 a+c 0 c b +c -1 b c 1 b+c 0 (mod m). Ale lewa stroa tej kogruecji jest wartością wielomiau f(x), gdy zamiast x podstawimy a, atomiast prawa stroa, gdy za x podstawimy b. Otrzymujemy f(a) f(b)(mod m). Weźmy pod uwagę kogruecję f(x) 0 (modm), gdzie m jest daą 1 liczbą aturalą, zaś f ( x) = c x + c 1x + c1x c0 wielomiaem stopia o + współczyikach całkowitych c,c -1,...,c 0. Pierwiastkiem kogruecji f(x) 0 (mod m) azywamy każdą liczbę całkowitą x, dla której jest oa prawdziwa. Z tw. 8.7 wyika, że jeżeli a jest pierwiastkiem kogruecji f(x) 0 (mod m), to każde liczba przystająca do a według modułu m jest rówież 20

21 pierwiastkiem tej kogruecji. Całą tę klasę liczb do siebie przystających według modułu m i spełiających daą kogruecję będziemy uważali za jede pierwiastek. Każda liczba całkowita przystaje według modułu m do jedej i tylko jedej liczby ciągu: 0,1,2,...,m-1, poieważ przystaje do swej reszty z dzieleia przez m. Przy pomocy kogruecji możemy wyrazić małe tw. Fermata. Tw. 8.8 Dla każdej liczby pierwszej p oraz każdej liczby całkowitej a zachodzi kogruecja Wiosek 8.9 a p a(mod p) Jeżeli p jest liczbą pierwszą, zaś a liczbą całkowitą iepodzielą przez p, to a p-1 1(mod p) Z małego tw. Fermata wyika, że jeżeli p jest liczbą pierwszą, to kogruecja x p-1 1(mod p) ma p-1 pierwiastków, którymi są liczby 1,2,...,p-1 oraz wszystkie liczby całkowite przystające do którejkolwiek z ich według modułu p, tz. wszystkie liczby całkowite iepodziele przez p. Przez ϕ() ozaczamy ilość liczb aturalych ie większych od. Tw (Eulera) Jeżeli a i są liczbami aturalymi i NWD(a,)=1, to a ϕ() -1 0 (mod) 9. Kryterium podzielości liczb aturalych. Każdą liczbę aturalą N w układzie pozycyjym dziesiątkowym zapisujemy astępująco: 21

22 N=c 10 +c c 1 10+c , gdzie każda z liczb c,c -1,...,c 1,c 0 jest jedą z liczb 0,1,2,..., 9. Np = Tę samą liczbę możemy rówież apisać tak: = = Wprowadzimy astępujące ozaczeie: liczbę 348 apisaą w układzie pozycyjym dziesiątkowym apiszemy tak: (348) 10 i ogólie: N=c 10 +c c 1 10+c 0 =(c c -1...c 1 c 0 ) 10, gdzie c c -1...c 1 c 0 ie jest oczywiście iloczyem. Np =(05) (60) (84) =(178) (690) 10 Ogóliej: N=c 10 +c c 1 10+c N=(c c -1 ) (c -2 c -3 ) w przypadku, gdy 2 ie jest dzielikiem. 2 N=(0c ) w przypadku, gdy 2. Podobie: 3 N=(c c -1 c -2 ) w przypadku, gdy 3-2, 2 2 +(c -1 c -2 ) (c 3 c 2 ) (c 1 c 0 ) (c 3 c 2 ) (c 1 c 0 ) (c 5 c 4 c 3 ) (c 2 c 1 c 0 ) 10 3 N=(0c c -1 ) (c 5 c 4 c 3 ) (c 2 c 1 c 0 ) 10 w przypadku, gdy 3-1, 3 N=(00c ) (c 5 c 4 c 3 ) (c 2 c 1 c 0 ) 10 w przypadku, gdy 3. Szczególy przypadek tw. 8.7 otrzymamy, gdy do f(x) podstawimyx=10 lub x=100 lub x=1000 itd. 22

23 Wtedy jest f(10)=c 10 +c c 1 10+c 0 =N f(100)=...+(c 5 c 4 ) (c 3 c 2 ) (c 1 c 0 ) 10 =N f(1000)=...+(c 8 c 7 c 6 ) (c 5 c 4 c 3 ) (c 2 c 1 c 0 ) 10 =N... Jeżeli więc 10 b(mod m), to f(10) f(b) (modm), czyli (*) m N-f(b). Poieważ zachodzi (*), więc aby m było podzielikiem liczby N, potrzeba i wystarcza, by m było podzielikiem liczby f(b) (a mocy tw. 1.2). Aalogiczie w przypadku x=100, x=1000 itd. Mamy więc astępujące kryterium podzielości liczby aturalej N przez liczbę aturalą m: Aby liczba aturala m była podzielikiem liczby aturalej N, potrzeba i wystarcza, by m było podzielikiem liczby f(b), przy czym f(b) spełia waruek f(10 ) f(b) (mod m), gdzie m jest liczbą aturalą. 10. Cechy podzielości przez 10,2,5,100,4,25,1000,125. Cechy podzielości przez wymieioe liczby moża podzielić a trzy grupy według sposobu wyprowadzaia. I grupa cech podzielości przez 10,2,5. Z kogruecji 10 0 (mod 10) wyika 10 N-f(0), czyli 10 N-c 0 Poieważ różica N-c 0 jest podziela przez 10, więc amocytw.1.2a to by 10 było dzielikiem liczby N, potrzeba i wystarcza, aby 10 c 0,co może astąpić jedyie wtedy, gdy c 0 =0. <<Aby daa liczba aturala była podziela przez 10, potrzeba i wystarcza, by liczba wyrażoa cyfrą jedości daej liczby była zerem.>> Z kogruecji 23

24 wyika Z kogruecji 10 0 (mod2) 2 N-f(0), czyli 2 N-c 0,astąd wyika cecha podzielości przez (mod5) wyika 5 N-f(0), czyli 5 N-c 0,astąd wyika cecha podzielości przez 5. Mamy więc <<Aby daa liczba była podziela przez 2 lub przez 5, potrzeba i wystarcza, by liczba wyrażoa cyfrą jedości daej liczby była podziela przez 2 lub przez 5.>> II grupa cech podzielości przez 100,4,25. Liczbę aturalą N przedstawimy astępująco: N=f(100)=...+(c 5 c 4 ) (c 3 c 2 ) (c 1 c 0 ) 10, A wtedy f(0)=(c 1 c 0 ) 10 =c 1 10+c 0 Z kogruecji (mod 100) wyika 100 N-f(0), czyli 100 N-(c 1 10+c 0 ). Stąd wyika cecha podzielości przez 100. <<Aby daa liczba aturala była podziela przez 100, potrzeba i wystarcza, by liczba wyrażoa cyframi dziesiątek i jedości daej liczby była zerem.>> Z kogruecji (mod4) wyika 4 N-f(0), czyli 4 N-(c 1 10+c 0 ), astąd cecha podzielości przez 4. Z kogruecji (mod 25) wyika 25 N-f(0), czyli 25 N-(c 1 10+c 0 ), astąd cecha podzielości przez

25 <<Aby daa liczba aturala była podziela przez 4 lub przez 25, potrzeba i wystarcza, by liczba wyrażoa cyframi dziesiątek i jedości daej liczby była podziela przez 4 lub przez25.>> III grupa cech podzielości przez 1000,125. Liczbę aturalą N przedstawimy w postaci: N= f(1000)=...+(c 8 c 7 c 6 ) (c 5 c 4 c 3 ) (c 2 c 1 c 0 ) 10 Z kogruecji (mod 1000) wyika 1000 N-f(0), czyli 1000 N-(c c 1 10+c 0 ), astąd cecha podzielości przez <<Aby daa liczba aturala była podziela przez 1000, potrzeba i wystarcza, by liczba wyrażoa cyframi setek, dziesiątek i jedości była zerem.>> Z kogruecji (mod 125) wyika 125 N-f(0), czyli 125 N-(c c 1 10+c 0 ), astąd cecha podzielości przez 125. <<Aby daa liczba aturala była podziela przez 125, potrzeba i wystarcza, by liczba wyrażoa cyframi setek, dziesiątek i jedości była podziela przez 125.>> 11. Cechy podzielości przez 9,3,7,11,13. Cechy podzielości przez wymieioe liczby podzielimy a dwie grupy ze względu a sposób wyprowadzaia. I grupa cech podzielości przez 9,3. Z kogruecji 25

26 10 1 (mod9) wyika 9 N-f(1), czyli 9 N-(c +c c 1 +c 0 ), astąd cecha podzielości przez 9. Z kogruecji 10 1 (mod3) wyika 3 N-f(1), czyli 3 N-(c +c c 1 +c 0 ), astąd cecha podzielości przez 3. <<Aby daa liczba aturala była podziela przez 9 lub przez 3, potrzeba i wystarcza, by suma jej cyfr była podziela przez 9 lub przez 3.>> II grupa cech podzielości przez 7,11,13. Z kogruecji (mod 7) (mod 11) (mod 13) wyika odpowiedio 7 N-f(-1), 11 N-f(-1), 13 N-f(-1), wioskujemy, że Jeżeli 7 (-1), to 7 N. Jeżeli 11 (-1), to 11 N. Jeżeli 13 (-1), to 13 N. Ale N= f(1000)=...+(c 8 c 7 c 6 ) (c 5 c 4 c 3 ) (c 2 c 1 c 0 ) 10, więc f(-1)=...+(c 8 c 7 c 6 ) 10 -(c 5 c 4 c 3 ) 10 +(c 2 c 1 c 0 ) 10. Mamy więc cechę podzielości przez 7 lub przez 11, lub przez 13. <<Aby daa liczba aturala była podziela przez 7 lub przez 13, potrzeba i wystarcza, by suma algebraicza a-b+c-d+... była podziela 26

27 przez 7, 11, 13, przy czym a=c c 1 10+c 0, b=c c 4 10+c 3, c=c c 7 10+c 6 itd., gdzie c 0,c 1,c 2,... to cyfry daej liczby aturalej.>> Np. Zbadajmy, czy jest podziele przez 7 lub przez 11, lub przez 13. Suma algebraicza a-b+c= =-588 dzieli się przez 7, a ie dzieli się przez 11 i przez 13. Stąd , 11 ie jest dzielikiem , 13 ie jest dzielikiem Podzielość przez 7 moża zbadać w iy sposób. Rozpatrzmy kogruecje poszczególych potęg liczby 10 według modułu 7: (mod7) (mod7) (mod7) (mod7) (mod7) (mod7) Badając dalsze potęgi liczby 10 stwierdzamy, że ciąg liczb 1,3,2,6,4,5 będzie się powtarzał, p (mod7),10 7 3(mod7),...Teciąg azywamy ciągiem charakterystyczym dla dzielika 7. Zbadamy, czy liczba jest podziela przez 7. Obliczamy sumę iloczyów poszczególych cyfr badaej liczby przez cyfry ciągu charakterystyczego: = =70 Liczba 70 dzieli się przez 7, zatem i liczba dzieli się przez 7. W razie iepodzielości daej liczby przez 7 przy tym sposobie badaia wiemy jaka jest reszta. 27