Odpowiedzi do zadań z szeregów, cz I. Zauważoe błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub a ćwiczeiach. Z góry dziękuję :-. a +, wsk. skorzystać z rówości a b a b, astępie a+b wyciągąć ajwyższe potęgi z liczika i miaowika, b 7 + + 7 7, z tw. o trzech ciągach, c 00 + 5, z tw. o trzech ciągach, 0 5 5 00, ( [( / / ] d / ( /, ( + ( + cos + si e 0, tw. o trzech ciągach, ( π f cos, ie istieje - rozważyć podciagi o umerach k +, 4k, albo 4k +, g e arctg( 0 π/ 0, h l 8 + l +6 l ( l + 6 l [ ], + 4 i 4, wyciągąć 4 z liczika i z miaowika, + + 7 9 + 7 j 4 4 7 4 4 7, j.w, 7 4 + 6 k, liczik rzędu, miaowik rzędu - moża też wyciągać 4 + pieczołowicie ajwyższe potęgi z liczika i z miaowika, l( + 5 l l( + 5 l + 5 l 5 (tw. o trzech ciągach, ( + 6 [ ( ] 6 + + m + (e e, + ( 4 +cos [ ( 4 + ] 4 +cos ( ( (e 4 /4 e. cos Bo 0. 4. ( + + 4 + 5 +... ( π 6 5 4.. Przypomieie: Szereg harmoiczy rzędu α: jest zbieży, gdy α >, a rozbieży, α gdy α. Szereg geometryczy o ilorazie q i pierwszym wyrazie a 0 0: a 0 q jest zbieży, gdy q <, a rozbieży, gdy q. a zbieży, ( ( + ( ( + 0,
b rozbieży, ( + /7 ( + /7 /7, /7 c zbieży, e e (, ( a szereg jest szeregiem geometryczym o ilorazie e e q /e, czyli jest zbieży, d zbieży, 0 < si < e rozbieży, ( + + + ( ( + ( + + 0, ie jest spełioy war. koieczy zbieżości szeregu, + ( f zbieży,, a szereg jest zbieży jako geometryczy o ilorazie, g rozbieży, si( si( 0, ie jest spełioy war. koieczy zbieżości, h rozbieży z kryterium porówawczego. (+. Poieważ, więc dla dostateczie dużych zachodzi <, czyli dla dostateczie dużych mamy >, i zbieży, z kryterium porówawczego, ( + + + + + ( + ( +, / j rozbieży, z kryterium porówawczego + + +... + + + ( + (+ (+, k rozbieży, bo graica ( ie istieje - podciąg o wyrazach parzystych dąży do [ ], podciąg o wyrazach ieparzystych do [ ] 0, l zbieży z kryterium porówawczego. Poieważ dla każdego zachodzi <, więc + + więc jest zbieży. a + 4. a rozbieży, a a + b rozbieży, a ( c zbieży, a a + d rozbieży, a 0 ( + + 4 <, z d Alamberta też wyj- e zbieży, a dzie, f zbieży, a g rozbieży, a. Szereg ( to szereg geometryczy o ilorazie /, + >,, 7, 7 >, ( + ( 0 / ( / 0 e e e <, ( +! 0+ ( + ( + 4 + ( +! 0 + [( 0 +4 ] + +4 0e >, + 4 + + + 5 <, ( + + [( ( + 0 ( + ( + 4 + + ] + + (e
e >. 5. a rozbieży (kryt. porówawcze, 4. Nierówość > zachodzi dla dostateczie dużych. b zbieży (kryt. porówawcze,, c zbieży (kryt. Cauchy ego lub d Alamberta, moża też się uprzedio wspomóc kryterium porówawczym, a + a a <, 7 d zbieży (kryt. porówawcze, + +... + ( (+ ( arctg e rozbieży (war. koieczy, π/ 0, ( f zbieży (kryt. porówawcze 0 < si, ( g rozbieży (war. koieczy, cos cos 0 0, a + h zbieży (kryt. d Alamberta a ( +! ( + +! ( <, (... e <, + i zbieży (kryt. Cauchy ego lub d Alamberta a a 5, j z kryterium Leibitza się ie da, bo ciąg a + ( 4 4 ie jest mootoiczy. Oglądamy więc szereg wyraz po wyrazie: ( [ 4 + ( ] [ 4 4 ] [ + 4 4 + ] [ 4 4 ] [ + 4 4 + ] +... 4 4 4 4 + 4 + 4 4 +... 6 4. Jest to więc szereg geometryczy o ilorazie 6 q, a więc jest zbieży. 6 a + 6. a rozbieży (uogólioe kryt. d Alamberta lub iespełiaie war. koieczego, a + a + 00 >, b zbieży warukowo: szereg ( + + jest zbieży z kryt. Leibitza: + a + +, a 5 + 0, a 0, a + a ( + + 4( + < 0, szereg ( + + + + + + + 4, + + jest rozbieży z kryt. porówawczego: c zbieży bezwzględie (uogólioe kryt. d Alamberta, albo ajpierw badamy szereg z modułami, który jest zbieży ze zwykłego kryt. d Alamberta, więc bez modułów też jest zbieży, d zbieży warukowo:
cos(π szereg l ( jest zbieży z kryt. Leibitza: l a l, a 0, a ( l [ ] 0, ( 0 ( l ( + l( + l + a + a ( + l( + ( l ( + l( + ( l l ( + ( + l( + ( l < 0, bo l ( + l <, szereg ( l l l. jest rozbieży z kryt. porówawczego: 6. Określ obszar zbieżości i obszar zbieżości bezwzględej szeregów potęgowych: a x 0, a +, q a a + a, R. Dla x oraz x szereg jest rozbieży (ie spełia waruku koieczego zbieżości. Obszarem zbieżości (zbieżości bezwzględej jest więc przedział (,, ( x b + +... + ( x, (+ x 0 0, a ( ( +, q a + a, R. a ( Dla x - oraz x mamy szeregi odpowiedio oraz. Pierwszy z ich (+ (+ jest zbieży z kryt. porówawczego, więc drugi też jest zbieży. (Korzystamy z twierdzeia a zbieży a zbieży. Obszar zbieżości (zbieżości bezwzględej szeregu to (, (4 x c (przykład zmieioy ( + (x 4 (, ( + x 0 4, a ( ( +, q, R. ( Dla x 6 mamy szereg + zbieży z kryterium Leibitza, dla x szereg + rozbieży z kryt. porówawczego. Obszar zbieżości to (, 6, obszar zbieżości bezwzględej to (, 6. y d Podstawiamy y 6 x i badamy szereg +. y 0 0, a +, q, R. Dla y ± mamy szereg rozbieży (ie spełia y war. koieczego. Szereg jest zbieży (zbieży bezwzględie dla y (,. + y (, < y < < 6 x < 9 < x < < x <. Obszarem (6 x zbieżości (zbieżości bezwzględej szeregu jest więc przedział (,. + 4
( (6 x Moża też zrobić przekształceie + ( (x ( (x + + i badać szereg dla x 0 oraz a ( + e x ( ( x, q R. Obszar zbieżości i zbieżości bezwzględej to (,. 5