Wykład z fzyk. Pot Posmykewcz 68 W Y K Ł A D VII Układy punktów matealnych zasada zachowana pędu. Do tej poy taktowaly cała take jak samochód, aketę, czy człoweka jako punkty matealne (cząstk) stosowaly zasady dynamk w celu ozwązana konketnych poblemów zwązanych z uchem tych pzedmotów. MoŜemy teaz pokazać, Ŝe zeczywśce take taktowane cał ozcągłych jest uspawedlwone: Dla układu punktów matealnych stneje tak punkt, zwany śodkem masy, któy pousza sę tak jak gdyby cała masa układu była skupona w tym punkce, a wszystke sły zewnętzne dzałające na układ były pzyłoŝone do tego punktu. Ruch dowolnego cała lub układu punktów matealnych moŝna opsać ozpatując uch śodka masy (któy moŝna sobe wyobazć jako uch całośc układu) plus uch poszczególnych punktów matealnych względem śodka masy. Pęd cząstk defnujemy jako masę cząstk pomnoŝoną pzez jej pędkość. Pęd układu jest ówny sume pędów poszczególnych cząstek. JeŜel wypadkowa sła zewnętzna dzałająca na układ cząstek jest ówna zeo (układ zolowany), wtedy całkowty pęd układu pozostaje stały. Jest to duga waŝna zasada zachowana w fzyce, zwana zasadą zachowana pędu. 8-1 Śodek masy. Rozpatzmy na początek w układze jednowymaowym posty układ składający sę z dwu cząstek. JeŜel mają one odpowedno masy m 1 m, a ch współzędne wynoszą x 1 x wzdłuŝ os x, to śodek masy x takego układu jest zdefnowany w następujący sposób: Mx + m1x1 mx 8-1 x x x Rysunek 8-1 Rysunek 8- Rysunek 8-3 gdze M m 1 + m jest całkowtą masą układu. Dla układu dwu cząstek śodek masy leŝy gdześ na ln łączącej oba punkty matealne. JeŜel cząstk mają jednakowe masy, to śodek masy leŝy dokładne pośodku mędzy nm (Rysunek 8-1). JeŜel masy cząstek ne są ówne to śodek masy układu leŝy blŝej cząstk o wększej mase (Rysunek 8-). JeŜel połoŝene masy m 1 wybezemy w początku układu
Wykład z fzyk. Pot Posmykewcz 69 współzędnych, wtedy x będze ówne odległośc mędzy cząstkam d połoŝene śodka masy moŝna zapsać jako: ( 0) m d Mx m1x1 + mx m + x m m d d 8- M m + m 1 Ćwczene. Masa 4 kg znajduje sę w początku układu współzędnych, a duga masa jest oddalona o 6cm. Znajdź naszkcuj połoŝene śodka masy. ( Odpowedź: x cm) Tę defncję śodka masy moŝna ozszezyć uwzględnając wele cząstek w układze tójwymaowym. Dla układu składającego sę z N punktów matealnych: gdze Mx m x + m x + m x + + m x m x 8-3a 1 1 M m jest całkowtą masą układu. Podobne: 3 3 N N My m y Mz m z 8-3b W zapse wektoowym, xî + y ĵ + z kˆ Wekto wodzący śodka masy jest zdefnowany jako: jest wektoem wodzącym -tego punktu matealnego. gdze M m xî + y ĵ + z Defncja - śodek masy układu punktów matealnych JeŜel mamy pzedmot o skończonych ozmaach, to znak sumy w ównanu 8-4 zastępujemy całką: kˆ. 8-4 M dm 8-5 Defncja - Śodek masy cała o skończonych ozmaach Rysunek 8-4
Wykład z fzyk. Pot Posmykewcz 70 gdze dm jest neskończene małą masą połoŝoną w odległośc jak jest to pokazane na ysunku 8-4. Gawtacyjna enega potencjalna układu mas. Potencjalna enega gawtacyjna układu punktów matealnych w jednoodnym polu gawtacyjnym jest taka, jak gdyby cała masa układu była skupona w śodku masy. Nech h będze wysokoścą, na jakej znajduje sę -ta cząstka układu mezoną względem pewnego pozomu odnesena. Wtedy potencjalna enega gawtacyjna układu będze ówna: U m gh g m h Ale z defncj śodka masy wynka, Ŝe wysokość śodka masy tego układu wyaŝa sę wzoem: W ezultace: Mh m h U Mgh 8-6 MoŜemy wykozystać ten wynk w celu ekspeymentalnego zlokalzowana śodka masy. Na pzykład dwa cała połączone cenkm pętem będą znajdować sę w ównowadze, jeŝel oś będze pzechodzć pzez śodek masy tego układu (Rysunek 8-5). JeŜel następne oś obotu podczepmy pod dowolny nny punkt, to układ będze obacać sę aŝ do momentu, gdy śodek masy znajdze sę w najnŝszym punkce, ponowo pod osą (Rysunek 8-6). Rysunk 8-5, 8-6 8-7 dostępne tylko podczas wykładu w aul. JeŜel podwesmy jakś pzedmot o neegulanych kształtach, to pzedmot ustaw sę tak, Ŝe śodek masy będze leŝał gdześ na ponowej postej popowadzonej z punktu zaczepena. Podwey teaz ten pzedmot zaczepając go w nnym punkce zaznaczmy jak pzechodz ponowa posta popowadzona z nowego punktu zaczepena. Śodek masy tego pzedmotu znajdzemy w punkce pzecęca sę tych dwu ln (Rysunek 8-7).
Wykład z fzyk. Pot Posmykewcz 71 8- Ruch śodka masy. Rysunek 8-8 pzedstawa mgawkową fotogafę metalowego pęta podzuconego do góy. Mmo, Ŝ uch pęta jest skomplkowany, to uch jego śodka masy jest posty. Gdy pęt znajduje sę w powetzu, śodek masy zakeśla to będący paabolą, tak sam, jak zakeśla pojedynczy punkt matealny. PokaŜemy, Ŝe ogólne pzyspeszene śodka masy Rysunek 8-8 układu punktów matealnych jest ówne wypadkowej sle zewnętznej dzałającej na układ podzelonej pzez masę układu. W pzypadku pęta zuconego w powetze g pzyspeszene śodka jego masy jest ówne jest skeowane do dołu. Aby znaleźć pzyspeszene śodka masy, oblczmy najpew jego pędkość popzez polczene pochodnej po czase z ównana 8-4: d d1 d d3 d M m1 + m + m3 + m lub Mv m1v1 + m v + m3v3 + m v 8-7 Polczmy pochodną obu ston ównana 8-7 jeszcze az, aby otzymać pzyspeszene śodka masy: Ma m1a1 + m a + m3 a3 + m a 8-8 Zgodne z dugą zasadą dynamk Newtona moŝemy zastąpć m a pzez F - wypadkową słę dzałającą na - tą cząstkę. Sły, któe dzałają na punkt matealny dzelą sę na dwe kategoe: sły wewnętzne spowodowane oddzaływanem mędzy cząsteczkam wewnątz układu sły zewnętzne powstające w wynku oddzaływana jakegoś czynnka z zewnątz układu: F m a F,wew + F,zez Podstawając to do ównana 8-8 otzymujemy: Ma F,wew + F,zew 8-9
Wykład z fzyk. Pot Posmykewcz 7 Zgodne z tzecą zasadą dynamk kaŝdej wewnętznej sle dzałającej na daną cząstkę odpowada taka sama sła tylko pzecwne skeowana, dzałająca na nną cząstkę. Zatem sły wewnętzne występują tylko w postac pa ównych pzecwne skeowanych sł. JeŜel pzepowadzmy sumowane po wszystkch cząstkach układu, to sły wewnętzne znosą sę - 0 F, wew pozostaną tylko sły zewnętzne: F wyp,zew F,zew Ma 8-10 Duga zasada dynamk Newtona dla układu punktów matealnych Oznacza to, Ŝe zewnętzna sła dzałająca na układ jest ówna całkowtej mase układu M azy pzyspeszene śodka masy układu a. Tak węc, Śodek masy układu pousza sę tak jak punkt matealny o mase wpływem wypadkowej zewnętznej sły dzałającej na układ. M m znajdujący sę pod Twedzene to jest waŝne ze względu na to, Ŝe opsuje uch śodka masy dowolnego układu punktów matealnych. Śodek masy zachowuje sę po postu jak pojedynczy punkt matealny, na któy dzałają sły zewnętzne. Ruch oddzelnej cząstk układu jest zwykle znaczne badzej skomplkowany ne moŝe być opsany pzez ównane 8-10. Pzykładem tego jest pęt metalowy zucony w góę na ysunku 8-8. W tym wypadku jedyną zewnętzną słą dzałającą na układ jest sła gawtacj, w ezultace tego śodek masy pęta pousza sę po paabol tak jak pouszałby sę pojedynczy punkt matealny. P R Z Y K Ł A D. Pocsk zostaje wystzelony pod kątem 36,9 0 do pozomu z pędkoścą początkową 4,5m/s. W najwyŝszym punkce tou eksploduje ozywając Rysunek 8-9 sę na dwe częśc o ównych masach. Jedna część spada ponowo w dół bez pędkośc początkowej na zemę. Gdze upadne duga część pocsku? Analza zadana. PonewaŜ jedyną zewnętzną słą dzałającą na układ jest sła gawtacj, to śodek masy znajdujący sę pośodku mędzy częścam będze pouszał sę dalej po paabol tak jak gdyby ne nastąpło ozewane pocsku (Rysunek 8-9) Śodek masy upadne w odległośc x R, gdze R jest zasęgem. Część, któa spadła ponowo w dół upadne w punkce x 1 0,5R. Dug kawałek mus upaść węc w punkce x 1,5R. Nech m oznacza masę kaŝdej częśc.
Wykład z fzyk. Pot Posmykewcz 73 1. PołoŜena x 1 x upadku fagmentów pocsku są zwązane mx 1 + mx ( m) x z końcowym połoŝenem śodka masy zaleŝnoścą:. Podstaw R x x 1 0,5 R oblcz 3. Znajdź zasęg dla danej pędkośc początkowej: x : x 1 ( 4,5m / s) 0 sn( 73,8 ) 58,8m v0 R sn θ g 9,81m / s 4. Podstaw tę watość do R w celu znalezena x : x x R 0,5R x 1,5R 8,m 1,5 R Uwaga. JeŜel oba fagmenty po ozewanu pocsku ne mają składowej ponowej pędkośc, wtedy upadną w tym samym momence. JeŜel jedna z częśc pocsku ma składową ponową pędkośc skeowaną do góy, to duga część mus meć składową ponową pędkośc skeowaną do góy. Fagment pouszający sę do dołu udezy w zemę pewszy ponewaŝ zema wywze słę na nego zanm dug spadne, to analza zadana z punktu wdzena układu śodka masy zawedze, ponewaŝ pojaw sę w układze nezównowaŝona sła. 8-3 Zasada zachowana pędu. Pęd punktu matealnego jest zdefnowany jako loczyn masy pędkośc: p mv 8-11 Defncja Pęd punktu matealnego Pęd jest wektoem moŝna go sobe wyobaŝać loścowo jako maę wysłku jak tzeba włoŝyć aby dopowadzć cząstkę do zatzymana. Na pzykład, cęŝka cęŝaówka ma wększy pęd nŝ lekk samochód osobowy jadący z tą samą pędkośc. Do zatzymana cęŝaówk w okeślonym czase potzebna jest wększa sła nŝ do zatzymana samochodu w tym samym czase. Dugą zasadę dynamk Newtona moŝna zapsać wpowadzając pęd cząstk. ZóŜnczkujmy ównane 8-11 po czase: dp d ( mv ) dv m ma Podstawając następne słę F wyp zamast ma otzymamy: