WYTRZYMAŁOŚĆ MATERAŁÓW REOLOGA Naukę zajmującą się badaiem zachodzącch w czasie odkształceń ciał azwa się reologią. W reologiczm rówaiu stau musi zatem wstęować czas. Reologicze rówaie stau, sformułowae dla jedoosiowego rozciągaia, zgodie z jedą z klasczch teorii teorią starzeia ma ostać: F ( σ, ε, t) 0 T cost w której: σ aręŝeie, ε odkształceie, t czas, T temeratura. owŝsze rówaie odowiada załoŝeiu, Ŝe w określoej temeraturze istieje ewa owierzchia we wsółrzędch σ, ε, t. o rzecięciu tej owierzchi łaszczzami rostoadłmi do oszczególch osi układu σ, ε, t otrzmuje się trz róŝe rodzaje krzwch, a miaowicie: krzwe ełzaia uzskae rzez rzecięcie owierzchi F(σ,ε,t) łaszczzami σ cost (rs. ), Rs.. Krzwe ełzaia
krzwe relaksacji uzskae rzez rzecięcie owierzchi F(σ,ε,t) łaszczzami ε cost (rs. ), Rs.. Krzwe relaksacji. izochroicze krzwe ełzaia uzskae rzez rzecięcie owierzchi F(σ,ε,t) łaszczzami t cost (rs. ). Rs.. zochroicze krzwe ełzaia. ełzaie i relaksacja to dwa odstawowe roces reologicze.
EŁZANE ełzaie jest to zjawisko zmia odkształceia elemetu w czasie od włwem stałego aręŝeia (obciąŝeia) w stałej temeraturze. W temeraturze okojowej ełzaie uwidaczia się w tworzwach sztuczch i w stoach metali lekkich, w temeraturach odwŝszoch i wsokich takŝe w stalach. ełzaie moŝe bć sręŝste albo lastcze (rs. 4). W ierwszm rzadku odkształceia zmiejszają się o odciąŝeiu ajierw bardzo szbko, a astęie owoli w miarę ułwu czasu i w końcu zaikają całkowicie. W drugim rzadku ie zikają całkowicie. W metalach zachodzi rzede wszstkim ełzaie lastcze, w tworzwach sztuczch sręŝste i lastcze, w zaleŝości od stau tworzwa. olimer usieciowae charakterzują się ełzaiem sręŝstm, a ieusieciowae lastczm. Rs. 4. ełzaie sręŝste i lastcze. OA - odkształceie sręŝste ε s σ/e, AB odkształceie ełzaia ε, BC awrót sręŝst ε s σ/e, CD awrót iesręŝst ε e, odkształceie trwałe ε t. Wkres ełzaia W obliczeiach części masz z uwzględieiem ełzaia wkorzstuje się w zasadzie wiki badań róbek w jedoosiowm staie aręŝeia (roste rozciągaie). rawidłowa ocea waruków bezieczej rac takich części masz wmaga zajomości zmia odkształceia i aręŝeia. Wikają stad dwa główe zadaia. Jedo to ustaleie zaleŝości odkształceia od czasu ε ε ( t ) dla σ cost (rs. 5), drugie zaś to określeie związku międz rędkością ełzaia a aręŝeiem i temeraturą & ε & ε ( σ, T )
Rs. 5. Wkres ełzaia. roces ełzaia, któr rozocza się w ukcie A, moŝa odzielić a trz okres: okres ełzaia ieustaloego, charakterzując się ciągłm zmiejszaiem się rędkości odkształceia (odciek AB), okres ełzaia ustaloego o stałej rędkości odkształceia (odciek BC), okres ełzaia rzsieszoego, w którm rędkość odkształceia wzrasta, co rowadzi do złomu (odciek CD). Odkształceie moŝa odzielić a odkształceie oczątkowe (atchmiastowe) ε o, które moŝe bć sręŝste lub sręŝste i lastcze oraz odkształceie ełzaia ε, które składa się z trzech części odowiadającch trzem zakresom ełzaia: ε, ε, ε. Odkształceie atchmiastowe ie jest wikiem ełzaia i w uroszczoch obliczeiach części masz jest omijae. W dokładiejszch obliczeiach ie moŝa jedak omijać tego odkształceia, gdŝ o zachowaiu się kostrukcji odczas uŝtkowaia decduje wartość odkształceia, a ie sosób jego owstaia. Aaliza trzeciego okresu ełzaia umoŝliwia ozaie mechaizmu ziszczeia i określeie krterium ziszczeia elemetu w warukach ełzaia. Odkształceie owstałe w trzecim okresie ełzaia ie uwzględia się jedak zazwczaj w obliczeiach iŝierskich, oiewaŝ ze względu a bezieczeństwo kostrukcji wejście jakiegokolwiek jej elemetu w trzeci okres ełzaia rzjmuje się często za jej ziszczeie. 4
Całkowite odkształceie odczas ełzaia (dla małch odkształceń według Adrade a) oisuje astęujące rówaie: ε ε o ε ε o β t Kt Odkształceie ełzaia: ε βt Kt obejmuje odkształceie w okresie ełzaia (czło β t ) i w okresie ełzaia(czło K t ), gdzie β i K fukcje aręŝeia i temeratur. RóŜiczkując owŝsze rówaie względem czasu otrzmam zaleŝość dε rędkości ełzaia & ε od czasu: dt ε& At K w której A fukcja aręŝeia i temeratur. ZaleŜość rędkości ełzaia od czasu w ierwszm okresie ełzaia (ełzaie ieustaloe) moŝa rzedstawić w ogólej ostaci: ε& A t gdzie stała materiałowa (0 ). Stała rędkość ełzaia w drugim okresie ełzaia (ełzaie ustaloe) K cost jest miimalą rędkością w rocesie ełzaia. Teoretcze określeie zaleŝości tej rędkości od aręŝeia i temeratur jest trude. Taką zaleŝość określa się doświadczalie. Ozaczając rzez ε& rędkość odkształceia rz ełzaiu ustalom rzedstawia się tę wielkość jako fukcję aręŝeia za omocą formuł emirczch, sośród którch moŝa wmieić trz astęujące: & ε kσ () 5
ε& C(e σ s ) () & ε σ Dsih d () gdzie: k, C, D,, s, d stałe zaleŝe od materiału i temeratur. Najbardziej zaą i owszechie stosowaą w zakresie ełzaia ustaloego jest formuła () zwaa zaleŝością Nortoa-Bailea. W formule tej zaleŝość stałej k od temeratur moŝa rzedstawić astęująco: k U k ex RT gdzie k stała materiałowa, R stała gazowa, U eergia aktwacji. Rs. 6. Wkres ełzaia stali HN8 w róŝch temeraturach rz stałm aręŝeiu. 6
Rs. 7. Wkres ełzaia stali HN8 w stałej temeraturze rz róŝch aręŝeiach. Hiotez ełzaia Techicze hiotez ełzaia moŝa zestawić w trzech zasadiczch gruach, jako: ) hiotez starzeia (Adrade-99, Soderberg-96, Robotow-948) które rz σ cost rerezetuje zais ε σ σ Φ E ( t ) ( t ) ) hiotez łięcia (Norto-99, Nari-946), które rerezetuje rówaie & ε σ J ( t ) ( t ) ) hiotez wzmocieia (Nadai-98, Daveort-98), które rerezetuje zais & ε Aε ( t ) ( t ) aσ 7
gdzie: Φ ( t ) fukcja ełzaia, J ( t ) jądro ełzaia,, A, a stałe. rzjmując dla drugiego okresu ełzaia (decdującego o wtrzmałości a ełzaie) w hiotezach gru i Φ J otrzmam ( t ) k t ( t ) k σ ε ( t ) k tσ E & ε ( t ) kσ ε << Zakładając oadto, Ŝe raktczie s ε ( t ) otrzmam według hiotez starzeia ( t ) Wtrzmałość długotrwała, trwałość ε k tσ. Wtrzmałość trwała a rozciągaie R jest to ajwiększe aręŝeie, które ie sowoduje rozerwaia róbki o dowolie długim czasie. Wzaczeie tego aręŝeia jest iemoŝliwe. Dlatego wrowadza się wielkości umowe charakterzujące wtrzmałość długotrwałą: Graica ełzaia R xtt jest to iloraz stałego obciąŝeia F xtt rzez rzekrój oczątkow S 0 róbki, które to obciąŝeie o ułwie określoego czasu t w daej temeraturze T sowoduje trwałe wdłuŝeie róbki o określoą wartość x R xtt F xtt S 0 8
Wtrzmałość a ełzaie R ztt jest to iloraz stałego obciąŝeia F ztt rzez rzekrój oczątkow S 0 róbki, które to obciąŝeie o ułwie określoego czasu t w daej temeraturze T sowoduje rozerwaie róbki R ztt F ztt S 0 Trwałość t z róbki, czli czas do jej ziszczeia (rozerwaia) wzacza się a odstawie doświadczeń. Doświadczala zaleŝość Mokmaa-Grata ma ostać t z Cε& w której C, m stałe materiałowe. Jest to zaleŝość trwałości od rędkości ełzaia ustaloego. ZaleŜość trwałości od wtrzmałości a ełzaie jest takŝe fukcją otęgową m m t z AR ztt (*) w której A, m stałe materiałowe (zaleŝe od temeratur i charakteru ziszczeia). Ziszczeie (złom) róbki wkoaej z metalu odczas ełzaia moŝe astąić o wtworzeiu się rzewęŝeia lokalego, czli szjki (złom leki), albo bez lokalego rzewęŝeia (złom kruch). Złom leki jest charakterstcz w odowiedio iskich temeraturach i rz duŝch rędkościach odkształceia. Złom kruch obserwuje się atomiast w odowiedio wsokich temeraturach i rz małch rędkościach odkształceia. Złom leki ma charakter śródkrstalicz, a kruch międzkrstalicz. W temeraturach ośredich złom ma charakter miesza. Na rsuku 8 okazao zaleŝość wtrzmałości a ełzaie R ztt od trwałości t z we wsółrzędch logartmiczch. Wkres tej zaleŝości ma charakter liii łamaej składającej się z dwóch rostch, którch kąt achleia określają dwie róŝe wartości wkładika m w rówaiu (*). rosta a rs. 8 określa zakres złomów lekich, a rosta zakres złomów kruchch, atomiast liią kreskowaą AB zazaczoo zakres złomów mieszach. W literaturze moŝa zaleźć schemat wstęowaia oszczególch odmia mechaizmów ełzaia, zwae maami Aschb ego. 9
Rs. 8. ZaleŜość wtrzmałości a ełzaie R ztt od trwałości t z. Na rsuku 9 okazao zaleŝość trwałości t z od wtrzmałości R ztt dla róbek wkoach ze stali HN8, badach w warukach ełzaia w róŝch temeraturach rz róŝch oziomach aręŝeia. Rs. 9. ZaleŜość trwałości t z od wtrzmałości R ztt dla stali HN8. 0
RELAKSACJA Relaksacja aręŝeń jest to zjawisko zmiejszaia się aręŝeń w elemetach oddach działaiu obciąŝeń długotrwałch rz stałej wartości odkształceia całkowitego. Najbardziej towm rzadkiem relaksacji jest zmiejszaie się aręŝeń w śrubach łączącch kołierze rurociągów. Badaia relaksacji mają a celu określeie czasu relaksacji albo czasu, o którm wartość aręŝeia w elemecie (którego odkształceie całkowite w daej temeraturze jest stałe) zmiejsz się do oziomu określoego warukami eksloatacji. Czas relaksacji t r jest to czas, o którm aręŝeie oczątkowe σ 0 zmiejsz się do wartości σ 0 /e, gdzie e odstawa logartmu aturalego. Wika to z zaleŝości oisującej zachowaie się modelu reologiczego Maxwella: σ σ 0 e t t r jeŝeli rzjmie się t t r. ZaleŜość aręŝeia od czasu, oisującą zjawisko relaksacji, moŝa uzskać rówieŝ w i sosób z waruku stałego odkształceia całkowitego (z omiięciem odkształceia atchmiastowego). Rozatrzm rzadek ołączeia śrubowego (rs. 0). Rs. 0. ołączeie śrubowe. Dla uroszczeia załóŝm, Ŝe śruba ściąga absolutie sztwe ołączeie tak, Ŝe odległość l międz owierzchiami odkładek ozostaje w ciągu rac śrub iezmiea. Uwzględiam ełzaie tlko samej śrub.
Wówczas ε C ε S ε cost gdzie: / E ε C σ 0 T odkształceie całkowite, 0 σ aręŝeie oczątkowe, ε S E T odkształceie sręŝste, σ / moduł Youga w daej temeraturze. ε odkształceie ełzaia, E T A więc σ 0 σ E T E T ε o zróŝiczkowaiu tej zaleŝości względem czasu otrzma się rówaie 0 E T dσ dt dε dt & σ & ε E T W wielu rzadkach odkształceie w ierwszm okresie ełzaia jest duŝo miejsze iŝ odkształceie w drugim okresie ełzaia, wobec tego moŝa rzjać & ε & ε kσ Wówczas o rzekształceiach otrzmam zaleŝość kσ E T dσ dt a stąd dt ke T o obustrom scałkowaiu (z wkorzstaiem waruków brzegowch σ σ 0 dla t 0) otrzma się zaleŝość dσ σ t ( ) ke T σ σ 0 ZaleŜość tę moŝa odwzorować wkreślie (krzwa relaksacji), jak a rs. i z tego wkresu wzaczć wartości aręŝeń o określoch czasach działaia obciąŝeia w daej temeraturze, gd ε cost.
Rs.. Krzwa relaksacji i określeie czasu relaksacji. Doświadczale krzwe relaksacji ajleiej rzedstawiać w układzie σ/σ 0 logt (rs. ). Będą to liie roste (roste regresji), które wzacza się metodą ajmiejszch kwadratów a odstawie uzskach wików omiarów. Czas relaksacji określa ukt rzecięcia rostej regresji z rostą oziomą σ/σ 0 /e. Rs.. ZaleŜość aręŝeia od czasu.
LTERATURA [] R. śuchowski: Wtrzmałość materiałów, Ofica Wdawicza olitechiki Wrocławskiej, Wrocław 998. [] J. Skrzek: lastczość i ełzaie. Teoria, zastosowaia, zadaia, WN, Warszawa 986. [] N. N. Malii, J. RŜsko: Mechaika materiałów, WN, Warszawa 98. [4] raca zbiorowa: Laboratorium wtrzmałości materiałów, Ofica Wdawicza olitechiki Wrocławskiej, Wrocław 00. [5] R. śuchowski: Zmęczeie ciele metali i elemetów kostrukcji, race Naukowe MMT ol. Wr., Seria: Moografie, Wdawictwo olitechiki Wrocławskiej, Wrocław 98. [6] A. Jakubowicz, Z. Orłoś: Wtrzmałość materiałów, Wdawictwa Naukowo-Techicze, Warszawa 978. [7] Norm: N-EN 09:00 Metale. róba ełzaia rz jedoosiowm rozciągaiu. Metoda badaia. N-EN SO 899-:005 Tworzwa sztucze. Ozaczaie charakterstki ełzaia. Część : ełzaie odczas rozciągaia. N-EN SO 899-:005 Tworzwa sztucze. Ozaczaie charakterstki ełzaia. Część : ełzaie odczas zgiaia rz trzuktowm obciąŝeiu. N-EN 09-:005 Metale. Badaie relaksacji aręŝeń w róbie rozciągaia. Część : Metoda badaia rz uŝciu masz wtrzmałościowch. 4
OBLCZENA WYTRZYMAŁOŚCOWE RZY EŁZANU Rozciągaie Metod obliczeń a ełzaie moŝa zestawić w trzech gruach: ) douszczalego odkształceia ε do σ σ do eksloatacji ε k t do E, gdzie: k stała z rówaia Nortoa-Bailea, t E czas ) douszczalej rędkości ełzaia w drugim okresie ε& do σ σ do & ε k do, gdzie: k stała z rówaia Nortoa-Bailea ) douszczalego aręŝeia k R σ ; ztt k k x R x xtt, gdzie: x wsółczik bezieczeństwa Tabela. ełzaie - arametr douszczale Odkształceie Agregat Elemet kostrukcj ε Kotł arowe Turbi arowe do Czas eksloatacji t [h] E rędkość ełzaia ε& [/h] węŝowice 0,000 0 000 0-6 0-5 rurociągi arowe rur kotłowe do 0,000 00 000 0-7 tarcze wirujące 0,000 00 000 0-9 śrub, kołierze 0,000 00 000 0-8 5
Zgiaie Rozatrzm rzadek rówomierego zgiaia ręta o stałm rzekroju i osi rostej. rzjmujem astęujące załoŝeia uraszczające: ręt ma łaszczzę smetrii, w której leŝą wszstkie sił obciąŝające; orzecz rzekrój zgiaego ręta odczas odkształcaia się ozostaje łaski; w ręcie wstęuje jedoosiow sta aręŝeia; ełzaie rz rozciągaiu i ściskaiu oisuje się tą samą zaleŝością; rozatrujem jedie ustalo sta ełzaia & ε kσ. NaręŜeia Odkształceie względe ε x w kieruku osi ręta x w ukcie rzekroju oddalom o od osi obojętej (rs. ) wraŝa się wzorem ( ρ ) dϕ ρ dϕ ε x ε κ, gdzie κ krzwiza odkształcoej ρ dϕ ρ osi ręta. Rs..Odkształco odciek ręta. 6
RóŜiczkując ostatie wraŝeie względem czasu otrzmuje się & ε & κ, gdzie κ& - rędkość zmia krzwiz. Uwzględiając rzjęte załoŝeie o rozatrwaiu tlko ełzaia ustaloego, & mam kσ & κ, a stąd σ κ k Jest to zaleŝość dla aręŝeń dodatich σ > 0, dla aręŝeń ujemch rędkość aleŝ uwaŝać za ujemą. Wrowadzając wartość bezwzględą do owŝszego rówaia moŝa je rzedstawić w ostaci ogólej, obejmującej obdwa rzadki, a więc dla σ > 0 i dla σ < 0. & σ κ k W celu wzaczeia rozkładu aręŝeń w ręcie zgiam aleŝ określić ołoŝeie osi obojętej zgiaia z w rzekroju oraz wartość κ&. MoŜa to uczić wiedząc, Ŝe układ sił wewętrzch w orzeczm rzekroju ręta w rzadku czstego zgiaia srowadza się do ar sił o momecie M, a więc rówaia rówowagi rzjmują astęująca ostać: X σ da 0 ( A) σ M z σ da M 0 da ( A) ( A) M odstawiając wcześiej wrowadzoą zaleŝość a σ, otrzmam: κ& k ( A) da M κ& k lub o rzekształceiach (#) M gdzie da jest geometrczą charakterstką rzekroju ( A) ręta odlegającego ełzaiu, wzaczoą względem osi obojętej z. Łatwo zauwaŝć, Ŝe dla, z momet bezwładości rzekroju orzeczego ręta względem osi z. 7
Wzór określając rozkład aręŝeń w rzekroju orzeczm ręta odlegającego ełzaiu w staie ustalom rzjmuje ostateczie ostać: σ M Alteratw zais: σ M, gdzie ( A) da Liia ugięcia Zbadajm ugięcie belki (teraz ozacza ugięcie, a ie odległość od osi z), odlegającej ełzaiu w staie ustalom, od włwem stałego obciąŝeia zewętrzego. W takim rzadku & ε & ε ie zaleŝ od czasu. Z tego wika, Ŝe rędkość zmia krzwiz osi belki κ& teŝ ie zaleŝ od czasu. A zatem moŝa rzjąć, Ŝe krzwiza jest liiową fukcją czasu t określoą wzorem κ & κ t. rz załoŝeiu małch odkształceń, krzwizę moŝa wrazić wzorem κ. Uwzględiając rówaie (#) otrzmuje się astęujące rówaie x róŝiczkowe odkształcoej osi belki odlegającej ełzaiu x k t M Weźm od uwagę belkę swobodie odartą o roziętości l obciąŝoą siłą skuioą w środku (rs. 4). Rs. 4. Ugięcie belki odlegającej ełzaiu. 8
9 W ierwszm rzedziale belki (0 < x < l/) momet zgiając w rzekroju o wsółrzędej x wraŝa się wzorem M (/)x i rówaie róŝiczkowe rzjmuje ostać x k t x Całkując to rówaie względem x otrzmuje się ) ( t C x k t x ZaleŜą od czasu fukcję C (t) wzacza się z waruku, Ŝe dla x l/ ze względu a smetrię 0 x ) ( l kt t C rz wzaczoej fukcji C (t) orzedie wraŝeie rzjmuje ostać x l kt x o oowm scałkowaiu i uwzględieiu waruku (0) 0, ugięcie wraŝa się fukcją x x l kt Największe ugięcie max wstęuje w środku belki (x l/) i jest rówe
max kt l Zakładając, Ŝe maksmale ugięcie belki o ułwie czasu t E ie owio rzekraczać wartości douszczalej do dochodzi się do waruku odkształceiowego w ostaci rówaia ( max ) ( max ) do sr gdzie: ( max ) sr ajwiększe ugięcie sręŝste, ( max ) ajwiększe ugięcie wwołae ełzaiem. W rzadku obliczaia belki obciąŝoej siłą skuioą w środku owŝsz waruek rzjmuje ostać l 48 E z kt E l do E z sztwość zgiaia belki. Z ostatiej zaleŝości moŝa wzaczć douszczale obciąŝei belki wikające z waruku odkształceiowego (rzemieszczeiowego). Alteratw zais: f x k t M f max k t Φ gdzie: f ugięcie belki, Φ - fukcja zaleŝa od rodzaju odarcia i obciąŝeia belki 0
Skręcaie NaręŜeia określa zaleŝość (rs. 5) τ M s ρ Rs. 5. Odciek ręta odlegając skręcaiu.
Uogólio momet rzekroju kołowego 0 R R d π ρ ρ π Jedostkow kąt skręceia s M kt θ
RZYKŁADY Zadaie. Układ rzedstawio a rsuku, składajac się z dwóch rętów i o jedakowej długości i rzekroju (wkoach z tego samego materiału) oraz ieodkształcalej belki, jest obciąŝo stałą siłą. Wzaczć rzemieszczeie f od siłą w czasie (f f(t)), uwzględiając efekt ełzaia ustaloego. Dae: A A A, a,, k, S S a a a l l A L L f(t) L f Rozwiązaie Związki fizcze & ε, kσ & (*) ε kσ Waruki geometrcze L L L 6a 4a a L L L ε ε (**) Waruki rówowagi M A 6a 4S a S a 0 S S 0 σ A σa 0 (***) o uwzględieiu rówań (*) w rówaiu (**) otrzmujem σ σ Wrowadzając tą zaleŝość do rówaia (***) mam
4 ) ( A σ oiewaŝ l A tk l tk L L ) ( σ ε, to z zaleŝości geometrczej (**) l A tk L L t f ) ( ) ( Zadaie. Zbadać rozkład aręŝeń w rzekroju rostokątm belki oddaej czstemu zgiaiu w warukach ełzaia ustaloego. Rozwiązaie Rozkład aręŝeń w rzekroju orzeczm belki określa zaleŝość M σ W aszm rzadku mam momet zgiając rówa się mometowi M. M x b h d l
Uogólio momet bezwładości rzekroju wosi ( A) da dla rozatrwaego ( A) h/ da 0 b d h b Największe wartości σ max aręŝeń wstęują we włókach skrajch belki (z h/) i woszą σ M M h b h 4M bh 6M bh W rzadku, gd wartość aręŝeia jest rówa max σ, która to wartość odowiada zgiaiu w zakresie sręŝstm. Gd rozkład aręŝeń w ręcie dąŝ do rozkładu w staie całkowicie ulastcziom. Zadaie. Obliczć maksmale aręŝeia stcze τ s oraz jedostkow kąt skręceia θ w warukach ełzaia ustaloego dla wału stalowego zamocowaego i obciąŝoego mometem skręcającm M s knm, jak a rs. o t E 000h. Stadium ieustaloego ełzaia omiąć. Materiał wału stal węglowa. 9 rędkość ełzaia ustaloegoν& kτ s, k 0,5 0,, 00 Ma h Temeratura T 600 C(87K), G 6 0 4 Ma. Średica wału d 0,05m. 5
d 0,05m l m M s Rozwiązaie NaręŜeia wzaczam ze wzoru τ M s ρ Uogólio momet rzekroju kołowego jest rów π d π 0 ( 0,05) ( ) 0,884 0,05 m. oiewaŝ M s M 0 Nm, ρ, otrzmujem więc d ( 0,05) ( 0,05) 0 τ, 97Ma 0,884 Jedostkow kąt skręceia (całkowit) M s θ G 0 M kt 0,884(0,05) 0 s 0 6 0 0 4 π d 0,5 0 0 9 0 0,07 0,9 0,49 rad / m 8 6