Teoria sygna³ów. Wstêp. Wydanie II poprawione i uzupe³nione

IDZ DO PRZYK ADOWY ROZDZIA KATALOG KSI EK ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG Wydawnicwo Helion ul Chopina 6 44- Gliwice el (32)23-98-63 e-mail: helion@helionpl TWÓJ KOSZYK CENNIK I INFORMACJE ZAMÓW INFORMACJE ONOWOŒCIACH ZAMÓW CENNIK CZYTELNIA SPIS TREŒCI KATALOG ONLINE DODAJ DO KOSZYKA FRAGMENTY KSI EK ONLINE Teoria sygna³ów Wsêp Wydanie II poprawione i uzupe³nione Auorzy: Jacek Izydorczyk, Grzegorz P³onka, Grzegorz Tyma ISBN: 83-246-4-4 Forma: B5, sron: 34 Kompendium wiedzy na ema sygna³ów i meod ich przewarzania Modulacja sygna³ów Transformay Fouriera i Laplace a Filry analogowe i cyfrowe Teoria sygna³ów o jedna z fundamenalnych dziedzin wiedzy echnicznej Jej znajomoœæ jes niezbêdna nie ylko projekanom urz¹dzeñ elekronicznych, ale równie auomaykom, informaykom, elekroechnikom i specjalisom od elekomunikacji Rozwój echniki cyfrowej zrewolucjonizowa³ meody przewarzania sygna³ów, lecz podsawy ych mechanizmów s¹ niezmienne nadal wykorzysywane s¹ ransformay Fouriera i Laplace a, klasyczne algorymy modulacji oraz regu³y projekowania urz¹dzeñ Ksi¹ ka Teoria sygna³ów Wsêp Wydanie II o kolejne wydanie publikacji poœwiêconej sygna³om i ich przewarzaniu Zawiera zbiór najwa niejszych informacji zwi¹zanych z przeksza³caniem i modulowaniem sygna³ów meodami analogowymi i cyfrowymi oraz projekowaniem filrów akywnych i pasywnych Ka dy jej rozdzia³ sanowi osobny wyk³ad uzupe³niony przyk³adami i zadaniami do samodzielnego rozwi¹zania, kóry mo na przeczyaæ bez odwo³ywania siê do pozosa³ych wyk³adów Szeregi i ransformay Fouriera Modulacja sygna³ów Przeksza³cenie Laplace a Projekowanie filrów analogowych Sygna³y dyskrene i cyfrowe Modulacja impulsowa Dyskrena ransformaa Fouriera Liniowe uk³ady cyfrowe Projekowanie filrów cyfrowych Opanuj podsawy echnologii cyfrowej

Spis reści Rozdział Szereg Fouriera 9 Wsęp 9 2 Definicja rozwinięcia w szereg Fouriera 3 Warunki Dirichlea 6 4 Wybrane własności szeregów Fouriera 8 5 San usalony w obwodach liniowych z wymuszeniami okresowymi 2 6 Przykłady zasosowań szeregów Fouriera 22 7 Lieraura 26 8 Zadania 26 Rozdział 2 Transformacja Fouriera 3 2 Definicja przekszałcenia Fouriera 3 22 Warunki Dirichlea isnienia ransformay Fouriera 33 23 Wybrane własności przekszałcenia Fouriera 34 24 Gęsość widmowa sygnału na wyjściu układu liniowego 39 25 Przykłady 39 26 Lieraura 48 Rozdział 3 Modulacja 49 3 Wsęp 49 32 Modulacja w paśmie podsawowym 5 33 Modulacja sygnału sinusoidalnego 5 33 Modulacja ampliudowa 5 332 Przemiana częsoliwości 58 333 Modulacja kąowa 6 334 Modulacja kwadraurowa 64 34 Lieraura 65 35 Zadania 66

6 Spis reści Rozdział 4 Przekszałcenie Laplace a 67 4 Przekszałcenie Laplace a 67 42 Odwrona ransformacja Laplace a 73 42 Wzór Riemanna-Mellina 73 422 Funkcje wymierne, residua i rozkład na ułamki prose 77 43 Własności przekszałcenia Laplace a 8 43 Liniowość ransformay 8 432 Transformaa pochodnej sygnału L -ransformowalnego 8 433 Transformaa całki sygnału L -ransformowalnego 82 434 Granica sygnału w zerze 82 435 Pochodna ransformay sygnału L -ransformowalnego 82 436 Opóźnienie sygnału L -ransformowalnego 83 437 Przesunięcie argumenu obrazu L -ransformowalnego 83 438 Transformaa sygnału okresowego 83 439 Transformaa splou sygnałów L -ransformowalnych 84 44 Zasosowanie przekszałcenia Laplace a 84 44 Równania różniczkowe zwyczajne 84 442 Równania różniczkowe cząskowe 88 443 Równania całkowe 9 45 Transmiancja 9 45 Odpowiedź impulsowa układu 94 452 Badanie sabilności układu 95 453 Transmiancja operaorowa a ransmiancja symboliczna 46 Lieraura 2 47 Zadania 2 Rozdział 5 Filry analogowe 5 5 Filr idealny 5 52 Aproksymacja charakerysyki ampliudowej filru idealnego 8 52 Filr Buerworha 8 522 Aproksymacja Czebyszewa 6 523 Przekszałcenia częsoliwości 22 53 Syneza pasywnych filrów LC o charakerysyce Buerworha i Czebyszewa 32 53 Obwód łańcuchowy owary na końcu 33 532 Obciążony obwód łańcuchowy 4 533 Wzory dla synezy filrów Buerworha symeryczny obwód łańcuchowy 43 534 Wzory dla synezy filrów Buerworha 44 535 Wzory dla synezy filrów Czebyszewa 46 536 Przekszałcenia częsoliwości raz jeszcze 48 537 Kilka słów o projekowaniu filrów pasywnych 52 54 Syneza filrów akywnych RC 53 54 Idealny wzmacniacz operacyjny 53 542 Kaskadowy filr akywny 57 543 Równoległy filr akywny 57 544 Transmiancje rzędu drugiego 58 545 Układy z wielokronym sprzężeniem zwronym 6 55 Charakerysyka opóźnienia grupowego 64 55 Opóźnienie grupowe filru o sałych skupionych 64

Spis reści 7 552 Wyrównywanie charakerysyki fazowej filru 66 553 Meandry przyczynowości 69 56 Lieraura 72 57 Zadania 73 Rozdział 6 Modulacja impulsowa, sygnały dyskrene i cyfrowe 75 6 Transformaa Fouriera dysrybucji dela Diraca 75 6 Transformay Fouriera funkcji rygonomerycznych 75 62 Transformaa Fouriera skoku jednoskowego 76 63 Transformaa Fouriera całki sygnału 78 64 Transformaa Fouriera szeregu impulsów Diraca 79 65 Transformaa Fouriera funkcji okresowej 8 66 Reguła sumacyjna Poissona 82 62 Sygnał o ograniczonym paśmie częsoliwości i sygnał o ograniczonym czasie rwania 83 62 Nierówność Schwarza 83 622 Własności sygnałów o ograniczonym czasie rwania 84 623 Własności sygnałów o ograniczonym paśmie częsoliwości 85 63 Sygnał dyskreny 89 63 Modulacja impulsowa sygnał dyskreny 89 632 Widmo sygnału dyskrenego 9 633 Odwarzanie sygnału analogowego na podsawie sygnału dyskrenego 9 634 Twierdzenie Koelnikowa-Shannona-Nyquisa 94 635 Wpływ kszału sygnałów próbkujących na widmo sygnału zmodulowanego 95 636 Decymacja i inerpolacja 96 637 Dowód wierdzenia o próbkowaniu bez eorii dysrybucji 98 638 Próbkowanie sygnałów pasmowych obwiednia sygnału 2 64 Sygnał cyfrowy 26 64 Sałoprzecinkowy, binarny forma zapisu liczb 26 642 Zmiennoprzecinkowy, binarny forma zapisu liczb 27 643 Podział kanału w dziedzinie czasu (TDM ime division muliplexing) 29 644 Szumy kwanowania 2 645 Przewarzanie Σ 2 646 Wzór Shannona 223 65 Lieraura 224 66 Zadania 225 Rozdział 7 Dyskrena ransformacja Fouriera 227 7 Dyskrena ransformacja Fouriera 227 7 Sygnał dyskreny o skończonym czasie rwania i jego widmo 227 72 Dyskrena ransformacja Fouriera 229 73 Własności DFT 23 72 Szybki algorym obliczania dyskrenej ransformay Fouriera (FFT) 24 72 Algorym FFT z podziałem w dziedzinie czasu 24 722 Algorym FFT z podziałem w dziedzinie częsoliwości 242 723 O dodawaniu i mnożeniu liczb przez kompuery 244 724 Przykłady zasosowań DFT poza cyfrowym przewarzaniem sygnałów 249 73 Algorym świergoowy 252

74 Lieraura 255 75 Zadania 255 Rozdział 8 Transformacja Z 257 8 Wsęp 257 82 Definicja ransformacji Z 257 83 Transformacja odwrona 26 84 Transformacja Z sygnału przyczynowego 26 85 Transformacja sygnału sabilnego 262 86 Własności ransformacji Z 263 87 Związek z ransformacją Fouriera 267 88 Lieraura 268 89 Zadania 268 Rozdział 9 Liniowe układy dyskrene 269 9 Wsęp 269 92 Równania różnicowe i równania sanu 269 93 Odpowiedź impulsowa 272 94 Transmiancja 273 95 Przyczynowość i sabilność układów cyfrowych a obszar zbieżności ransmiancji 276 96 Charakerysyka częsoliwościowa a zera i bieguny ransmiancji 276 97 Lieraura 277 98 Zadania 278 Rozdział Filry cyfrowe 279 Filry SOI 28 Meoda okien czasowych 28 2 Filry NOI 285 2 Projekowanie filrów NOI 285 3 Lieraura 292 Skorowidz 293

Transformacja Fouriera Grzegorz Tyma 2 2 Definicja przekszałcenia Fouriera Spróbujmy znaleźć wzory na ransformację Fouriera sygnałów aperiodycznych, korzysając z wyników orzymanych dla szeregów Fouriera Pomysł jes nasępujący: niech analizowany sygnał aperiodyczny zosanie na chwilę zamieniony na okresowy przez jego powielenie z okresem T Dla akiego sygnału porafimy znaleźć rozwinięcie Nasępnie sprawdzimy, jak będą się zachowywały współczynniki rozwinięcia w przypadku, gdy z okresem będziemy zdążać do nieskończoności Zabieg en spowoduje, iż nasz szucznie powielony, okresowy przebieg znów zamieni się w sygnał aperiodyczny Rozparzmy przypadek sygnału okresowego, kórego rozwinięcie zosało znalezione w przykładzie 8, w rozdziale poświęconym szeregom Fouriera Sygnał en, o okresie T, może być opisany wzorem x() = {, gdy < T,, gdy T < < T /2 (2) Znalezione współczynniki rozwinięcia mają posać Zdefiniujmy nową wielkość w posaci c k = 2sin(kω T ), gdzie ω = kω T T (22) T c k = 2sin(ωT ) ω (23) ω=kω i nazwijmy funkcję sojącą po prawej sronie równości obwiednią Współczynniki rozwinięcia mogą być rakowane jako próbki obwiedni pobierane w równych odsępach

32 2 Transformacja Fouriera (rysunek 2) Dla usalonej warości T obwiednia jes niezależna od T Wraz ze wzrosem T maleją odsępy pomiędzy pobieranymi próbkami obwiedni W granicznym przypadku, gdy T dąży do nieskończoności, sygnał okresowy saje się sygnałem aperiodycznym, a próbki T c k worzą obwiednię a) T 4 T Tc k 2 b) T 8T Tc k 4 Rysunek 2 Obwiednia T c k i próbki pobierane z niej z okresem próbkowania (a) T = 4T i (b) T = 8T Oznaczmy szucznie uworzony sygnał okresowy przez x () (rysunek 22) Możemy dla niego napisać znane wzory rozwinięcia w szereg Fouriera: c k = T x () = k= T /2 T /2 c k e jkω, x ()e jkω d, (24a) (24b) gdzie ω = /T Sygnał okresowy x () powsał przez powielenie z okresem T sygnału x(), zaem x () = x() dla < T /2, ponado x() = poza ym przedziałem Korzysając z ych informacji możemy poprzedni wzór zapisać w posaci c k = T T /2 T /2 x()e jkω d = T x( ) x()e jkω d (25) T x ( ) T T T T T Rysunek 22 Sygnał aperiodyczny x() i szucznie uworzony sygnał okresowy x ()

22 Warunki Dirichlea isnienia ransformay Fouriera 33 Zaem obwiednię X (jω) z T c k można przedsawić jako X (jω) = Współczynniki rozwinięcia wyliczamy: Korzysając z ego, orzymujemy x () = k= x()e jω d (26) c k = T X (jkω ) (27) T X (jkω )e jkω = k= X (jkω )e jkω ω (28) Gdy okres T dąży do nieskończoności, o x () dąży do x(), a ω dąży do zera W efekcie w osanim wzorze x() zasąpi x (), a po prawej sronie suma zosanie zasąpiona całką x() = X (jω)e jω dω (29) Osaecznie orzymaliśmy parę wzorów na prose i odwrone przekszałcenie Fouriera: X (jω) = x() = x()e jω d, X (jω)e jω dω Funkcja po ransformacji może być zapisana we współrzędnych biegunowych: (2a) (2b) X (jω) = X (jω) e jarg[x (jω)] (2) Moduł X (ω) = X (jω) nosi nazwę gęsości widmowej ampliudy, naomias faza ϕ(ω) = arg [ X (jω) ] nazywana jes gęsością widmową fazy (częso zamiennie mówi się o widmie ampliudowym i fazowym) Podane zosaną eraz warunki, jakie musi spełniać funkcja x(), aby można było znaleźć jej ransformaę Fouriera 22 Warunki Dirichlea isnienia ransformay Fouriera Podobnie jak dla sygnałów okresowych podaje się rzy warunki, zwane warunkami Dirichlea, na isnienie ransformacji Fouriera funkcji x() Warunek Funkcja x() jes bezwzględnie całkowalna, zn x() d < (22) Warunek 2 Funkcja x() ma skończoną liczbę maksimów i minimów w dowolnym skończonym przedziale

34 2 Transformacja Fouriera Warunek 3 Funkcja x() ma skończoną liczbę punków nieciągłości w dowolnym skończonym przedziale Ponado warości funkcji w ych punkach muszą być ograniczone W kolejnym podrozdziale przedsawiono wybrane własności przekszałcenia Fouriera 23 Wybrane własności przekszałcenia Fouriera Liniowość Jeżeli x() ˆ= X (jω) oraz y() ˆ= Y (jω), (23a) o a x() + b y() ˆ= a X (jω) + b Y (jω) (23b) Dowód wierdzenia o liniowości przekszałcenia Fouriera jes ławy i wynika wpros ze wzoru na prose przekszałcenie Fouriera Przesunięcie w czasie Jeżeli x() ˆ= X (jω), o x( ) ˆ= e jω X (jω) Udowodnijmy o Wiemy, iż Wprowadzając przesunięcie w czasie, orzymujemy x() = X (jω)e jω dω (24) x( ) = X (jω)e jω( ) dω = e jω X (jω)e jω dω (25) Dosajemy zaem F { x( ) } = e jω X (jω) (26) Waro zauważyć, że przesunięcie oryginału powoduje zmianę jedynie gęsości widmowej fazy, naomias bez zmiany pozosaje gęsość widmowa ampliudy Przesunięcie w dziedzinie częsoliwości Jeżeli x() ˆ= X (jω), o e jω x() ˆ= X [j(ω ω )] Udowodnijmy o Wiemy, iż x() = X (jω)e jω dω (27) Wprowadzając przesunięcie w częsoliwości, orzymujemy F { X [j(ω ω )] } = X [j(ω ω )]e jω dω = = ejω X (v)e jv dv = e jω x() (28)

23 Wybrane własności przekszałcenia Fouriera 35 Różniczkowanie i całkowanie oryginału Zróżniczkujmy wzór x() = X (jω)ejω dω po czasie; w efekcie orzymamy dx() d ˆ= jωx (jω) (29) Twierdzenie powyższe jes prawdziwe, gdy funkcja x() jes bezwzględnie całkowalna w przedziale (,+ ), ciągła i dąży do zera dla ± oraz ma prawie wszędzie pochodną ẋ(), kóra jes bezwzględnie całkowalna w przedziale (, + ) Niesey wzór na ransformaę Fouriera całki nie jes ak prosy, jak w przypadku ransformay Laplace a: x(ζ)dζ ˆ= X (jω) + π X ()δ(ω) (22) jω Aby go udowodnić, rzeba zauważyć, że sygnał x(ζ)dζ jes sploem sygnału x() z jedynką Heaviside a { dla, () = (22) dla <, i zasosować wierdzenie o ransformacie Fouriera splou sygnałów Skalowanie w czasie i częsoliwości (podobieńswo) Jeżeli x() ˆ= X (jω), o dla dowolnej sałej a > zachodzi x(a) ˆ= a X ( jω a ) (222) Dowód: F [x(a)] = x(a)e jω d = x(τ)e j ω a τ dτ a = a X ( jω a ) (223) Twierdzenie o ransformacie splou Jeżeli x() ˆ= X (jω) oraz y() ˆ= Y (jω), (224a) o Udowodnijmy o: { } F x( τ)y(τ) dτ = x( τ)y(τ)dτ ˆ= X (jω)y (jω) = ] x( τ)y(τ) dτ y(τ) [ [ e jω d = x( τ)e jω d ] dτ (224b) (225) Więcej o ransformacie Fouriera jedynki Heaviside a napisano w podrozdziale 62 na sronie 76

36 2 Transformacja Fouriera Wprowadzając nową zmienną całkowania u = τ, mamy d = du oraz = u +τ, wobec ego { } [ ] F x( τ)y(τ)dτ = y(τ) x(u)e jω(u+τ) d dτ = (226) = y(τ)e jωτ dτ x(u)e jωu du = X (jω)y (jω) Wzór Parsevala Jeżeli o Spróbujmy o wykazać: x() 2 d = x() ˆ= X (jω), x() 2 d = Zmieniając kolejność całkowania, orzymujemy x() 2 d = [ X (jω) = (227a) X (jω) 2 dω (227b) [ ] x() x ()d = x() X (jω)e jω dω d (228) ] x()e jω d X (jω) X (jω)dω = dω = X (jω) 2 dω Wzór Parsevala posiada inerpreację fizyczną Warość całki x() 2 d może być rakowana jako energia zamieniona na ciepło na oporniku Ω przy przepływie prądu i = x() w nieskończenie wielkim przedziale czasowym Zgodnie ze wzorem Parsevala całka z kwadrau gęsości widmowej ampliudy również przedsawia energię Dlaego mówi się o rozkładzie energii w funkcji pulsacji, a wielkość X (jω) 2 /() nazywana jes gęsością widmową energii 2 Symeria dualna Podobieńswo wzorów na prose i odwrone przekszałcenie Fouriera pociąga za sobą dualność oryginałów i ich obrazów Zilusrujmy o przykładem Znajdźmy obraz dla sygnału czasowego będącego pojedynczym impulsem prosokąnym, a nasępnie znajdźmy oryginał dla pojedynczego impulsu prosokąnego w dziedzinie częsoliwości: x () = { dla < T, dla T < x 2 () = sin(ω ) π ˆ= X (jω) = 2sin(ωT ) ω { dla ω < ω, ˆ= X 2 (jω) = dla ω < ω (229a) (229b) 2 Jeżeli całkowanie we wzorze (227b) odbywa się względem częsoliwości f wyrażonej w hercach, a nie względem pulsacji ω wyrażonej w radianach na sekundę, o pomija się współczynnik /()

23 Wybrane własności przekszałcenia Fouriera 37 Odpowiednie pary (oryginał i ransformaa) przedsawiono na rysunku 23 Ławo zauważyć symerię, jaka wysępuje w ych dwóch przekszałceniach Będzie ona wysępowała akże w przypadku innych funkcji Jeżeli ylko weźmiemy jedną funkcję i policzymy jej ransformaę, a nasępnie oryginał porakujemy jako obraz i zasosujemy do niego odwrone przekszałcenie, o orzymane w en sposób obraz i oryginał będą do siebie podobne Możemy o zapisać w nasępującej posaci: x() ˆ= X (jω) X () ˆ= x( ω) (23) x ( ) X ( j) 2T /T T T x ( ) 2 / X ( j) 2 / Rysunek 23 Podobieńswo oryginałów i obrazów Sprzężenie i symeria Jeżeli o x() ˆ= X (jω), x () ˆ= X ( jω) (23a) (23b) Można o w prosy sposób udowodnić Obliczając warość sprzężoną X (jω), orzymujemy [ X (jω) = x()e d] jω = x ()e jω d (232) Zamieniając ω na ω, uzyskujemy X ( jω) = x ()e jω d = F { x () } (233) Jeśli x() jes rzeczywise i x () = x(), o na podsawie dwóch poprzednich wzorów ławo pokazać, że X ( jω) = X (jω) oraz X ( jω) = X (jω) (234) Jeżeli przedsawimy X (jω) w posaci X (jω) = Re{X (jω)} + jim{x (jω)}, (235)

38 2 Transformacja Fouriera o korzysając ze wzoru (234) orzymujemy nasępujące zależności (cały czas zakładamy, że x() jes rzeczywise): Re{X (jω)} = Re{X ( jω)}, Im{X (jω)} = Im{X ( jω)} (236) Ze wzorów ych wynika akże, że gęsość widmowa ampliudy jes funkcją parzysą, a gęsość widmowa fazy funkcją nieparzysą Wynik en można akże orzymać w inny sposób Jeśli zapiszemy e jω = cos(ω) jsin(ω), o ransformaa Fouriera sygnału x() może być zapisana w posaci gdzie F {x()} = X (jω) = X (jω) jx 2 (jω), (237) X (jω) = X 2 (jω) = x()cos(ω)d, x()sin(ω)d (238) Widać, że funkcja X (jω) jes parzysa, zaś X 2 (jω) nieparzysa względem ω Zaem ławo pokazać, iż gęsość widmowa ampliudy jes funkcją parzysą, a gęsość widmowa fazy funkcją nieparzysą względem ω W abeli 2 zebrano niekóre własności ransformay Fouriera Naomias w abeli 22 znalazły się wybrane pary ransforma Wyliczenia poszczególnych ransforma Czyelnik może znaleźć w podrozdziale zawierającym przykłady Tabela 2 Własności ransformay Fouriera Własność Sygnał aperiodyczny x(), y() Transformaa Fouriera X (jω), Y (jω) Liniowość a x() + b y() a X (jω) + b Y (jω) Przesunięcie w czasie x( ) e jω X (jω) Przesunięcie w częsoliwości e jω x() X [j(ω ω )] Różniczkowanie oryginału Całkowanie oryginału Skalowanie w czasie i częsoliwości (podobieńswo) Splo Wzór Parsevala dx() jω X (jω) d X (jω) x(ζ) dζ jω + π X ()δ(ω) ( ) jω x(a), a > a X a x( τ) y(τ)dτ X (jω)y (jω) x() 2 d = X (jω) 2 dω

24 Gęsość widmowa sygnału na wyjściu układu liniowego 39 Tabela 22 Wybrane pary ransforma Oryginał c k e jkω k= e jω Obraz c k δ(ω kω ) k= δ(ω ω ) cos(ω ) π[δ(ω + ω ) + δ(ω ω )] sin(ω ) jπ[δ(ω + ω ) δ(ω ω )] x() = δ(ω) δ() () jω + πδ(ω) δ( ) e jω sin(ω ) ω e ω2 2 e ω 2 ω ω 2 + ω2 { π/ω dla ω < ω, X (jω) = dla ω > ω ) π ( ω exp ω2 4ω 2 24 Gęsość widmowa sygnału na wyjściu układu liniowego Przedsawiając własności przekszałcenia Fouriera, pokazano, że splo dwóch sygnałów równy jes iloczynowi ransforma Fouriera ych sygnałów Korzysając z ej własności, możemy podać związek pomiędzy ransformaą Fouriera X (jω) sygnału na wejściu układu liniowego a ransformaą Fouriera Y (jω) sygnału wyjściowego Dany jes on zależnością Y (jω) = K (jω) X (jω), (239) gdzie K (jω) = K (jω) e jarg[k (jω)] jes charakerysyką częsoliwościową obwodu Związki pomiędzy gęsościami widmowymi ampliudy i fazy sygnału wejściowego i wyjściowego dane są wzorami Y (jω) = K (jω) X (jω), (24a) arg[y (jω)] = arg[k (jω)] + arg[x (jω)] (24b) 25 Przykłady Przykład 2 Znajdź ransformaę Fouriera dely Diraca

4 2 Transformacja Fouriera Rozwiązanie Korzysając z definicji prosego przekszałcenia Fouriera, orzymujemy F {δ()} = δ()e jω d = Przykład 22 Znajdź ransformaę Fouriera sygnału jednoskowego () = {, gdy < <,, gdy > > Rozwiązanie Niesey, w przypadku ej funkcji nie możemy skorzysać z wierdzenia o obrazie pochodnej, gdyż nie spełnia ona założeń Wykorzysamy naomias wierdzenie o obrazie całki Skok jednoskowy może być przedsawiony jako całka z dely Diraca, j () = δ(ζ)dζ W efekcie orzymujemy F {x()} = jω + πδ(ω) Przykład 23 Znajdź oryginał X (jω) = δ(ω) Rozwiązanie Korzysając z definicji odwronego przekszałcenia Fouriera, orzymujemy x() = δ(ω)e jω dω = Dzięki emu wynikowi możemy zapisać, jak wygląda ransformaa Fouriera warości sałej: F {} = δ(ω) Przykład 24 Znajdź ransformaę Fouriera sygnału okresowego x() mającego rozwinięcie w wykładniczy szereg Fouriera Rozwiązanie Sygnał x() posiada rozwinięcie w szereg Fouriera, zaem x() = k= c k e jkω Znajdźmy ransformaę Fouriera ego sygnału Skorzysamy w ym przypadku z wierdzenia o przesunięciu obrazu 3 : F {x()} = F { c k e jkω } = c k δ(ω kω ) k= k= 3 Chodzi u o przesunięcie obrazu funkcji w dziedzinie częsoliwości

25 Przykłady 4 Przykład 25 Znajdź ransformaę Fouriera funkcji x() = cos(ω ) Rozwiązanie Zapiszmy funkcję x(), korzysając ze wzorów Eulera: x() = cos(ω ) = e jω +e jω 2 Korzysając eraz z wierdzenia o przesunięciu obrazu i wzoru na ransformaę warości sałej, orzymujemy końcowy wzór: F {cos(ω )} = πδ(ω + ω ) + πδ(ω ω ) W ym miejscu waro przeanalizować, jak wygląda gęsość widmowa funkcji ypu y() = x()cos(ω ), w przypadku gdy znamy obraz funkcji x() Ławo pokazać, korzysając z wierdzenia o przesunięciu obrazu, że jeżeli F {x()} = X (jω), o { x() F {y()} = F 2 e jω + x() } 2 ejω = 2 X [j(ω + ω )] + 2 X [j(ω ω )] Więcej informacji na en ema można znaleźć w rozdziale poświęconym modulacji Przykład 26 Znajdź ransformaę Fouriera funkcji x() = sin(ω ) Rozwiązanie Zapiszmy funkcję x() w innej posaci: x() = sin(ω ) = ejω e jω 2j Korzysając eraz z wierdzenia o przesunięciu obrazu i wzoru na ransformaę warości sałej, orzymujemy końcowy wzór: F {sin(ω )} = πjδ(ω + ω ) πjδ(ω ω ) Przykład 27 Znajdź oryginał dla X (jω) danego wzorem X (jω) = π ω [(ω + ω ) (ω ω )] Rozwiązanie Korzysając z definicji odwronego przekszałcenia Fouriera, orzymujemy x() = ω πe jω dω = e jω ω ω ω 2jω = 2jsin(ω ) = sin(ω ) ω 2jω ω Zaem x() = sin(ω ) ω

42 2 Transformacja Fouriera Przykład 28 Znajdź ransformaę Fouriera sygnału przedsawionego na rysunku 24 x( ) A a b b a Rysunek 24 Sygnał x() z przykładu 28 Rozwiązanie Można oczywiście znaleźć obraz zadanej funkcji, korzysając ze wzoru definiującego o przekszałcenie Spróbujmy jednak uławić sobie rochę dojście do rozwiązania, wykorzysując wierdzenie o obrazie zróżniczkowanej funkcji Zróżniczkujmy dwukronie funkcję x() Zabieg en zosał zilusrowany na rysunkach 25 i 26 Druga pochodna składa się z czerech impulsów Diraca W prosy sposób możemy znaleźć obraz drugiej pochodnej F {ẍ()} = A a b F { δ( + a) δ( + b) δ( b) + δ( a) } = A a b (ejωa e jωb e jωb +e jωa ) = A [cos(ωa) cos(ωb)] a b A/( a b) x ( ) a b b a A/( a b) Rysunek 25 Pierwsza pochodna sygnału x() z przykładu 28 A/( a b) x ( ) A/( a b) a b b a A/( a b) A/( a b) Rysunek 26 Druga pochodna sygnału x() z przykładu 28 Pamięając, że orzymujemy F {ẍ()} = (jω) 2 F {x()}, F {x()} = A ω 2 [cos(ωa) cos(ωb)] a b

25 Przykłady 43 Przykład 29 Znajdź ransformaę Fouriera sygnału x() przedsawionego na rysunku 27 x( ) A Rysunek 27 Sygnał x() z przykładu 29 Rozwiązanie Zróżniczkujmy dwukronie funkcję x() Zabieg en zosał zilusrowany na rysunku 28 Druga pochodna składa się z rzech impulsów Diraca W prosy sposób możemy znaleźć obraz drugiej pochodnej: F {ẍ()} = A ε F { δ( + ε) 2δ() + δ( ε) } = A ε (ejωε 2 + e jωε ) = 2A ε [cos(ωε) ] = 4A ε sin2 ( ωε 2 ) A/ x ( ) x ( ) A/ A/ A/ 2 A/ Rysunek 28 Pierwsza i druga pochodna sygnału x() z przykładu 29 Pamięając, że orzymujemy F {ẍ()} = (jω) 2 F {x()}, F {x()} = ( ω )[ 2 4A ( )] ωε ε sin2 = 4A 2 εω 2 sin2 ( ωε 2 ) Przykład 2 Oblicz oryginalny sygnał x(), kórego widmo przedsawione jes na rysunku 29 Rozwiązanie Korzysając z definicji odwronego przekszałcenia Fouriera, możemy zapisać x() = = 2A X (jω)e jω dω = π A 2A (2A + ω)ejω dω + 2A π A 2A (2A ω)ejω dω

44 2 Transformacja Fouriera X ( j ) / A 2A 2A Rysunek 29 Widmo sygnału x() z przykładu 2 Obliczmy warość pierwszej całki: I = 4A 2 = 4A 2 oraz drugiej: I 2 = 4A 2 = 4A 2 2A (2A + ω)e jω dω = {[ 2A j ejω 2A ] + 2A (2A ω)e jω dω = {[ 2A j ejω W efekcie orzymujemy ] 2A [ ] ω [ ] } j ejω + 2A 2 ejω = [ 2A 2A 4A 2 j + ] 2 ( e j2a ) [ ω + j e jω ] 2A [ 2 ejω ] 2A } = [ 2A 4A 2 ] j 2 (ej2a ) Zaem x() = I + I 2 = 4(A) 2 ( e ja + e ja ) = [ cos(2a)] = 2(A) 2 = 2(A) 2 [sin2 (A) + cos 2 (A) cos 2 (A) + sin 2 (A)] [ ] x() = sin2 (A) sin(a) 2 (A) 2 = A Przykład 2 Określić pulsację graniczną idealnego filru dolnoprzepusowego o wzmocnieniu w paśmie przepuszczania równym 2, jeżeli wiadomo, że po pobudzeniu sygnałem x() = 5sin2 (5) (5) 2 energia sygnału na wejściu i wyjściu filru jes aka sama Rozwiązanie Na rysunku 2 przedsawiono gęsość widmową sygnału na wejściu filru X (ω), wyjściu Y (ω) oraz charakerysykę częsoliwościową filru K (ω) Obliczmy energię sygnału na wejściu filru Zgodnie ze wzorem Parsevala możemy zapisać E x = + x() 2 d = + X (ω) 2 dω

25 Przykłady 45 K( ) X ( ) 2 Y ( ) 2 g g g g Rysunek 2 Gęsości widmowe X (ω) i Y (ω) oraz charakerysyka częsoliwościowa filru K (ω) W naszym przypadku E x = = π [ ( π + ω ( + ω )] 2 dω + ) 2 dω = π[ω + ω2 Energia sygnału na wyjściu filru dana jes wzorem 3 + 3 6 E y = [ ( 2 + ω )] 2 dω = 4π[ω + ω2 ω g 3 + 3 Zgodnie z warunkami zadania E x = E y, zaem ω g ω2 g 3 + 3 Rozwiązując o równanie, orzymujemy ω 3 g [ ( π ω )] 2 dω = ω 3 ] ω 3 ] 6 6 = 2 3 = π3 3 ( = 4π ω g ω2 g ω g 3 + ω 3 g 3 6 ω g 9,4rad/s Przykład 22 Znajdź ransformaę Fouriera sygnału x() = e a, a > Rozwiązanie Zgodnie z definicją prosego przekszałcenia Fouriera możemy zapisać X (jω) = Zaem X (jω) = a jω e(a jω) e a e jω d = a + jω e (a+jω) e a e jω d + e a e jω d ) = a jω + a + jω = 2a a 2 + ω 2 Przykład 23 Wyznacz gęsość widmową impulsu prosokąnego przedsawionego na rysunku 2: f () = A[( + ε) ( ε)]

46 2 Transformacja Fouriera f ( ) A A ( ) f ( ) A ( ) Rysunek 2 Sygnał f () z przykładu 23 oraz jego pierwsza pochodna Rozwiązanie Korzysając z wierdzenia o ransformacie funkcji przesunięej w czasie, znajdujemy ransformaę Fouriera f (): F { f ()} = A[F {δ( + ε)} F {δ( ε)}] = A(e jωε e jωε ) Równocześnie na podsawie wierdzenia o ransformacie pochodnej funkcji czasowej mamy F { f ()} = jωf (ω) Wobec ego W efekcie orzymujemy jωf (ω) = A(e jωε e jωε ) F (ω) = 2A(ejωε e jωε ) 2jω = 2A ω sin(ωε) Przykład 24 Sygnał x() = (π) sin() podano na dwa połączone kaskadowo filry, kórych charakerysyki ampliudowe przedsawiono na rysunku 22, przy czym filry e nie obciążają się wzajemnie Oblicz energię sygnału y() na wyjściu układu K ( ) A K ( ) B - -6-2 2 6 - -6-2 2 6 Rysunek 22 Charakerysyki ampliudowe filrów z przykładu 24 Rozwiązanie Na rysunku 23 przedsawiono gęsości widmowe sygnałów na wejściu i wyjściu układu Korzysając ze wzoru Parsevala oraz uwzględniając symerię gęsości widmowej sygnału na wyjściu układu, możemy obliczyć szukaną energię: E y = 8 4 ( ) ω 2 2 dω = 8 2 ( ) ω 2 dω = 8 2 2 3π 2

25 Przykłady 47 X ( ) Y ( ) - - -6-2 2 6 Rysunek 23 Gęsości widmowe sygnałów wejściowego i wyjściowego w przykładzie 24 Przykład 25 Sygnał x() = A cos(ω) sin(ω ), ω gdzie Ω = 3 rad/s, ω = rad/s, A = 2, podano na wejście idealnego filru górnoprzepusowego o wzmocnieniu w paśmie przepuszczania równym 2 Oblicz i narysuj gęsość widmową sygnału x() Wyznacz pulsację graniczną filru, jeżeli wiadomo, że energia sygnału y() na wyjściu filru sanowi 25% energii sygnału wejściowego Rozwiązanie Gęsość widmową sygnału x() przedsawiono na rysunku 24 Wyznaczono ją jako gęsość widmową sygnału cos(ω), zmodulowanego sygnałem Sa(ω ) 4 Analiycznie może być ona zapisana w posaci X (jω) = π[(ω + 4) (ω + 2) + (ω 2) (ω 4)] X ( ) 2 Sa( ) -4-3 -2-2 3 4 Rysunek 24 Gęsość widmowa sygnału x() z przykładu 25 Energię sygnału x(), zgodnie ze wzorem Parsevala, możemy obliczyć: E x = 2 4 (π) 2 dω + Naomias energia sygnału y() wynosi 4 Sa(ω ) = (ω ) sin(ω ) E y = π 4 4 2 (π) 2 dω = π 4 2 ω g () 2 dω = 4π(4 ω g ) (π) 2 dω = 2π

48 2 Transformacja Fouriera Zgodnie z warunkami zadania E y =,25E x, zaem 4π(4 ω g ) =,25 2π Rozwiązując o równanie, orzymujemy ω g = 387,5rad/s 26 Lieraura [] M Krakowski, Elekroechnika eoreyczna, Pańswowe Wydawnicwo Naukowe, Warszawa 99 [2] A V Oppenheim, R W Schafer, Cyfrowe przewarzanie sygnałów, Wydawnicwa Komunikacji i Łączności, Warszawa 979 [3] A V Oppenheim, A S Willisky, Signals & Sysems, Prenice Hall Inc, Upper Saddle River, New Jersey 997 [4] A Wojnar, Teoria sygnałów, Wydawnicwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 98