Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:

Transkrypt

1 PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu. Można je rozwiązywać za pomocą równań charakterystycznych lub transformat. 2 TRANSFORMATA Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem: F(s) = L{f(t)} = e st f(t) dt W teorii sygnałów oznacza ono przekształcenie funkcji sygnału w czasie na funkcję w dziedzicznie częstotliwości. Dzięki temu przekształceniu otrzymujemy przedstawienie funkcji na płaszczyźnie zespolonej. Często stosowana transformata Fouriera jest szczególnym przypadkiem transformaty Laplace a, mianowicie dla DFT s = jω 0 3 TRANSMITANCJA Transmitancją nazywamy stosunek transformaty sygnału po filtracji do transformaty sygnału przed filtracją: H(s) = Y(s) X(s) Jest ona bezpośrednio powiązana z sygnałem impulsowym poprzez zależność: h(t) = L 1 [H(s)] gdzie h(t) jest sygnałem impulsowym a L 1 oznacza odwrotną transformatę Laplace a. 4 ODPOWIEDŹ IMPULSOWA System czy też w naszym przypadku filtr jest jednoznacznie określony przez swoją odpowiedź impulsową. Jak wspomniano przy poprzednim punkcie, jest on jednoznacznie związany z transmitancją za pomocą transformaty. Znając sygnał wejściowy oraz transmitancję (którą znamy mając daną odpowiedź impulsową) jesteśmy w stanie znaleźć odpowiedź na taki sygnał.

2 Odpowiedzią impulsową h(t) układu nazywamy sygnał, jaki wystąpi na jego wyjściu, jeśli w chwili t = 0 przy warunkach początkowych będzie on pobudzany impulsem Diraca. Odpowiedź impulsowa charakteryzuje układ oznacza to, że znając odpowiedź impulsową umiemy przewidzieć odpowiedź układu na dowolne pobudzenie wejściowe. 5 OKRĄG JEDNOSTKOWY Uogólnieniem Dyskretnej Transformaty Fouriera (DFT) jest Transformata Z. Może być ona określona przez wyznaczenie wartości transformaty Z X(z) dla z = e jω czyli określenie jej wartości na okręgu jednostkowym. Jeśli transformata Z nie da się określić na okręgu jednostkowym oznacza to, że DFT nie istnieje. Sam okręg jednostkowy to okrąg o promieniu równym 1. Korzystając z własności liczb zespolonych można określić go postacią wykładniczą z(t) = e it 6 ZERA I BIEGUNY Transmitancję możemy zapisać w następującej postaci: Gdzie H(s) = H 0 (s z 1 )(s z 2 ) (s z l ) (s s 1 )(s s 2 ) (s s m ) z 1,, z l nazywamy zerami transmitancji s 1,, s m nazywamy biegunami transmitancji Zera i bieguny mają bezpośredni wpływ na postać odpowiedzi impulsowej a co za tym idzie transmitancji. Powyższy wzór można przedstawić również jako iloczyn dwóch wielomianów zespolonych Przy założeniu, że m<=n. H(s) = b ms m + + b 1 s + b 0 a n s n + + a 1 s + a 0 W takim przypadku możemy powiedzieć, że transmitancja jest określona w sposób jednoznaczny za pomocą biegunów i zer na płaszczyźnie zespolonej.

3 7 FILTRY BUTTERWORTHA I CZEBYSZEWA Poniżej porównanie graficzne filtrów: Zauważamy, że moduł transmitancji filtra Butterwortha jest stosunkowo gładkim wykresem. W filtrach Czebyszewa występują: Typ 1 zafalowania modułu funkcji transmitancji w paśmie przepustowym Typ 2 zafalowania modułu funkcji transmitancji w paśmie zaporowym 8 RÓŻNICA MIĘDZY FIR A IIR Mówiąc o różnicach między filtrami należy przytoczyć pełne nazwy filtrów FIR finite impulse response IIR infinite impulse response Widzimy zatem już z nazwy, że FIR to skończona a IIR nieskończona odpowiedź impulsowa. Układy fizyczne realizujące filtr IIR są układami rekursywnymi. 9 CZĘSTOTLIWOŚĆ GRANICZNA FILTRU Jest to wartość graniczna częstotliwości, dla której (umownie) kończy się pasmo przepustowe. Mówiąc wprost, po przekroczeniu częstotliwości granicznej filtr wycina sygnał filtrowany. Poniższy obraz przedstawia filtr dolnoprzepustowy, w tym przypadku częstotliwość graniczna (cutoff frequency) jest maksymalną częstotliwością przepuszczaną przez filtr.

4 Umownie przyjmuje się, że częstotliwość graniczna to ta, dla której tłumienie filtru przekracza 3dB. 10 PRZYCZYNOWOŚĆ I STABILNOŚĆ FILTRU Filtr "przyczynowy" używa wyłącznie poprzednich próbek wejściowych lub wyjściowych; podczas gdy filtr "nieprzycznynowy" do obliczenia aktualnej próbki wyjściowej przyszłych próbek wejściowych. Filtr nieprzyczynowy może być zmieniony w filtr przyczynowy poprzez dodanie do niego opóźnienia. Stabilność Filtry FIR są zawsze stabilne, gdyż w ich funkcji transmitancji występują tylko zera, nie ma rekursywności. Filtry IIR wprowadzają potencjalne zagrożenie utraty stabilności. Odpowiedź takiego filtru w sposób niekontrolowany narasta do nieskończoności. Niestabilność może mieć miejsce, gdy bieguny transmitancji znajdują się poza okręgiem jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej.

5 11 OKNO CZASOWE Jest to funkcja opisująca sposób pobierania próbek z sygnału. Obserwując sygnał u(n) w skończonym przedziale czasu wynikiem obserwacji jest: g(n) = u(n)w(n) Gdzie w(n) jest funkcją okna. Od postaci tej funkcji zależą różnice pomiędzy widmem obserwowanym a faktycznym widmem sygnału. Projektując filtr metodą okna mamy do czynienia z Efektem Gibbsa - rząd filtra nie wpływa na poziom listków bocznych a jedynie na szerokość pasma przejściowego.