EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00

Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były cztery odpowiedzi:,, C, D. Zdający wybierał poprawną i zaznaczał ją na karcie odpowiedzi. Zadanie. interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej do wskazania zbioru rozwiązań nierówności typu x a b C Zadanie. Modelowanie matematyczne Zadanie 3. Zadanie 4. Użycie i tworzenie strategii Zadanie 5. Wykonywanie obliczeń procentowych w obliczeniach praw działań na potęgach Obliczenie sumy logarytmów Wykonanie dodawania wielomianów

Egzamin maturalny z matematyki 3 Zadanie 6. Zadanie 7. Zadanie 8. Zadanie 9. Zadanie 0. Zadanie. Rozwiązanie prostego równanie wymiernego, prowadzącego do równania liniowego Sprawdzenie, czy dana liczba należy do zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej Odczytanie współrzędnych wierzchołka paraboli z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej Interpretowanie współczynników we wzorze funkcji liniowej Odczytywanie wartości funkcji z jej wykresu Wyznaczanie wyrazów ciągu arytmetycznego D D C C

4 Zadanie. Zadanie 3. Zadanie 4. Zadanie 5. Zadanie 6. Zadanie 7. Egzamin maturalny z matematyki Wyznaczanie wyrazów ciągu geometrycznego Obliczania liczby przekątnych wielokąta Stosowanie związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego do obliczenia wartości wyrażenia Wyznaczanie długości boku kwadratu wpisanego w okrąg twierdzenia Pitagorasa do wyznaczenia wysokości tego trójkąta równoramiennego Posługiwanie się własnościami figur podobnych do obliczania długości odcinków

Egzamin maturalny z matematyki 5 Zadanie 8. Zadanie 9. Zadanie 0. Zadanie. Zadanie. Korzystanie ze związków między kątem wpisanym i środkowym do obliczenia miary kąta Obliczanie pola figury płaskiej z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych Wskazanie współczynnika kierunkowego prostej równoległej do danej prostej Wskazanie równania okręgu o podanej długości promienia Obliczanie odległości punktów na płaszczyźnie C D C

6 Zadanie 3. Zadanie 4. Zadanie 5. Egzamin maturalny z matematyki Obliczanie pola powierzchni wielościanu Obliczanie liczby krawędzi wielościanu Obliczanie średniej arytmetycznej D D Zadania otwarte Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów. Zadanie 6. (0 ) Rozwiązywanie nierówności kwadratowej Rozwiązanie Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego: = 9 3 + 3 x = = x = = stosujemy wzory Viète a: x+ x = oraz x x = i stąd x =, x = zapisujemy nierówność w postaci ( x+ )( x ) 0. Lewą stronę nierówności możemy uzyskać np.: o grupując wyrazy i wyłączając wspólny czynnik,

Egzamin maturalny z matematyki 7 o korzystając z postaci kanonicznej 9 3 3 x = x + x = ( x+ )( x ), 4 o podając postać iloczynową rysujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej z zaznaczonymi miejscami zerowymi 4 y 3-3 - - 3 4 x - - wskazujemy pierwiastki trójmianu x =, x = Podajemy rozwiązanie nierówności: x. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy pierwiastki trójmianu kwadratowego lub zapisze trójmian w postaci iloczynowej i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x lub, lub x, sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x, x poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów: - x

8 Zadanie 7. (0 ) Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie równania wielomianowego I sposób rozwiązania (metoda grupowania) Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynowej stosując metodę grupowania wyrazów 4 7 4 = 0 x x 7 4 x 7 = 0 ( ) ( ) ( x 7)( x 4) = 0 x x x lub ( ) ( ) Stąd x = 7 lub x = lub x =. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy pogrupuje wyrazy do postaci, z której łatwo można przejść do postaci iloczynowej, np.: x( x 4) 7( x 4) = 0 lub x ( x 7) 4( x 7) = 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x = 7 lub x = lub x =. II sposób rozwiązania (metoda dzielenia) Stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu 3 wielomian 7 4 + 8 3 x 7x 4x + 8. Dzielimy x x x przez dwumian ( x ). Otrzymujemy iloraz ( 5 4) Zapisujemy równanie w postaci ( x )( x 5x 4) = 0. Stąd ( x )( x+ )( x 7) = 0 i x = 7 lub x = lub x =. Stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu 3 wielomian 7 4 + 8 x x. 3 x 7x 4x + 8. Dzielimy x x x przez dwumian ( x + ). Otrzymujemy iloraz ( 9 + 4) Zapisujemy równanie w postaci ( x+ )( x 9x+ 4) = 0. Stąd ( x+ )( x )( x 7) = 0 i x = lub x = lub x = 7. Stwierdzamy, że liczba 7 jest pierwiastkiem wielomianu 3 wielomian 7 4 + 8 7 x x. 3 x 7x 4x + 8. Dzielimy x x x przez dwumian ( x ). Otrzymujemy iloraz ( 4) Zapisujemy równanie w postaci ( x 7)( x 4) = 0. Stąd ( x 7)( x )( x+ ) = 0 i x = 7 lub x = lub x =. x.

Egzamin maturalny z matematyki 9 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy 3 podzieli wielomian 7 4 + 8 x, otrzyma iloraz ( 5 4) x x x przez dwumian ( ) x x i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd podzieli wielomian ( 9 + 4) 3 x 7x 4x + 8 przez dwumian ( x + ) x x i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd podzieli wielomian 3 x 7x 4x + 8 przez dwumian ( 7) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd 3 podzieli wielomian x 7x 4x + 8, otrzyma iloraz x, otrzyma iloraz ( x 4) przez trójmian np. ( x )( x 7 ) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd. Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x=, x=, x = 7 Zadanie 8. (0 ) Rozumowania i argumentacji Przeprowadzenie dowodu geometrycznego składającego się z niewielkiej liczby kroków Rozwiązanie Dorysowujemy odcinki D i E. Pokazujemy, że trójkąty CD i CE są przystające: C = C, bo trójkąt C jest równoramienny CD = CE, bo trójkąt CDE jest równoramienny CD = 90 DC = CE Stosujemy cechę przystawania bkb Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy napisze, że trójkąty CD i CE są przystające i wyprowadzi stąd wniosek, że D = E zapisze, że C = C, CD CE = i CD = CE Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawnie uzasadni, że trójkąty CD i CE są przystające i wyprowadzi stąd wniosek, że D = E. Wymagamy udowodnienia równości kątów CD i CE.

0 Zadanie 9. (0 ) Użycie i tworzenie strategii Egzamin maturalny z matematyki Wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego I sposób rozwiązania (jedynka trygonometryczna) sinα 5 = cosα sin α + cos α = 5 sinα = cosα cosα = sinα 5 5 cos cos α + α = sin α + sin α = 5 5 cos cos α + α = 44 sin α + sin α = 44 5 44 cos α = i cosα > 0 5 sin α = i sinα > 0 69 69 cosα = 5 sinαąd = cos i st α = 3 3 3 II sposób rozwiązania (trójkąt prostokątny) c = c ( x) + ( 5x) x 5x c= 3x cosα = 3 Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy przekształci dane wyrażenie do postaci wyrażenia zawierającego tylko cosα 5 i wykorzysta jedynkę trygonometryczną, np. sinα = cosα, 5 cos α + cos α = 44 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd przekształci dane wyrażenie do postaci wyrażenia zawierającego tylko sinα 44 i wykorzysta jedynkę trygonometryczną, np. cosα = sinα, sin α + sin α = 5 5 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd przekształci dane wyrażenie do postaci wyrażenia zawierającego tylko sinα np. 5 sin α = lub 5 5sin α = 44sin α i na tym poprzestanie lub dalej popełni 44 sin α błąd

Egzamin maturalny z matematyki przekształci dane wyrażenie do postaci wyrażenia zawierającego tylko sinα i tgα, np. tg α cos α cos α + = lub ( ) cos α tg α + = i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości i 5 (lub ich wielokrotności) z błędem rachunkowym oraz zapisze sinα i na tym zakończy obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości i 5 (lub ich wielokrotności) z błędem rachunkowym i zapisze cosα narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości i 5 (lub ich wielokrotności), obliczy długość przeciwprostokątnej i zaznaczy w tym trójkącie poprawnie kąt α odczyta z tablic przybliżoną wartość kąta α : α (akceptujemy wynik α 3 ) i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy wartość cosα : cosα = 3 obliczy przybliżoną wartość cosα : cos 0,97 lub cos 3 0,905 Zadanie 30. (0 ) Rozumowania i argumentacji Wykazanie prawdziwości nierówności I sposób rozwiązania Przekształcamy nierówność w sposób równoważny: a + a+ a + a+ 0 a + a + ( a + ) ( a+ ) a + a+ a + a + a+ ( a + ) a a+ 0 a a+ 0 a + ( a ) 0 co kończy dowód. ( ) ( ) ( ) ( a ) ( a + ) 0 co kończy dowód. 0

Egzamin maturalny z matematyki II sposób rozwiązania Dla każdej liczby rzeczywistej a prawdziwa jest nierówność ( a ) 0. Przekształcamy tę nierówność w sposób równoważny: ( a ) + ( a+ ) ( a+ ) a + ( a+ ) ( a + ) ( a+ ) Ponieważ a > 0, więc co kończy dowód. a + a+ a + III sposób rozwiązania (dowód nie wprost) a + a+ Przypuśćmy, że dla pewnego a > 0 mamy <. Przekształcamy tę nierówność a + tak, jak w I sposobie rozwiązania do postaci, np. ( a ) < 0 i stwierdzamy, że otrzymaliśmy sprzeczność. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy a a+ otrzyma nierówność a a + 0 lub 0 i na tym poprzestanie lub ( a + ) w dalszej części dowodu popełni błąd stosując metodę dowodu nie wprost otrzyma nierówność ( a ) < 0 i nie zapisze żadnych wniosków lub zapisze błędne wnioski stosując II sposób rozwiązania otrzyma nierówność ( ) a + a+ i nie zapisze żadnych wniosków lub zapisze błędne wnioski. Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze nierówność a a+ 0 i uzasadni, że wszystkie liczby dodatnie a spełniają tę nierówność a a+ zapisze nierówność 0 i uzasadni, że wszystkie liczby dodatnie a spełniają ( a + ) tę nierówność stosując metodę dowodu nie wprost otrzyma nierówność ( a ) < 0 i zapisze, że otrzymana nierówność nie zachodzi dla żadnej liczby rzeczywistej a.

Egzamin maturalny z matematyki 3 Zadanie 3. (0 ) związków miarowych w trójkącie prostokątnym i równobocznym Rozwiązanie D C Prowadzimy wysokość CE trójkąta równobocznego C. Wówczas E = 3 i stąd CD = E = 3. Następnie zapisujemy, że C = = 6 E 6 3 oraz D = CE = = 3 3. Stąd obwód trapezu jest równy 6+ 6+ 3+ 3 3 = 53 + 3. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy prawidłowo podzieli trapez na trójkąty i poprawnie obliczy długość krótszej podstawy trapezu ( DC = 3 ) i na tym zakończy lub popełni błędy rachunkowe przy obliczaniu obwodu trapezu prawidłowo podzieli trapez na trójkąty i poprawnie obliczy wysokość trapezu ( h = 3 3) i na tym zakończy lub popełni błędy rachunkowe przy obliczaniu obwodu trapezu Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy poprawnie obwód trapezu: 5 + 3 3. Zadanie 3. (0 4) Użycie i tworzenie strategii Obliczanie objętości wielościanu Uwaga Strategia rozwiązania tego zadania sprowadza się do realizacji następujących etapów rozwiązania: obliczenie długości krawędzi lub C podstawy ostrosłupa bądź wysokości DE ściany bocznej CD zastosowanie poprawnej metody obliczenia pola podstawy i obliczenie tego pola obliczenie objętości ostrosłupa

4 Egzamin maturalny z matematyki I sposób rozwiązania (krawędź podstawy, wysokość E podstawy i zwykły wzór na pole trójkąta C) Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta D wynika, że = D D = 5, stąd = 5. Podobnie z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta CD wynika, że C = 5. Rysujemy trójkąt C i prowadzimy w nim wysokość E. Trójkąt C jest równoramienny ( = C ), więc E = EC = 3. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta E mamy E = E = 6, stąd E = 4. Zatem P C = 6 4 =. Objętość ostrosłupa jest równa V = = 48. 3 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Obliczenie długości krawędzi lub C podstawy ostrosłupa: = 5, C = 5. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Obliczenie wysokości E trójkąta C: E = 4. Uwaga Zdający nie musi uzasadniać, że E = EC, wystarczy, że poprawnie stosuje twierdzenie Pitagorasa do obliczenia wysokości E trójkąta C. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt Obliczenie pola podstawy ostrosłupa: P C =. Rozwiązanie pełne... 4 pkt Obliczenie objętości ostrosłupa: V = 48. Uwaga Jeśli zdający przy obliczaniu wysokości trójkąta C lub pola tego trójkąta (pola podstawy ostrosłupa) nie stosuje poprawnej metody (co przekreśla poprawność strategii rozwiązania zadania), np. przyjmie, że środkowa CF trójkąta C jest jego wysokością, to za całe rozwiązanie przyznajemy co najwyżej punkt (zdający nie osiągnął istotnego postępu).. E C

Egzamin maturalny z matematyki 5 II sposób rozwiązania (krawędź podstawy, cosinus jednego z kątów trójkąta C, wzór z sinusem na pole trójkąta C) Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta D wynika, że = D D = 5, stąd = 5. Podobnie z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta CD wynika, że C = 5. β Rysujemy trójkąt C i prowadzimy w nim wysokość E i oznaczamy Wariant I obliczenia pola podstawy. Trójkąt C jest równoramienny ( α. E C = C ), więc E = EC = 3. α = C. E 3 Stąd cosα = =. Zatem 5 Pole trójkąta C jest równe 3 4 sinα = cos α = =. 5 5 4 PC = C sinα = 6 5 =. 5 Wariant II obliczenia pola podstawy. Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta C obliczamy cos β : 7 6 = 5 + 5 5 5cos β, stąd cos β =. 5 7 4 Następnie obliczamy sin β = cos β = =. 5 5 4 Pole trójkąta C jest równe PC = C sin β = 5 5 =. 5 Po obliczeniu pola podstawy obliczamy objętość V ostrosłupa V = = 48. 3 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Obliczenie długości krawędzi lub C podstawy ostrosłupa: = 5, C = 5. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt 4 4 Obliczenie sinusa jednego z kątów trójkąta C: sinα = lub sin β =. 5 5

6 Egzamin maturalny z matematyki Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt Obliczenie pola podstawy ostrosłupa: P C =. Rozwiązanie pełne... 4 pkt Obliczenie objętości ostrosłupa: V = 48. Uwaga Jeśli zdający przy obliczaniu wysokości trójkąta C lub pola tego trójkąta (pola podstawy ostrosłupa) nie stosuje poprawnej metody (co przekreśla poprawność strategii E 3 rozwiązania zadania), np. zapisze, że sinα = =, to za całe rozwiązanie 5 przyznajemy co najwyżej punkt (zdający nie osiągnął istotnego postępu). III sposób rozwiązania (krawędź podstawy, wzór Herona na pole trójkąta C) Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta D wynika, że = D D = 5, stąd = 5. Podobnie z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta CD wynika, że C = 5. Pole trójkąta C obliczamy ze wzoru Herona C ( )( )( ) P = p p a p b p c, gdzie p b= p c= 8 5= 3. 5+ 5+ 6 p = = 8, p a = 8 6=, P C = 8 3 3 =. Objętość ostrosłupa jest równa V = PC D = = 48. 3 3 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Obliczenie długości krawędzi lub C podstawy ostrosłupa: = 5, C = 5. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt Obliczenie pola podstawy ostrosłupa: P C =. Uwaga Zdający otrzymuje punkty, jeśli poprawnie zastosuje wzór Herona, popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pola trójkąta C i na tym zakończy. Rozwiązanie pełne... 4 pkt Obliczenie objętości ostrosłupa: V = 48.

Egzamin maturalny z matematyki 7 IV sposób rozwiązania (wysokość ściany bocznej CD, wysokość E podstawy i zwykły wzór na pole trójkąta C) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. D 3 3. C. 6. E Trójkąt CD jest równoramienny, więc środek E boku C jest spodkiem wysokości DE tego trójkąta. Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta ED wynika, że DE = D E = 3 3 = 60. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie DE obliczamy wysokość E trójkąta C E = DE D = 60 = 6, stąd E = 4. Pole trójkąta C jest równe P C = 6 4 =. Objętość ostrosłupa jest równa V = = 48. 3 Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Obliczenie wysokości DE ściany bocznej CD ostrosłupa (lub kwadratu tej wysokości): DE = 4 0. Uwaga Zdający nie musi uzasadniać, że E = EC, wystarczy, że poprawnie stosuje twierdzenia Pitagorasa do obliczenia wysokości DE trójkąta CD. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Obliczenie wysokości E trójkąta C: E = 4. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt Obliczenie pola podstawy ostrosłupa: P C =. Rozwiązanie pełne... 4 pkt Obliczenie objętości ostrosłupa: V = 48.

8 Zadanie 33. (0 4) Modelowanie matematyczne Egzamin maturalny z matematyki Obliczanie prawdopodobieństwa z zastosowaniem klasycznej definicji prawdopodobieństwa Rozwiązanie (model klasyczny) Ω jest zbiorem wszystkich par ( ab, ) takich, że ab, {,,3, 4,5,6} Ω= 36. Zdarzeniu sprzyjają następujące zdarzenia elementarne: (,6 ), ( 4,3 ), ( 4,6 ), ( 6, ), ( 6, 4 ), ( 6,6 ) Zatem 6 = i stąd ( ) 6 P = = =. Ω 36 6. Mamy model klasyczny. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zdający zapisze, że Ω= 36 i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze, że Ω= 36oraz, że = {(,6 ), ( 4,3 ), ( 4,6 ), ( 6, ), ( 6, 4 ), ( 6,6) } i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt Zdający zapisze, że Ω= 36oraz obliczy = 6 i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Uwaga Jeżeli zdający wypisze bezbłędnie wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu, ale błędnie zapisze ich liczbę (np. = 5 = 7 ) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty. Rozwiązanie bezbłędne... 4 pkt Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia : P( ) = 6 Uwaga Jeśli zdający ograniczy swoje rozwiązanie do zapisu Ω= 36; 6 to otrzymuje pkt. P =, 6 = oraz ( )

Egzamin maturalny z matematyki 9 Zadanie 34. (0 5) Modelowanie matematyczne Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego Rozwiązanie Oznaczmy przez x długość (w metrach) basenu w pierwszym hotelu i przez y szerokość (w metrach) tego basenu. Zapisujemy układ równań: x y = 40 ( x+ 5) ( y+ ) = 350 Przekształcamy drugie równanie w sposób równoważny: x y+ x+ 5y+ 0 = 350, podstawiamy do tego równania x y = 40 i wyznaczamy z tak przekształconego równania 00 5y niewiadomą x : x =. Wyznaczoną wartość x podstawiamy do pierwszego równania 00 5 y y = 40, które następnie przekształcamy do postaci: y 0y+ 96 = 0. Rozwiązaniami tego równania są: y = 8, y =. Zatem: jeżeli y = 8, to x = 30 i wtedy basen w pierwszym hotelu ma wymiary: 30 m 8 m, zaś basen w drugim hotelu: 35 m 0 m, jeżeli y =, to x = 0 i wtedy basen w pierwszym hotelu ma wymiary: 0 m m, zaś basen w drugim hotelu: 5 m 4 m. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Wprowadzenie oznaczeń, na przykład: x, y wymiary basenu w pierwszym hotelu i zapisanie równania x y 40 = równania ( x ) ( y ) + 5 + = 350. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie układu równań z niewiadomymi x i y, np. x y = 40 ( x+ 5) ( y+ ) = 350 Uwaga Zdający nie musi zapisywać układu równań, może od razu zapisać równanie z jedną niewiadomą. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą x lub y, np: 40 40 ( x + 5) + = 350 + 5 ( y + ) = 350 x y Rozwiązanie prawie całkowite... 4 pkt Doprowadzenie równania wymiernego do równania kwadratowego oraz rozwiązanie równania kwadratowego: x 50x+ 600 = 0, skąd x = 0 lub x = 30

0 Egzamin maturalny z matematyki y 0y+ 96 = 0, skąd y = 8 lub y = Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 4 pkt Zdający popełnia błąd rachunkowy w rozwiązaniu równania (ale otrzymuje dwa rozwiązania) i konsekwentnie do popełnionego błędu oblicza wymiary obu basenów. Rozwiązanie pełne... 5 pkt Zapisanie wymiarów obu basenów: asen w pierwszym hotelu ma wymiary 30 m 8 m i w drugim hotelu 35 m 0 m lub basen w pierwszym hotelu ma wymiary 0 m m i w drugim 5 m 4 m.