LOGIRANS - VII KONFERENCJA NAUKOWO-ECHNICZNA LOGISYKA SYSEMY RANSPOROWE BEZPIECZEŃSWO W RANSPORCIE Justya śuk Adrzej BAROSZEWICZ dyskrete sterowaie ślizgowe iestajoare hiperpłaszzyzy ślizgowe sterowaie obiektem z opóźieiem ZASOSOWANIE NIESACJONARNEJ HIPERPŁASZCZYZNY ŚLIZGOWEJ DO SEROWANIA DYSKRENYM OBIEKEM DYNAMICZNYM W referaie przedstawioo ową strategię ślizgowego sterowaia zęsto spotykaym w logistye dyskretym obiektem dyamizym z opóźieiem sygału wejśiowego i zakłóeiem ie spełiająym waruków dopasowaia. Do zaprojektowaia regulatora wykorzystao iestajoarą hiperpłaszzyzę ślizgową której parametry zostały dobrae tak aby zagwaratować zbieŝość uhybu regulaji do zera w skońzoym z góry zadaym zasie. Zastosowaie opraowaej metody ie powoduje występowaia hatterigu oraz pozwala zaząo ograizyć sygał sterująy geeroway w pozątkowej fazie proesu sterowaia. IME-VARYING SLIDING HYPERPLANE DESIGN FOR CONROL OF DISCREE DYNAMIC SYSEMS I this paper a ew slidig mode otrol strategy for ommo i logistis disrete dyami systems with iput delay ad mismathed disturbae is proposed. he strategy employs a time-varyig slidig hyperplae seleted i suh a way that the losed-loop system stability ad fiite time error overgee are esured. Moreover the system does ot exhibit hatterig ad appliatio of the movig hyperplae helps redue a exessive magitude of the iitial otrol sigal.. WSĘP Sterowaie ślizgowe [ 3] jest efektywą metodą regulaji która zapewia iewraŝliwość iągłyh obiektów dyamizyh a zmiay parametrów modelu oraz zakłóeia zewętrze spełiająe waruki dopasowaia [4]. Zaletą regulatorów ślizgowyh jest ih iewielka złoŝoość oblizeiowa oraz moŝliwość zastosowaia do szerokiej klasy obiektów w tym wielu obiektów ieliiowyh oraz iestajoaryh. PoiewaŜ współzese układy sterowaia realizowae są zazwyzaj jako układy yfrowe w tym referaie została przedstawioa proedura projektowaia dyskretego regulatora ślizgowego [5 6 7] do sterowaia istotym i zęsto między iymi w logistye Politehika Łódzka Istytut Automatyki; 9-94 Łódź; ul. Stefaowskiego 8/. el: +48 4 63-5-56; E-mail: justya.zuk@p.lodz.pl Politehika Łódzka Istytut Automatyki; 9-94 Łódź; ul. Stefaowskiego 8/. el: +48 4 63-5-58; E-mail: adrzej.bartoszewiz@p.lodz.pl
5 Justya śuk Adrzej BAROSZEWICZ spotykaym obiektem dyamizym jakim jest itegrator z opóźieiem sygału wejśiowego [8 9 ]. Do tego elu wykorzystao regulator z iestajoarą hiperpłaszzyzę ślizgową o odpowiedio dobrayh parametrah [5 3 4 5] o gwaratuje asymptotyzą stabilość układu zamkiętego oraz zbieŝość uhybu regulaji do zera w skońzoym z góry zadaym zasie [6] a takŝe pozwala zazie ograizyć sygał sterująy w pozątkowej hwili proesu sterowaia.. MODEL OBIEKU REGULACJI Weźmy pod uwagę dyskrety obiekt dyamizy z pojedyzym itegratorem opisay trasmitają = z () z m ( ) G z Shemat układu regulaji rozpatrywaego w dalszej zęśi referatu przedstawia Rys.. Przyjmujemy Ŝe u(k) ozaza sygał sterująy wyzazay przez regulator atomiast y(k) sygał wyjśiowy obiektu regulaji którego wartość zadaa y d >. Zakładamy Ŝe wszystkie wielkośi w rozpatrywaym układzie są geerowae w stałyh odstępah zasu k gdzie jest okresem dyskretyzaji a k ieujemą lizbą ałkowitą k =.... Dodatkowo uwzględiamy zakłóeie zewętrze które modelujemy jako a priori iezaą ograizoą fukję zasu h(k) o dowolym rozkładzie statystyzym h( k ) hmax () Ze względu a opóźieie sygału sterująego M = m oraz dyskrety harakter układu sygał odpowiedzi zaleŝy od wartośi zakłóeia oraz sygału wygeerowaego przez regulator w m wześiejszyh hwilah próbkowaia. Zakładają Ŝe przed rozpozęiem proesu sterowaia regulator geeruje zerowy sygał u(k < ) = wyraŝeie określająe y(k) zapisujemy astępująo k k k m k y ( k ) = u ( j M ) h( j ) = u ( j ) h( j ). (3) j= j= j= j= Rys.. Model układu regulaji
ZASOSOWANIE NIESACJONARNEJ HIPERPŁASZCZYZNY ŚLIZGOWEJ 53 Alteratywą do trasmitaji operatorowej metodą reprezetaji rozwaŝaego w referaie układu z pojedyzym elemetem ałkująym i opóźieiem sygału wejśiowego jest opis w przestrzei stau za pomoą rówań x[ ( k + ) ] = Ax ( k ) + bu ( k ) + q h( k ) (4) y ( k ) = r x ( k ) (5) gdzie x(k) = [x (k) x (k) x (k)] ozaza wektor stau którego pierwszą zmieą przyjmujemy jako x (k) = y(k). Natomiast koleje zmiee x i (i = 3 ) wybieramy jako wielkośi sygału sterująego wygeerowaego przez regulator w wześiejszyh hwilah a miaowiie x ( k ) = u[ ( k + i ) ] dla i = 3 K. (6) i Poadto A ozaza maierz stau o wymiarze kolumowymi o składowyh z kolei b q oraz r są wektorami K K A = M M M O M b = M q = M r = M K K (7) przy zym rząd układu = m + = (M/) + zaleŝy od okresu dyskretyzaji oraz opóźieia sygału wejśiowego u(k). W związku z powyŝszym rówaie (4) moŝa przedstawić za pomoą zmieyh stau w rówowaŝej postai x [( ) ] ( ) ( ) ( ) k + = x k + x k h k x [( ) ] ( ) k + = x3 k M (8) x [( ) ] ( ) k + = x k x [( ) ] ( ) k + = u k W dalszej zęśi pray wartość zadaą wektora stau ozazamy jako x d = [x d x d x d ]. Z układu rówań (8) w staie ustaloym przy załoŝeiu Ŝe h(k) = otrzymujemy x = x + x xd = xd 3 M x = x d ( ) d d d d (9) Z pierwszego rówaia w (9) wyika Ŝe wówzas x d =. Natomiast z pozostałyh rówań dostajemy rówośi x d = x d3 = = x d. A zatem kiedy spełioy jest waruek h(k) =
54 Justya śuk Adrzej BAROSZEWICZ wszystkie składowe x di wektora x d dla i = są rówe zeru. Ozazają pierwszą składową x d reprezetująą wartość zadaą wielkośi regulowaej przez y d otrzymujemy wektor wartośi zadayh w postai x d = [ y d ]. 3. PROPONOWANA SRAEGIA SEROWANIA W tym rozdziale przedstawioa zostaie proedura projektowaia dyskretego regulatora ślizgowego do sterowaia obiektem którego model został opisay w poprzedim pukie. W algorytmie zostaie wykorzystaa iestajoara hiperpłaszzyza ślizgowa. Parametry płaszzyzy zostaą dobrae tak aby w pozątkowej hwili proesu regulaji pukt opisująy sta układu leŝał a tej płaszzyźie. W kolejyh hwilah k płaszzyza mootoizie przemieszza się w kieruku pozątku układu współrzędyh w skońzoym z góry określoym zasie osiągają pukt ( ) a astępie pozostaje ieruhoma. Nieh daa będzie płaszzyza ślizgowa opisaa w dowolej dyskretej hwili k rówaiem postai s ( k ) = e ( k ) + f ( k ) = () gdzie = [ ] staowi wektor parametrów płaszzyzy przy zym b e(k) = x d x(k) reprezetuje uhyb regulaji z kolei f (k) jest zaą a priori fukją spełiająą astępująe waruki f () = e(); () f (k) jest śiśle mootoiza w przedziale zasu [; k f ]; () f (k) = dla dowolego k k f. (3) Dodatia ałkowita stała k f jest wybieraa tak aby poprzez odpowiedi dobór wartośi sygału sterująego w układzie zapewić szybką zbieŝość uhybu regulaji do zera. Iymi słowy odpowiedio zdefiiowaa fukja f (k) gwaratuje dobrą jakość regulaji a jedoześie pozwala osiągąć zazą redukję wartośi sygału odpowiedzi regulatora w pozątkowej fazie proesu sterowaia. ZauwaŜmy Ŝe wobe rówaia () spełieie waruku () gwaratuje iŝ w hwili pozątkowej k = pukt opisująy sta układu aleŝy do hiperpłaszzyzy ślizgowej. Z kolei drugi i trzei waruek w defiiji fukji f (k) ozazają mootoize przemieszzaie się płaszzyzy w kieruku pozątku układu współrzędyh do hwili osiągięia przez ią po z góry zadaym zasie puktu ( ). Następie poiewaŝ dla k k f fukja f (k) = wię wyraŝeie () przyjmuje postać s(k) = e(k) = i wówzas płaszzyza pozostaje ieruhoma. Sposób wyzazaia parametrów i (i = ) przedstawioy zostaie w dalszej zęśi tego puktu. Fukja f (k) moŝe być a przykład zdefiiowaa astępująo k l = e e dla k = K k f (4) dla k < oraz k k f ( k f ) ( ) ( ) f k
ZASOSOWANIE NIESACJONARNEJ HIPERPŁASZCZYZNY ŚLIZGOWEJ 55 lub jako jeda z fukji postai ( ) f k k ( ) dla k k f k e = K = f dla k < oraz k k f ( k k f ) os π k π si ( ) dla k k f f ( k ) + k f k e = K = f dla k < oraz k k f. (5) (6) Grafizą ilustraję powyŝszyh defiiji przedstawia Rys.. Rys.. Fukja f (k) według defiiji(a) (4); (b) (5); () (6). Z wyraŝeia () dla k + otrzymujemy e [( k + ) ] + f [( k + ) ] =. (7) Podstawiają do zaleŝośi (7) rówaie (4) i hwilowo przyjmują h(k) = mamy x [ ( ) ( )] [( ) ] d Ax k + b u k + f k + = (8) skąd wyprowadza się astępująe prawo sterowaia { } u ( k ) = ( b ) x ( ) [( ) ] d Ax k + f k +. (9) ZauwaŜmy Ŝe z raji dokoaego załoŝeia fukja h(k) reprezetująa zakłóeie w rozwaŝaym modelu układu jawie ie występuje we wzorah (8) oraz (9). Nie ozaza to jedak Ŝe wpływ zakłóeia jest tutaj pomijay. Wartość sygału sterująego wyzazaego przez algorytm zaleŝy bowiem od wartośi fukji h(k) pośredio poprzez x (k) = y(k) określoe zaleŝośią (3).
56 Justya śuk Adrzej BAROSZEWICZ Uwzględiają wyraŝeie (9) w rówaiu (4) otrzymujemy maierz stau zamkiętego układu regulaji A ( ) = I b b A. () Z kolei wyzazają wielomia harakterystyzy maierzy A otrzymujemy det I A K () ( ) z = z + z + z + + z przy zym musi być spełioy waruek. Jak wiadomo dyskrety liiowy układ regulaji jest asymptotyzie stabily wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie wartośi włase maierzy stau tego układu zajdują się wewątrz okręgu jedostkowego a płaszzyźie zmieej zespoloej. Z zaleŝośi () atyhmiast wyika Ŝe o ajmiej jede z pierwiastków harakterystyzyh jest zlokalizoway w pozątku układu współrzędyh. A zatem w rozpatrywaym układzie ozazają poszzególe pierwiastki przez z z z z i przyjmują z = oraz z i < dla i = wielomia harakterystyzy moŝa zapisać w astępująej postai ( z ) = z ( z z )( z z )( z z3 ) ( z z ) = ( K ) ( 3 K ) K ( 3K ) 3 det I A K () = z z + z + + z z + z z + z z + + z z z + + z z z z z = ( ) = z zi z + z i z i z z i z i z i z + K+ z 3 i z i K z i z. i =... i =... i =... 3 i = i = i =... i =... M i < i i3 = 3... i = i < i < i3 i < i < K< i W wyiku porówaia współzyików przy odpowiedih potęgah zmieej zespoloej z prawyh stro wyraŝeń () oraz () tj. p p+ otrzymujemy zaleŝość p = ( ) z z K z dla p =... (3) i =... p M ip = p... ip = p... i < K< ip < ip i i ip i p ( ) i = + zi z dla.... i K z ip i = (4) p= i =... p M ip = p... ip = p... i < K< ip < ip
ZASOSOWANIE NIESACJONARNEJ HIPERPŁASZCZYZNY ŚLIZGOWEJ 57 Wprowadzają pomoizą stałą δ i (i = ) reprezetująą wyraŝeie w awiasie kwadratowym relaji (4) w skróie zapisujemy i = δ i. W kosekweji wektor parametrów iestajoarej hiperpłaszzyzy ślizgowej () gwaratująy stabilość zamkiętego układu regulaji przyjmuje postać [ K ] δ δ δ. (5) = Po podstawieiu wyraŝeń (7) i (5) do wzoru (9) zaleŝość opisująa sygał sterująy geeroway przez regulator przyjmuje postać [ ] ( ) ( ) u k = b x ( ) d Ax k = y K x ( ) k d K M x ( ) k = [ ] [ ] δ δ K δ δ δ K δ M M M O M = M M K x ( ) k K y ( ) ( ) d x k x k x ( ) 3 k = [ δ ] [ ( )] ( ) δ K δ M = δ yd x k δ i xi k. (6) x ( ) i k = Uwzględiają to Ŝe x (k) = y(k) oraz relaję (6) powyŝszy wzór moŝa zapisać jako [ ] [( ) ] u ( k ) = δ y y ( k ) δ u k j. (7) d Na koie zauwaŝmy Ŝe w dyskretym liiowym układzie -tego rzędu uhyb regulaji zbiega do zera w skońzoym zasie gdy wszystkie pierwiastki wielomiau harakterystyzego są rówe zeru. Zatem aby uzyskać tę właśiwość wielomia () powiie mieć postać j= j det ( zi A ) = z (8) o ozaza z = z = = z = i w kosekweji δ i = dla kaŝdego i =. Wektor parametrów hiperpłaszzyzy ślizgowej () aleŝy wię wybierać jako = [ K ]. (9) Z kolei prawo sterowaia w rozpatrywaym teraz przypadku przyjmuje astępująą postać. (3) u ( k ) = y x ( k ) x ( k ) = y x ( k ) u[ ( k j) ] d i d i= j=
58 Justya śuk Adrzej BAROSZEWICZ ym spostrzeŝeiem końzymy proedurę projektowaia dyskretego algorytmu sterowaia obiektem ałkująym z opóźieiem sygału wejśiowego który zapewia stabilość układu zamkiętego oraz zbieŝość uhybu do zera w skońzoym zasie. 3. PRZYKŁAD SYMULACYJNY W elu weryfikaji przedstawioej strategii sterowaia przeprowadzoe zostały badaia symulayje z wykorzystaiem pakietu Matlab-Simulik. Układ regulaji zamodelowao zgodie z opisem zawartym w pukie. Zakładają Ŝe opóźieie sygału wejśiowego wyosi M = 6 ms oraz przyjmują jako okres dyskretyzaji = ms otrzymujemy m = 6 a stąd = m + = 7. Parametry hiperpłaszzyzy ślizgowej wybrao zgodie z zaleŝośią (9) = = = 7 =. Fukję f (k) zdefiiowao wzorem (4) ustalają trzy róŝe wartośi parametru k f : 5 5 oraz 5. Z kolei symulowae zakłóeie h(k) o maksymalej wartośi h max = pokazao a Rys.3(i). Wartość zadaa wielkośi regulowaej wyosi y d = 3. Uzyskae wyiki ilustrują wykresy a Rys.3(ii)-(iv). Przebiegi a Rys.3(ii) prezetują sygał sterująy wyzazay przez zaprojektoway regulator ślizgowy zgodie z zaleŝośią (7). Z kolei a Rys.3(iii) została pokazaa wielkość wyjśiowa rozpatrywaego układu sterowaia. Na obu tyh rysukah zamieszzoe zostały krzywe odpowiadająe wielkośiom u(k) oraz y(k) dla trzeh róŝyh wartośi stałej k f. Jak łatwo zauwaŝyć te parametr ma duŝy wpływ a wielkość sygału sterująego w pozątkowej fazie proesu regulaji a miaowiie większa wartość k f implikuje siliejszą redukję wielkośi sygału u(). Poadto z przebiegu u(k) widać Ŝe w dowolej hwili k geeroway sygał przyjmuje zawsze wartośi ieujeme i ograizoe od góry. Z kolei a Rys.3(iv) widać Ŝe wartośi zmieej przełązająej s(k) są zawsze ieujeme i pozostają w wąskim przedziale domkiętym [; h max ] = [; ]. Fakt te jest bezpośredią kosekweją ierówośi (). Przypomijmy bowiem iŝ w modelu (opisaym w Rozdziale ) przyjęliśmy traktować jako jedyą dostępą iformaję a temat fukji h(k) jej ieujemość oraz ograizeie od góry przez h max. PoiewaŜ w referaie uwzględiamy zakłóeie ie spełiająe waruków dopasowaia wię ałkowite wyelimiowaie jego wpływu a sta układu ie jest moŝliwe. W efekie algorytm zapewia dohodzeie puktu opisująego dyamikę obiektu do hiperpłaszzyzy ślizgowej o świadzy o spełieiu waruku osiągaia ruhu ślizgowego [7] pozostaje jedak pod wpływem zakłóeia h(k) o uwidazia się a przebiegah sygału u(k) oraz zmieej s(k). Celem sterowaia ie jest zatem utrzymywaie puktu opisująego a hiperpłaszzyźie ślizgowej przez ały zas od mometu gdy po raz pierwszy ją osiągie (tj. zapewieie idealego ruhu ślizgowego) lez zagwaratowaie pozostawaia tego puktu w bliskim otozeiu hiperpłaszzyzy. Iymi słowy zapropoowaa w referaie metoda projektowaia algorytmu sterowaia ma a elu zapewieie osiągaia ruhu quasi-ślizgowego. ZauwaŜmy Ŝe w rozpatrywaym teraz problemie sterowaia istotie ie wymaga się aby w kaŝdym kolejym kroku algorytmu astępowała zmiaa zaku wartośi fukji s( ) (w odróŝieiu od defiiji ruhu quasi-ślizgowego wprowadzoej w pray [7]). W kosekweji a Rys.3(ii) oraz (iii) ie obserwujemy iekorzystego zjawiska hatterigu zyli osylaji o skońzoej i wysokiej zęstotliwośi mogąyh powodować w układah fizyzyh admiere zuŝyie lub uszkodzeie elemetów wykoawzyh.
ZASOSOWANIE NIESACJONARNEJ HIPERPŁASZCZYZNY ŚLIZGOWEJ 59 (i) (ii) 4 hmax 35 8 3 5 (a) d(k) 6 u(k) 4 5 5 (b) () (iii) 3 4 5 6 7 8 zas [ms] 5 yd (iv) 3 4 5 6 7 8 zas [ms] hmax y(k) 9 6 (a) (b) () s(k) 8 6 4 3 3 4 5 6 7 8 zas [ms] 3 4 5 6 7 8 zas [ms] Rys. 3. (i) Zakłóeie h(k); (ii) Sygał sterująy u(k) dla (a) k f = 5; (b) k f = 5; () k f = 5; (iii) Sygał odpowiedzi układu y(k) dla (a) k f = 5; (b) k f = 5; () k f = 5; (iv) Zmiea ślizgowa s(k). 4. PODSUMOWANIE I WNIOSKI W referaie omówioa została proedura projektowaia dyskretego regulatora ślizgowego wykorzystująego iestajoarą hiperpłaszzyzę ślizgową do sterowaia obiektem ałkująym z opóźieiem sygału wejśiowego. W rozwaŝaiah uwzględioo wpływ zakłóeia zewętrzego które ie spełia waruków dopasowaia. Parametry hiperpłaszzyzy zostały dobrae tak aby w pozątkowej hwili proesu regulaji pukt opisująy dyamikę układu leŝał a tej płaszzyźie. W kolejyh hwilah k płaszzyza mootoizie przemieszza się w kieruku pozątku układu współrzędyh w skońzoym z góry określoym zasie osiągają pukt ( ). Wyiki badań symulayjyh potwierdzają Ŝe zastosowaie przedstawioej w referaie strategii sterowaia gwaratuje asymptotyzą stabilość układu zamkiętego zbieŝość uhybu regulaji (bez osylaji) do zera w skońzoym zasie oraz pozwala zaząo ograizyć sygał sterująy w pozątkowej fazie proesu regulaji. Praa aukowa fiasowaa ze środków a aukę w latah 8 jako projekt badawzy r N N54 335 pt. Projektowaie powierzhi przełązeń do ślizgowego sterowaia obiektami dyamizymi.
5 Justya śuk Adrzej BAROSZEWICZ 5. BIBLIOGRAFIA [] Utki V.: Variable struture systems with slidig modes. IEEE rasatios o Automati Cotrol Vol. str. - 977. [] DeCarlo R.S. śak S. Mathews G.: Variable struture otrol of oliear multivariable systems: a tutorial. Proeedigs of IEEE Vol 76 No. 3 str. -3 988. [3] Slotie J.J. Li W.: Applied Noliear Cotrol. Pretie-Hall Iteratioal Editios 99. [4] Dražeović B.: he ivariae oditios i variable struture systems. Automatia Vol. 5 str. 87-95 969. [5] Bartoszewiz A.: Disrete time quasi-slidig mode otrol strategies. IEEE rasatios o Idustrial Eletrois Vol. 45 No. 4 str. 633-637 998. [6] Furuta K.: Slidig mode otrol of a disrete system. Systems & Cotrol Letters Vol. 4 str. 45-5 99. [7] Gao W. Wag Y. Homaifa A.: Disrete-time variable struture otrol systems. IEEE rasatios o Idustrial Eletrois Vol. 4 str. 7-995. [8] Igaiuk P. Bartoszewiz A.: LQ optimal slidig mode supply poliy for periodi review ivetory systems. IEEE rasatios o Automati Cotrol Vol. 55 No. str. 69-74. [9] Rihard J.-P. Gouaisbaut F. Perruquetti W.: Slidig mode otrol i the presee of delay. Kyberetika Vol. 37 No. 3 str. 77-94. [] Rihard J.-P.: ime-delay systems: a overview of some reet advaes ad ope problems. Automatia Vol. 39 str. 667-694 3. [] Zhag D. Guo G.: Disrete-time slidig mode proximate time optimal seek otrol of hard disk drives. Proeedigs of the IEE Part D: Cotrol heory ad Appliatios Vol. 47 No. 4 str. 44-446. [] Chakravarthii S.M. Badyopadhyay B.: Disrete output feedbak slidig mode otrol a movig swithig surfae approah. Systems Siee Vol. 7 No. 3 str. 5-. [3] Jiggag Z. Yibo Z. Zhimei C. Zhiheg Z.: A otrol sheme based o disrete time varyig slidig surfae for positio otrol systems. Proeedigs of the 5 th World Cogress o Itelliget Cotrol ad Automatio Hagzhou Chiy str. 75-78 4. [4] Sivert i i.: Robust otrol of a idutio mahie drive usig a time-varyig slidig surfae. IEEE Iteratioal Symposium o Idustrial Eletrois str. 369-374 4. [5] Bartoszewiz A. Nowaka-Leverto A.: ime-varyig slidig modes for seod ad third order systems. Leture Notes i Cotrol ad Iformatio Siees Vol. 38 Spriger-Verlag Berli Heidelberg 9. [6] Bartoszewiz A. śuk J.: Disrete time slidig mode flow otroller for multi-soure oetio-orieted ommuiatio etworks. Joural of Vibratio ad Cotrol Vol. 5 No. str. 745-76 9.