BEZPOŚREDNIE WYZNACZANIE ROZWIĄZAŃ OKRESOWYCH DLA PRZETWORNIKÓW ELEKTROMECHANICZNYCH W DZIEDZINIE CZASU

Transkrypt

1 Zeszyty Problemowe aszyy Elektryze r 3/4 (3 3 Taeusz Sobzyk, ihał Razik Politehika Krakowska, Istytut Elektromehaizyh Przemia Eergii Państwowa Wyższa Szkoła Zawoowa w owym Sązu, Istytut Tehizy BEZPŚREDIE WYZCZIE RZWIĄZŃ KRESWYCH D PRZETWRIKÓW EEKTRECHICZYCH W DZIEDZIIE CZSU DIRECT DETERITI F PERIDIC SUTI I TIE DI FR EECTRECHIC CVERTERS Streszzeie: W pray przestawioo rozważaia prowaząe o rówań umożliwiająyh oblizaie rozwiązań ustaloyh bezpośreio w zieziie zasu la ukłaów opisywayh rówaiami różizkowymi, o któryh wiaomo, że posiaają rozwiązaia okresowe o zaym okresie. Bazą la rozważań były zae w literaturze rówaia wyzazająe sta ustaloy w zieziie zęstotliwośi la rówań o okresowo zmieyh współzyikah oraz algebraize związki mięzy wartośiami hwilowymi przebiegów okresowyh a ih współzyikami Fouriera. Zefiiowao yskrety operator różizkowaia określająy hwilowe wartośi pohoej fukji w wybraym zbiorze puktów a postawie wartośi fukji w tym zbiorze oraz poao rówaia algebraize określająe rozwiązaia ustaloe w tyh puktah. Rówaia te uogólioo a ukłay ieliiowe posiaająe rozwiązaia okresowe z myślą o ukłaah elektromehaizyh oraz eergoelektroizyh. Dyskrety operator różizkowaia poao testom la ajbarziej harakterystyzyh fukji. W pray przestawioo wyiki testowyh oblizeń stau ustaloego w prostym przetworiku elektromehaizym. bstrat: The mai aim of osieratio is to fi relatios for iret etermiatio i time omai of perioi steay-state solutios for ifferetial equatios. Cosieratio starts from a ase of a set of liear perioi ifferetial equatios havig perioi steay-state solutio, for whih that solutio a be fi i frequey omai by harmoi balae metho. Require equatios have bee fi usig relatios betwee Fourier oeffiiets a values of perioi futio i time, whih has bee oe i the matrix form. ew isrete operator of ifferetiatig has bee efie. s a result a set of algebrai equatios has bee writte. Base o it a algorithm for oliear ifferetial equatios has bee propose. umerial tests have bee oe both for a ew isrete operator a for steay-state aalysis i a simply eletromehaial overter. Słowa kluzowe: rozwiązaia okresowe, rozwiązaia ustaloe, aaliza w zieziie zasu, yskrety operator różizkowaia Keywors: perioi steay-state solutio, aalysis i time omai. Wstęp W zagaieiah elektrotehiki stay ustaloe w obwoah elektryzyh i różego rozaju obiektah elektromagetyzyh są przemiotem szzególego zaiteresowaia, gyż a ih postawie są określae parametry tehize urzązeń. etoy wyzazaia staów ustaloyh ależą o elemetaryh problemów elektrotehiki i są postawowym arzęziem pozawaia właśiwośi ukłaów elektryzyh, zego przykłaem jest rahuek symbolizy stosoway o aalizy ukłaów z przebiegami siusoialymi. Jest to metoa operująa w zieziie zęstotliwośi, która umożliwia barzo proste określaie parametrów rozwiązań ustaloyh, a postawie któryh moża jeozaze określić wartośi rozwiązań w poszzególyh hwilah zasu, jeżeli jest taka potrzeba. W ukłaah z elemetami eergoelektroizymi metoa symboliza, awet w przypakah gy może być stosowaa, ie jest już tak efektywa i przeważie la określeia staów ustaloyh stosuje się metoy symulayje, wyłużają zas symulaji aż o osiągięia takiego stau. kreślaie przebiegów zasowyh a postawie wim Fouriera otrzymayh z meto zęstotliwośiowyh może być w przypaku okształoyh rozwiązań okresowyh zawierająyh skokowe zmiay wartośi iewystarzająe, hoiażby ze wzglęu a efekty Gibbsa. Praa przestawia próbę utworzeia algorytmu umożliwiająego bezpośreie oblizaie hwilowyh wartośi okresowyh

2 4 Zeszyty Problemowe aszyy Elektryze r 3/4 (3 przebiegów ustaloyh w przypakah, gy ukła jest opisyway ukłaem rówań różizkowyh zwyzajyh liiowyh o współzyikah okresowo zmieyh, posiaająyh okresowe rozwiązaia ustaloe.. Sformułowaie problemu Poszukiwae jest rozwiązaie ustaloe ukłau rówań różizkowyh o postai x ( x + b( ( w którym zarówo maierz ( jak i wektor wymuszeń b ( są okresowo zmiee i rozkłaale w szeregi Fouriera ( ( t + T k e jkωt jkωt b ( b( t + T B e ( Wówzas rozwiązaie ustaloe jest okresowe i może być przestawioe w postai szeregu Fouriera jkωt x ( x( t + T e, Ω π T (3 Wartośi współzyików tego szeregu spełiają ieskońzoy ukła rówań algebraizyh [], [] o postai jω E E k k B + B B (4 w którym k oraz B k są współzyikami opowieio: zespoloyh szeregów Fouriera maierzy i wektora wymuszeń ukłau (. Ukła te, ograizoy o wymiarów skońzoyh, pozwala oblizyć wimo rozwiązaia ustaloego w żąaym przeziale zęstotliwośi. Jest to zatem rozwiązaie w zieziie zęstotliwośi, a postawie którego moża określić przebiegi rozwiązaia w zasie. Powyższe rówaia określająe rozwiązaie ustaloe w zieziie zęstotliwośi wykorzystao la sformułowaia aalogizyh rówań określająyh bezpośreio wartośi rozwiązaia ustaloego w wybraym zbiorze puktów okresu jego zmieośi, zyli określająe rozwiązaie ustaloe w zieziie zasu. W tym elu wykorzystao zależośi mięzy wartośiami fukji okresowej o okresie T, a współzyikami jej szeregu Fouriera. Jeżeli wybrać zbiór + puktów rówomierie rozmieszzoyh w okresie zmieośi fukji tak, aby t T ( + la {, ±, ±,, ± } oraz wybrać zbiór + pozątkowyh harmoizyh zespoloego szeregu Fouriera {, ±, ±,, ± } wówzas otrzymuje się związki mięzy wartośiami fukji, a współzyikami jej szeregu Fouriera o postai [3], [4] gzie: x x x x x x C (5 [ ] T x [ ] T aierz C ma postać C (6 j (π (+ gzie e. oża wykazać, że maierz C spełia związek ( C ( + E + C T (7 Zatem związki mięzy współzyikami Fouriera a wartośiami fukji moża zapisać w postai T ( C + x (8

3 Zeszyty Problemowe aszyy Elektryze r 3/4 (3 5 Rówaia (4 oraz związki (5 i (8 zostaą wykorzystae o sformułowaia rówań określająyh bezpośreio wartośi hwilowe okresowyh rozwiązań ustaloyh. 3. Rówaia określająe rozwiązaie ustaloe w zieziie zasu la rówań liiowyh W elu utworzeia rówań algebraizyh określająyh okresowe rozwiązaie ustaloe w zieziie zasu ależy ograizyć ieskońzoy ukła rówań bilasu harmoizyh (4 o wymiarów ( + ( +, z którego moża oblizyć wimo Fouriera rozwiązaia ustaloego o -tej harmoizej włązie. Ukła te zapisay kompaktowo ma postać j Ω + B (9 Związki mięzy wartośiami hwilowymi rozwiązaia ustaloego, a współzyikami szeregu Fouriera la wektora rozwiązań x( moża, a postawie (5 (6, zapisać w postai x C T ( C + x ( aierz C przyjmuje postać ietyzą jak maierz C aa wzorem (6, lez każy jej elemet staowi maierz iagoala o wymiarze maierzy ( ukłau (, zawierająa elemety rówe opowieiemu elemetowi w maierzy C. Ukła rówań etermiująy rozwiązaie ustaloe w zieziie zasu moża otrzymać po wykoaiu astępująyh operaji matematyzyh T j + C Ω ( C x T + C C zazają j ( x + C B C D T + Ω ( C C ( a T + C b ( ( (3 C B (4 otrzymuje się liiowy ukła rówań algebraizyh ( D a x b (5 aierze D oraz a otrzymae w wyiku wymożeia maierzy w awiasah w związkah ((3 są kwaratowe i mają wymiary ( + ( +, a b jest wektorem o ( + elemetah. Wymiary te opowiaają lizbie puktów, w któryh oblizae są wartośi rozwiązaia okresowego. aierz D reprezetuje operator różizkowaia, atomiast maierze oraz b reprezetują wartośi maierzy ( i wektora wymuszeń b( w wybrayh hwilah zasu. aierz D, która może być azwaa yskretym operatorem różizkowaia la fukji okresowej, przyjmuje postać D (6 której elemetami są maierze iagoale o wymiarah ukłau ( z wartośiami a przekątej Wartośi te obliza się z zależośi Ω + π k sik (7 + aierz D jest osobliwa, o jest ość ozywiste, gyż ie a się oworzyć wartośi stałej fukji okresowej a postawie jej pohoej.

4 6 Zeszyty Problemowe aszyy Elektryze r 3/4 (3 Wykoaie operaji przewiziayh w (3 oraz (4 ie jest koieze, gyż określają oe wartośi maierzy ( oraz wektora b( w wybrayh hwilah zasu. ogą oe zostać wyzazoe bezpośreio z tyh maierzy, a ie korzystają z ih rozkłau w szeregi Fouriera. oża zatem apisać ( ( a ( b ( ( [ b( b( b( b( b( ] T gzie przez maierz ( ozazoo maierz (, a przez b ( wektor b (, oblizae la hwili t. Ukła rówań (5 przyjmuje wówzas postać ( x b( ( x b( ( x b( ( x b( ( x b( (8 Jest to poszukiway ukła rówań algebraizyh, z którego moża bezpośreio oblizyć wartośi ustaloego rozwiązaia okresowego w wybraym zbiorze + puktów. Rozważaia powyższe moża uogólić a ieliiowy ukła rówań różizkowyh o postai x f ( x, (9 w przypakah gy wiaomo, że istieje ustaloe rozwiązaie aego rówaia i rozwiązaie to jest okresowe x ( x( t + T. W tym elu ależy zapisać ukła (9 w postai x ( x, x + b( ( Dla tego rówaia moża utworzyć iterayjy algorytm poszukiwaia okresowego rozwiązaia ustaloego bazują a rówaiah (5 i (9. lgorytm taki wymaga iterayjego rozwiązywaia rówań o postai (w zapisie kompaktowym ( D a x i+ b + i ( w którym x i jest wektorem poszukiwayh rozwiązań w iteraji i +. aierz a i ma postać i ( ( i a i ( i ( i ( i i zawiera maierze i ( oblizae la wartośi rozwiązaia otrzymaego w iteraji i-tej la kolejyh hwil zasowyh. lgorytm taki wymaga określeia wartośi rozwiązaia startowego. 4. Baaie właśiwośi yskretego operatora różizkowaia W elu zbaaia poprawośi ziałaia operatora różizkowaia D wykoao astępu- jąe testy oblizeiowe: - sprawzoo poprawość oblizaia pohoej fukji stałej. W wyiku otrzymao okłaie zerową wartość pohoej, gyż wartośi elemetów maierzy D spełiają wa- ruek la (,,... ( + - sprawzoo poprawość oblizaia pohoej fukji os x. Wyiki oblizeń la przestawioo a Rys.. Dokłaość oworzeia fukji si x jest rzęu -. - sprawzoo poprawość oblizaia pohoej fukji ieiągłej. Pohoa ie jest ałkiem poprawie owarzaa gyż pojawiają się efekty poobe o efektu Gibbsa przy oblizaiu wartośi fukji ieiągłej a postawie szeregu Fouriera. Ilustruje to Rys. przy.

5 Zeszyty Problemowe aszyy Elektryze r 3/4 (3 7 Rys.. worzeie pohoej fukji przez operator różizkowaia D os x Rys.. worzeie pohoej fukji ieiągłej przez operator różizkowaia D oża zatem stwierzić, że yskrety operator różizkowaia D ziała poprawie la fukji różizkowalyh. 5. Przykła wyzazaia rozwiązaia ustaloego la przetworika elektromehaizego W elu zilustrowaia propoowaego poejśia przeprowazoo aalizę stau ustaloego ajprostszego przetworika elektromehaizego opisaego rówaiem ( os( i + R i u( + ϕ (3 t zasilaego apięiem przemieym u( U os( Ω (4 przy stałej prękośi kątowej ϕ Ω t +ϕ. W tyh warukah moża przewizieć, że rozwiązaie w staie ustaloym bęzie okresowe. Rówaie przetworika sprowazoo o postai ormalej, opowiaająej rówaiu ( ψ R ψ + u ( ( (5 wykorzystują związek ψ ( i. blizeia przeprowazoo la astępująyh parametrów: 3[H], [H], ϕ π /, U 3[V], Ω π 5[/sek] oraz la trzeh wartośi rezystaji: R [ Ω], R [ Ω] oraz R [ Ω]. Założoo, tj. w przeziale zmieośi apięia ( T/, T/ wybrao rówomierie rozłożoyh puktów. a postawie rówaia ( utworzoo ukła rówań (8 o wymiarah ( otrzymują z jego rozwiązaia wartośi strumieia skojarzoego w wybraym zbiorze puktów. Wartośi prąu w tyh puktah określoo z zależośi i ψ / (. Wyiki oblizeń w formie wykresów zmieośi i ( oraz ψ ( przestawioo a kolejyh rysukah: la R [ Ω] a Rys.3, la R [ Ω] a Rys.4 oraz la R [ Ω] a Rys.5. a Rys. 3a przebieg strumieia jest praktyzie ałką z apięia gyż wartość spaku apięia a rezystaji jest relatywie mała. Prą jest okształoy z powou zmieej iukyjośi. W miarę zwiększaia rezystaji strumień okształa się oraz barziej, a w kosekweji także prą. Przebiegi ustaloe zostały określoe bezpośreio w zasie. iewielka moyfikaja umożliwia także bezpośreie określeie prąu. Rys. 3a. Wykres zmieośi ψ ( (R[Ω] Rys. 3b. Wykres zmieośi i ( (R[Ω]

6 8 Zeszyty Problemowe aszyy Elektryze r 3/4 (3 Rys.4a. Wykres zmieośi ψ ( (R[Ω] Rys.4b. Wykres zmieośi i ( (R[Ω] Rys.5a. Wykres zmieośi ψ ( (R[Ω] Rys.5b. Wykres zmieośi i ( (R[Ω] 6. Wioski W pray wyprowazoo rówaia umożliwiająe bezpośreie oblizaie wartośi hwilowyh ustaloego rozwiązaia okresowego la liiowyh rówań różizkowyh o okresowo zmieyh parametrah. ają oe postać liiowego ukłau rówań algebraizyh i elimiują potrzebę posługiwaia się szeregami Fouriera. Istotym elemetem tego ukłau jest yskrety operator różizkowaia. Testy umeryze yskretego operatora różizkowaia potwierziły poprawość owarzaia pohoyh fukji różizkowalyh oraz jego przyatość la aalizy staów ustaloyh elektromehaizyh przetworików eergii. 7. iteratura []. Boye W.E., DiPrima R.C.: Elemetary Differetial equatios, Joh Wiley & Sos, ew York, 969 []. Sobzyk T.: reiterpretatio of the Floquet solutio of the oriary ifferetial equatio system with perioi oeffiiets as a problem of ifiite matrix, Compel, Vol.5, o., Dubli, Boole Press t, 986, pp.(- [3]. Bure R.., Faires J.D.: umerial aalysis, PWS-KET Pub. Comp., Bosto, 985 [4]. Sobzyk T.: Diret etermiatio of twoperioi solutio for oliear yami systems, Compel, James & James Siee Pub. t., 994, Vol.3, o.3, pp(59-59 [5]. Sobzyk T.: Bezpośreie wyzazaie w zieziie zasu okresowyh rozwiązań ustaloyh la rówań różizkowyh, ateriały Kofereji PTETiS "Wybrae Zagaieia Elektrotehiki i Elektroiki", Rzeszów-Czara, 3, CD utorzy Taeusz J. Sobzyk, Prof. r hab. iż. Politehika Krakowska, Istytut Elektromehaizyh Przemia Eergii, Kraków, 3-55, ul. Warszawska 4, pesobzy@yf-kr.eu.pl ihał Razik, Dr iż. Państwowa Wyższa Szkoła Zawoowa, Istytut Tehizy, owy Sąz, 33-3, ul. Zamehofa a, m.razik@pozta.oet.pl