Arytmetyka pierścieia liczb całkowitych (w tym podzielość). Pojęcie pierścieia. Defiicja. Zbiór A z dwoma operacjami wewętrzymi o symbolach + i azywa się pierścieiem, jeżeli spełioe są waruki: ) A z operacją + staowi grupę abelową, 2) A z operacją staowi półgrupę, 3) zachodzą tzw. prawa rozdzielości: dla dowolych a, b, c w A jest a(b + c) = ab + ac i (b + c)a = ba + ca. Jeśli w zbiorze A istieje adto elemet jedostkowy operacji możeia, mówi się o pierścieiu z jedością. Tak więcdlapierścieia A z operacjami + i przyjmujemy waruki: 4) dla dowolych a, b, c w A zachodzi (a+b)+c=a+(b+c), 5) istieje elemet jedostkowy dodawaia 0, tz. taki, żedlakażdego a w A zachodzi a+0=0+a=a, 6) każdy elemet a w A posiada iwers względem dodawaia, o symbolu a, a więctaki,że a+( a)=0i( a)+a=0, 7) dla każdych a i b w A zachodzi a+b=b+a, 8) dla każdych a, b, c w A zachodzi a(bc) = (ab)c, 9) istieje elemet jedostkowy operacji możeia,osymbolu,awięctaki,że a = a=adlakażdego a w A, 0) dla dowolych a, b, c w A zachodzi a(b + c) = ab + ac i (b + c)a = ba + ca. Przykłady pierściei:. (R, +, ) zbiór liczb rzeczywistych z operacjami dodawaia i możeia.
2. (Z, +, ) zbiór liczb całkowitych z tymi działaiami. 3. (Q, +, ) zbiór liczb wymierych z tymi działaiami. 4. (Z[ 2],+, ) zbiór liczb rzeczywistych postaci a + b 2,gdzieaibsą liczbami całkowitymi, z tymi działaiami. 5. Zbiór fukcji, które odwzorowują zaday zbiór A w zbiór liczb rzeczywistych, zastępującymi operacjami: przez sumę dwu fukcji f i g rozumie się fukcję f + gtaką, że(f+g)(x)=f(x)+g(x)dlakażdego x w A, przez iloczy zaś fukcję f gtaką, że (f g)(x) = f(x) g(x) dla dowolego x w A. 2. Pierścieie całkowite. Zażądajmy, by w pierścieiu (A, +, ) zachodziły astępujące dwa prawa: ) dla dowolych a, b w A zachodzi a b=b a, 2) jeżeli dla dowolych a, b, c w A zachodzi a c=b clubc a=c borazc 0, to a = b. Pierścień, który czyi zadość tym warukom, osi azwę pierścieia całkowitego. Przykłady pierściei całkowitych.. Pierścień (Z, +, ) liczb całkowitych ze zwykłym dodawaiem i możeiem. 2. Pierścień (Q, +, ) liczb wymierych z działaiami jak w przykładzie. 3. Pierścień (R, +, ) liczb rzeczywistych z działaiami jak wyżej. 4. Pierścień liczb rzeczywistych postaci a + b 2, gdzieaibsą całkowite, z działaiami jak w przykładzie. 5. Pierścień liczb rzeczywistych postaci a + b 2, gdzieaibsą wymiere, z działaiami jak wyżej. 3. Pierścieie całkowite uporządkowae. Wśród pierściei całkowitych zajdują się pierścieie liczbowe: liczb całkowitych, wymierych, rzeczywistych. Wiadomo, że te zbiory liczbowe po usuięciu z ich zera rozpadają się a podzbiory liczb dodatich i ujemych; pozwala to w kosekwecji określić ierówości między liczbami: uważasię liczbę aza większą od b, jeżeli różicaa b zajduje się wśród liczb dodatich. W iektórych pierścieiach całkowitych możliwe jest podobe uporządkowaie.
Defiicja. Pierścień całkowity (A, +, )azywasię pierścieiem całkowitym uporządkowaym, jeżeli elemety iezerowe A podzielić moża a dwa podzbiory J i J takie, że zachodzą waruki: ) J składa się ziwersówwzględem operacji + elemetów J, 2) jeżeli a, b J, to a + b J ia b J, 3) J składa się z iwersów elemetów J, 4) jeżeli a, b J, to a + b J, 5) jeżeli a, b J, to a b J. Pierścieie liczb rzeczywistych, wymierych i całkowitych są pierścieiami uporządkowaymi. 4. Defiicja pierścieia liczb całkowitych. Defiicja. Zbiór Z z operacjami wewętrzymi + i azywa się zbiorem liczb całkowitych, jeżeli ) Z jest grupą abelową względem operacji +, 2) operacja jest asocjatywa i komutatywa, 3) w Z istieje elemet jedostkowy operacji możeia róży od 0, 4) dla dowolych a, b, c w Z zachodzi waruek a(b+c)=ab+ac, 5) elemety iezerowe Z rozpadają się a dwa podzbiory J i J takie, żej składasię z iwersów operacji + elemetów J, 6) dla dowolych a, b w J jest a+b J, a b J, 7) jeżeli U jest podzbiorem J takim, że UidlakażdegoawUtakżea+ U, to U=J. Aksjomaty ) 7) wyzaczają pierścień całkowity, uporządkoway, z co ajmiej dwoma elemetami, spełiający adto waruek 7). Te ostati ozacza, że zbiór liczb całkowitych dodatich składa się z liczb, +, + +, itd. Elemety zbioru J azwiemy liczbami aturalymi.
6. Niektóre własości zbioru liczb całkowitych. Wskażemy tu a pewe podstawowe cechy budowy algebraiczej tego pierścieia, którymi różi się o od iych pierściei liczbowych. Wśródtychwłasości ajwięcej uwagi poświęcimy tzw. zasadzie idukcji matematyczej z racji jej liczych zastosowań oraz kostrukcji defiicji idukcyjych. Rozpocziemy od twierdzeń: Twierdzeie. Jedyka pierścieia liczb całkowitych jest ajmiejszym jego elemetem dodatim. Dowód. Utwórzmy zbiór U złożoy z tych wszystkich elemetów x zbioru J, dla których zachodzi x = lub x >. Wystarczy dowieść, że U = J. Sprawdzimy w tym celu, że zbiór U czyi zadość założeiom aksjomatu 7). Istotie, iech x U, wtedy x = lub x >.Trzeba pokazać, żex+ U. Jeżelix=,tox+=+a+>(bo>0pociąga+>0+).Jeżeli x >, to x + > +, co z przechodiości ierówości pociąga też ix+>.wkażdym więc przypadku x + >, więcx+ U. Zbiór U spełia założeia aksjomatu 7); wyika zeń, żeu=j. Twierdzeie 2. Jeśli liczby całkowite a i b spełiają ierówość a<b,toa+ b. Dowód. Niech a < b, czyli b a J. Poieważ ajmiejszą liczbą wjjest,więcb a, co już pociąga a + b. Twierdzeie 3. Niech T będzie podzbiorem iepustym zbioru liczb aturalych J. Istieje wtedy w T dokładie jede elemet a taki, żedlakażdego elemetu x zbioru T, różego od a, jest a < x. Taki elemet a, który czyi zadość warukowi zawartemu w tezie, azywa się miimum zbioru T. O zbiorze, którego każdy iepusty podzbiór posiada miimum, mówi się, że jest dobrze uporządkoway. Zatem twierdzeie asze moża sformułować krótko: Zbiór liczb aturalych jest dobrze uporządkoway. Dowód. Zadajmy dowoly iepusty podzbiór T zbioru J. Możebyć:
. T lub 2. T. Wobec twierdzeia, w przypadku. zbiór T posiada miimum, jest im liczba. Zajmijmy się wobec tego przypadkiem 2. Załóżmy dla dowodu iewprost, że T ie posiada miimum. Tworzymy pomociczo zbiór U złożoy z tych wszystkich liczb aturalych, które są miejsze od wszystkich y ze zbioru T. Poieważ T, a jest ajmiejszą liczbą aturalą, więc U. Ustalmy w U dowole x i zbadajmy x +. Wobec tego, że dla dowolie ustaloego y w T jest x < y, zachodzi x + y. Mogą zajść dwie ewetualości: albo: (a) dla pewego y ze zbioru T jest x + = y, albo: (b) dla każdego y ze zbioru T zachodzi x + < y. Przypadek (a) trzeba wykluczyć, ozacza o bowiem, że T posiada miimum, jest im y. Istotie, weźmy z T, z y, to x + z; poieważ ie zachodzi x + = z, więcx+<z, czyli y < z. Musimy zatem przyjąć, żedlakażdego x w U i dowolego y w T zachodzi x + <y. Ale to ozacza, żex+ U. Wobec aksjomatu 7) zbiór U musi być całym J, stądzaś wyika, że w Tie ma ai jedego elemetu. Dochodzimy w te sposób do sprzeczości z założeiem, że T jest iepusty, co kończy dowód. 6. Segmety, zbiory skończoe i przeliczale, ciągi skończoe i ieskończoe. Podamy teraz kilka pojęć,któreułatwią sformułowaie dalszych wypowiedzi własościach liczb całkowitych. Defiicja. Niechbędzie liczbą aturalą. Segmetem [, ] zbioru liczb aturalych J azywa się podzbiór zbioru J wszystkich elemetów x spełiających waruek x. Poieważ dla każdego jest, więc [, ]. Podobie,, więc [, ]. Łatwo pokazać, że [, ] składa się tylko z liczby, [, 2] z liczb i 2, [, 3] z liczb, 2, 3 itd. Defiicja 2. Zbiór iepusty A azywa się skończoym, jeżeli istieje odwzorowaie różowartościowe f pewego segmetu zbioru liczb aturalych [, ] a A. Liczbę azywa się ilością elemetów A, mówi się też, że jest elemetowy.
Obraz liczby aturalej i z [, ] poprzez odwzorowaie f ozacza się zazwyczj symbolem a i. Zbiór pusty uważamy też za zbiór skończoy. Zbiór, który ie jest skończoy, azywa się ieskończoym. Defiicja 3. Odwzorowaie segmetu [, ] w pewie zbiór A osi azwę ciągu skończoego, wyrazowego, w zbiorze A. Obraz liczby i z [, ] poprzez ciąg ozacza się symbolem a i iazywasię i tym wyrazem ciągu. Przyjęto ciąg przedstawiać symbolem (a,a 2,a 3,..., a ). W szczególości, odwzorowaie z defiicji 2. jest przykładem ciągu skończoego w zbiorze skończoym. Defiicja 4. Zbiór A azywa się przeliczalym, jeżeli istieje odwzorowaie różowartościowe zbioru liczb aturalych J a zbiór A. Podobie, jak w defiicji 2., obraz liczby aturalej i bywa ozaczay przez a i. Defiicja 5. Odwzorowaie zbioru liczb aturalych J w pewie zbiór A azywa się ciągiem ieskończoym w zbiorze A. Obraz liczby i poprzez ciąg ozacza się symbolem a i i azywa i tym wyrazem ciągu. Sam ciąg ozacza się symbolem (a,a 2,a 3,... ) lub krótko (a )alboa. 7. Zasada idukcji matematyczej. Zasada idukcji matematyczej dotyczy pewej metody dowodu twierdzeń o sformułowaiu: () każda liczba aturala posiada własość W().
Przytoczmy ajpierw kilka przykładów takich twierdzeń:. Dla każdego aturalego liczba ( + ) jest podwojoą sumą liczb ależących do segmetu[, ]. Twierdzeie to moża wypowiedzieć w sformułowaiu (), jeżeli przez W() będzie się rozumieć: liczba ( + ) jest podwojoą sumą liczb aturalych ależących do segmetu [, ]. 2. różych płaszczyz, przechodzących przez jede pukt przestrzei tak, że żade trzy ie mają wspólej krawędzi przecięcia, dzieli przestrzeń a ( ) + 2 części. W sformułowaiu tym pomiięto zwrot, którego się domyślamy: dla każdego aturalego, wypowiedź twierdzeia podaje tylko własość W(). Podobie brzmi: + si x 3. six + si2x + si3x +... + six = 2 si x". x si 2 Ozaczmy zdaie liczba posiada własość W() symbolem P. Wtedy () brzmi: (2) Dla każdego aturalego zdaie P jest prawdziwe. Dowód twierdzeia postaci (2) moża przeprowadzić korzystajączastępującej zasady: ZASADA INDUKCJI MATEMATYCZNEJ. Jeżeli: (a) zdaie P jest prawdziwe; (b) dla dowolego aturalego prawdziwość zdań P,..., P pociąga prawdziwość P +, to zdaie P jest prawdziwe dla każdego. Dowód iewprost. Załóżmy, że dla pewych zdaie P jest fałszywe. Utwórzmy zbiór K tych wszystkich, dla których P jest fałszywe; z aszego założeia jest o iepusty. Ze względu a dobre uporządkowaie zbioru liczb aturalych, K posiada miimum. Ozaczmy je literą a. To ajestwiększe od, bowiem wobec (a), do K ie ależy. Nierówość a > pociągaa >0, A jestwięc liczbą aturalą, ie leżącą wk.cowięcej, wszystkie liczby segmetu [, a ] są poza K, więc zdaia P,..., P a są prawdziwe. Ale wtedy, z założeia (b) P a-+, czyli P a musi być też prawdziwe, wbrew temu, żea K. Zilustrujemy korzystaie z zasady idukcji, przeprowadzając dowód twierdzeia:
Dlakażdego aturalego liczba ( + ) jest podwojoą sumą liczb aturalych, ależących do segmetu [, ]. Dla twierdzeia tego P brzmi: liczba posiada tę własość, że(+)jest podwojoą sumą liczb aturalych, ależących do segmetu [, ]. Należy udowodić dwa fakty: (c) P jest prawdziwe, tz. liczba ( + ) jest podwojoą sumą liczb segmetu [, ]; (d) prawdziwość P,..., P pociąga prawdziwość P + ; jest tu dowolie ustaloą liczbą aturalą. Ozacza to, żezzałożeia: dla dowolego i z [, ] liczba i(i + ) jest podwojoą sumą liczb segmetu [, i] wyika teza: liczba ( + )( + 2) jest podwojoą sumą liczb segmetu [, + ]. Dowód (c): W segmecie [, ] zajduje się tylko liczba, zatem podwojoa suma liczb tego segmetu, to 2 =2.Jesttooczywiście rówe ( + ) = 2. Dowód (d): Do segmetu [, + ] wchodzi poza liczbami segmetu [, ], jeszcze tylko liczba +. Podwojoa suma liczb segmetu [, ] wyosi z założeia ( +), stąd podwojoa suma liczb segmetu [, + ] jest ( + ) + 2( + ) = ( + )( + 2), co kończy dowód. 8. Defiicje idukcyje. Podamy z kolei schemat, według którego formułować moża określeie odwzorowaia zbioru liczb aturalych zaday zbiór A, a więc określeie ciągu w zbiorze A. Defiicje kostruowae według tego schematu oszą azwę defiicji idukcyjych. Są oe oparte o astępujące Twierdzeie. Utwórzmy dla zbioru A ciąg zbiorów X =A,X 2 =A A, X 3 =A A A,... Dla każdego aturalego zadajemy odwzorowaie ϕ zbioru X w zay zbiór A. Wtedy istieje dokładie jeda fukcja f, odwzorowująca zbiór J w A taka, że
() f() jest zadaym elemetem a w A; (2) dla każdego aturalego zachodzi f( + ) = ϕ (f(),f(2),..., f()). Tak więc, chcąc określić fukcję odwzorowującą JwA,moża zadać wa ciąg fukcji ϕ,=,2...,takich,że ϕ :X Aiwypowiedzieć defiicję: ciągfjest odwzorowaiem J w A, które spełia waruki () i (2). Przykłady. Defiicja ciągu arytmetyczego liczb rzeczywistych: ciągarytmetyczyowyrazie pierwszym a i różicy r jest ciągiem spełiającym waruki: (3) a =a, (4) a + =a +r. W tej zaej z kursu szkolego defiicji waruek (3) zadaje wartość ciągu dla liczby, waruek (4) zawiera regułę otrzymywaia a +, gdy zae jest a. Defiicja ta została skostruowaa zgodie z opisaym schematem defiiowaia ciągów: A jest tu zbiorem liczb rzeczywistych, a zadaym jego elemetem; fukcje ϕ są określoe astępująco: ϕ (x )=x +r,ϕ 2 (x,x 2 )=x 2 + r, itd., w ogóle, dla dowolego jest ϕ (x,..., x )=x +r. 2. Defiicja ciągu geometryczego liczb rzeczywistych: Ciąg geometryczy o wyrazie pierwszym a i ilorazie q jest ciągiem spełiającym waruki: a =a a + =a q Tutaj ϕ (x,..., x )=x q. 9. Przykład defiicji idukcyjej! Niech odwzorowuje zbiór liczb aturalych w te sam zbiór zachowując waruki () f() = (2) dla dowolego jest f(+) = f() (+).
Podae waruki () i (2) tworzą defiicję idukcyją, w której przyjęto: a=,ϕ (x,..., x )=x ( +). Wyzaczają oe zatem fukcję f jedozaczie. Pokażemy, że fukcja f jest fukcją ϕ, przyporządkowuje dowolej liczbie iloczy wszystkich liczb z segmetu [; ]. Istotie ϕ spełia () i (2), bo w segmecie [, ] jest tylko liczba, zatem ϕ () = ; w segmecie [; + ] są wszystkie liczby segmetu [, ] oraz +, stąd ϕ (+) = ϕ ((+) ). Łatwo też pokazać, żepróczϕ żada ia fukcja ie możespełić waruków () i (2). Istotie jeżeli f spełia () i (2), to musi być f() = ϕ () dla każdego. Jest bowiem f() = i ϕ () =. Nadto, jeżeli założymy, że dla aturalego zachodzi f() =ϕ (), to także f((+)) = ϕ ( (+)), czyli f(+) = ϕ (+). Określeie fukcji! rozciągamy także a liczbę 0przyjmując, że0!=. 0. Potęgi o wykładikach całkowitych i iloczyy elemetów zbioru przez liczby całkowite Niech X będzie zbiorem z asocjatywą operacją możeia. Ustalamy x w X. Określamy fukcję f odwzorowującą zbiór liczb aturalych w zbiór X astępującą defiicją idukcyją: () f() = x; (2) dla dowolego aturalego f(+)=f() x. Początkowe wyrazy f są: f() = x, f(2)=x x, f(3) = (x x) x=x x x, etc. Dla -tego wyrazu f się symbolu x iazywasię go potęgą elemetu x o wykładiku. Określiliśmy w te sposób potęgę dowolego x w X o wykładiku aturalym warukami: (3) x = x, + (4) x = x x dla dowolego aturalego. W szczególym przypadku, gdy X jest zbiorem liczb rzeczywistych z operacja możeia, defiicja asza dotyczy potęgowaia liczb wykładikami aturalymi. Zbadamy kilka podstawowych własości potęgi; dowody twierdzeń, które podamy, będą ilustracją metody dowodu opartej a zasadzie idukcji.
Twierdzeie. Dla dowolych liczb aturalych m i zachodzi (5) x m+ = x m x. Dla dowodu wystarczy pokazać, że (5) zachodzi, gdy =, oraz, żestądiż (5) zachodzi dla liczb,...,,wyika,że zachodzi o także dla +. Gdy =, (5) brzmi: x m+ = x m x, co wobec (4) zachodzi. x m+ = x m x,czyli m+ i m i Załóżmy teraz, że dla liczb i w [,] jest x = x + x. Należy pokazać, że m+ + m + x = x x. Otóż m++ x jest wobec (4), uczyioego założeia (3) i poowie (4), rówe m+ m m + x x = x x x = x x. Twierdzeie 2. (6) Dla dowolych m i aturalych jest = m m ( x ) x. Dowód. Ustalmy zowu dowolie m i poprowadźmy dowód idukcyjy. Dla = baday waruek brzmi: do elemetu ( ( x m ) = x m.elemet ( x m ),to x m, wystarczy bowiem odieść waruek (3) x m, zatem (6) zachodzi. Załóżmy, żedlaiw[,]jest m i ( + ) ) + m i x = x rzeczywiście z (4) odiesioym do elemetów m i twierdzeiem. otrzymujemy: = m i m i ( x ) x. Pokażmy, że x, uczyioym założeiem ( x m ) i+ = ( x m ) i x m = x m i x m = x m i+ = x m( i+ ) Twierdzeie 3. Dla każdego aturalego zachodzi (7) ) komutują. Dowód twierdzeia poprzedzimy lematem. = ( x y x y,jeżeli tylko x i y ze sobą Jeżeli elemety x i y komutują ze sobą, to komutują ze sobą takżexi dowolą liczbą aturalą.takwięc, z założeia (8) x y = y x wyika (9) x y = y x y,gdziejest Dowód prowadzimy idukcyjie. Dla = waruek (9) pokrywa się z(8)załóżmy, żedlaiw[,]jest i i (0) x y = y x. Pokażemy, że x y = x y y = y x y = y + + x.
Wykorzystaliśmy tu kolejo: (4) w odiesieiu do y założeie (0), (8) i poowie (4). Teraz już łatwo przeprowadzimy dowód twierdzeia 3. Dla = związek (7) brzmi: i w [,] zachodzi () ) = i i i ( x y x y. Pokażmy, że = ( x y) x y ( z y) +, wobec (3) jest o prawdziwy. Załóżmy, żedla = x + y +. Istotie ( x y) + = ( x y) ( x y) = x y x y = x x y y = x + y +. Skorzystaliśmy tu kolejo: z (4) w odiesieiu do x y, z założeia (), lematu i powtórie z (4). Założeie, jakie czyiliśmy w odiesieiu do zbioru X, w którym określiliśmy potęgowaie, dotyczyło jedyie asocjatywości operacji. Jeżeli uczyi się dalsze założeia o X, moża będzie rozszerzyć defiicję potęgi a wykładiki całkowite, iekoieczie aturale. I tak, jeżeli założymy, że w X istieje elemet jedostkowy operacji możeia, to moża przyjąć Defiicję 2. Dla dowolego x w X symbol x 0 ozacza : x 0 =. Jeżeli adto przyjmiemy, że elemet x posiada iwers możeia, możemy sformułować Defiicję 3. x względem operacji Dla dowolego x z X, mającego iwers oraz dowolego aturalego symbol x ozacza ( x ) : x = ( x ). Twierdzeia 3, zachowują swą moc dla dowolych wykładików całkowitych, jeżeli tylko rozważae w tych twierdzeiach potęgi elemetów istieją,jeżeli więcelemety te mają iwersy. Dla przykłady pokażemy, że twierdzeie 2 zachodzi dla wykładików całkowitych ujemych. Dowód poprzedzimy Twierdzeie 4. Jeżeli a jest elemetem X, posiadającym iwers, to dla dowolego k aturalego a posiada iwers, jest im ( a ) k. Dowód. k = a Niech k=; wtedy ( a ) k dla ustaloego k jest iwersem a k.
Należy pokazać, że ( k+ a ) Rzeczywiście jest iwersem k + a ( k+ ) Podobie sprawdzić moża drugą rówość. Pokażemy teraz, że: Jeżeli x jest elemetem X mającym iwers, to k + a, czyli, że k + a ( k+ ) k a = a a a = a a =. m ( x ) = x m, k + a = k + a = ( ) a gdzie m i są dowolymi elemetami całkowitymi ujemymi. Dowód. Wyrażeia pojawiające się wteziemają, wobec twierdzeia 4 ses, gwaratuje oo bowiem istieie iwersu dla i=-l.wtedy m x. Ozaczamy teraz przez k i l liczby aturale takie, że m=-k m k l k k k k k ( k )( ) ( x ) = ( x ) = (( x ) ) = ((( x ) ) ) = ((( x ) ) ) = ( x ) = x = x = x m* Udowodioy związek zachodzi i wtedy, gdy m>0 i <0., Zbiór X, w którym rozważamy potęgowaie, wyposażoy jest w operację ozapisie multyplikatywym. Nie stoi ic a przeszkodzie, by tę samą operację zapisać addytywie, azywając ją dodawaiem elemetów zbioru X. Defiicja fukcji f, staowiącej przedmiot aszych rozważań, ma w zapisie addytywym postać: (2) f()=x; (3) dla dowolego aturalego (+)=f(+x) Przyjęto ozaczać f() ie symbolem x, jak przy zapisie multyplikatywym, lecz symbolem x iazywać iloczyem elemetu x przez liczbę aturalą. Tak więc x=x, 2 x=x+x, 3 x=(x+x)+x=x+x+x Możeie elemetów x z X przez liczby aturale określiliśmy więc warukami: (4) x=x (5) (+) x= x+x dla dowolego aturalego. Wypowiadając twierdzeia -3 w omeklaturze adydytywej, otrzymujemy iformacje o własościach tego możeia: Twierdzeie 5. Dla dowolego x w X i liczb aturalych m i zachodzi: itd..
(m+) x=m x+ x Twierdzeie 6. Dla dowolego x w X i liczb aturalych m i zachodzi: m ( x)=(m ) x Twierdzeie 7. Dla dowolego aturalego i x, y w X takich, że x+y =y+x, zachodzi (x+y)= x+ y. Defiicję,możeia elemetów X przez liczby aturale moża rozszerzyć a liczby całkowite w sposób aalogiczy do zrealizowaego dla potęg. Jeżeli miaowicie istieje w X elemet jedostkowy 0 operacji dodawaia, to przyjmuje się 0 x=0 dla dowolego x w X. Uwaga. 0 z lewej stroy tego związku jest liczbą całkowitą, z prawej elemetem jedostkowym dodawaia w X. Jeżeli x posiada iwers x względem operacji dodawaia, to przyjmuje się (-) x = (-x) dla dowolego aturalego. Twierdzeia 5. 7. Zachowują ważość dla dowolych całkowitych m i, o ile tylko istieją iwersy x i y. Niech X będzie pierścieiem z operacjami +i. WtedywXjestokreśloe możeie elemetów przez liczby całkowite, podlegające twierdzeiom 5. 7. oraz potęgowaie elemetów X wykładikami aturalymi i wykładikiem 0; dla elemetów posiadających iwersy względem możeia możliwe jest też potęgowaie wykładikami ujemymi. Potęgowaie podlega twierdzeiu i 2, jeżeli pewe elemety x i y komutują ze sobą, obowiązuje dla ich także twierdzeie 3. W szczególości, w pierścieiu całkowitym 3. jest ogólie obowiązujące.. Podzielość wpierścieiach całkowitych. Rozważmy pierścień całkowity D, mający więcej iż jede elemet.
Defiicja. Niech a i b będą dowolie ustaloymi elemetami D i iech a 0. Mówi się, żea dzieli b, jeżeli istieje c w D taki, żeac=b. Waruek adzielib zapisujesię krótko symbolem: a b. Jeżeli a b, to a azywa się dzielikiem lub podzielikiem b; mówi się też, że b jest podziele przez a, lub żejest wielokrotością a. Przykłady.. W pierścieiu całkowitym D, dla elemetu a 0 jest a a. Istotie, a =a. 2. Elemet dzieli każdy elemet a, jest bowiem a=a. 3. W pierścieiu Q elemet a 0dzielikażdy elemet b, gdyż rówaie a x = b posiada rozwiązaiezewzględu a x; jest im b a -. 4. W pierścieiu liczb całkowitych Z iezerowe a dzieli b wtedy i tylko wtedy, gdy liczba wymiera b a - jest liczbą całkowitą; tak jest p. dla a = 3, b = 9, lecz ie dla a = 3, b = 0. Elemetami pierścieia całkowitego D, które dzielą, są elemety posiadające iwers względem możeia. Rzeczywiście, a a - = ; z drugiej stroy, jeżeli c spełia a c=,to c jest iwersem a. Wpierścieiu liczb całkowitych dzielikami są tylko liczby i. Dzieliki są podziele tylko przez dzieliki. Elemety a, b 0, takie, że a b i b a, azywa się stowarzyszoymi. Jeżeliaibsą stowarzyszoe, to c, z którym zachodzi ac = b, jest dzielikiem. Defiicja 2. Jeżeli elemet iezerowy a pierścieia całkowitego D jest iloczyem skończoej liczby elemetów a,..., a ależącym do D, to ciąga,..., a azywamy rozkładem a czyiki, jego elemety czyikami rozkładu. Tak więca,..., a jest rozkładem a a czyiki, gdy a = a... a. Rozkład azywamy właściwym, gdy zawiera co ajmiej 2 czyiki i gdy ie ma wśród czyików dzielików.elemet azwiemy rozkładalym, gdy posiada o rozkład właściwy, elemet ie mający takiego rozkładu azwiemy ierozkładalym.
Defiicja 3. Elemet iezerowy a pierścieia całkowitego D azwiemy elemetem pierwszym, jeżeli dla dowolych b i c z D, waruek a bc pociąga a b lub a c. Wpierścieiu Z oprócz dzielików : i pierwszymi są p. 2, 3, 5, 7,. Defiicja 4. Elemet b pierścieia całkowitego D azywa się ajwiększym wspólym dzielikiem (NWD), elemetów a,..., a zd,jeżeli () b dzieli każdy z elemetów a,..., a, (2) jeżeli c z D dzieli każdy z elemetów a,..., a,toc b. Dla liczb 6 i 8 dzielikami wspólymi są ±, ± 2, wśród ich ± 2są dzielikami podzielymi przez wszystkie ie, zatem NWD są +2i 2. Defiicja 5. O dwu iezerowych elemetach D mówi się, że są względie pierwsze, jeżeli istieją dla ich NWD i jeśli wśródichjestelemet. Dla liczb całkowitych 5 i 8 jedyymi NWD są i, zatem 5 i 8 są względem siebie pierwsze. 2. Pierścieie Euklidesa. Dla pierścieia całkowitego D moża określić odwzorowaia, które przeprowadzają te pierścień w zbiór liczb całkowitych ieujemych. Możesię zdarzyć, żetakie odwzorowaie ϕ, przyporządkowujące każdemu elemetowi z D pewą liczbę całkowitą ieujemą, czyi zadość astępującym trzem warukom: () ϕ(a) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0, (2) dla dowolych a i b z D jest ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b), (3) dla dowolych a i b z D, gdzie b 0, istieją elemety q i r w D, takie, żea=bq+r i ϕ(r) < ϕ(b). Defiicja. Pierścień całkowity D, dla którego istieje fukcja ϕ, odwzorowująca D w zbiór liczb całkowitych ieujemych, spełiająca waruki () (3), azywa się pierścieiem Euklidesa. Elemet q z waruku (3) osi azwę ilorazu elemetów a i b; r azywa się resztą; przedstawieie elemetu a w postaci (3), to dzieleie z resztą. Pierścień Z liczb całkowitych jest pierścieiem Euklidesa.
3. O kogruecji. Mówimy, że liczby całkowite do siebie przystają według modułu, jeżeli po podzieleiu przez te sam dzielik, który azywamy modułem, otrzymamy taką samą resztę, albo iaczej, jeżeli różica tych liczb dzieli się bez reszty przez moduł. Na przykład liczby 9 i 7 przystają do siebie według modułu 4, poieważ zarówo9 jak i 7 dają przy dzieleiu przez 4 tę samą resztę. Zapisujemy to tak 9 7 (mod 4). Takie przystawaie liczb azywamy kogruecją. Ogólie, przystawaie liczb a i b według modułu m zapisujemy w postaci a b(modm). Niektóre własości kogruecji: ) każda liczba przystaje do siebie według dowolego modułu, tj. a a(modm), 2) jeżeli a c(modm)ib c(modm),toa b(modm), 3) kogruecje o wspólym module moża dodawać stroami, 4) do każdej stroy kogruecji moża dodawać (lub odejmować)tę samą wielokrotość modułu, 5) obie stroy kogruecji moża możyć przez tę samą liczbę lub podosić do tej samej potęgi. Opierającsię a przytoczoych własościach kogruecji moża udowodić, żeliczba 2 256 przy dzieleiu przez 7 daje resztę. Mamy bowiem 2 3 (mod7) (2 3 ) 85 85 (mod 7) 2 256 2(mod7) 2 256 (mod7) Z kogruecji tej wyika, że liczba 2 256 przy dzieleiu przez 7 daje resztę. 4. Algorytm Euklidesa. Algorytm Euklidesa to astępujące postępowaie, które stosuje się do dowolych dwóch liczb, azwijmy je a i b. Dzielimy z resztą a przez b i otrzymujemy wyik w iresztę r. Następie dzielimy b przez r,otrzymującwyikw 2 iresztę r 2. Z kolei r dzielimy przez r 2,
otrzymującwyikw 3 iresztę r 3. I tak dalej, co ozacza, że tak długo, dopóki ie otrzymamy reszty 0, powtarzamy tę operację,otrzymując z dzieleia r - przez r wyik w + i resztę r +. Gdy ie atrafimy a resztę 0, traktujemy całą operację jako ciągącą się wieskończoość. Tak więc algorytm Euklidesa z pary liczb a i b produkuje skończoą lub ieskończoą liczbę par w i ir i. Przykład. a = 57, b = 073 57 = 073 + 444 073 = 2 444 + 85, 444 = 2 85 + 74 85 = 2 74 + 37, 74 = 2 37 + 0. Stosując algorytm Euklidesa wśród liczb aturalych mamy pewość, żealgorytmsię zatrzymuje i istieje pierwsza reszta rówa zeru. Zauważmy, że jeśli w algorytmie Euklidesa, zastosowaym do liczb aturalych a i b, pierwszą resztą rówą zeru jest r,tor - jest ajwiększym wspólym dzielikiem a i b. Na koiec zauważmy, że zachodzi też stwierdzeie dla dowolych liczb aturalych a i b istieją takie liczby całkowite k i l, żek a+l bjest rówe ajwiększemu wspólemu dzielikowi tych liczb. Przykład (do poprzediego) 37 = 85 2 74=( 2 0) r+(3+4) s= 2 r+7 s. 37 = ( 2) 57 + 7 073. Literatura.. Opial Z., Algebra wyższa, PWN, Warszawa 976. 2. Grzegorczyk A., Zarys arytmetyki teoretyczej, PWN, Warszawa 983. 3. Narkiewicz W., Teoria liczb, PWN, Warszawa 977.