ISSN 9-69 Zenon Zwierzewicz, ior Borkowski ZESZYY NAUKOWE NR 74 AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE EXLO-SHI 4 Adapacyjny układ sabilizacji kursu saku Słowa kluczowe: serowanie adapacyjne, idenyfikacja modelu, regulaor opymalny LQR Zaprojekowano adapacyjny układ sabilizacji kursu saku, opierając się na modelu Nomoo. Jako algorym serowania przyjęo regulaor opymalny LQR, naomias idenyfikacji modelu dokonano na podsawie ciągłą wersję meody najmniejszych kwadraów. Jakość działania sysemu sprawdzono symulacyjnie, używając jako modelu rzeczywisego saku nieliniowego modelu de Wi-Oppe go. An Adapive Sysem of Ship Course Sabilizaion Key words: adapive conrol, model idenificaion, LQR conroller he paper presens a design of an adapive sysem of ship course sabilizaion based on Nomoo s model. As a conrol algorihm he LQR conrol was adoped,whereas he model idenificaion is performed on he basis of coninuous version of he leassquares algorihm. he performance of he sysem operaion was simulaed using a de Wi-Oppe nonlinear model as a real ship model. 4
Zenon Zwierzewicz, ior Borkowski Wsęp ypową prakyką w celu zaprojekowania układu serowania jes zbudowanie maemaycznego modelu obieku lub procesu, na podsawie kórego dokonuje się synezy układu serowania regulaor, algorym. Nasępnie, przed implemenacją, orzymany algorym serowania jes esowany jeżeli możliwe za pomocą symulacji kompuerowej oraz srojony zaraz po insalacji. o podejście zazwyczaj się sprawdza, jednakże pod warunkiem, że znamy ów model oraz, że jego paramery nie zmieniają się w czasie. W rzeczywisości wyznaczenie dokładnej srukury modelu obieku oraz warości jego paramerów nie jes zadaniem ławym, zwłaszcza wedy, gdy warości paramerów ulegają zmianie pod wpływem zmieniających się warunków ooczenia bądź właściwości samego obieku. rzykładem powyższego problemu jes serowanie sakiem w celu urzymania sałego kursu. Zakres i czułość działania panelu serującego zmienia się pod wpływem zmian warunków pływania prędkości saku, głębokości wody, siły wiaru, prądu, falowania, załadowania ec., jednakże wykwalifikowany sernik jes w sanie uwzględnić zaisniałe zmiany i realizować swoje zadanie zgodnie z założeniami. Zmieniające się warunki swarzają jednak duże rudności w projekowaniu auopiloów. Dobrze bowiem zaprojekowany auopilo, aby wykonać zadanie serowania, będzie musiał albo zmieniać swoje paramery w czasie opierając się na modelu albo wręcz na zmiennej srukurze modelu. Regulaory akie, j. mające zdolność adapacji do zmieniającego się środowiska nazywamy adapacyjnymi. W arykule przedsawiono adapacyjny układ sabilizacji kursu saku auopilo, wykorzysując meodę zw. adapacji pośredniej. olega ona na ym, że w pierwszym eapie dokonuje się idenyfikacji paramerycznej modelu srukurę modelu zakładamy jako znaną model Nomoo, a nasępnie sosując zasadę pewnej równoważności cerainy equivalence principle rakuje się znany już zidenyfikowany model jako dokładnego reprezenana serowanego obieku. Dokonano zaem synezy serowania przy założeniu, że nie ma różnicy między rzeczywisym obiekem, a modelem. Jako regulaor można przyjąć wedy dowolną adekwaną srukurę, jak np. ID, LQR, lokację biegunów, ip. W ym przypadku zasosowano regulaor opymalny LQR, kóry efekywnie sabilizuje san obieku, a cały proces przebiega w rybie na bieżąco on line. Układ ego ypu można zaliczyć do klasy układów z samosrojeniem selfuning sysems. rzeprowadzone symulacje ruchu saku, wykonano za pomocą programu Malab/Simulink. Były one opare na nieliniowym modelu de Wi-Oppe go punk. jako obiekcie rzeczywisym. Naomias układ sabilizacji kursu saku zaprojekowany zosał na podsawie modelu Nomoo. 4
Adapacyjny układ sabilizacji kursu saku. Opis srukury układu adapacyjnego Ideę serowania adapacyjnego zw. pośredniego indirec adapive conrol zobrazowano na schemacie rys.. gdzie: [ Θ ; Θ ] Rys.. Srukura układu adapacyjnego Fig.. Adapive sysem srucure Θ idenyfikowany wekor paramerów modelu sała czasowa modelu, K współczynnik wzmocnienia; Θ [ k ; ] wekor paramerów wzmocnień regulaora; a ψ k r x r wyjście z obieku prędkość kąowa; x m r m wyjście z modelu prędkość kąowa; x z ψ z wielkość zadana zadany kurs obieku; e rm r błąd między wyjściami z modelu i obieku; u δ zmienna serująca wychylenie płewy serowej. Działanie akiego układu można opisać nasępująco. Na podsawie błędu wynikłego między wyjściami z obieku saku i jego modelu model Nomoo jes dokonywana idenyfikacja paramerów modelu, a nasępnie na podsawie ych paramerów jes srojony regulaor auopilo LQR. W dalszym ciągu przedsawimy opis poszczególnych bloków podanej srukury. 4
Zenon Zwierzewicz, ior Borkowski.. Model symulacyjny saku oraz model Nomoo Do symulacji rzeczywisego ruchu saku wybrano model de Wi-Oppe go W-O [], kóry w sandarowych oznaczeniach przesrzeni sanów przyjmuje posać: x& x cos x x x& x& x& 4 x& 5 6 5 x 5 4 ax 4 5 r x 4 x sin x r 4 bx 4 fx Wx x sin x 6 6 x4 + cu + S + x cos x gdzie: x, x x, y współrzędne karezjańskie położenie saku, x ψ kurs odchyłka kursowa, x 4 r prędkość kąowa, x prędkość wzdłużna, 5 x 6 prędkość boczna, u δ wychylenie płewy serowej, S współczynnik reprezenujący siłę naporu śruby, a, b, c, f, W, r, r współczynniki określone na podsawie badań modelowych różne dla różnych ypów saków oraz warunków pływania. Jako współczynniki modelu przyjęo paramery m.s. Compass Island []: a,84 min, b,6 min/rad, c,55 min, r,75 nm/rad, r nm.min /rad, f,86 min, W,67 nm/rad, S,5 nm/min. Maksymalna prędkość i ką wychylenia seru są równe odpowiednio,8 /s i 5. onado saek charakeryzuje się nasępującymi cechami: onaż 94, ładowność 498, długość 7 m, jedna śruba, maksymalna prędkość węzłów. Jako model saku, na podsawie kórego dokonano synezy algorymu serowania, zasosowano model Nomoo [] posaci: & ψ + ψ& Kδ gdzie sała czasowa oraz współczynnik wzmocnienia K mogą częso zależnie od warunków pływania zmieniać się w bardzo dużym zakresie []. Ławo 44
Adapacyjny układ sabilizacji kursu saku zauważyć, że model en jes fakycznie zlinearyzowanym czwarym równaniem modelu W-O. Oznaczając ψ & r orzymujemy model w posaci zw. równań sanu, kóra będzie wykorzysana w dalszym ciągu do synezy regulaora LQR:.. Opis meody idenyfikacji r ψ & a K r& r + δ b W celu idenyfikacji paramerów zasosowano ciągłą wersję meody najmniejszych kwadraów w wersji z czasem ciągłym []. Mierzone wielkości sandardowo zapisuje się u w posaci nasępującego układu: y Φ Θ, Θ& 4 gdzie Φ jes macierzą pomiarów, y wekorem wyjścia, a Θ określa wekor szukanych paramerów. Idenyfikacja paramerów odbywa się na podsawie minimalizacji całkowego błędu kwadraowego ze względu na wekor idenyfikowanych paramerów Θ j. wykorzysano meodę najmniejszych kwadraów: min J Θ y τ Φ τ Θ d 5 gdzie: x x x n i x i. Minimalizując J ze względu na Θ orzymujemy: J Θ Φ τ [ y τ Φ τ Θ] dτ 6 kóra po przekszałceniach ma posać: Φ τ Φ τ dτ Θ Φ τ y τ dτ 7 45
Zenon Zwierzewicz, ior Borkowski Oznaczając: 8 d τ τ Φ τ Φ i wykorzysując oczywisą formułę: ] [ ] [ ] [ + d d d d d d 9 mamy:, Φ Φ & przy warunku począkowym. > Różniczkując eraz zależność 7 względem orzymujemy: ] [ + Θ y Θ Φ Φ & Nasępnie oznaczając przez błąd esymacji: e y Θ Φ e zapisujemy równość, czyli formułę określającą idenyfikację paramerów modelu, w posaci: e Φ Θ & Aby zasosować prawo do idenyfikacji paramerów i K modelu Nomoo, zasosujmy do równania b przekszałcenie Laplace a przy zerowych warunkach począkowych, a nasępnie definiując dwa przefilrowane sygnały: s s s s r s s r f f f f δ δ + + 4 46
Adapacyjny układ sabilizacji kursu saku gdzie f > jes znaną sałą czasową filrów; w ym arykule przyjęo f orzymujemy po przejściu do dziedziny czasu: Sąd na mocy wynika, że: K ; r [ rf, δ f ] Φ Θ 5 K Θ [ Θ ; Θ ], 6 Orzymane w en sposób paramery wykorzysano do srojenia regulaora... Syneza serowania na podsawie algorymu LQR W celu zaprojekowania układu opymalnego serowania użyo liniowokwadraowego regulaora LQR [4]. Liniowy model obieku oraz kwadraowe kryerium jakości serowania mają wedy posać: x & Ax + Bu, x x warunki począkowe 7 J u x Qx + u Ru d min 8 gdzie Q, R symeryczne dodanio półokreślone macierze wag. Aby model Nomoo przedsawić w posaci 7 oznaczmy: ψ x ; r u δ ; A ; B a c gdzie: a ; c K 9 W naszym przypadku jako kryerium jakości przyjęo funkcjonał: 47
Zenon Zwierzewicz, ior Borkowski J ψ + λδ d Ławo zauważyć, że biorąc Q ; R λ, funkcjonał en przyjmuje posać 8. Warość współczynnika λ, kórą inerpreuje się częso jako kompromis między odchyłką kursu, a wychyleniem seru wielkością myszkowania, a obciążeniem maszyny serowej, przyjęo uaj arbiralnie λ. Celem ak sformułowanego zadania regulacji jes znalezienie opymalnego prawa serowania u * w sensie minimalizacji wskaźnika jakości. Wiadomo [, 4], że jes ono posaci: u * R B Kx gdzie macierz K obliczamy z algebraicznego równania Riccaiego: KA + A K KBR B K + Q przy czym zakłada się, że macierz K powinna być symeryczna i dodanio określona. Na podsawie orzymano w naszym przypadku synezę serowania w formie: gdzie: δ x k ψ + k r ψ r K kψ kψ, K ; kr kr, K λ K + λ 4 Mając serowanie 4 oraz zidenyfikowany wekor Θ paramerów modelu, możemy w kolejnym eapie przysąpić do srojenia uner wzmocnień kψ, k r auopiloa za pomocą przekszałceń: Θ [ k a ψ k r ] Θ ; λ Θ + Θ Θ λ 5 48
Adapacyjny układ sabilizacji kursu saku. Opis przeprowadzonych symulacji Symulacje ruchu saku, wykonane za pomocą programu Malab/Simulink, były opare na nieliniowym modelu de Wi-Oppe go punk. jako obiekcie rzeczywisym. Naomias adapacyjny sysem sabilizacji kursu saku zaprojekowany zosał na podsawie modelu Nomoo. Rys.. rajekoria ruchu saku, w przypadku idenyfikacji paramerów próba zig-zag Fig.. Ship moion rajecory in he case of parameers idenificaion zig-zag es Rys.. rajekoria ruchu saku, w przypadku braku idenyfikacji Fig.. Ship moion rajecory in he case of a lack of idenificaion Rys. 4. rzebieg procesu idenyfikacji paramerów modelu Fig. 4. Idenificaion of model parameers Rys. 5. Błąd e rm r między wyjściami z modelu i obieku Fig. 5. Oupu error 49
Zenon Zwierzewicz, ior Borkowski Analizując charakerysykę błędu między wyjściami prędkościami kąowymi z modelu model Nomoo oraz obieku model de Wi-Oppe go swierdzamy, że proces idenyfikacji przebiega poprawnie rys. 5. Badania przeprowadzono używając nasępujących warunków począkowych: Θ [,] oraz [4 ; ], gdzie macierz wyznaczono na podsawie paramerów nominalnych modelu de Wi-Oppe go. Waro zauważyć rys., że do idenyfikacji paramerów modelu wysarczyło przeprowadzenie niepełnej próby zig-zag pełna próba w niewielkim sopniu poprawiłaby wyniki idenyfikacji. Dla urzeczywisnienia procesu symulacji, wygenerowano jako zakłócenia działające na saek sygnał o charakerysyce falowania morskiego [, 5]. rzedsawiona na rysunku rajekoria ruchu saku odpowiada rzem fazom zasosowanego u serowania. W pierwszym eapie dokonano próby ypu zig-zag sandardowa próba morska w celu idenyfikacji paramerów modelu Nomoo. Nasępnie saek płynie zgodnie z zadanym kursem wzdłuż osi x, aby dokonać zwrou w odpowiedzi na skokową zmianę kursu zadanego o ką 6. onieważ dysponujemy już wysrojonym regulaorem, jakość serowania rys. jes wysoka brak przeregulowań, oscylacji. W celu porównania działania auopiloa z adapacją i bez adapacji, dokonano akże symulacji ruchu saku zakładając, że paramery modelu Nomoo nie podlegają idenyfikacji, lecz są usalone arbiralnie, podczas gdy paramery a i c obieku modelu de Wi-Oppe go modyfikujemy. W naszym przypadku przyjęo a,4, c,, co odpowiada np. syuacji, gdyby saek zosał załadowany []. Innymi słowy wzmocnienia regulaora uaj k ψ, k r,598 dobrano w sposób opymalny, ale dla obieku o innej uaj nominalnej dynamice. rzykładowe zachowanie się saku w akiej syuacji obrazuje rysunek. W pierwszym eapie, saek płynie zgodnie z zadanym kursem wzdłuż osi x. Nasępnie zmieniono skokowo kurs zadany o ką 6 analogicznie jak poprzednio. Można wówczas zaobserwować, że chociaż obiek poprawnie zmienia kurs, o jakość serowania jes u wyraźnie gorsza długi okres przejściowy, oscylacje, przeregulowania. Na rysunku 4 przedsawiono przebieg procesu idenyfikacji paramerów a, c 9. Można zauważyć sabilizację ych warości po sosunkowo krókim czasie na poziomie a,44 min, c, min. onieważ rzeczywise paramery saku modelu Wi-Oppe go punk. mają warości a,84 min ; c,55 min -, zaem błąd idenyfikacji wydaje się uaj do zaakcepowania. 44
Adapacyjny układ sabilizacji kursu saku odsumowanie rzeprowadzone symulacje wyraźnie wskazują, że dla polepszenia jakości serowania niezbędne jes zasosowanie przesrajania regulaora w zależności od zmiennych warunków pływania saku. W syuacji, gdy mielibyśmy do czynienia z rzeczywisym obiekem, a nie jego wyidealizowanym modelem model W O, jakość serowania, przy źle dobranych paramerach regulaora rys., byłaby prawdopodobnie znacznie gorsza, prowadząc do desabilizacji układu w eksremalnych warunkach. Fak en jeszcze bardziej podkreśla porzebę sosowania w akich syuacjach zaawansowanych echnologii, jaką jes np. serowanie adapacyjne. Dobre wyniki uzyskuje się akże sosując bardziej wyrafinowane echniki, jakimi są ciągle zyskujące na popularności meody szucznej ineligencji [6]. Lieraura. De Wi C., Oppe J., Opimal collision avoidance in unconfined waers, Journal of he Insiue of Navigaion, Vol. 6, no.4 979-8.. Fossen.I., Guidance and conrol of ocean vehicles, John Wiley, 994.. Lisowski J., Saek jako obiek serowania auomaycznego, Wyd. Morskie Gdańsk 98 4. Kaczorek., eoria serowania,. WN 98. 5. Zwierzewicz Z., On he ship rajecory racking LQG conroller design, rd Marine echnology Conference, ODRA '99, - Ocober, Szczecin. 6. iega A., Modelowanie i serowanie rozmye, Exi, Warszawa 999. Wpłynęło do redakcji w luym 4 r. Recenzenci dr hab. inż. Roman Śmierzchalski, prof. AM dr hab. inż. Adam Łozowicki, prof. S Adresy Auorów dr hab. Zenon Zwierzewicz, prof. AM Akademia Morska w Szczecinie Insyu Maemayki, Fizyki i Chemii ul. Wały Chrobrego -, 7-5 Szczecin 44
Zenon Zwierzewicz, ior Borkowski mgr ior Borkowski oliechnika Szczecińska, Wydział Informayki Insyu Szucznej Ineligencji i Meod Maemaycznych ul. Żołnierska 49, 7- Szczecin 44