RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3

Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma całki ogólnej równania jednorodnego i jakiejkolwiek całki szczególnej równania niejednorodnego jest całką ogólną równania niejednorodnego. W skrócie twierdzenie to można zapisać CORN = CORJ + CSRN W metodzie tej CORJ wznaczam tak jak poprzednio, zaś postać CSRN "odgadujem" bazując na doświadczeniach zdobtch prz całkowaniu pewnch klas równań.

Przewidwanie postaci CSRN jest stosunkowo proste jeżeli: funkcja p(x) wstępująca w równaniu jest stała (jest to więc równanie różniczkowe liniowe o stałch współcznnikach), równocześnie funkcja f(x) jest: wielomianem, sumą funkcji x cosx Równania różniczkowe liniowe sin, funkcją tpu ae bx, gd b -p, sumą, lub ilocznem funkcji trzech w/w tpów. W każdm z wmienionch przpadków całkę szczególną równania niejednorodnego należ przewidzieć w tej samej postaci co f(x), zachowując odpowiednio: stopień wielomianu, liczbę oraz liczbę b. W miejsce pozostałch stałch (współcznniki wielomianu,, oraz a) przjmuje się stałe nieokreślone. Ich wartości są preczowane po wstawieniu przewidwanej funkcji do równania niejednorodnego. 3

Równania różniczkowe liniowe f(x) Wielomian stopnia n Przewidwana postać CSRN Ogólna postać wielomianu stopnia n bx ae Ae bx Axe, bx, gd b p gd b p sin x cosx Asin x Bcosx Suma lub iloczn powższch funkcji Suma lub iloczn powższch funkcji 4

W przeciwieństwie do metod uzmiennienia stałej, metoda przewidwań nie jest metodą uniwersalną. Natomiast w wmienionch wżej przpadkach jest zazwczaj prostsza rachunkowo. Przkład Równania różniczkowe liniowe Stosując metodę przewidwań znajdziem całkę ogólną równania W równaniu tm p(x) 4 (jest funkcją stałą), zaś f(x) = x 3 (jest wielomianem). Wznaczam CORJ Ma ona postać 5

Równania różniczkowe liniowe Wznaczam CSRN metodą przewidwań Ponieważ więc CSRN przewidujem w postaci wielomianu stopnia trzeciego, tzn. Stąd Wstawiając do równania dostajem czli 6

Równania różniczkowe liniowe Ostatnia równość ta będzie spełniona dla każdego x wted i tlko wted, gd będzie spełnion układ równań Stąd Zatem funkcja CORJ jest CSRN, czli CSRN jest szukanm rozwiązaniem ogólnm równania. 7

Równania różniczkowe liniowe Przkład Stosując metodę przewidwań wznaczć całkę szczególną równania spełniającą warunek początkow (0) =. Jest to równanie liniowe niejednorodne rzędu pierwszego o stałch współcznnikach (p(x) 1), w którm f(x) = xe x. Wznaczam CORJ Całka ogólna równania jednorodnego (CORJ) jest postaci: Wznaczam CSRN metodą przewidwań Całkę szczególną równania niejednorodnego (CSRN) przewidujem w postaci ilocznu wielomianu stopnia pierwszego i funkcji wkładniczej e x Stąd 8

Równania różniczkowe liniowe Przkład (c. d.) Wstawiając do równania otrzmujem Warunek ten jest spełnion wted i tlko wted, gd czli, gd dla każdego x Stąd Rozwiązując układ równań dostajem 9

Przkład (c. d.) Równania różniczkowe liniowe Zatem CSRN ma postać natomiast CORN Uwzględniając warunek początkow (0) =, otrzmam Szukaną całką szczególną jest więc funkcja 10

Równania różniczkowe liniowe Uwaga Gd prawa strona równania jest funkcją sinus bądź cosinus, rozwiązanie równania zawsze przewidujem w postaci kombinacji liniowej tch funkcji, jak to pokazuje poniższ przkład. Przkład Wznaczć całkę ogólną równania Wznaczam CORJ Całka ogólna równania jednorodnego (p(x) 3) 11

Przkład (c. d.) Równania różniczkowe liniowe Wznaczam CSRN metodą przewidwań Rozwiązanie równania niejednorodnego przewidujem w postaci kombinacji funkcji sin3x oraz cos3x, czli Wstawiając do równania mam Otrzman warunek ma bć spełnion dla każdego x, stąd A zatem: 1

Równania różniczkowe liniowe Przkład (c. d.) Całką szczególną równania niejednorodnego (CSRN) jest więc funkcja Ostatecznie CORN ma postać 13

Równania różniczkowe liniowe Prz rozwiązwaniu równań metodą przewidwań użteczne bwa następujące twierdzenie. Twierdzenie Suma całki szczególnej równania i całki szczególnej równania jest całką szczególną równania Twierdzenie to stosujem, gd funkcje f 1 i f są różnch tpów. Niezależne wznaczanie całek szczególnch dla każdego z równań jest bowiem prostsze rachunkowo. 14

Przkład Równania różniczkowe liniowe Wkorzstując podane twierdzenie wznaczm całkę ogólną równania We wcześniejszm przkładzie został wznaczone CORJ, która jest równa oraz całka szczególna równania niejednorodnego Ma ona postać Dla znalezienia CORN wstarcz zatem wznaczć całkę szczególną równania 15

Przkład (c. d.) Równania różniczkowe liniowe Zastosujem metodą przewidwań szukając rozwiązania w postaci Po obliczeniu pochodnej i wstawieniu do równania mam Stąd Czli A = 1/, B = -1/, zatem rozwiązanie ma postać Ostatecznie szukaną CORN jest funkcja 16

Równanie różniczkowe Bernoulliego 17

Równanie różniczkowe Bernoulliego Równanie różniczkowe Bernoulliego rozwiązujem za pomocą podstawienia z r 1, które sprowadza je do równania liniowego Istotnie, z' (1 r) r ' Mnożąc równanie obustronnie przez (1 r) r Po podstawieniu mam ' (1 r) p( x) z' (1 r) p( x) z r ( 1 r) dostajem 1r (1 r) q( x) (1 r) q( x) 18

19 Przkład Rozwiązać równanie 3 ' x x Dla 0 dzielim obustronnie przez 3 1 ' x x Podstawiając z = -1 dostajem równanie liniowe 3 ' x xz z Po scałkowaniu 1 ) exp( x x C z 1 ) exp( 1 x x C Ponadto 0 jest rozwiązaniem równania. Równanie różniczkowe Bernoulliego

Obszar określoności równania Jeżeli wstępująca w równaniu ' f ( x, ) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0, 0 ), lecz ma w tm punkcie skończoną granicę g, to przedłużam funkcję f przjmując f (x 0, 0 ) = g. Jeżeli w punkcie (x 0, 0 ), funkcja ma granicę niewłaściwą, to rozpatrujem równanie odwrócone dx d 1 f ( x, ) Rozwiązania równania odwróconego dołączam do zbioru rozwiązań równania wjściowego. 0

Obszar określoności równania Przkład Zbiorem określoności równania ' 1 x jest cała płaszczzna. Definicja Punkt (x 0, 0 ), w którm funkcja f staje się wrażeniem nieoznaczonm [0] postaci [0] nazwam punktem osobliwm. Punkt osobliwe nie należą do obszaru oznaczoności równania. 1

Interpretacja geometrczna Interpretacja geometrczna równania różniczkowego rzędu pierwszego w postaci normalnej W każdm punkcie obszaru określoności D równanie ' f ( x, ) określa tangens kąta nachlenia stcznej (współcznnik kierunkow) do krzwej całkowej. Definicja Elementem kierunkowm nazwam odcinek o środku w punkcie (x 0, 0 ) D, któr tworz z dodatnim kierunkiem osi Ox kąt arctg f ( x 0, 0) Zbiór wszstkich elementow kierunkowch tworz pole elementów kierunkowch (pole kierunków).

Definicja Izokliną nazwam krzwą na której pochodna ma stałą wartość, tzn. krzwą o równaniu f ( x, ) a const, a f ( D) (zbiór punktów obszaru D, którm odpowiada ta sama wartość współcznnika kierunkowego stcznej). Przkład Izoklin równania ' x wznaczam z warunku Interpretacja geometrczna a, czli ax x Są nimi proste przechodzące przez punkt (0, 0) bez punktu (0, 0). 3

Interpretacja geometrczna Przkład (c. d.) ' x izoklina x x krzwe całkowe równania mają postać x C Metoda graficznego, przbliżonego znajdowania krzwch całkowch równania w oparciu o jego pole kierunków nazwa się metodą izoklin. 4

Metoda izoklin Przkład x x 5

Metoda izoklin Przkład 6

Metoda izoklin Przkład Metodą izoklin wznaczć krzwe całkowe równania ' x Rozwiązanie równania nie da się wrazić za pomocą funkcji elementarnch! 9

Metoda izoklin Slope Field Calculator http://alamos.math.arizona.edu/~rchlik/jode/jodeapplet.html

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ 31