cie uk ladu równań liniowych i podaliśmy sposoby rozwia

8. UK LADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. DIAGONALIZACJA MACIERZY. W porzednim paragrafie zdefiniowaliśmy poje cie uk ladu równań liniowych i podaliśmy sposoby rozwia zania go, w przypadku, gdy uk lad jest uk ladem Cramera. Jednakże w praktyce cze sto spotykamy uk lady równań liniowych o różnej liczbie równań i niewiadomych, dlatego też rozdzia l ten poświe cimy problemowi istnienia rozwia zania takich uk ladów. Ponadto podamy nowa metode odwracania macierzy. 8.1. Uk lady równań liniowych. Twierdzenia Kroneckera-Capelliego. Macierz Niech dany be dzie uk lad równań a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n = b 2 (8.1.1) a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n = b m A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn nazywamy macierza g lówna uk ladu, natomiast macierze B = b 1 b 2 b m, X = x 1 x 2 x n (8.1.2) nazywamy odpowiednio kolumna (macierza ) wyrazów wolnych i kolumna (macierza ) niewiadomych. Ponadto macierz U = a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b m (8.1.3) powsta la z macierzy A przez do laa czenie kolumny wyrazów wolnych nazywamy macierza uzupe lniona. Twierdzenie 8.1.1. (Kroneckera-Capelliego) Uk lad równań liniowych (8.1.1) ma rozwia - zanie wtedy i tylko wtedy, gdy rza = rzu, przy czym gdy rza = rzu = n, to uk lad ma dok ladnie jedno rozwia zanie, gdy rza = rzu < n, to uk lad ma nieskończenie wiele rozwia zań zależnych od n r parametrów. 1

Zauważmy, że jeżeli uk lad (8.1.1) jest uk ladem jednorodnym, to macierz uzupe lniona U powstaje przez dopisanie do macierzy g lównej A kolumny z lożonej z samych zer. Zatem rze dy tych macierzy sa takie same, co oznacza, że każdy uk lad jednorodny ma zawsze rozwia zanie. Na mocy twierdzenia Kroneckera-Capelliego ma on rozwia zanie niezerowe tylko wtedy, gdy rza d macierzy g lównej jest mniejszy od liczby niewiadomych. Do rozwia zywania uk ladów równań liniowych możemy zastosować metode eliminacji Gaussa. Każedmu uk ladowi równań odpowiada pewna macierz uzupe lniona i na odwrót maja c dana macierz możemy ja potraktować jako macierz uzupe lniona pewnego uk ladu równań liniowych. Stosuja c metode eliminacji Gaussa do rozwia zania uk ladu równań sprowadzamy jego macierz uzupe lniona do macierzy naste cej postaci 1 0... 0 p 1,r+1 p 1,r+2... p 1n z 1 0 1... 0 p 2,r+1 p 2,r+2... p 2n z 2................, gdzie rza = r. Wówczas, 0 0... 1 p r,r+1 p r,r+2... p rn z r 0 0... 0 0 0... 0 z r+1 1) jeżeli z r+1 0, uk lad jest sprzeczny, 2) jeżeli ostani wiersz nie pojawi sie i n = r, to uk lad jest oznaczony i ma rozwia zanie postaci x 1 = z 1, x 2 = z 2,..., x n = z n. 3) jeżeli ostani wiersz nie pojawi sie i n > r, to uk lad jest nieoznaczony, a jego rozwia zania zależa od parametrów (x r+1, x r+2,..., x n ) w naste cy sposób x 1 x 2. = x r z 1 z 2.. z r p 1,r+1 p 1,r+2... p 1n p 2,r+1 p 2,r+2... p 2n....... p r,r+1 p r,r+2... p rn x r+1 x r+2. x n Zadanie 8.1.1. Rozwia ż podane uk lady równań x 1 +6x 2 x 3 = 0 x x a) 1 4x 2 +5x 3 = 6 1 +2x 2 +3x 3 x 4 = 0 b) 3x 3x 1 +17x 2 = 0 1 +6x 2 +3x 3 +x 4 = 5 2x 2x 1 +13x 2 +5x 3 = 8 1 +4x 2 +7x 3 4x 4 = 6 Zadanie 8.1.2. Przedyskutować rozwia zalność podanych uk ladów równań w zależności od wartości parametru p. a) x 1 +px 2 x 3 = 1 x 1 10x 2 6x 3 = 3 2x 1 x 2 +px 3 = 0 b) 2 2x 1 +3x 2 x 3 = 0 px 2 +(p + 1)x 3 = 1 x 1 +5x 2 = 1 2x 1 +x 2 +3x 3 = 1

8.2. Wartości w lasne wektory w lasne i wielomian charakterystyczny macierzy kwadratowej. Niech dana be dzie rzeczywista lub zespolona macierz kwadratowa A = [a ij ] n n, n 2. Zdefinujemy pewne charakterystyki tej macierzy. Definicja 8.2.1. Niech V = [v j ] n 1 be dzie macierza kolumnowa o n wierszach. Każda liczbe λ spe lniaja ca równanie A V = λv nazywamy wartościa w lasna macierzy A, a macierz V nazywamy wektorem w lasnym macierzy A odpowiadaja cym wartości w lasnej λ. Warunek z definicji 8.2.1 możemy zapisać w naste cej postaci (A λi) V = 0, (8.2.1) gdzie I jest macierza jednostkowa tego samego stopnia co macierz A. Równaniu macierzowemu (8.2.1) odpowiada naste cy uk lad równań (a 11 λ)v 1 +a 12 v 2 +... +a 1,n v n = 0 a 21 v 1 +(a 22 λ)v 2 +... +a 2,n v n = 0 a n,1 v 1 +a n,2 v 2 +... +(a n,n λ)v n = 0 Uk lad ten jest uk ladem jednorodnym, zatem ma rozwia zania niezerowe wtedy, gdy wyznacznik macierzy g lównej jest równy zero, tj. det(a λi) = 0. (8.2.2) Macierz A λi nazywać be dziemy macierza charakterystyczna, zaś wyznacznik tej macierzy rozpatrywany be dzie jako funkcja zmiennej λ, która nazwiemy wielomianem charakterystycznym macierzy A. Równanie (8.2.2) nazywać be dziemy równaniem charakterystycznym. Rozwia zania tego równania sa oczywiście pierwiastkami wielomianu charakterystycznego. Jak latwo zauważyć sa to wartości w lasne macierzy A. Wielomian chakterystyczny ma ciekawa w lasność, która podamy w twierdzeniu udowodnionym przez Cayleya i Hamiltona. Twierdzenie 8.2.1. Każda macierz kwadratowa spe lnia swoje równanie charakterystyczne. Innymi s lowy każda macierz kwadratowa jest pierwiastkiem swojego wielomianu charakterystycznego. G lównym zastosowaniem twierdzenia Cayleya-Hamiltona jest wyznaczanie macierzy odwrotnej do danej macierzy nieosobliwej. Aby wyznaczyć macierz odwrotna do macierzy 3

nieosobliwej A należy wstawić ja do jej równania charakterystycznego, a naste pnie pomnożyć go stronami przez A 1. Przyk lad 8.2.1. Rozwia żmy równanie 8.2.2 k lada c A = 1 2 0 0 1 0. 1 2 1 Otrzymamy wówczas naste ce równanie charakterystyczne λ 3 + 3λ 2 3λ + 1 = 0. Jedynym rozwia zaniem tego równania jest λ = 1. Zatem macierz A ma tylko jedna wartość w lasna. Aby wyznaczyć wektor w lasny odpowiadaja cy tej wartości należy rozwia zać równanie 0 2 0 0 0 0 x y = 0 0 1 2 0 z 0 lub równoważnie uk lad równań { 2y = 0 x +2y = 0 Latwo zauważyć, że ten jednorodny uk lad równań ma nieskończenie wiele rozwia zń postaci x = 0, y = 0, z = p, gdzie p R. Zatem wektorem odpowiadaja cym wartości w lasnej każdy wektor postaci 0 0. W szczególności za wektor odpowiadaja cy wartości w lasnej p λ = 1 można przyja ć wektor 0 0. 1 Wyznaczmy teraz macierz odwrotna do macierzy A. Zgodnie z twierdzeniem Cayleya- Hamiltona macierz A spe lnia swoje równanie charakterystyczne λ 3 + 3λ 2 3λ + 1 = 0. Mamy wobec tego A 3 3A 2 + 3A = 1. Mnoża c powyższe równanie przez A 1 i korzystaja c z tego, że A 1 A = I otrzymujemy Wobec tego A 1 = 1 4 0 0 1 0 + 2 6 1 A 1 = A 2 3A + 3I. 3 6 0 0 3 0 + 3 6 3 4 3 0 0 0 3 0 = 1 2 0 0 1 0. 0 0 3 1 0 1

Zadanie 8.2.1. Znaleźć wartości w lasne i wektory w lasne naste cych macierzy A = 1 3 0 1 2 3 4 3 2 1 1 2 3 4, B =, C = 1 1 2 0 3 1. 1 2 3 4 0 1 1 0 0 4 1 2 3 4 Zadanie 8.2.2. Korzystaja c z twierdzenia Cayleya-Hamiltona znaleźć macierze odwrotne (o ile istnieja ) do macierzy z zadania poprzedniego. 8.3. Diagonalizacja macierzy. W paragrafie tym zostanie podana pewna metoda pote gowania macierzy kwadratowej. Niech A i B be da macierzami kwadratowymi tego samego stopnia n. Powiemy, że macierze A i B sa macierzami podobnymi, jeżeli istnieje nieosobliwa macierz P stopnia n taka, że B = P A P 1. Macierze podobne charakteryzuja sie tym, że maja te same wartości w lasne. naste ce twierdzenie Zachodzi Twierdzenie 8.3.1. Jeżeli macierz kwadratowa A stopnia n ma n liniowo niezależnych wektorów w lasnych, to istnieja macierze A i T takie, że macierz T jest nieosobliwa, macierz A jest diagonalna oraz A = T 1 A T. (8.3.1) Równanie (8.3.1) nazywać be dziemy postacia diagonalna macierzy A. Można udowodnić, że macierz A jest macierza diagonalna, której elementami sa wartości w lasne macierzy A, natomiast kolumny macierzy T 1 tworza wektory w lasne macierzy A. Ponadto zauważmy, że dla m N A m = [T 1 A T ] m = T 1 A T T 1 A T... T 1 A T. Ponieważ T 1 T = I i A I = A, wie c mamy A m = T 1 (A ) m T, gdzie kolumny macierzy T 1 tworza wektory w lasne macierzy A, a macierz A jest macierza diagonalna, której elementy na g lównej przeka tnej sa równe wartościom w lasnym odpowiadaja cym poszczególnym wektorom w lasnym. Latwo wykazać, że m-ta pote ga macierzy diagonalnej A jest macierz diagonalna, której elememtami sa m-te pote gi macierzy elementów A. 5

Przyk lad 8.3.1. Niech dana be dzie macierz A = 1 2 0 0 2 0 2 2 1. Rozwia zuja c równanie det 1 λ 2 0 0 2 λ 0 = 0 2 2 1 λ wyznaczymy wartości w lasne macierzy A, którymi sa λ 1 = 1, λ 2 = 2, λ 3 = 1. Wyznaczymy teraz wektor w lasny odpowiadaja cy wartości λ 1. W tym celu rozwia zujemy równanie (A λ 1 I) V = 0, gdzie V jest macierza kolumnowa, o trzech wierszach. Rozwia zanie tego równania otrzymamy poprzez rozwia zanie jednorodnego uk ladu równań postaci 2y = 0 y = 0 2x 2y 2z = 0 Rozwia zanie powyższego uk ladu możemy zapisać w postaci x 0. Zatem jako wektor x w lasny możemy przyja ć wektor 1 0 1. Podobnie wyznaczamy pozosta le wektory w lasne. I tak wektorem w lasnym odpowiadaja cym wartości λ 1 jest wektor 2 1, a wartości λ 3 2 odpowiada wektor 0 0. Latwo wykazać, że wektory te sa liniowo niezależne. Wobec 1 tego można wyznaczyć postać diagonalna macierzy A. Jako macierz T 1 możemy przyja ć macierz T 1 = 1 2 0 0 1 0. 1 2 1 6

Macierz A tworza wartości w lasne macierzy A. W pierwszym wierszu tej macierzy umieszczamy wartość w lasna, która odpowiada wektorowi w lasnemu z pierwszej kolumny macierzy T 1, w drugim wierszu umieszczamy wartość w lasna odpowiadaja ca wektorowi w lasnemu z drugiej kolumny macierzy T 1 i.t.d. Zatem A = 1 0 0 0 2 0. 0 0 1 Teraz należy znaleźć macierz odwrotna do macierzy T 1. Macierz ta wyznaczyliśmy w przyk ladzie 8.2.1. Wobec tego otrzymujemy naste ca postać diagonalna macierzy A A = 1 2 0 0 1 0 1 0 0 0 2 0 1 2 0 0 1 0. 1 2 1 0 0 1 1 0 1 Uwaga. Kolejność wpisywania wektorów w lasnych do macierzy T 1 jest dowolna należy jedynie w tej samej kolejności wpisywać odpowiednie wartości w lasne do macierzy A. Oczywiście postać diagonalna macierzy A nie jest jednoznaczna i zależy od kolejności umieszczenia wektorów w lasnych w macierzy T 1. Zadanie 8.3.1. Oblicz a) 1 2 0 0 2 0 2 2 1 4, b) 4 3 3 6 2 3 2. 4 4 3 Zadanie 8.3.2. stopnia 2. Dla jakich wartości m macierz [ 2 1 3 2 ] m jest macierza jednostkowa 7

9. GEOMETRIA ANALITYCZNA. W rozdziale 9 rozważać be dziemy przede wszystkim geometrie przestrzeni, w której zosta l wprowadzony uk lad wspó lrze dnych karezjańskich, tj. uk lad trzech wzajemnie prostopad lych osi liczbowych. Rozdzia l rozpoczniemy od omówienia pewnych w lasności najcze ściej spotykanych krzywych stopnia drugiego. 9.1. Krzywe stopnia drugiego na p laszczyźnie. W paragrafie 4.8 podane by ly równania parametryczne pewnych krzywych, które traktowane by ly jako wykresy funkcji danych parametrycznie. Mie dzy innymi podano równania parametryczne okre gu, elipsy i hiperboli. W tym paragrafie podamy inne równania opisuja ce te krzywe, które wraz z parabola sa cze sto nazywane krzywymi stopnia drugiego lub krzywymi stożkowymi. Nasze rozważania prowadzić be dziemy na p laszczyźnie z prostoka tnym uk ladem wspó l- rze dnych. Na pocza tek przypomnijmy, że przekszta lcenie p laszczyzny, które nie zmienia odleg lości nazywamy przekszta lceniem izometrycznym. Jako przyk lad przekszta lcenia izometrycznego możemy wymienić symetrie punktowa, symetrie osiowa, translacje (przesunie cie) oraz obrót. Omówimy teraz podstawowe w lasności pewnych krzywych stopnia drugiego. Definicja 9.1.1. Elipsa nazywamy krzywa be da ca zbiorem punktów p laszczyny, których wspó lrze dne spe lniaja równanie x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 (9.1.1) oraz każda krzywa, która z niej powstanie poprzez przekszta lcenie izometryczne p laszczyzny. 8

Licze 2a nazywamy osia wielka elipsy, a liczbe 2b-osia ma la. Punkty (a, 0), ( a, 0), (0, b), (0, b) nazywamy wierzcho lkami elipsy. Oznaczmy c = a 2 b 2. Punkty (c, 0), ( c, 0) nazywamy ogniskami elipsy, zaś proste o równaniach x = a2 c i x = a2 c nazywamy kierownicami elipsy. Elipsa dana równaniem (9.1.1) ma naste ce w lasności: 1 o. Suma odleg lości dowolnego punktu elipsy od jej ognisk jest równa d lugości osi wielkiej. 2 o. Stosunek odleg lości dowolnego punktu elipsy od ogniska do jego odleg lości od kierownicy jest mniejszy od 1. 3 o. Środkiem symetrii elipsy jest punkt (0, 0). 4 o. Proste x = 0 i y = 0 sa osiami symetrii elipsy. Elpise możemy otrzymać poprzez przekrój powierzchni stożka p laszczyzna, która przecina jego tworza ca pod ka tem ostrym. Definicja 9.1.2. Hiperbola nazywamy krzywa be da ca zbiorem punktów p laszczyny, których wspó lrze dne spe lniaja równanie x 2 a 2 y2 b 2 = 1 (9.1.2) oraz każda krzywa, która z niej powstanie poprzez przekszta lcenie izometryczne p laszczyzny. 9

Licze 2a nazywamy osia rzeczywista hiperboli, a liczbe 2b-osia urojona. Punkty (a, 0) i ( a, 0) nazywamy wierzcho lkami hiperboli. Niech c = a 2 + b 2. Punkty (c, 0), ( c, 0) nazywamy ogniskami hiperboli, zaś proste x = a2 c i x = a2 c -jej kierownicami. Hiperbola dana równaniem (9.1.2) ma naste ce w lasności: 1 o. Wartość bezwzgle dna różnicy odleg lości dowolnego punktu hiperboli od jej ognisk jest równa d lugości osi rzeczywistej. 2 o. Stosunek odleg lości dowolnego punktu hiperboli od ogniska do jego odleg lości od kierownicy jest wie kszy od 1. 3 o. Środkiem symetrii hiperboli jest punkt (0, 0). 4 o. Proste x = 0 i y = 0 sa osiami symetrii hiperboli. 5 o. Proste y = b a x i y = b a x sa asymtotami hiperboli. Hiperbole możemy otrzymać poprzez przekrój powierzchni stożka p laszczyzna, która przecina jego tworza ca pod ka tem rozwartym. Definicja 9.1.3. Parabola nazywamy krzywa be da ca zbiorem punktów p laszczyny, których wspó lrze dne spe lniaja równanie y 2 = 2px, p > 0 (9.1.3) oraz każda krzywa, która z niej powstanie poprzez przekszta lcenie izometryczne p laszczyzny. 10

Punkt (0, 0) nazywamy wierzcho lkiem paraboli. Ogniskiem paraboli nazywamy punkt ( p 2, 0), a prosta o równaniu x = p 2 -kierownica paraboli. Parabola dana równaniem (9.1.3) ma naste ce w lasności: 1 o. Dowolny punkt paraboli jest jednakowo odleg ly od jej ogniska i kierownicy. 2 o. Parabola nie ma środka symetrii. 3 o. Osia symetrii paraboli jest prosta y = 0. Parabole możemy otrzymać poprzez przekrój powierzchni stożka p laszczyzna równoleg la do jego tworza cej. 9.2. Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany. Niech V be dzie zbiorem wektorów przestrzeni, tzn. odcinków, którym nadano kierunek i zwrot, a K zbiorem liczb rzeczywistych. Suma wektorów a i b nazywamy wektor, który jest przeka tna równoleg loboku rozpie tego na wektorach a i b. Iloczynem wektora v przez liczbe rzeczywista α K w nazywamy wektor α v, który ma taki sam kierunek i zwrot jak wektor v, a jego d lugość jest α-razy wie ksza od d lugości wektora v, jeżeli α 1; jeżeli 0 < α < 1, to wektor α v ma taki sam kierunek i zwrot jak wektor v, a jego d lugość jest α-razy mniejsza od d lugości wektora v ; jeżeli α < 0, to wektor α v ma przeciwny zwrot do wektora v, a jego d lugość jest α-razy wie ksza, gdy α 1 i α-razy mniejsza, gdy α < 1; jeżeli α = 0, to α v = 0, gdzie 0 jest wektorem zerowym. Na elementach zbioru V zdefiniujemy jeszcze inne dzia lania. Różnica wektorów a i b nazywamy wektor be da cy suma wektora a i wektora b, gdzie wektor b jest wektorem powsta lym poprzez pomnożenie wektora b przez liczbe 1. Ważnymi ze wzgle du na zastosowania, dzia laniami na wektorach sa iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany. Definicja 9.2.1. Iloczynem skalarnym wektorów v i w nazywamy licze dana wzorem v w = v w cos( v, w), gdzie v oznacza d lugość wektora v, a ( v, w) miare ka ta mie dzy wektorami v i w. Iloczyn skalarny ma naste ce w lasności 1. v w = w v, 2. ( v w) u = v ( w u), 3. v ( w + u) = v w + v u, 4. (α v ) w = α ( v w), 11

5. v v = v 2. Wektor, którgo d lugość jest różna od zera nazywać be dziemy wektorem niezerowym. Wektor zerowy oznaczać be dziemy przez 0, wektor ten ma d lugość równa zero i zak ladamy, że nie ma on ani kierunku, ani zwrotu. Powiemy, że wektory sa prostopad le, gdy miara ka ta mie dzy nimi jest równa π 2. Jeżeli miara ka ta mie dzy wektorami jest równa 0 lub π, to wektory nazywać be dziemy równoleg lymi. Twierdzenie 9.2.1. Niezerowe wektory v i w sa prostopad le wtedy i tylko wtedy, gdy v w = 0. Dowód. Za lóżmy najpierw, że wektory v i w sa prostopad le. Wtedy cos( v, w) = 0. Z definicji 9.2.1 wynika wie c, że v w = 0. Jeżeli za lożymy, że v w = 0 oraz że wektory v i w sa niezerowe, to wtedy z definicji 9.2.1 wynika, że cos( v, w) = 0. Zatem ( v, w) = π 2, co oznacza, że wektory v i w sa prostopad le. Z definicji iloczynu skalarnego oraz z powyższego twierdzenia wynikaja naste ce ważne zastosowania iloczynu skalarnego Iloczyn skalarny możemy wykorzystać do 1. obliczenia d lugości wektora korzystaja c ze wzoru v = v v, 2. wyznaczenia cosinusa ka ta mie dzy wektorami ze wzoru cos( v, w) = v w v w, 3. sprawdzenia, czy wektory sa prostopad le w oparciu o warunek v w = 0. Definicja 9.2.2. Iloczynem wektorowym wektorów v i w nazywamy wektor u = v w spe lniaja cy warunki 1. kierunek wektora u jest taki, że wektor ten jest prostopad ly do wektora v oraz do wektora w, 2. zwrot wektora u wyznaczony jest przez regu le śruby prawoskre tnej, 3. d lugość wektora u dana jest wzorem u = v w sin( v, w). 12

Iloczyn wektorowy ma naste ce w lasności 1. v w = w v, 2. v ( w + u) = v w + v u, 3. α ( v w) = (α v ) w, Twierdzenie 9.2.2. Niezerowe wektory v i w sa równoleg le wtedy i tylko wtedy, gdy v w = 0. Dowód. Jeżeli za lożymy, że wektory v i w sa równoleg le, to z definicji 9.2.2 mamy v w = v w sin 0 = 0. Jeżeli natomiast za lożymy, że v w = 0, to z definicji 9.2.2 mamy sin( v, w) = 0. Zatem ( v, w) = 0 lub ( v, w) = π, co kończy dowód. Zauważmy, że d lugość iloczynu wektorowego v w dana jest wzorem znanym jako pole równoleg loboku rozpie tego na wektorach v i w. Z powyższych rozważań możemy wywnioskować naste ce zastosowania iloczynu wektorowego. Iloczyn wektorowy możemy wykorzystać do 1. obliczenia pola równoleg loboku rozpie tego na wektorach v i w wzorem P = v w, 2. obliczenia pola trójka ta rozpie tego na wektorach v i w wzorem P = 1 2 v w, 3. sprawdzenia czy wektory sa równoleg le w oparciu o warunek v w = 0. Definicja 9.2.3. Iloczynem mieszanym wektorów v, w i u nazywamy liczbe równa iloczynowi skalarnemu wektora v i wektora be da cego iloczynem wektorowym wektora w przez wektor u, tzn. v ( w u). Z powyższej definicji wynika, że zamiana miejscami dwóch wektorów w iloczynie mieszanym zmienia jego znak na przeciwny. Zauważmy, że v ( w u) = v w u cos( v, w u), 13

gdzie w u równa sie, polu równoleg loboku rozpie tego na wektorach w i u, a v cos( v, w u) równa sie d lugości wektora równoleg lego do wektora w u. Sta d oraz z poniższego rysunku wynika, że iloczyn mieszany można geometrycznie zinterpretować jako obje tość równoleg lościanu rozpie tego na wektorach v, w i u. Twierdzenie 9.2.4. Niezerowe wektory v, w i u leża na jednej p laszczyźnie wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn mieszany jest równy zero. Dowód. Jeżeli wektory v, w i u leża na tej samej p laszczyźnie, to albo w u = 0 albo wektor w u jest prostopad ly do wektora v. Zatem v ( w u) = 0. Jeżeli v ( w u) = 0, to znaczy, że wektory v i w u sa prostopad le lub w u = 0. Wobec tego istnieje p laszczyzna, na której leża te wektory. Z powyższych rozważań wynika, że iloczyn mieszany możemy wykorzystać do 1. obliczenia obje tości równoleg loboku rozpie tego na wektorach v, w i u korzystaja c ze wzoru V = v ( w u), gdzie w powyższym wzorze oznacza wartość bezwzgle dna. 14

2. obliczenia obje tości czworościanu rozpie tego na wektorach v, w i u ze wzoru V = 1 6 v ( w u), 3. sprawdzenia, czy wektory leża na jednej p laszczyźnie w oparciu o warunek v ( w u) = 0. Jeżeli w dowolnym punkcie przestrzeni wprowadzimy uk lad wspó lrze dnych prostoka tnych, tj. trójke osi liczbowych wzajemnie prostopad lych, to każdemu punktowi przestrzeni możemy przyporza dkować dok ladnie jedna uporza dkowana trójke liczbowa zwana wspó l- rze dnymi punktu, i na odwrót, każdej uporza dkowanej trójce liczb rzeczywistych odpowiada dok ladnie jeden punkt przestrzeni. Ponadto każdemu wektorowi AB możemy przyporza dkować trójke liczb rzeczywistych zwanych wspó lrze dnymi wektora, w naste puja cy sposób: jeżeli A(a 1, a 2, a 3 ) i B(b 1, b 2, b 3 ), to AB = [b 1 a 1, b 2 a 2, b 3 a 3 ]. W ten sposób elementy zbioru V możemy traktować jako uporza dkowane trójki liczb rzeczywistych. Niech v = [v 1, v 2, v 3 ] i niech w = [w 1, w 2, w 3 ]. Wtedy dodawanie wektorów zdefiniowane be dzie wzorem v + w = [v1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ], natomiast mnożenie wektora przez liczbe definiuje wzór α v = [αv 1, αv 2, αv 3 ]. Wektory i = [1, 0, 0], j = [0, 1, 0], k = [0, 0, 1], nazywa sie wersorami uk ladu wspó lrze dnych. Wektor i jest wersorem osi OX, wektor j -osi OY, a k jest wersorem osi OZ. Dzia lania określone w definicjach 9.2.1, 9.2.2 i 9.2.4 wyrażaja sie naste cymi wzorami iloczyn skalarny: v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3, iloczyn wektorowy: v w = [v 2 w 3 v 3 w 2, v 3 w 1 v 1 w 3, v 1 w 2 v 2 w 1 ], co można zapisać w naste cy sposób iloczyn mieszany: i j k v w = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w, 3 v 1 v 2 v 3 v ( w u) = w 1 w 2 w 3 u 1 u 2 u 3. 15

Zadanie 9.2.1. Obliczyć d lugość wektora v = 4 a + 2 b, jeżeli wiadomo, że a = 2, b = 3 i ( a, b ) = π 6. Zadanie 9.2.2. Obliczyć ka t mie dzy wektorami v i w, jeżeli wiadomo, że v = 3 a + b, w = b 2 a oraz a = 1, b = 2 i ( a, b ) = π 2. Zadanie 9.2.2. Obliczyć ka t mie dzy wektorami v = 3 a + 2 b i w = a + 5 b, jeżeli wektory a i b sa wzajemnie prostopad lymi wektorami jednostkowymi. Zadanie 9.2.3. Wykazać, że jeżeli dwa niezerowe wektory v i w spe lniaja warunek v + w = v w, to sa one prostopad le. Zadanie 9.2.4. Wyznaczyć miare ka ta jaki tworza niezerowe wektory v i w, jeżeli wektor v jest dwa razy d luższy niż wektor w oraz v w = 3 w. Zadanie 9.2.5. Określić wzajemne po lożenie wektorów u = a + 2 b, v = 2 a b i w = 2 b 4 a, jeżeli wektory a i b sa wzajemnie prostopad le i jednostkowe. Zadanie 9.2.6. Dane sa wektory a = [2, 3, 4], b = [1, 0, 1] i c = [1, 2, 1]. Znaleźć d lugość wektora v = 2( a b ) c + 1 25 ( b b ) a + ( a c ) b. Zadanie 9.2.7. Dane sa wektory a = [3, 1, 2], b = [1, 2, 1]. Znaleźć d lugość wektora w = (2 a + b ) b. Zadanie 9.2.8. Obliczyć tangens ka ta zawartego mie dzy wektorami a = [0, 1, 2] i b = [2, 1, 0]. Zadanie 9.2.9. b = [0, 2, 3]. Obliczyć pole równoleg loboku rozpie tego na wektorach a = [1, 1, 1] i Zadanie 9.2.10. Obliczyć obje tość czworościanu rozpie tego na wektorach a = [0, 1, 1], b = [2, 0, 2] i c = [1, 1, 3]. 16

9.3. Równania p laszczyzny i prostej w przestrzeni. P laszczyzne w przestrzeni euklidesowej możemy wyznaczyć w jeden z naste cych sposobów. I. Niech dany be dzie punkt P 0 (x 0, y 0, z 0 ) leża cy na p laszczyźnie π oraz niezerowy wektor n = [A, B, C] prostopad ly do tej p laszczyzny. Wtedy dowolny punkt P (x, y, z) p laszczyzny π spe lnia równanie n P0 P = 0. Sta d otrzymujemy równanie p laszczyzny przechodza cej przez dany punkt i prostopad lej do danego wektora A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. (9.2.1) Opuszczaja c nawiasy i k lada c D = Ax 0 By 0 Cz 0 p laszczyzny postaci Ax + By + Cz + D = 0. otrzymamy równanie ogólne Jeżeli D 0, to dziela c stronami przez D powyższe równanie możemy p laszczyzne przedstawić w tzw. postaci odcinkowej x a + y b + z c = 1, gdzie a = D A, b = D B, c = D. P laszczyzna ta odcina na osi OX odcinek d lugości C a, na osi OY odcinek d lugości b, a na osi OZ- c (mierza c od pocza tku uk ladu wspó lrze dnych). Wektor n prostopad ly do p laszczyzny nazywamy wektorem normalnym p laszczyzny. II. Niech oprócz punktu P 0 dane be da dwa nierównoleg le wektory v = [v x, v y, v z ] i w = [wx, w y, w z ] do których p laszczyzna π jest równoleg la. Wtedy dowolny punkt P p laszczyzny tworzy z punktem P 0 wektor be da cy kombinacja liniowa wektorów v i w, tj. Mamy zatem P 0 P = t v + s w, t, s R. x x 0 = tv x + sw x y y 0 = tv y + sw y z z 0 = tv z + sw z Sta d otrzymujemy naste ce równania parametryczne p laszczyzny x = x 0 + tv x + sw x y = y 0 + tv y + sw y z = z 0 + tv z + sw z t, s R. 17

W tym przypadku wektor normalny p laszczyzny jest iloczynem wektorowym wektorów v i w. III. Niech teraz dane be da trzy punkty P 0 (x 0, y 0, z 0 ), P 1 (x 1, y 1, z 1 ), P 2 (x 2, y 2, z 2 ). Trzy punkty w przestrzeni wyznaczaja dok ladnie jedna p laszczyzne, zatem dowolny punkt P tej p laszczyzny z punktem P 0 utworzy wektor, który jest kombinacja liniowa wektorów P 0 P 1 i P 0 P 2. Wektory jest równość P 0 P, P 0 P 1 i P 0 P 2 leża wie c na jednej p laszczyźnie, a zatem spe lniona x x 0 x 1 x 0 x 2 x 0 y y 0 y 1 y 0 y 2 y 0 z z 0 z 1 z 0 z 2 z 0 = 0. Powyższe równanie nazywa sie równaniem p laszczyzny przechodza cej przez trzy punkty. Niech dane be da dwie p laszczyzny, jedna z wektorem normalnym w, a druga z wektorem normalnym v. P laszczyzny te moga być 1. równoleg le, jeśli ich wektory normalne sa równoleg le, tj. gdy v w = 0, 2. prostopad le, jeśli ich wektory normalne sa prostopad le, tj. gdy v w = 0, 3. przecinać sie pod dowolnym ka tem, wtedy v w 0 v w 0. Podane teraz be da sposoby wyznaczania prostej w przestrzeni euklidesowej. I. Niech prosta l przechodzi przez punkt P 0 (x 0, y 0, z 0 ) i niech be dzie równoleg la do niezerowego wektora v = [v x, v y, v z ]. Wówczas każdy punkt P (x, y, z) leża cy na tej prostej spe lnia warunek P 0 P = t v, t R. Sta d mamy x x 0 = tv x y y 0 = tv y z z 0 = tv z A zatem otrzymujemy naste ce równania parametryczne prostej x = x 0 + tv x y = y 0 + tv y t, s R. z = z 0 + tv z Zauważmy, że wyznaczaja c z każdego z tych równań parametr t możemy napisać naste puja cy cia g równości x x 0 = y y 0 = z z 0, v x v y v z które sa nazywane równaniami kierunkowymi prostej. 18

Wektor v równoleg ly do prostej nazywać be dziemy wektorem kierunkowym prostej. II. Prosta możemy również zadać jako cze ść wspólna dwóch nierównoleg lych p laszczyzn, tj. { A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Mówimy wtedy, że prosta dana jest równaniami krawe dziowymi. Oczywiście powyższe równania opisuja prosta tylko wtedy, gdy macierz g lówna i uzupe lniona tego uk ladu sa tego samego rze du. W tym przypadku wektor kierunkowy prostej jest iloczynem wektorowym wektorów normalnych powyższych p laszczyzn, tj. v = [A1, B 1, C 1 ] [A 2, B 2, C 2 ]. Niech dane be da dwie proste w przestrzeni l : x x 1 a x = y y 1 a y = z z 1 a z, k : x x 2 b x = y y 2 b y = z z 2 b z. Jak latwo zauważyć wektorem kierunkowym prostej l jest wektor a = [a x, a y, a z ], a wektorem kierunkowym prostej k jest wektor b = [b x, b y, b z ]. Niech x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 W = a x a y a z. b x b y b z Określimy teraz wzajemne po lożenie prostych. 1. proste sa skośne, tzn. nie maja punktów wspólnych i nie leża w jednej p laszczyźnie, jeżeli W 0. 2. proste sa równoleg le, tzn. nie maja punktów wspólnych i leża w jednej p laszczyźnie, jeżeli W = 0 i a b = 0. 3. proste sa prostopad le, jeśli 4. proste przecinaja sie, jeśli W = 0 i a b = 0 W = 0 i a b 0. Powróćmy jeszcze do sposobów wyznaczania p laszczyzny. Z wcześniejszych rozważań wynika, że aby określić równanie p laszczyzny należy przede wszystkim znać wspó lrze dne jej wektora normalnego oraz dowolnego punktu leża cego na tej p laszczyźnie. 19

Podamy teraz jeszcze dwa sposoby wyznaczania p laszczyzny. IV. Jeżeli p laszczyzna jest równoleg la do dwóch prostych wzajemnie równoleg lych, to jej wektor normalny jest iloczynem wektorowym wektora kierunkowego prostych oraz wektora, którego pocza tek leży na jednej prostej, a koniec na drugiej. Maja c wektor normalny i wybieraja c dowolny punkt z jednej prostej możemy napisać równanie ogólne p laszczyzny. V. Jeżeli p laszczyzna jest równoleg la do dwóch przecinaja cych sie prostych to jej wektor normalny jest iloczynem wektorowym wektorów kierunkowych tych prostych. Maja c wektor normalny i wybieraja c dowolny punkt z jednej prostej możemy napisać równanie ogólne p laszczyzny. W dalszej cze ści tego paragrafu omówione be da sposoby obliczania odleg lości mie dzy punktami, prostymi i p laszczyznami w przestrzeni euklidesowej. A. odleg losc mie dzy dwoma punktami Odleg lość punktu A(a 1, a 2, a 3 ) od punktu B(b 1, b 2, b 3 ) wyznacza sie jako d lugość wektora wektora AB. Mamy zatem B. odleg losc punktu od prostej AB = (b 1 a 1 ) 2 + (b 2 a 2 ) 2 + (b 3 a 3 ) 2. x x 0 Niech dana be dzie prosta l : = y y 0 = z z 0. Odleg lość punktu A od v x v y v z prostej l możemy obliczyć jako wysokość równoleg loboku rozpie tego na wektorach v = [v x, v y, v z ] i MA, gdzie M(x 0, y 0, z 0 ). W tym celu wykorzystamy dwa równoważne wzory na pole P tego równoleg loboku. 20

Mamy zatem P = v MA P = v h, gdzie h jest szukana wysokościa. Sta d otrzymujemy naste cy wzór na odleg lość punktu A od prostej l d(a, l) = v MA. v C. odleg losc punktu od p laszczyzny Rozważmy p laszczyzne π dana równaniem Ax + By + Cz + D = 0. Odleg lość punktu P (x 0, y 0, z 0 ) od tej p laszczyzny jest równa d lugości rzutu wektora MP, gdzie M(x 1, y 1, z 1 ) jest dowolnym punktem p laszczyzny, na kierunek wektora n = [A, B, C], który jest wektorem normalnym p laszczyzny π. 21

Mamy wie c cos α = d. MP Sta d oraz ze wzoru na cosinus ka ta mie dzy wektorami otrzymujemy d = MP P M n MP v = A(x 0 x 1 ) + B(y 0 y 1 ) + C(z 0 z 1 ) A2 + B 2 + C 2. Ponieważ punkt M leży na p laszczyźnie π, to jego wspó lrze dne spe lniaja równanie tej p laszczyzny, zatem mamy Ax 1 By 1 Cx 1 = D. Sta d otrzymujemy naste cy wzór na odleg lość punktu P od p laszczyzny π d(p, π) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2. Wartość bezwzgle dna w liczniku znalaz la sie z tego powodu, że odleg lość nie może być liczba ujemna. D. odleg losc mie dzy prostymi rownoleg lymi Niech dane be da dwie proste równoleg le k i l o wektorze kierunkowym v. Prosta k niech przechodzi przez punkt A, a prosta l-przez punkt B. Odleg lość mie dzy tymi prostymi możemy obliczyć jako odleg lość punktu A od prostej l korzystaja c ze wzoru podanego w punkcie (B). Mamy wie c E. odleg losc mie dzy prostymi skosnymi d(l, k) = v AB. v Rozważmy dwie proste skośne l : x x 1 a x = y y 1 a y = z z 1 a z, k : x x 2 b x = y y 2 b y = z z 2 b z. 22

Jak latwo zauważyć odleg lość mie dzy tymi prostymi równa jest wysokości równoleg lościanu rozpie tego na wektorach a, b i KL, gdzie KL = [x 1 x 2, y 1 y 2, z 1 z 2 ]. Korzystaja c z dwóch równoważnych wzorów na obje tość V tego równoleg lościanu otrzymujemy V = KL ( a b ) V = a b h, gdzie h jest szukana wysokościa równoleg lościanu. Sta d otrzymujemy naste cy wzór na odleg lość mie dzy prostymi skośnymi d(l, k) = KL ( a b ) a. b F. odleg losc mie dzy p laszczyznami rownoleg lymi Niech dane be da dwie p laszczyzny α i β o wektorze normalnym n. Niech p laszczyzna α przechodzi przez punkt A, a p laszczyzna β-przez B. Odleg lość mie dzy tymi p laszczyznami obliczymy jako odleg lość punktu A od p laszczyzny β. Korzystaja c ze wzoru danego w punkcie (C) otrzymujemy d(α, β) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + d A2 + B 2 + C 2, gdzie (x 0, y 0, z 0 ) sa wspó lrze dnymi punktu A. Zadanie 9.3.1. Dany jest czworościan o wierzcho lkach A(1, 0, 2),B(2, 1, 1),C(2, 2, 0) oraz D. Wyznaczyć d lugość wysokości poprowadzonej z wierzcho lka A wiedza c, że punkt D leży na prostej l : x + 2 3 = y + 4 2 = z 2 3, zaś obje tość czworościanu wynosi 1 6. Zadanie 9.3.2. Napisać równanie prostej przechodza cej przez punkt A(1, 2, 1), przecinaja cej prosta k : x 2 = y + 1 3 1 = z + 3 oraz równoleg lej do p laszczyzny 2 π : 2x 3y z + 5 = 0. Zadanie 9.3.3. Znaleźć równanie p laszczyzny π przechodza cej przez prosta l i pocza tek uk ladu wspó lrze dnych, jeżeli prosta l przechodzi przez punkt P (1, 1, 0) i przecina prostopadle prosta { x z 3 = 0 k : y + 2z + 3 = 0. 23

{ 2x y + z 1 = 0 Zadanie 9.3.4. Wyznaczyć rzut prostej x + y z + 1 = 0 π : x + 2y z = 0. na p laszczyzne Zadanie 9.3.5. Przez punkt A(0, 1, 1) poprowadzić prosta przecinaja ca prosta { { x 1 = 0 l : z + 1 = 0 i prostopad la y + 1 = 0 do prostej l : x + 2y 7z = 0. Zadanie 9.3.6. Napisać równanie p laszczyzny przechodza cej przez punkt B i prosta l, jeżeli punkt B jest punktem przebicia p laszczyzny α : x + 2y + 2z + 3 = 0 prosta k : x + 2 1 = y + 1 = z 2 1, zaś prosta l jest cze ścia wspólna p laszczyzn β : 2x 2y z = 0 i γ : x + 2y + 3z 1 = 0. Zadanie 9.3.7. Znaleźć równanie p laszczyzny przecinaja cej prostopadle proste x = 1 + t l : y = 1 2t z = 3 t x = 2 + 4t t R k : y = t t R z = 1 + 2t 9.4. Powierzchnie stopnia drugiego. W przestrzeni euklidesowej równanie pierwszego stopnia (ze wzgle du na zmienne x, y i z) opisuje p laszczyzne. Równania, w których wspó lrze dne dowolnego punktu przestrzeni P (x, y, z) wyste w drugiej pote dze opisuja pewne powierzchnie zwane powierzchniami stopnia drugiego. Podamy tak zwane równania kanoniczne najcze ściej spotykanych powierzchni stopnia drugiego oraz równania krzywych jakie otrzymamy w przecie ciu tych powierzchni z p laszczyznami uk ladu wspó lrze dnych. Zauważmy, że wektorem normalny do p laszczyzny XY jest wersor osi OZ. Ponadto p laszczyzna XY przechodzi przez punkt O(0, 0, 0). Korzystaja c z równania (9.2.1) otrzymujemy równanie p laszczyzny XY, tj. z = 0. Podobnie otrzymamy, że równanie x = 0 jest równaniem p laszczyzny Y Z, a równanie y = 0 opisuje p laszczyzne XZ. 24

Do powierzchni stopnia drugiego zaliczamy mie dzy innymi naste ce powirzchnie 1. elipsoida Elipsoida nazywamy powierzchnie dana równaniem x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1. W przecie ciu elipsoidy p laszczyznami uk ladu wspó lrze dnych otrzymujemy naste ce krzywe: z p laszczyzna XY -elipse { z = 0 x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 z p laszczyzna Y Z-elipse { x = 0 y 2 b 2 + z2 c 2 = 1 z p laszczyzna XZ-elipse y = 0 x 2 a 2 + z2 c 2 = 1 Zauwżmy, że dla a = b = c = r > 0 otrzymamy powierzchnie zwana sfera o środku w punkcie (0, 0, 0) i promieniu r. Ogólne równanie sfery o środku (x 0, y 0, z 0 ) i promieniu r ma postać (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = r 2. 25

2. hiperboloida jednopow lokowa Hiperboloida jednopow lokowa nazywamy powierzchnie dana równaniem x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1. W przecie ciu hiperboloidy jednopow lokowej p laszczyznami uk ladu wspó lrze dnych otrzymujemy naste ce krzywe z p laszczyzna XY -elipse { z = 0 x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 z p laszczyzna Y Z-hiperbole { x = 0 y 2 b 2 z2 c 2 = 1 y = 0 z p laszczyzna XZ-hiperbole x 2 a 2 z2 c 2 = 1 26

3. hiperboloida dwupow lokowa Hiperboloida dwupow lokowa nazywamy powierzchnie dana równaniem x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1. W przecie ciu hiperboloidy dwupow lokowej p laszczyznami uk ladu wspó lrze dnych otrzymujemy naste ce krzywe z p laszczyzna XY -zbiór pusty z p laszczyzna Y Z-hiperbole { x = 0 z 2 c 2 y2 b 2 = 1 z p laszczyzna XZ-hiperbole y = 0 z 2 c 2 x2 a 2 = 1 27

4. sto_zek Stożkiem nazywamy powierzchnie dana równaniem x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 0. W przecie ciu stożka p laszczyznami uk ladu wspó lrze dnych otrzymujemy naste ce krzywe z p laszczyzna XY -punkt (0, 0, 0) z p laszczyzna Y Z-pare prostych { x = 0 { x = 0 z = c b y z = c b y z p laszczyzna XZ-pare prostych { x = 0 { x = 0 z = c a x z = c a x 28

5. paraboloida eliptyczna Parabolioda eliptyczna nazywamy powierzchnie dana równaniem z = x2 a 2 + y2 b 2. W przecie ciu paraboloidy eliptycznej p laszczyznami uk ladu wspó lrze dnych otrzymujemy naste ce krzywe z p laszczyzna XY -punkt (0, 0, 0) z p laszczyzna Y Z-prabole { x = 0 z = 1 b 2 y2 z p laszczyzna XZ-parabole { y = 0 z = 1 a 2 x2 29

6. paraboloida hiperboliczna Parabolioda hiperboliczna nazywamy powierzchnie dana równaniem z = x2 a 2 y2 b 2. W przecie ciu paraboloidy hiperbolicznej p laszczyznami uk ladu wspó lrze dnych otrzymujemy naste ce krzywe z p laszczyzna XY -pare prostych z p laszczyzna Y Z-prabole { x = 0 { z = 0 { x = 0 y = b a x y = b a x z = 1 b 2 y2 z p laszczyzna XZ-parabole { y = 0 z = 1 a 2 x2 30

7. walec eliptyczny Walcem eliptycznym nazywamy powierzchnie dana równaniem x 2 a 2 + y2 b 2 = 1. W przecie ciu walca eliptycznego p laszczyznami uk ladu wspó lrze dnych otrzymujemy naste - ce krzywe z p laszczyzna XY -elipse { z = 0 x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 z p laszczyzna Y Z-pare prostych z p laszczyzna XZ-prae prostych { x = 0 y = b { x = 0 y = b { y = 0 { y = 0 x = a x = a 31

8. walec hiperboliczny Walcem hiperbolicznym nazywamy powierzchnie dana równaniem x 2 a 2 y2 b 2 = 1. W przecie ciu walca hiperbolicznego p laszczyznami uk ladu wspó lrze dnych otrzymujemy naste ce krzywe z p laszczyzna XY -hiperbole { z = 0 x 2 a 2 y2 b 2 = 1 z p laszczyzna Y Z-zbiór pusty z p laszczyzna XZ-pare prostych { y = 0 { y = 0 x = a x = a 32

9. walec paraboliczny Walcem parabolicznym nazywamy powierzchnie dana równaniem y 2 = 2px. W przecie ciu walca parabolicznego p laszczyznami uk ladu wspó lrze dnych otrzymujemy naste ce krzywe z p laszczyzna XY -parabole { z = 0 y 2 = 2px z p laszczyzna Y Z-oś OZ z p laszczyzna XZ-oś OZ y = 0 x = 0 z = t, y = 0 x = 0 z = t, t R t R Zadanie 9.4.1. Znaleźć środek i promień sfery o równaniu x 2 +y 2 +z 2 +2x 4y+6z 2 = 0. Zadanie 9.4.2. Jakie powierzchnie określaja równania a) x2 5 + y2 + z 2 2 = 0, b) x 2 y 2 z 2 = 1, c) y2 9 + z2 16 = 1, d) x2 + y 2 z = 0, Zadanie 9.4.3. Zbadać jaka powierzchnie opisuje równanie z = y2 9 x2 4, a naste pnie wyznaczyć krzywe jakie otrzymamy przecinaja c ta powierzchnie p laszczyznami: z = 1, x = 3 i y = 2. 33

10. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH. W rozdziale 10 rozważać be dziemy przede wszystkim funkcje określone na podzbiorach p laszczyzny R 2 o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych. Analizować be dziemy różne ich w lasności w oparciu o rachunek pochodnych. Be dziemy chcieli w tym rozdziale dokonać pewnych uogólnień dotycza cych funkcji jednej zmiennej na funkcje wielu zmiennych. 10.1. Granica i cia g lość funkcji wielu zmiennych. Na pocza tku zdefiniujemy pewne poje cia zwia zane z otoczeniem i sa siedztwem punktów p laszczyzny. Otoczeniem punktu P 0 (x 0, y 0 ) o promieniu r nazywamy zbiór O(P 0, r) = {P : P P 0 < r}. Jak latwo zauważyć otoczeniem punktu P (x 0, y 0 ) o promieniu r na p laszczyźnie jest ko lo otwarte o promieniu r i środku (x 0, y 0 ) O((x 0, y 0 ), r) = {(x, y) : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < r}. Sa siedztwem punktu P 0 (x 0, y 0 ) o promieniu r nazywamy zbiór S(P 0, r) = {P : P P 0 < r} {P 0 }. W tym przypadku możemy zauważyć, że sa siedztwem punktu P (x 0, y 0 ) o promieniu r na p laszczyźnie jest ko lo otwarte o promieniu r i środku (x 0, y 0 ) bez tego środka. Zdefiniujemy teraz pewne zbiory na p laszczyźnie. Zbiór A nazywamy zbiorem ograniczonym jeśli istnieje taki punkt P 0 i liczba r > 0, że A O(P 0, r), gdzie O(P 0, r) oznacza otoczenie punktu P 0 o promieniu r. W przeciwnym przypadku zbiór A nazywać be dziemy nieograniczonym. Punkt P nazywamy punktem wewne trznym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy O(P, r) A. r>0 Zbiór punktów wewne trznych zbioru A nazywamy wne trzem zbioru. Punkt P nazywamy punktem zewne trznym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy należy on do dope lnienia wne trza zbioru. Zbiór punktów zewne trznych zbioru A nazywamy zewne trzem zbioru. Punkt P nazywamy punktem brzegowym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy O(P, r) A O(P, r) A, r>0 34

gdzie A oznacza dope lnienie zbioru A. Zbiór punktów brzegowych zbioru A nazywamy brzegiem zbioru. Zauważmy, że w każdym otoczeniu punktu brzegowego znajduja sie punkty wewne trzne i zewne trzne zbioru. Punkt P nazywamy punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy S(P, r) A, r>0 gdzie S(P, r) oznacza sa siedztwo punktu P o promieniu r. Zauważmy, że w każdym sa siedztwie punktu skupienia można znaleźć punkty zbioru A. Ponadto punkty brzegowe i wewne trzne zbioru sa jego punktami skupienia. Zbiorem otwartym nazywać be dziemy zbiór zawieraja cy tylko punkty wewne trzne. Zbiorem domknie tym nazywać be dziemy zbiór z lożony ze swoich punktów wewne trznych i brzegowych. Definicja 10.1.1. Cia giem punktów {(x n, y n )}na p laszczyźnie nazywamy odwzorowanie, które każdej liczbie naturalnej n przyporza dkowuje dok ladnie jeden punkt p laszczyzny o wspó lrze dnych (x n, y n ). n-ty wyraz cia gu oznaczać be dziemy w naste cy sposób P n = (x n, y n ). Przyk ladem cia gu punktów sa cia gi { (sin n, 2) }, {( 1 n, 1 n 2 + 1 )}, { (n 3, n cos n!) Definicja 10.1.2. Cia g {P n } R 2 jest zbieżny do punktu P 0 (x 0, y 0 ) wtedy i tylko wtedy, gdy P n P 0 < ε. ε>0δ>0n>δ Oznacza to, że cia g P n jest zbieżny do punktu P 0, jeśli dla dowolnie wybranej liczby ε potrafimy wyznaczyć taka liczbe δ, że dla n > δ odleg lość n-tego wyrazu tego cia gu od punktu P 0 nie przekracza ε, tj. wszystkie wyrazy tego cia gu, z wyja tkiem skończonej ich liczby, znajduja sie w kole otwartym o środku P 0 i promieniu ε. Powyższy warunek możemy zapisać w naste cej postaci lim (x n, y n ) = (x 0, y 0 ) (xn x 0 ) 2 + (y n y 0 ) 2 < ε. n ε>0 δ>0n>δ Oczywiście warunek z definicji zachodzi tylko wtedy, gdy x x 0 < ε y y 0 < ε. ε>0δ>0n>δ Zauważmy ponadto, że punkt P 0 jest punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki cia g {P n } A, że P n = P 0 lim P n = P 0. n n N 35 }.

Powiemy, że cia g punktów P n = (x n, y n ) jest rozbieżny, gdy lim n x n = i lim n y n =. Przyk lad 10.1.1. ( lim n n + 1 ) n, = (1, 1), n n 2 ) n, ( lim 1 + n (( 1 ) n ) = (0, e), ( 3 n n + 2 lim n n 2 1, n 1 ) n 3 = (0, 0). + n Za lóżmy, że punkt P 0 (x 0, y 0 ) jest pewnym punktem skupienia zbioru A. Powiemy, że punkt (+, + ) jest punktem skupienia zbioru A jeżeli w tym zbiorze znajduja sie punkty o dowolnie dużych wspó lrze dnych dodatnich i odpowiednio punkt (, ) jest punktem skupienia zbioru A jeżeli w tym zbiorze znajduja sie punkty o dowolnie ma lych wspó lrze dnych ujemnych. Niech f : R 2 A R be dzie funkcja dwóch zmiennych określona na zbiorze A. Zauważmy, że wykresem funkcji f jest pewna powierzchnia, tj. W = {(x, y, z) : (x, y) A z = f(x, y)}. Podamy teraz równoważne definicje granicy w laściwej oraz niew laściwej funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ). Definicja 10.1.3. (Heinego) Powiemy, że funkcja dwóch zmiennych f ma w punkcie (x 0, y 0 ) granice w laściwa g wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego cia gu punktów (x n, y n ) zbioru A R 2 takiego, że (x n, y n ) (x 0, y 0 ) lim (x n, y n ) = (x 0, y 0 ) n n N granica cia gu o wyrazie ogólnym f(x n, y n ) jest równa g. Definicja 10.1.4. (Heinego) Powiemy, że funkcja dwóch zmiennych f ma w punkcie (x 0, y 0 ) granice niew laściwa + wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego cia gu punktów (x n, y n ) zbioru A R 2 takiego, że (x n, y n ) = (x 0, y 0 ) lim (x n, y n ) = + n n N cia g o wyrazie ogólnym f(x n, y n ) jest rozbieżny do +. Definicja 10.1.5. (Heinego) Powiemy, że funkcja dwóch zmiennych f ma w punkcie (x 0, y 0 ) granice niew laściwa wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego cia gu punktów (x n, y n ) zbioru A R 2 takiego, że (x n, y n ) (x 0, y 0 ) lim (x n, y n ) = n n N 36

cia g o wyrazie ogólnym f(x n, y n ) jest rozbieżny do. Definicja 10.1.6. (Cauchy ego) Powiemy, że funkcja dwóch zmiennych f ma w punkcie (x 0, y 0 ) granice w laściwa g wtedy i tylko wtedy, gdy ε>0δ>0(x,y) A [ 0 < ] (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ f(x, y) g < ε. Definicja 10.1.7. (Cauchy ego) Powiemy, że funkcja dwóch zmiennych f ma w punkcie (x 0, y 0 ) granice niew laściwa + wtedy i tylko wtedy, gdy ε>0δ>0(x,y) A [ 0 < ] (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ f(x, y) > ε. Definicja 10.1.8. (Cauchy ego) Powiemy, że funkcja dwóch zmiennych f ma w punkcie (x 0, y 0 ) granice niew laściwa wtedy i tylko wtedy, gdy ε>0δ>0(x,y) A [ 0 < ] (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ f(x, y) < ε. Podobnie jak dla funkcji jednej zmiennej mamy naste ce twierdzenie o dzia laniach artymetycznych na granicach w laściwych funkcji dwóch zmiennych Twierdzenie 10.1.1. Jeżeli funkcje f i g maja w punkcie (x 0, y 0 ) granice w laściwe, to 1. lim c f(x, y) = c lim f(x, y), (x,y)(x 0,y 0 ) (x,y)(x 0,y 0 ) 2. lim (x,y)(x 0,y 0 ) 3. lim (x,y)(x 0,y 0 ) 4. lim (x,y)(x 0,y 0 ) 5. lim [f(x, y) + g(x, y)] = lim [f(x, y) g(x, y)] = lim [f(x, y) g(x, y)] = lim f(x, y) g(x, y) = lim (x,y)(x 0,y 0 ) (x,y)(x 0,y 0 ) (x,y)(x 0,y 0 ) (x,y)(x 0,y 0 ) f(x, y) f(x, y) + lim f(x, y) lim f(x, y) lim g(x, y), (x,y)(x 0,y 0 ) g(x, y), (x,y)(x 0,y 0 ) (x,y)(x 0,y 0 ) g(x, y), (x,y)(x 0,y 0 ) lim g(x, y), o ile funkcja g w otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) (x,y)(x 0,y 0 ) nie przyjmuje wartości 0 i granica tej funkcji w punkcie (x 0, y 0 ) jest różna od zera. Dowód. Za lóżmy, że lim f(x, y) = f lim g(x, y) = g. (x,y)(x 0,y 0 ) (x,y)(x 0,y 0 ) Zatem korzystaja c z definicji Cauchy ego granicy w laściwej funkcji mamy ε 1 >0δ 1 >0(x,y) [0 < ] (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ 1 f(x, y) f < ε 1 37

oraz ε 2 >0δ 2 >0(x,y) [0 < (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ 2 g(x, y) g < ε 2 ]. Aby udowodnić (1) zauważmy, że dla dowolnego ε > 0 mamy Wobec tego istnieje takie δ 1 > 0, że cf(x, y) cf = c f(x, y) f < c ε 1. (x,y) A cf(x, y) cf < ε gdzie ε = cε 1. Oznacza, to że istotnie granica funkcji c f(x, y) jest c f. Dla dowodu faktu (2) po lóżmy δ = min(δ 1, δ 2 ) i zauważmy, że dla dowolnego (x, y) A jeśli 0 < (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ, to f(x, y) + g(x, y) (f + g) = f(x, y) f + g(x, y) g. Korzystaja c z nierówności trójka ta dla wartości bezwzgle dnej mamy f(x, y) + g(x, y) (f + g) < f(x, y) f + g(x, y) g < ε 1 + ε 2 = ε, co kończy dowód faktu (2). Aby udowodnić punkt (3) zauważmy, że dla każdego (x, y) S((x 0, y 0 ), δ) Ponadto mamy f(x, y) g(x, y) (f g) = f(x, y) f + g g(x, y) < f(x, y) f + g(x, y) g < ε 1 + ε 2 = ε. f(x, y) g(x, y) fg = f(x, y) g(x, y) fg(x, y) + fg(x, y) fg < g(x, y) f(x, y) f + f g(x, y) g Ponieważ funkcja g ma granice w punkcie (x 0, y 0 ), to w otoczeniu tego punktu jest funkcja ograniczona, tj. g(x, y) < M. K lada c ε 1 = ε 2M i ε 2 = (x,y) M>0 ε 2 f otrzymujemy, iż istnieje takie δ = min(δ 1, δ 2 ), że f(x, y) g(x, y) fg < M ε 2M + f 38 ε 2 f = ε.

Dowodzi to faktu (4). W celu udowodnienia równości (5) za lóżmy, że ε>0δ 1 >0(x,y) A [ 0 < (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ 1 f(x, y) f < εk 2 ] oraz ε>0δ 2 >0(x,y) A [ 0 < (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ 2 g(x, y) g < εk 2 f ], gdzie k = inf{(x, y) S((x 0, y 0 ), δ) : g(x, y) g. Mamy = f(x, y) g(x, y) f g = f(x, y)g fg + fg g(x, y)f g g(x, y) f(x, y)g g(x, y)f g g(x, y) = g(f(x, y) f) + f(g g(x, y)) g g(x, y) g f(x, y) f + f g(x, y) g g g(x, y) < εk 2 1 k + εk f 2 f k = ε. Twierdzenie 10.1.2. Jeżeli funkcje u, v oraz f spe lniaja warunki 1. lim u(x, y) = u 0, lim v(x, y) = v 0, (x,y)(x 0,y 0 ) (x,y)(x 0,y 0 ) 2. (u(x, y), v(x, y)) (u 0, v 0 ), r>0(x,y) S((x 0,y 0 ),r) 3. lim (u,v)(u 0,v 0 ) to lim (x,y)(x 0,y 0 ) f(u, v) = g, f(u(x, y), v(x, y)) = g. Twierdzenie 10.1.3. (o trzech funkcjach) Jeżeli r>0(x,y) S((x 0,y 0 ),r) g(x, y) f(x, y) h(x, y) oraz to lim g(x, y) = g = lim h(x, y), (x,y)(x 0,y 0 ) (x,y)(x 0,y 0 ) lim f(x, y) = g. (x,y)(x 0,y 0 ) 39

Przyk lad 10.1.2. lim (x,y)(0,0) x 3 y 3 y x = lim (x,y)(0,0) (x y)(x 2 + xy + y 2 ) (x y) = 0. Przyk lad 10.1.3. xy lim (x,y)(0,0) x 2 nie istnieje. + y2 Istotnie, rozważmy dwa cia gi zbieżne do (0, 0): Mamy wówczas oraz (x n, y n ) = ( 1 n n), 1 ( 2, (x n, y n) = n n), 1. lim f(x n, y n ) = 1 n 2 n n 2 2 = 1 2 lim n f(x n, y n) = 2 n 2 n 2 5 = 2 5. W oparciu o definicje Heinego granicy stwierdzamy, że powyższa granica nie istnieje. Przyk lad 10.1.4. x 2 y lim (x,y)(0,0) x 2 + y 2 = 0. Istotnie, mamy bowiem x 2 y x 2 y 0 < = y i x 0. x 2 + y 2 x 2 Korzystaja c z twierdzenia o trzech funkcjach stwierdzamy, że powyższa granica jest równa 0. Definicja 10.1.9. Funkcja f : R 2 A R jest cia g la w punkcie (x 0, y 0 ) jeśli lim f(x, y) = f(x 0, y 0 ). (x,y)(x 0,y 0 ) Funkcja f jest cia g la na zbiorze A jeżeli jest cia g la w każdym punkcie tego zbioru. Twierdzenie 10.1.4. Jeżeli funkcje dwóch zmiennych f i g sa cia g le w punkcie (x 0, y 0 ), to w tym punkcie również cia g le sa funkcje f + g, f g, f g, f g. Twierdzenie 10.1.5. Jeżeli funkcje u, v oraz f spe lniaja warunki 1. u(x, y), v(x, y) sa cia g le w punkcie (x 0, y 0 ), 2. f(x, y) jest funkcja cia g la w punkcie (u 0, v 0 ), gdzie u 0 = u(x 0, y 0 ) i v 0 = v(x 0, y 0 ), to funkcja z lożona f(u(x, y), v(x, y)) jest cia g la w punkcie (x 0, y 0 ). 40

Podamy teraz twierdzenie be da ce odpowiednikiem twierdzenia Weierstrassa funkcji jednej zmiennej. Twierdzenie 10.1.6. (Weierstrassa) Jeżeli funkcja f : R 2 A R jest cia g la na zbiorze domknie tym i ograniczonym D, to (a,b),(c,d) [ ] f(a, b) = sup{f(x, y) : (x, y) D} f(c, d) = inf{f(x, y) : (x, y) D}. Zadanie 10.1.1. Oblicz podane granice lim (x,y)(0,0) (x2 + y 2 ) sin(xy), lim (x,y)(0,0) sin 2 x lim (x,y)(π,0) y 2, lim (x,y)(1,1) x y + x 2 + y 2, lim x + y x + y 2 x 2 + y 2 2, (x,y)(0,0) lim (x,y)(0,0) Zadanie 10.1.2. Dobrać parametr p tak aby podane funkcje by ly cia g le x 2 + y 2 x2 + y 2 + 1 1, x 2 y 2 x 2 + y 2. sin(x 2 y) a) f(x, y) = x 2, (x, y) = (0, 0), + y2 p, (x, y) = (0, 0), xy 2 b) f(x, y) = x 2 + y 4, x2 + y 2 > 0, p, x 2 + y 2 = 0. 10.2. Pochodne cza stkowe i różniczka zupe lna funkcji dwóch zmiennych. Niech w pewnym obszarze A dana be dzie funkcja dwóch zmiennych f i niech P 0 (x 0, y 0 ) be dzie dowolnym punktem z obszaru A. Jeśli ustalimy wartość y = y 0 i be dziemy zmieniać tylko x, to funkcja f be dzie w otoczeniu punktu x 0 funkcja jednej zmiennej x. Podobnie, gdy ustalimy wartość x = x 0, to funkcja f be dzie funkcja jednej zmiennej y w otoczeniu punktu y 0. Możemy zatem w każdym z tych przypadków zbadać istnienie ilorazów różnicowych takich funkcji. Definicja 10.2.1. Jeżeli istnieje granica w laściwa lim h0 f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ), h to nazywamy ja pochodna cza stkowa funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) wzgle dem zmiennej x i oznaczamy symbolem f x (x 0, y 0 ). Jeżeli istnieje granica w laściwa lim k0 f(x 0, y 0 + k) f(x 0, y 0 ), k 41

to nazywamy ja pochodna cza stkowa funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) wzgle dem zmiennej y i oznaczamy symbolem f y (x 0, y 0 ). Powyższe definicje możemy zapisać w naste cej równoważnej postaci, która jest czasami bardziej użyteczna f x (x f(x 0 + x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim, x0 x f y (x f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim, y0 y Przyk lad 10.2.1. Niech dana be dzie funkcja f(x, y) = y x. Mamy f x (x, y) = yx ln y f y (x, y) = xyx 1. Interpretacja geometryczna pochodnych cza stkowych Niech funkcja z = f(x, y) ma pochodne cza stkowe pierwszego rze du w punkcie (x 0, y 0 ). Jeżeli przetniemy wykres tej funkcji p laszczyzna y = y 0, to otrzymana w ten sposób krzywa w punkcie (x 0, y 0 ) ma styczna, której tangens ka t nachylenia jest równy pochodnej f x (x 0, y 0 ). Podobnie przecinaja c wykres funkcji z = f(x, y) p laszczyzna x = x 0 otrzmamy krzywa, której tangens ka ta nachylenia stycznej w punkcie (x 0, y 0 ) jest równy f y (x 0, y 0 ). Definicja 10.2.2. Wektor f w punkcie (x 0, y 0 ). [ f x (x 0, y 0 ), f ] y (x 0, y 0 ) be dziemy nazywać gradientem funkcji Definicja 10.2.3. Pochodne cza stkowe drugiego rze du określamy wzorami 2 f ( f ) 2 (x, y) = (x, y), x x x 2 f y 2 (x, y) = ( f ) (x, y), y y 2 f ( f ) (x, y) = (x, y), x y x y 2 f y x (x, y) = ( f ) (x, y). y x Pochodne 2 f x 2 i 2 f y 2 nazywa sie pochodnymi czystymi, zaś pochodne 2 f x y i 2 f y x nazywa sie pochodnymi mieszanymi. Poniższy przyk lad pozwala zauważyć, że zwia zek mie dzy cia g lościa funkcji dwóch zmiennych, a istnieniem jej pochodnych jest ca lkiem inny niż w przypadku funkcji jednej zmiennej. 42