Ciągi i szeregi liczbowe

Ciągi i szeregi liczbowe Defiicj. Jeżeli kżdej liczbie turlej przyporządkow zostł jkś liczb rzeczywist, to mówimy, że zostł określoy ciąg liczbowy (ieskończoy). Formlie ozcz to, że ciąg liczbowy jest fukcją o dziedziie będącej zbiorem liczb turlych :. Zzwyczj ciąg liczbowy zpisujemy w postci,,,, lub ( ) (często skrcmy te zpis do postci ( ) ). Liczby występujące w ciągu zywmy wyrzmi ciągu, wyrżeie zywmy ogólym wyrzem ciągu (lub -tym wyrzem ciągu). Brdzo często (le ie zwsze) ciąg moż zdefiiowć podjąc wzór ogóly wyrz ciągu. Przykłdy ), początkowe wyrzy:, 4, 9, 6, 5, ) ( ), początkowe wyrzy:,,,,,, ), początkowe wyrzy: 0, /, /, / 4, 4/5, 4) t liczb pierwsz, początkowe wyrzy:,, 5, 7,, 5) #{ k : k orz k jest liczbą pierwszą}, początkowe wyrzy: 0,,,,,, 4, 4, 4, 4, 5, Zuwżmy, że pierwsze trzy przykłdy są stosukowo proste: by obliczyć jkiś wyrz ciągu wystrczy podstwić do wzoru odpowiedią wrtość. N przykłd: Ad ) Ad ) 9, 7 7 49. ( ), ( ). 5 0 5 0 Ad ) 4 / 4 / 4, 00 /00 99/00 0,99. Ntomist w przypdku 4) i 5) ie dyspoujemy tkimi formułmi. W przykłdzie 4) chodzi tk prwdę o poumerowie wszystkich liczb pierwszych (widomo, że jest ich ieskończeie wiele; pierwszy dowód pochodzi od Euklides). W rytmetyce jczęściej używ się te ciąg ozczei ( p ). Dl iedużych ie m problemu z podiem odpowiediego wyrzu ciągu, p. p5 czy p9, le dl brdzo dużych może to być powży problem. W przypdku 5) (symbol # ozcz tutj liczbę elemetów zbioru czyli moc zbioru) ciąg moż opisć tk: ty wyrz mówi ile jest liczb pierwszych miejszych lub rówych. Ciąg te jest brdzo wży w teorii liczb i przewżie stosuje się tm ozczeie. Tk więc mmy

#{ k : k 6 orz k jest liczbą pierwszą} 6 #{,, 5}. #{ k : k orz k jest liczbą pierwszą} #{,, 5, 7,, } 6. Aby obliczyć ty wyrz ciągu ( ) możemy wypisć wszystkie liczby pierwsze miejsze lub rówe i je policzyć. Jedkże dl dużych może to być trude lub wręcz iemożliwe. Niestety ie m żdego wzoru ciąg ( ), le dość dobrze jest zchowie się tego ciągu dl dużych. Zuwżmy, że wyrżeie mówi ile średio jest liczb pierwszych w zbiorze {,,, }. W roku 896 Jcques Hdmrd udowodił twierdzeie, które mówi że stosuek te jest symptotyczie rówy / l. Moż to ieformlie wyrzić tk, () l przy czym im większe jest, tym dokłdiejsze jest to przybliżeie. Zuwżmy, że wyik te ozcz, że gęstość rozmieszczei liczb pierwszych mleje do zer wrz ze zwiększiem się przedziłu [, ]. Ciągi mootoicze Defiicj. Mówimy, że ciąg ( ) jest: (i) rosący (silie rosący), jeśli dl kżdego (ii) iemlejący (słbo rosący), jeśli dl kżdego (iii) mlejący (silie mlejący), jeśli dl kżdego (iv) ierosący (słbo mlejący), jeśli dl kżdego. Ciągiem mootoiczym zywmy ciąg, który jest iemlejący lub ierosący. Przykłd. Pokżemy, że ciąg dy wzorem

, jest rosący. W tym celu obliczymy różicę i zobczymy, że jest o dodti. Mmy ztem ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0. ( )( ) Mmy więc 0, skąd co iczej zpisujemy jko dl. Defiicj. Ciąg ( ) zywmy ogriczoym, jeśli istieje liczb M 0 tk, że M dl kżdego. Defiicj t jest rówowż stępującej: ciąg jest ogriczoy, gdy istieje przedził skończoy, w którym zjdują się wszystkie wyrzy tego ciągu. Przykłdy. ) Ciąg jest ogriczoy, gdyż,5. Tk więc w defiicji wystrczy wziąć M,5. ) Ciąg ( ) jest ogriczoy, gdyż Tk więc w defiicji wystrczy wziąć M. ) Ciąg ( ). 4 4 4si jest ogriczoy. N pierwszy rzut ok wydje się, że może być 4 trudo coś powiedzieć o tym ciągu, gdyż wzór jest trochę skomplikowy. Ale zuwżmy, że cłe skomplikowe wyrżeie jest rgumetem fukcji sius. Mmy więc 4 4 4si x gdzie x. 4 Ale dobrze wiemy, że fukcj sius jest ogriczo: si x czyli si x. Tk więc

4si x 4 si x 4. Wystrczy terz wziąć M 4. 4) Ciąg jest ieogriczoy. Widć bowiem, że jest o sumą dwóch ciągów: i /. O ile te drugi jest ogriczoy /, to pierwszy może być dowolie duży. Jedym z wżiejszych pojęć w teorii ciągów jest pojęcie gricy ciągu. Ituicyjie jest to związie z problemem, czy wyrzy ciągu zmierzją do jkiejś wrtości gdy umer stje się corz większy. A ztem pytmy czy (?), gdy? Jeżeli fktyczie wrtości ciągu kocetrują się wokół jkiejś liczby (lub pokrywją się z tą liczbą), to t liczb będzie gricą ciągu ( ). Niestety forml defiicje ie jest tk prost i wymg użyci trzech kwtyfiktorów (i to we włściwej kolejości). N szczęście wystrczy ogół tylko ituicyje rozumieie defiicji gricy, gdyż do jej obliczi moż będzie stosowć wiele pomocych wzorów i zleżości, których stosowie ie wymg precyzyjego rozumiei formlej defiicji gricy. Defiicj. Mówimy, że ciąg ( ) jest zbieży do gricy g, jeśli 0 k k g. () Gdy ciąg jest zbieży do gricy g, to mówimy też, że g jest gricą tego ciągu Jeżeli wprowdzimy frzę prwie wszystkie wyrzy ciągu jko skrót frzy wszystkie wyrzy ciągu z wyjątkiem co jwyżej skończeie wielu, to powyższą defiicję możemy wypowiedzieć w skrócie stępująco: liczb g jest gricą ciągu ( ), jeśli w dowolym otoczeiu liczby g zjdują się prwie wszystkie wyrzy ciągu ( ). Podto wprowdzmy wże ozczeie: jeżeli g jest gricą ciągu, to piszemy Przykłd. g lim (lub g gdy ). Udowodić podstwie defiicji, że lim. Dowód. Występując w defiicji gricy ierówość g m w tym przypdku postć

. () W tym przypdku jlepiej będzie tę ierówość zpisć tk (wykoując odejmowie pod wrtością bezwzględą):. Niech więc de będzie dowole (le ustloe) 0 zgodie z tym co mmy w defiicji (). Rozwiązując powyższą ierówość względem, otrzymujemy. Ozcz to, że istieje k, o którym mówi defiicj gricy, miowicie p. k : ( ) /. Jeżeli terz mmy k, to oczywiście, to w kosekwecji ozcz spełieie ierówości (). Grice pewych kokretych ciągów ) lim 0 gdzie s 0. s ) lim q 0 gdy q. ) lim gdzie 0. 4) lim. Ad ) Złóżmy jpierw, że. Ozczmy. Wtedy mmy, po podiesieiu do tej potęgi otrzymujemy: ( ). Z e wzoru dwumiowego Newto możemy pisć, czyli 0. Poiewż, więc 0. Ztem w powyższej sumie wszystkie skłdiki są dodtie skąd mmy ierówości 0 czyli 0 0 0

Tk więc z twierdzei o trzech ciągch otrzymujemy lim 0. To ozcz, że lim. Przypdek 0 sprowdz się do już udowodioego. Miowicie terz mmy 0, więc lim lim lim. Ad 4) Postępujemy podobie jk w poprzedim przykłdzie. Niech. Wtedy, ( ), ( ) ( ),,, 0. Tk więc z twierdzei o trzech ciągch mmy 0. Stąd wyik, że lim. Przykłd. Obliczyć gricę ciągu. T gric jest trudiejsz od poprzedich, gdyż ie wystrczy dość elemetry wzór tki, jk p. wzór dwumiowy Newto. W rozwiąziu wykorzystmy stępującą ierówość, w której występuje logrytm turly: x l( x) x dl x. x Ozczmy. Wtedy, więc musimy obliczyć gricę lim. stępujące zleżości (4) Mmy,, ( ). Weźmy logrytm turly obu stro osttiej rówości

l( ) l. (5) Terz wykorzystujemy ierówość (4) dl x l( ), możymy przez l( ), i korzystjąc z (5) mmy Po podzieleiu obu stro przez otrzymujemy l. l. Poiewż już wiemy, że lim 0, więc z powyższej ierówości (w oprciu o twierdzeie o trzech ciągch) mmy l lim, czyli lim lim l. Tk więc szuk gric rów jest l. Przykłd. Obliczyć grice podych ciągów: Rozwiązie. si(4), si si, si. si(4 ) si(4 ). Tk więc 0, więc lim 0 czyli lim 0.

Korzystmy ze wzoru: si si cos si. Otrzymujemy si si cos si cos si cos si. ( ) ( ) Ztem cos si si 0, ( ) ( ) gdyż lim 0. ( ) Wruki zbieżości ciągu Aby wykzć zbieżość ciągu wprost z defiicji (), trzeb zć gricę tego ciągu. N ogół jedk mmy dy tylko sm ciąg ( ) i gricę musimy wyzczyć lub uzsdić, że o istieje poprzez lizę włsości ciągu ( ). Potrzebe są więc twierdzei orzekjące o zbieżości ciągu, które moż by stosowć, ie zjąc gricy ciągu. Twierdzei tkie zywmy wrukmi zbieżości ciągu. Twierdzeie Jeżeli ciąg ( ) liczb rzeczywistych jest mootoiczy (rosący lub mlejący) i ogriczoy, to jest zbieży w. Powyższe twierdzeie jest związe z podstwową włsością zbioru liczb rzeczywistych, tzw. ksjomtem ciągłości. Nie będziemy tego temtu rozwijć, le zuwżmy, że logicze twierdzeie ie zchodzi w zbiorze liczb wymierych. N przykłd jeżeli weźmiemy pod uwgę ciąg kolejych przybliżeń dziesiętych liczby \, ( ) (,0,4,4,44,44,44,44,445 ), to widzimy, że ( ), ciąg jest rosący i ogriczoy (p. przez ), le ie m gricy w zbiorze liczb wymierych. Iy przykłd ciągu liczb wymierych, który jest mootoiczy i ogriczoy le ie m gricy wymierej (m tomist gricę w ) pozmy przy defiicji liczby e (ptrz (6)). Twierdzeie (o trzech ciągch) De są dw ciągi ( ), ( c ) zbieże do tej smej gricy, lim lim c g. Jeżeli wyrzy trzeciego ciągu ( b ) są od pewego umeru ogriczoe z dołu i z góry stępująco

b c dl k, to ciąg ( b ) jest zbieży do tej smej gricy: lim b g. Przykłd. Zleźć grice podych ciągów wykorzystując twierdzeie o trzech ciągch. ) si( ). b) 5 8 7. c) 46 4. Rozwiązie. Ad ) Zuwżmy, że fukcj sius jest ogriczo: si x, x. Ztem si( ), więc si( ). Poiewż lim lim 0, więc z twierdzei o trzech ciągch mmy si( ) 0. Ad b) Zuwżmy, że 87 5 87 87 87 6 7, ztem 87 5 87 67, 7 8 5 87 7 6. Wcześiej pokzliśmy, że lim dl dowolej stłej 0, skąd lim 8, lim 6. lim 7 8 lim 7 6 7 czyli z twierdzei o trzech ciągch Mmy więc: lim 5 87 7. Ad c) Mmy 46 4 6 4 (/) / 6. Zuwżmy, że lim 4 (/) / 6 4, co w szczególości ozcz, że dl dostteczie dużych mmy

4 (/) / 6 5. Stąd 4 (/ ) / 6 5, poiewż lim lim 5, więc z twierdzei o trzech ciągch mmy lim 4 (/ ) / 6. Ostteczie lim lim 46 4 6lim 4 (/) / 6 6. Liczb e Jest to jed z wżiejszych liczb występujących w mtemtyce (podobie jk liczb ). Njczęściej liczbę tę defiiuje się jko gricę pewego ciągu liczbowego, którego wyrz ogóly m postć. (6) Aby wykzć, że ciąg (6) m gricę sprwdzimy, że jest o rosący i ogriczoy. Stosujmy wzór dwumiowy Newto do wyrżei ( x). Mmy tożsmość ( ) ( )( ) ( ) ( ( ))!!! ( x) x x x x, w której z x podstwimy, co dje ( ) ( )( ) ( ) ( ( ))!!! (7).!!! Alogiczie możemy zpisć (tym rzem podjemy też przedostti skłdik sumy, by potem moż było lepiej porówć)!!!. ( )!

Terz porówmy koleje skłdiki obu sum. Poiewż, więc skąd,, itd. Ale obie stroy powyższych ierówości są dodtie, więc ierówości są tkże dl iloczyów. Stąd mmy czyli, ( )!. ( )! (8) W szczególości mmy dl dowolego. Ogriczoość ciągu moż uzyskć lizując wyrżeie (7). W rchuku poiżej wykorzystmy ierówość! dl. Mmy bowiem!!!.!!! Tk więc mmy co ozcz, że ciąg ( ) jest ogriczoy. Defiicj. Liczb e określo jest wzorem, e lim. (9) Defiicj t jest poprw, gdyż powyżej udowodiliśmy, że gric ciągu występującego w (9) istieje.

Moż udowodić, że e jest liczbą iewymierą, rówą w przybliżeiu,788. Logrytm o podstwie e jest zywy logrytmem turlym i ozczy symbolem l. Mmy więc l x log x. Uwg. Zuwżmy, że ierówość (8) dje więcej iformcji iż sm fkt mootoiczości ciągu ( ). Wyrżeie po moż przeksztłcić stępująco (możymy liczik i miowik przez ( ) ): ( )! ( )!( ) ( )!( ) ( ) więc otrzymujemy, e ( ). Przykłd. Wykzć, że lim. e (0) Rozwiązie. Dl mmy, więc, e e gdyż lim 0 orz lim lim e. Twierdzeie

Dy jest ciąg liczb dodtich ( ). Złóżmy, że istieje stępując gric Wtedy ciąg też m gricę orz lim g. () lim g. () Przykłd. Obliczyć gricę! lim. () Rozwiązie. Zpiszmy wyrżeie! tk, by moż było zstosowć powyższe twierdzeie.!!! Mmy bowiem. To ozcz, że szuk gric () m postć () dl!. Zgodie z podym twierdzeiem musimy ztem obliczyć gricę lim. Ztem Tk więc ( )! ( ) ( )!!( )! ( )! ( ) ( )! ( ) ( ). e Podkreślmy, że powyższe twierdzeie mówi, iż z istiei gricy lim! lim. (4) e lim wyik istieie gricy orz, że w tkiej sytucji obie grice są rówe. Nie moż tomist tej implikcji odwrócić, tz. może się zdrzyć, że istieje lim Przykłd. Niech ciąg ( ) m postć le ie istieje gric lim.

,,,,,,,, (5) Pokzć, że istieje lim le ie istieje gric lim. Rozwiązie. Poiewż, więc ciąg ( ) m postć 4 6 8,,,,,,,, Widć, że co drugi wyrz tego ciągu to N mocy wykzej wcześiej gricy k k /. k k / lim mmy ztem lim lim. Ozcz to, że ciąg ( ) zwier dw podciągi: k k,,,,,,, 4 6 8,,,, i kżdy jest zbieży do, czyli lim. Z drugiej stroy, jeżeli weźmiemy pod uwgę ciąg ( / ), to m o postć, /,, /,, /,, /, Widzimy, że skłd się o z dwóch podciągów, z których jede jest zbieży do drugi do /. Tk więc ie istieje gric lim. Twierdzeie (Cuchy ego) Dy jest ciąg liczbowy ( ), który m gricę, lim g. Wtedy ciąg średich rytmetyczych b, też jest zbieży i m tę smą gricę: Przykłd. Obliczyć grice stępującego ciągu (6) lim g. x. Rozwiązie. Zuwżmy, że ciąg występujący w tym przykłdzie m postć, któr odpowid sformułowemu powyżej twierdzeiu. Wystrczy przyjąć

, i wtedy mmy x. Poiewż wcześiej pokzliśmy, że lim lim, więc mocy powyższego twierdzei mmy lim x lim. ZADANIA Zd ) Sprwdzić, czy pode ciągi są mootoicze i ogriczoe: (), b) 4, c)!. Zd) Korzystjąc z defiicji gricy pokzć, że ) lim b) ( ) lim 0, c) lim l. Zd) Obliczyć grice podych ciągów: ) cos(! ), 4 b) si si, c) ( ), d), e)!!.