6.. Rodaje oetów bewładości W pucie (4.4) poaliś wielości charaterujące roład as, awae oetai statci. W podach ta worach (4.0) współręde wstępują w pierwsej potęde. Preoa się, że w daice doiosłą rolę odgrwają wielości, w tórch roład as będie opisa iloce as putu i wadratu jego odległości od putu, płasc lub osi. Wielości te awa asowi oetai bewładości lub róto oetai bewładości, albo oetai statci drugiego rędu. Moete bewładości putu aterialego wględe biegua (putu), płasc lub osi awa iloc as tego putu i wadratu jego odległości od biegua, płasc lub osi. Z powżsej defiicji wia, że istieją tr rodaje oetów bewładości: ) bieguowe (oet bewładości wględe putu), ) wględe płasc, 3) wględe osi (osiowe oet bewładości). W dalsej olejości ajie się oetai bewładości uładu putów aterialch i brł.
6.. Moet bewładości uładu putów aterialch h h r A h Rs. 6.. pis położeia putu aterialego Załóż, że a uład aterial łożo putów aterialch o asach ajdującch się w putach A opisach wetorai wodąci (rs. 6.). r i+ j+. Bieguow oete bewładości uładu putów aterialch wględe putu awa suę iloców as i wadratów ich odległości r od putu 0, cli r ( ) r + + (6.) Moetai bewładości,, wględe płasc,, uładu putów aterialch awa su iloców as pre wadrat ich odległości od tch płasc. Zate a:,,. (6.) Moetai bewładości,, wględe osi,, uładu putów aterialch awa su iloców as ora wadratów ich odległości od tch osi: h ( + ), h ( + ), (6.3) h ( ) +. próc defiiowach wżej oetów bewładości wględe putu, płasc i osi w daice ważą rolę odgrwają wielości, tóre awa oetai dewiacji (albo oetai iesai lub odśrodowi)..
Moetai dewiacji,, uładu putów aterialch awa suę iloców as pre iloc ich odległości od dwóch prostopadłch płasc i, i, i. Moet te wrażają wor:,,. (6.4) Moet dewiacje ogą prjować wartości arówo dodatie, ja i ujee, poieważ w powżsch worach w preciwieństwie do oetów bewładości wstępują iloc, a ie wadrat współrędch. Poadto waże, że jeżeli jeda dwóch płasc, wględe tórch oblica oet dewiacje, jest płascą setrii ropatrwaego uładu aterialego (brł), to odpowiedie oet dewiacje są rówe eru. Załóż, że płascą setrii jest płasca. W t prpadu ażdeu putowi A o współrędch,, i asie odpowiada a asadie setrii i put A o współrędch,, i taiej saej asie. Moet dewiacje tch dwóch putów będą rówe eru: + + ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0, cli dwa trech oetów dewiacjch będą rówe eru: 0. Łatwo się preoać, że jeżeli uład aterial a dwie płasc setrii, to wsstie oet dewiacje będą rówe eru. Powżsa własość oetów dewiacjch a duże aceie w obliceiach pratcch.
6.3. Moet bewładości brł Jeżeli brłę o asie podieli ślowo a ałch eleetów o asach (rs. 6.), to prbliżoe wartości oetów bewładości r tch eleetów, tratowach jao put ateriale, oże oblicć e worów (6.) (6.4) a oet bewładości uładu putów aterialch. ołade wartości oetów bewładości otra, biorąc graicę su pr licbie eleetów dążącch do iesońcoości. Rs. 6.. pis położeia dowolego eleetu Wted aiast su otra całi brł stwej rociągięte a całą asę. Bieguow oet bewładości ( ) li r r d + + d Z rachuu całowego wiadoo, że cała su fucji jest rówa suie całe poscególch fucji: ( + + ) d d + d + d. (6.5) Wstępujące w powżs wore całi są oetai bewładości wględe płasc: d, d, d. (6.6) Ze woru (6.5) wia astępujące twierdeie: Bieguow oet bewładości jest rów suie oetów bewładości wględe trech prostopadłch płasc prechodącch pre te biegu: + +. (6.7) Zależości a oet bewładości wględe osi ają postać:
( + ) ( + ) ( + ) d d d d + d + d + d, d, d. (6.8) W powżsch worach łatwo oża auważć, że wiąi ięd oetai bewładości wględe osi i wględe płasc są astępujące: +, +, +. (6.9) Z pierwsego woru (6.9) wia, że oet bewładości wględe osi jest suą oetów bewładości wględe płasc i preciającch się wdłuż tej osi. Podobe wiosi wiają dwóch poostałch worów. Moża ate sforułować twierdeie: Moet bewładości wględe osi jest rów suie oetów bewładości wględe dwóch prostopadłch płasc preciającch się wdłuż tej osi. Jeżeli doda stroai wor (6.9) i uwględi ależość (6.7), to otra ależość ięd bieguow oete bewładości i oetai bewładości wględe osi: ( + + ). (6.0) Bieguow oet bewładości jest rów połowie su oetów bewładości wględe trech prostopadłch osi prechodącch pre te biegu. ewiacje oet dla brł oża apisać w postaci: d, d, d. (6.) Jeżeli do worów (6.5), (6.6), (6.8) i (6.) podstawi ależość: d ρd, gdie ρ jest gęstością brł w pucie o współrędch,,, a objętością, i ałoż, że brła jest jedoroda, to gęstość oże wieść pred a całi. tra wted wor a oet bewładości w poiżsej postaci: a) bieguow oet bewładości
( + ) ρ + d, (6.) b) oet bewładości wględe płasc d, ρ d, ρ ρ d, (6.3) c) oet bewładości wględe osi ( + ) ( + ) ( + ) ρ d, ρ d, (6.4) ρ d, d) oet dewiacje ρ d, ρ d, (6.5) ρ d. ałi wstępujące we worach (6.) (6.5) awa geoetrci oetai bewładości, ależi tlo od stałtu ciała. gólie oża powiedieć, że asow oet bewładości jest iloce gęstości pre geoetrc oet bewładości. Każd oet bewładości oża w sposób uow predstawić w postaci ilocu całowitej as ciała (uładu aterialego, brł) i wadratu pewej odległości i od prjętej płasc, osi lub biegua. dległość tę awa proieie bewładości ciała wględe daej płasc, osi lub biegua. gólie oża apisać: i. (6.6) Ta defiiowa proień bewładości a pratce astosowaie pr oblicaiu oetów bewładości eleetów as. W obliceiach teoretcch w daice as cęsto wstępuje oiecość predstawieia oetu bewładości w postaci ilocu pewej as red i wadratu aej odległości, cli red. (6.7) Masę red awa asą reduowaą.
Jedostą iar oetu bewładości jest: a) w uładie S g, b) w uładie techic G s.
6.4. Trasforacja rówoległa oetów bewładości Prjij dwa uład współrędch,, i, o osiach odpowiedio rówoległch. Uład,, a pocąte w dowol pucie, a uład, w środu as brł (rs. 6.3). Środe as brł jest opisa w uładie współrędch,, pre wetor wodąc r i+ j+. Położeie eleetu as d jest oreśloe w uładie,, pre wetor wodąc r i+ j+, a w uładie, pre wetor r i+ j+. Wetor te są wiąae ależością: r r + r. d r r r Rs. 6.3. pis położeia dowolego eleetu brł stwej wględe osi rówoległch Zate współręde eleetu as d w uładie współrędch,, będą wrażał wor: +, +, +. (6.8) Bieguow oet bewładości wględe putu wraża wór:
r r d ( r + r ) d r d + r r d + ( r ) d + r r d + ( r ) d. d Pierwsa cała jest całowitą asą brł, a druga oete statc wględe środa as, cli jest rówa eru. Zate d ora d r 0. Trecia całe jest bieguow oete bewładości wględe środa as: ( ) r d statecie bieguow oet bewładości wględe dowolego putu + r. (6.9) Na podstawie powżsego rówaia oża sforułować twierdeie, awae twierdeie Steiera dla bieguowch oetów bewładości: Moet bewładości brł (ciała aterialego) wględe dowolego putu jest rów suie oetu bewładości wględe środa as i ilocu as brł pre wadrat odległości daego putu od środa as. becie udowodi twierdeie Steiera dla oetów bewładości wględe płasc i wględe osi. Jeżeli we wore (6.9) oet wrai pre oet bewładości wględe płasc, i (wór 6.7) ora podstawi r + +, to po uporądowaiu otra: ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + + Wrażeia w awiasach w powżs wore są oetai bewładości wględe płasc, i...
+ + +,,. (6.0) Wor te wrażają twierdeie Steiera dla oetów bewładości wględe płasc: Moet bewładości ciała aterialego wględe dowolej płasc jest rów suie oetu bewładości wględe płasc rówoległej prechodącej pre środe as ora ilocu as ciała i wadratu odległości ięd ti płascai. Jeżeli doda do siebie olejo rówaia trecie i pierwse, pierwse i drugie ora drugie i trecie, to godie e worai (6.9) otra oet bewładości odpowiedio wględe osi, i. gdie + + + + ( + ( + ( + + + ) ) ) + h + h + h,,, h +, h +, h + (6.) i są to wadrat odległości odpowiedio ięd osiai i, i ora i. Wor (6.) predstawiają twierdeie Steiera dla oetów bewładości wględe osi: Moet bewładości ciała aterialego wględe dowolej osi jest rów suie oetu bewładości wględe osi rówoległej prechodącej pre środe as ora ilocu as ciała i wadratu odległości ięd osiai. Twierdeia opisae worai (6.0) i (6.) oża też udowodić, podstawiws do worów (6.3) i (6.4) ależości (6.8). Po podstawieiu do worów (6.) ależości (6.8) i uwględieiu, że oet statce wględe płasc prechodącch pre środe as są rówe eru, otra twierdeie Steiera dla oetów dewiacjch. + + +,,. (6.)
6.5. Moet bewładości wględe osi obrócoej Załóż, że a oet bewładości wględe osi,, ora oet dewiacje,, w uładie współrędch,, o pocątu w dowol pucie stwo wiąa ropatrwa ciałe, a chce wacć oet bewładości wględe dowolej osi l prechodącej pre put (rs. 6.4). W t celu wtij ślowo eleet as d opisa w uładie współrędch,, pre wetor wodąc r i+ j+ i oddalo od osi l o wielość h. Moet bewładości wględe osi l oblic e woru: l h d. (6.3) r d A h l l b B A Rs. 6.4. Waceie oetu bewładości brł stwej wględe dowolej osi prechodącej pre pocąte uładu współrędch W celu waceia odległości h w fucji współrędch wetora r ierue prostej l oreśli a poocą wetora jedostowego l. Wetor te oże apisać w uładie,, a poocą woru: gdie α α i α, α i+ α j+ α, l są osiusai ieruowi ątów ięd osią l i osiai,, (patr put 5.3.) spełiająci ależość:
α + α + α. (6.4) Z trójąta prostoątego AA (rs. 6.4) a: r ( r l ) + + ( α + α + α ) + + ( α + α + α + α α + α α + α α ) ( α ) + ( α ) + ( α ) α α α α α α. h Po waceiu e woru (6.4) wrażeń: α α + α, α α + α, α α + α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i podstawieiu do powżsego woru ora odpowiedi pogrupowaiu wraów otra: h α + + α + + α + α ( ) ( ) ( ) α α α α α Po podstawieiu otraego wiu do woru (6.3) usa wór a oet bewładości ciała aterialego wględe osi l: l α. ( + ) d + α ( + ) d + α ( + ) α α d α α d α α d. d W powżs wore całi wstępujące pr wadratach osiusów ieruowch są oetai bewładości ropatrwaego ciała wględe osi uładu współrędch,,, a całi pr ilocach tch osiusów są oetai dewiacji w tże uładie współrędch. statecie a: l α + α + α α α α α α α. (6.5) tra wór powala a obliceie oetu bewładości wględe dowolej osi l prechodącej pre pocąte uładu współrędch, gd są dae oet wględe osi i oet dewiacje w t uładie. bliceie oetów bewładości dla uładu płasiego Rs. 6.5. Waceie oetów bewładości figur płasiej wględe osi obrócoch
wględe osi obrócoch i (rs. 6.5) ie astręca trudości. Kosius ieruowe ięd osią i osiai,, są astępujące: o ( 90 β) siβ, α cos90 α cos β, α cos, a ięd osią i osiai,, o ( 90 + β) siβ, α cosβ, α cos90 α cos. Prjąws we wore (6.5) ra a oś l oś, a drugi ra oś i podstawiws otrae ależości a osius ieruowe, otra wor a oet bewładości wględe osi i : cos β + si β + si β cos β + siβ, siβ. (6.6) Wor te ają astosowaie ięd ii w wtrałości ateriałów do oblicaia oetów bewładości figur płasich (prerojów poprecch bele, prętów itp.) ora do wacaia osi, wględe tórch oet bewładości osiągają wartości estreale. la uładu prestreego waceie oetów bewładości wględe trech wajeie prostopadłch osi obrócoch wględe osi,, jest acie trudiejse. Zastaów się, ja będie się ieiał oet bewładości l, gd oś l będie się obracać woół putu. W t celu obier a tej osi wetor b B b l (rs. 6.4) o długości odwrotie proporcjoalej do pierwiasta wadratowego oetu bewładości l: b B. W casie prjowaia pre oś l wsstich ożliwch położeń oiec wetora b areśli pewą powierchię, tórej rówaie obecie wprowadi. Współręde wetora b (rówe współręd putu B) w uładie współrędch,, oac pre η, η, η. Będą oe rówe ruto tego wetora a osie,, : l η α α b i, η b j, η b l l α l. (6.7) Po podieleiu obustroie rówaia (6.5) pre l i podstawieiu do iego współrędch (6.7) otra:
η + η + η η η η η η η. (6.8) Jest to rówaie suaej powierchi areśloej pre oiec wetora b pr dowol obrocie osi l woół putu. Powierchia ta jest elipsoidą trójosiową, awaą elipsoidą bewładości. Elipsoidą bewładości awa iejsce geoetrce putów, tórch odległości od pocątu uładu są odwrotie proporcjoale do pierwiasta wadratowego oetu bewładości wględe osi prechodącej pre da put i pocąte uładu współrędch. Wstępujące w rówaiu elipsoid bewładości oet bewładości,, i oet dewiacje,, są współciai rówaia (6.8) i będą się oe ieiać wra obrote uładu współrędch, atoiast stałt i położeie elipsoid ie ulegą iaie. Elipsoida bewładości opisuje ate obietwe cech uładu aterialego ieależie od prjętego uładu współrędch. l B b Rs. 6.6. Elipsoida bewładości
Wiadoo, że trójosiowa elipsoida a tr prostopadłe osie. Zate oże prjąć tai uład współrędch, ab jego osie, porwał się osiai elipsoid (rs. 6.6). Wted rówaie elipsoid będie iało postać: η + η + η. (6.9) W tai uładie współrędch oet dewiacje są rówe eru. W ażd pucie uładu aterialego istieją co ajiej tr prostopadłe osie, taie że oet dewiacje w utworo pre ie artejańsi uładie współrędch są rówe eru. sie te awa główi osiai bewładości, a osiowe oet wględe ich główi oetai bewładości. Jeżeli pocąte uładu współrędch porwa się e środie ciężości, to osie główe awa główi cetrali osiai bewładości, a oet główi cetrali oetai bewładości. W casie rowiąwaia agadień pratcch ależ paiętać, że osią główą jest: a) ażda oś setrii, b) ażda prosta prostopadła do płasc setrii. Prład 6.. la jedorodego prostego walca ołowego o asie, proieiu podstaw R i wsoości h wacć oet bewładości wględe osi,, uładu współrędch prostoątch o pocątu w pucie porwając się e środie podstaw (rs. 6.7). a) b) r dr h d h R R Rs. 6.7. Wacaie oetów bewładości jedorodego walca obrotowego o asie
Rowiąaie. o waceia oetów bewładości wględe osi sorsta ależości (6.9) ięd oetai bewładości wględe osi i wględe płasc. la oetów wględe osi i a ależości: +, +. Ze wględu a setrię oet bewładości wględe płasc i są rówe:. (a) Stąd oet wględe osi i +. (b) Moet bewładości wględe osi jest rów suie oetów wględe płasc i. Po uwględieiu woru (a) a: stąd +,. (c) Ze worów (b) i (c) wia, że ab wacć oet bewładości wględe osi i, ależ wacć oet bewładości wględe płasc ora osi. W pierwsej olejości wac oet bewładości wględe płasc treciego woru (6.3): ρ d. (d) W t celu wtie walca dwiea płascai prostopadłi do osi eleet o grubości d (rs. 6.7a). bjętość tego eleetu d πr d. Po podstawieiu tej wielości do woru (d) i woaiu całowaia otruje: 3 ρπr h ρ πr d ρπr d. 3 h 0 Po uwględieiu, że asa walca postaci: ρπr h powżs wór oże apisać w
h 3. (e) W celu obliceia oetu bewładości wględe osi wdieli ślowo walca dwiea powierchiai walcowi o proieiach rówch odpowiedio r i r + dr warstwę eleetarą o grubości dr. bjętość wdieloego eleetu d πrhdr. Moet bewładości wględe osi wac treciego woru (6.4). R 4 3 ρπhr ρ ( + ) d ρ r d ρπh r dr, a po wprowadeiu as 0 R. (f) Po podstawieiu do ależości (b) worów (e) ora (c) po uwględieiu (f) otra oet bewładości wględe osi i : R h +. (g) 4 3 Wac jesce proieie bewładości walca wględe osi. Na podstawie woru (6.6) otruje: i R 3R + h,i i. (h) 3 teliowi poostawia waceie oetów bewładości wględe osi prechodącch pre środe ciężości walca, rówoległch do osi,,, aacoch a rs. 6.7. Prład 6.. Wacć oet bewładości cieiej jedorodej tarc ołowej o asie i proieiu R (rs. 6.8a) ora cieiego jedorodego pręta o asie i długości L (rs. 6.8b).
a) b) R L/ L Rs. 6.8. Waceie oetów bewładości: a) jedorodej tarc ołowej o proieiu R i asie, b) jedorodego pręta o długości L i asie Rowiąaie. o waceia oetów bewładości brł predstawioch a rs. 6.8 worsta wprowadoe w popredi prładie wor (f) i (g) dla walca. Moet bewładości tarc wac wględe osi,, prostoątego uładu współrędch o pocątu w środu ciężości tarc (rs. 6.8a). Ze wględu a poijalie ałą grubość tarc oet bewładości tarc wględe osi jest jedoceśie bieguow oete bewładości wględe putu, cli. Poieważ tarcę oża uważać a walec Z o wsoości (grubości) erowej (h 0), oet bewładości tarc wględe osi będie rów oetowi bewładości walca wględe osi. Zate godie e wore (f) poprediego prładu a: R. (a) Ze wględu a setrię oet bewładości tarc wględe osi i są rówe. tra je po podstawieiu h 0 do woru (g) wprowadoego dla walca: R. (b) 4 Proieie bewładości tarc wględe osi,, są astępujące: i R R,i i. (c) becie wac oet bewładości pręta wględe osi prostopadłej do osi podłużej pręta, porwającej się osią (rs. 6.8b). ś jest prostopadła
do płasc rsuu. W ta prjęt uładie współrędch e wględu a to, że aiedbuje wiar poprece pręta, oet bewładości wględe płasc i są rówe eru: Zate pierwsego woru (6.9) a: 0. (d). (e) Moet bewładości pręta wględe płasc otra po podstawieiu do woru (e) a oet bewładości walca wględe płasc aiast wsoości h walca długości pręta L. Stąd L. (f) 3 Wac jesce oet bewładości pręta wględe osi setrii. W t celu worsta twierdeie Steiera dla oetów bewładości wględe osi (6.): stąd L +, L L L L. (g) 3 4 Moet bewładości pręta wględe osi i są jedoceśie bieguowi oetai bewładości odpowiedio wględe ońca pręta i środa as : ora. Wia to bepośredio e woru (6.7) po uwględieiu ależości (c) i (d).
d h d b Rs. 6.9. Waceie oetów bewładości cieiej jedorodej płt Prład 6.3. Wacć oet bewładości cieiej jedorodej prostoątej płt o asie, podstawie b i wsoości h wględe osi i prechodącch pre podstawę i bo płt ora osi setrii i (rs. 6.9). Wacć rówież oet dewiacj. Rowiąaie. Moet bewładości wględe osi i wac dwóch pierwsch worów (6.8), prjąws 0: d, d. W celu waceia oetu bewładości wględe osi wdieli płt eleetar pase w odległości od podstaw, ając wsoość d. Jeżeli gęstość powierchiową płt oac pre ρ F, to asa eleetarego pasa d ρ df ρ bd. Stąd oet bewładości wględe osi F F h h 3 h h ρ Fbd ρ Fb d ρ Fb, (a) 3 3 0 0 gdie asa płt ρ Fbh. Pr wacaiu oetu bewładości wględe osi podieli płtę a eleetare pasi prostopadłe do osi o seroości d. Ma ate: d ρ hd. Moet bewładości wględe osi F
b b 0 0 b ρ Fhd ρ Fh d. (b) 3 Moet dewiacj wac twierdeia Steiera (6.): poieważ oet b h bh +, (c) 4 wględe główch cetralch osi bewładości jest rów eru. o waceia oetów bewładości wględe osi setrii sorsta twierdeia Steiera (6.): i h b h 3 b 3 h 4 b 4 h b,. (d)