Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie W przypadku kręcania pręa jego obciąŝenie anowią momeny kręcające i. Na ry..1a przedawiono przykład pręa zywno zamocowanego na ewym końcu (punk ), obciąŝonego momenami kręcającymi 1, i. Schema obiczeniowy po uwonieniu z więzów iuruje ry..1b. Ry..1 Do wyznaczenia warości momenu podporowego wykorzyujemy równanie równowagi aycznej uma momenów zewnęrznych wzgędem oi x je równa zeru: Σ ix (.1) 1 1 W dowonym przekroju poprzecznym pręa momen kręcający je równy umie momenów zewnęrznych działających po jednej ronie przekroju wzgędem oi pręa (ry..). Ry.. Da przekroju przedawionego na ry.., orzymamy zaem: rozwiązując od prawej rony (ry..a) ( p) Σ ix (.a)
. Wyrzymałość maeriałów rozwiązując od ewej rony (ry..b) ( ) Σ ix ( 1) 1 (.b) Do obiczenia napręŝeń ycznych τ wywołanych momenem kręcającym w przekroju kołowym (ry..), w dowonym punkcie oddaonym od oi pręa o wiekość ρ (promień), oujemy naępującą zaeŝność: gdzie: momen kręcający, I ρ τ( ρ) ρ (.) I biegunowy momen bezwładności przekroju poprzecznego, odegłość punku od oi pręa (promień). Ry.. NapręŜenia yczne mają warości proporcjonane do wiekości promienia ρ i ą do niego proopadłe. Sąd wnioek, Ŝe makymane napręŝenia yczne τ max da przekroju kołowego, wyąpią na obwodzie ( ρ d/ ), a ich warość moŝemy okreśić na podawie zaeŝności: gdzie: τ max (.) W momen kręcający, W wkaźnik wyrzymałości na kręcanie, okreśony naępująco: W I ρ (.5) max Da przekroju kołowego o średnicy d, warości I oraz W ą równe: π d I (.6) π d W (.7) 16 Ką kręcenia odcinka pręa wyznaczamy w oparciu o zaeŝność: (.8)
Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie. gdzie: momen kręcający, długość rozparywanego odcinka pręa, G I moduł Kirchhoffa (moduł pręŝyości poprzecznej), biegunowy momen bezwładności przekroju poprzecznego. Ioczyn nazywamy zywnością pręa na kręcanie. Zadania projekowe prowadzają ię do okreśenia wymiarów przekroju poprzecznego pręa na podawie warunku nośności i/ub warunku uŝykowania. W przypadku pręów kręcanych warunek nośności moŝemy zapiać w poaci: gdzie: τ max k (.9) τ max makymana warość napręŝeń ycznych w rozparywanym eemencie, k napręŝenia uzczane na kręcanie da przyjęego maeriału. Naomia warunek uŝykowania ma poać: gdzie: max (.1) max makymany ką kręcenia rozparywanego eemenu, uzczany ką kręcenia. Przekrój kołowy akymane napręŝenia yczne da przekroju kołowego o średnicy d wyąpią na jego obwodzie (ry..a), a ich warość okreśamy na podawie zaeŝności: gdzie: τ max (.11) W momen kręcający, W wkaźnik wyrzymałości na kręcanie, okreśony naępująco: π d W (.1) 16 Ry.. Ką kręcenia odcinka pręa wyznaczamy w oparciu o zaeŝność: (.1)
. Wyrzymałość maeriałów gdzie: momen kręcający, długość rozparywanego odcinka pręa, G I moduł Kirchhoffa (moduł pręŝyości poprzecznej), biegunowy momen bezwładności przekroju poprzecznego, Ioczyn okreśony naępująco: nazywamy zywnością pręa na kręcanie. Przekrój pierścieniowy π d I (.1) akymane napręŝenia yczne da przekroju pierścieniowego (ry..b) wyąpią, podobnie jak w przypadku przekroju kołowego, na jego obwodzie. Ich warość okreśamy na podawie zaeŝności (.11), przy czym wkaźnik wyrzymałości na kręcanie, okreśamy w naępujący poób: gdzie: d z średnica zewnęrzna, d w średnica wewnęrzna. W π ( dz dw ) (.15) 16dz Ką kręcenia wyznaczamy anaogicznie, jak da pręa o przekroju kołowym, przyjmując biegunowy momen bezwładności równy: I w ) (.16) π ( dz d Przekrój pierścieniowy cienkościenny Za przekrój pierścieniowy cienkościenny (ry..c) uwaŝać będziemy przekrój pierścieniowy, w kórym grubość ścianki δ je duŝo mniejza od średnicy d, definiowanej jako warość średnia: gdzie: d z średnica zewnęrzna, d w średnica wewnęrzna. d d z d w (.17) Do wyznaczenia makymanych napręŝeń ycznych oraz kąów kręcenia wykorzyujemy zaeŝności (.11 i (.1), podawiając naępujące warości wkaźnika wyrzymałości na kręcanie W oraz wkaźnika zywności przekroju na kręcanie I : π d W π r δ δ (.18) π d I π r δ δ (.19)
Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.5 Przekrój cienkościenny o profiu owarym Przykłady przekrojów cienkościennych o profiu owarym przedawiono na ry..5. NapręŜenia yczne ą rozłoŝone iniowo na grubości ścianek, a ich zwro je zgodny ze zwroem momenu kręcającego. akymane napręŝenie yczne wyępuje w najgrubzej ściance profiu owarego. Przekroje cienkościenne przedawione na ry..5 moŝna zaąpić wąkimi prookąami o długości b i i zerokości δ i. Ry..5 Do wyznaczenia makymanych napręŝeń ycznych oraz kąów kręcenia wykorzyujemy zaeŝności (.11) i (.1), podawiając naępujące warości wkaźnika wyrzymałości na kręcanie W oraz wkaźnika zywności przekroju na kręcanie I : W I δ (.) max gdzie: δ max makymana grubość ścianki, b i δ i długość i-ego odcinka, grubość i-ego odcinka. I 1 n i 1 b i δ i (.1) Przekrój cienkościenny o profiu zamknięym Przykład przekroju cienkościennego o profiu zamknięym przedawiono na ry..6. NapręŜenia yczne ą ałe na grubości ścianek, a ich makymana warość wyępuje w najcieńzej ściance profiu. Przekrój cienkościenny zamknięy moŝna, podobnie jak poprzednio, zaąpić wąkimi prookąami o długości b i i zerokości δ i. Wprowadza ię równieŝ poe powierzchni przekroju poprzecznego ograniczone inią średnią (ry..6). Ry..6 Do wyznaczenia makymanych napręŝeń ycznych oraz kąów kręcenia wykorzyujemy zaeŝności (.) i (.5), podawiając naępujące warości wkaźnika wyrzy-
.6 Wyrzymałość maeriałów małości na kręcanie W oraz wkaźnika zywności przekroju na kręcanie I : W δ (.) min gdzie: poe powierzchni przekroju poprzecznego ograniczone inią średnią, δ min minimana grubość ścianki, b i δ i długość i-ego odcinka, grubość i-ego odcinka. I n i 1 bi δ i (.)
Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.7 Zadanie.1. Wyznaczyć wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych τ oraz kąów obrou da pręa o przekroju kołowym przedawionego na ry..7. Dane:,, d, G. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (ry..8). Ry..7 omen podporowy Ry..8 wyznaczamy z równania równowagi aycznej: Σ ix W koejnym kroku wyznaczamy momeny kręcające w pozczegónych odcinkach pręa. Zadanie rozwiąŝemy zarówno od prawej (ry..9), jak i ewej (ry..1) rony. Ry..9 Ry..1 Rozwiązując zadanie od prawej rony (ry..9) orzymujemy, w oparciu o zaeŝność (.a):, CD Σ ix, BC Σix, B Σix
.8 Wyrzymałość maeriałów Z koei, rozwiązując zadanie od ewej rony (ry..1) orzymamy, zgodnie ze wzorem (.b): gdzie, B Σix ( ), BC Σix ( ), CD Σ ix ( ) NapręŜenia yczne τ w pozczegónych odcinkach pręa ą równe (.):,B τ B W W,BC τbc W W,CD τcd W W W je wkaźnikiem wyrzymałości na kręcanie, równym: π d W 16 Kąy obrou przekrojów B, C i D wyznaczamy na podawie kąów kręcenia pozczegónych odcinków pręa odpowiednio B, BC i CD. Na podawie zaeŝności (.8) orzymujemy: ką kręcenia odcinka B,B B ką kręcenia odcinka BC ką kręcenia odcinka CD,BC BC,CD CD gdzie I je biegunowym momenem bezwładności przekroju poprzecznego, równym π d I Oaecznie orzymujemy: ką obrou przekroju ką obrou przekroju B B B ką obrou przekroju C C B BC 5
Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.9 ką obrou przekroju D D B BC CD 6 Na ry..11 przedawiono rozwiązanie zadania wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych oraz kąów obrou. Ry..11
.1 Wyrzymałość maeriałów Zadanie.. Wyznaczyć wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych τ oraz kąów obrou da pręa o przekroju kołowym przedawionego na ry..1. Dane:,, d, G. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (ry..1). Ry..1 omen podporowy Ry..1 wyznaczamy z równania równowagi aycznej: Σ ix 5 Wyznaczamy momeny kręcające w pozczegónych odcinkach pręa. Zadanie rozwiązujemy od ewej rony (ry..1):, B Σix ( ), BC Σ ix ( 5 ) 5, CD Σ ix ( 5 ) 5, DE Σ ix ( 5 ) 5 Ry..1 NapręŜenia yczne τ w pozczegónych odcinkach pręa ą równe (.):,B τ B W W,BC τbc W W
Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.11 gdzie W je równe:,cd τcd W W τ,de DE W π d W 16 Kąy obrou przekrojów B, C, D i E wyznaczamy na podawie kąów kręcenia pozczegónych odcinków pręa odpowiednio B, BC, CD i DE. Na podawie zaeŝności (.8) orzymujemy: ką kręcenia odcinka B,B B ką kręcenia odcinka BC ką kręcenia odcinka CD ką kręcenia odcinka DE gdzie I je równy: Oaecznie orzymujemy: ką obrou przekroju ką obrou przekroju B,BC BC,CD CD,DE DE π d I B B ką obrou przekroju C ką obrou przekroju D ką obrou przekroju E C B BC D B BC CD D B BC CD DE
.1 Wyrzymałość maeriałów Na ry..15 przedawiono rozwiązanie zadania wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych oraz kąów obrou. Ry..15
Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.1 Zadanie.. Wyznaczyć wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych τ oraz kąów obrou da pręa o przekroju kołowym przedawionego na ry..16. Dane:,, d, G. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (ry..17). Ry..16 omen podporowy Ry..17 wyznaczamy z równania równowagi aycznej: Σ ix Wyznaczamy momeny kręcające w pozczegónych odcinkach pręa. Zadanie rozwiązujemy od ewej rony (ry..18):, B Σix ( ), BC Σix ( ), CD Σ ix ( ), DE Σ ix ( ) Ry..18 Z uwagi na róŝne średnice pręa w pozczegónych odcinkach, wprowadzamy wiekości odnieienia da wkaźnika wyrzymałości na kręcanie bezwładności I, równe: W π d 16 I π d W oraz momenu
.1 Wyrzymałość maeriałów Wkaźniki wyrzymałości oraz momeny bezwładności da odcinków B i BC, da kórych średnica pręa je inna niŝ d, okreśimy w funkcji wprowadzonych wiekości odnieienia. Orzymamy zaem: da odcinka B 7 π d W 5 7, B W W 16 5 15 7 π d I 5 7 1, B I I 5 65 da odcinka BC 6 π d W 5 6 16, BC W W 16 5 15 6 π d I 5 6 196, BC I I 5 65 Da odcinków CD i DE orzymujemy naomia: W W, CD W, DE I I, CD I, DE NapręŜenia yczne τ w pozczegónych odcinkach pręa ą równe (.):,B 75 τ B 1, 9 W,B W W W 15,BC 15 τbc 1, 157 W 16,BC W 18 W W 15 τ CD,CD W,CD W τ,de DE W,DE Kąy obrou przekrojów B, C, D i E wyznaczamy na podawie kąów kręcenia pozczegónych odcinków pręa odpowiednio B, BC, CD i DE. Na podawie zaeŝności (.8) orzymujemy: ką kręcenia odcinka B,B 1875 B, 789 1,B 1 65
Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.15 ką kręcenia odcinka BC,BC 65 BC, 965 196,BC 68 65 ką kręcenia odcinka CD CD,CD,CD ką kręcenia odcinka DE,DE DE,DE Oaecznie orzymujemy: ką obrou przekroju ką obrou przekroju B B B, 789 ką obrou przekroju C C B BC 1,75 ką obrou przekroju D D B BC,75 CD ką obrou przekroju E E B BC,75 CD DE Ry..19 Na ry..19 przedawiono rozwiązanie zadania wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych oraz kąów obrou.
.16 Wyrzymałość maeriałów Zadanie.. Wyznaczyć wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych τ oraz kąów obrou da pręa o przekroju kołowym przedawionego na ry..17. Dane:,, d, G. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (ry..1). Ry.. Ry..1 Równanie równowagi aycznej ma poać: Σ ix D D Układ je jednokronie aycznie niewyznaczany dwie niewiadome, D i jedno równanie równowagi. Dodakowe równanie wynika z warunku geomerycznego ką obrou przekroju D, je równy zeru, co zapizemy naępująco: D B BC CD Wyznaczamy momeny kręcające w pozczegónych odcinkach pręa. Zadanie rozwiązujemy od ewej rony (ry..):, B Σix ( ), BC Σ ix ( ), CD Σ ix ( ) Ry.. Kąy kręcenia pozczegónych odcinków pręa ą równe:,b B
Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.17,bc BC ( ),CD CD ( ) Podawiając wyznaczone kąy kręcenia do dodakowego warunku geomerycznego moŝemy okreśić warość momenu podporowego wyznaczamy momeny kręcające : : ( ) ( ) omen podporowy D je równy: 5 D gdzie Podawiając warość momenu podporowego w pozczegónych odcinkach pręa:,b 1,BC,CD 5 NapręŜenia yczne w pozczegónych odcinkach pręa wynozą: W je równe:,b τ B W W 1,BC τbc W W,CD τcd W W π d W 16 5 Kąy obrou pozczegónych przekrojów pręa wynozą: ką obrou przekroju ką obrou przekroju B B B G I
.18 Wyrzymałość maeriałów ką obrou przekroju C I G BC B C 5 1 ) ( ką obrou przekroju D 1 ) ( ) ( CD BC B D gdzie I je równe: π d I Na ry.. przedawiono rozwiązanie zadania wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych oraz kąów obrou. Ry..
Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.19 Zadanie.5. Wyznaczyć wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych τ oraz kąów obrou da pręa o przekroju kołowym przedawionego na ry... Dane:,, d, G. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (ry..5). Ry.. Ry..5 Równanie równowagi aycznej ma poać: Σ ix D D Układ je jednokronie aycznie niewyznaczany dwie niewiadome, D i jedno równanie równowagi. Dodakowe równanie wynika z warunku geomerycznego ką obrou przekroju D, je równy zeru, co zapizemy naępująco: D B BC CD Wyznaczamy momeny kręcające w pozczegónych odcinkach pręa. Zadanie rozwiązujemy od ewej rony (ry..6):, B Σix ( ), BC Σix ( ), CD Σ ix ( ) Ry..6 Kąy kręcenia pozczegónych odcinków pręa ą równe: B,B
. Wyrzymałość maeriałów ),BC BC ( ),CD CD ( Podawiając wyznaczone kąy kręcenia do dodakowego warunku geomerycznego moŝemy okreśić warość momenu podporowego wyznaczamy momeny kręcające : : ( ) ( ) 5 5 omen podporowy D je równy: 5 1 D gdzie Podawiając warość momenu podporowego w pozczegónych odcinkach pręa:,b 5 5,BC 5 1,CD NapręŜenia yczne w pozczegónych odcinkach pręa wynozą: W je równe:,b τ B W W 5,BC τbc W W 1,CD τcd W W π d W 16 Kąy obrou pozczegónych przekrojów pręa wynozą: ką obrou przekroju ką obrou przekroju B B B 5 G I
Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.1 ką obrou przekroju C I G BC B C 1 5 5 ) ( ką obrou przekroju D 5 5 5 ) ( ) ( CD BC B D gdzie I je równe: π d I Na ry..7 przedawiono rozwiązanie zadania wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych oraz kąów obrou. Ry..7
. Wyrzymałość maeriałów Zadanie.6. Wyznaczyć wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych τ oraz kąów obrou da pręa o przekroju kołowym przedawionego na ry..8. Dane:,, d, G. Rozwiązanie Układ uwaniamy z więzów (ry..9). Ry..8 Ry..9 Równanie równowagi aycznej ma poać: Σ ix E Układ je jednokronie aycznie niewyznaczany dwie niewiadome, E i jedno równanie równowagi. Dodakowe równanie wynika z warunku geomerycznego ką obrou przekroju E, je równy zeru, co zapizemy naępująco: E B BC CD DE Wyznaczamy momeny kręcające w pozczegónych odcinkach pręa. Zadanie rozwiązujemy od ewej rony (ry..7):, B Σix ( ), BC Σix ( ) E, CD,BC, DE Σ ix ( ) Ry..
Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie. Z uwagi na róŝne średnice pręa w pozczegónych odcinkach, wprowadzamy wiekości odnieienia da wkaźnika wyrzymałości na kręcanie bezwładności I, równe: W π d 16 I π d W oraz momenu Wkaźnik wyrzymałości oraz momen bezwładności da odcinków B i BC, okreśimy w funkcji wprowadzonych wiekości odnieienia: 6 π d W W 5 6 16, B,BC W W 16 5 15 6 π d I I 5 6 196, B,BC I I 5 65 Da odcinków CD i DE orzymujemy naomia: W W, CD W, DE I I I, CD, DE Kąy kręcenia pozczegónych odcinków pręa ą równe: 65,B B,B 196 BC,BC 65 ( ) 196,BC CD,CD ( ),CD DE,DE ( ),DE Podawiając wyznaczone kąy kręcenia do dodakowego warunku geomerycznego moŝemy okreśić warość momenu podporowego 65 196 65 196 65 ( 196 ) ( ) : ( 65 65 196 68 191 569 68 68 569 191 1, 7 omen podporowy E je równy: E 1,7, 7 ) :
. Wyrzymałość maeriałów Przyjęy zwro momenu podporowego E był błędny. Z uwagi na fak, iŝ zadanie rozwiązywano od rony ewej nigdzie nie wyępuje momen E wyprowadzone zaeŝności na momeny kręcające oraz kąy kręcenia ą poprawne. wyznaczamy momeny kręcające Podawiając warość momenu podporowego w pozczegónych odcinkach pręa: 1, B, 7, BC, 667, CD,BC, 667, DE, 7 NapręŜenia yczne w pozczegónych odcinkach pręa wynozą:,b 1,7 τ B, 779 W 16,B W W 15,BC,667 τbc, 85 W 16,BC W W 15 τcd 667,CD, W,CD W τde 7,DE, W,DE W Po podawieniu warości momenu podporowego pozczegónych odcinków pręa: B, 69 BC, 195 CD, 667 DE, 7 Kąy obrou pozczegónych przekrojów pręa wynozą zaem: ką obrou przekroju wyznaczamy kąy kręcenia ką obrou przekroju B B B, 69 ką obrou przekroju C C B BC (,69,195), 5 G I
Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.5 ką obrou przekroju D D B BC CD (,69,195,667), 7 G ką obrou przekroju E I E B BC CD DE (,69,195,667,7) Na ry..1 przedawiono rozwiązanie zadania wykrey momenów kręcających, napręŝeń ycznych oraz kąów obrou. Na ryunku przyjęo poprawny zwro momenu podporowego E. Ry..1
.6 Wyrzymałość maeriałów Zadanie.7. Zaprojekować prę o przekroju kołowym z warunku nośności i/ub warunku uŝykowania. Prę ma długość,5 m i je obciąŝony momenem kręcającym 9 N m. Dopuzczane napręŝenia na kręcanie ą równe k 1 Pa, naomia ką kręcenia pręa nie moŝe być więkzy niŝ 1. Dane: G 8 Pa. Rozwiązanie Wkaźnik wyrzymałości na kręcanie je równy (.1): π d W 16 Warunek nośności zapizemy naępująco: τ max W 16 π d k Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną średnicę wewnęrzną pręa: d d 16 π k 16 π k Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy: d 16 9 π 1 5,79 mm Biegunowy momen bezwładności je równy (.6): π d I Warunek uŝykowania zapizemy naępująco: max G π d Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną średnicę wewnęrzną pręa: d G π d G π Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy ( 1,175 rad ): d 9 5 8 π,175,5 mm Decydujący je warunek uŝykowania. Przyjmujemy średnicę pręa równą mm. Da ak zaprojekowanego pręa makymane napręŝenia yczne ą równe:
Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.7 a całkowiy ką kręcenia wynoi: 16 16 9 τ max 57,65 Pa < k W π d π 9 5 max,167 rad, G π d 8 π 96 <
.8 Wyrzymałość maeriałów Zadanie.8. Zaprojekować prę o przekroju pierścieniowym z warunku nośności i/ub warunku uŝykowania. Prę ma długość m i je obciąŝony momenem kręcającym N m. Dopuzczane napręŝenia na kręcanie ą równe k 1 Pa, naomia ką kręcenia pręa nie moŝe być więkzy niŝ 1. Dane: G 8 Pa, d z / d w 1,5. Rozwiązanie Wkaźnik wyrzymałości na kręcanie je równy (.15): z w π ( d d ) π [(1,5 dw ) d ] W,518d 16d 16 1,5 d z w w w Warunek nośności zapizemy naępująco: τ max W,518d w k Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną średnicę wewnęrzną pręa: d w d w,518k,518k Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy: d w,518 1 17,8 mm Biegunowy momen bezwładności je równy (.8): z w π ( d d ) π [(1,5 dw) d ] I,988d w w Warunek uŝykowania zapizemy naępująco: max,988g d w Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną średnicę wewnęrzną pręa: d d w w,988g,988g Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy ( 1,175 rad ): d w,988 8,175, mm
Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.9 Decydujący je warunek uŝykowania. Przyjmujemy średnicę wewnęrzną równą mm, a zewnęrzną 9 mm. Da ak zaprojekowanego pręa makymane naprę- Ŝenia yczne ą równe: 16 d 16 9 τ max 16,5 Pa < k W π ( d d ) π (9 ) z a całkowiy ką kręcenia wynoi: z w max,167 rad, π ( d d ) G π (9 ) 8 96 < z w
. Wyrzymałość maeriałów Zadanie.9. Zaprojekować prę o przekroju pierścieniowym cienkościennym ( δ, 1d ) z warunku nośności. Prę je obciąŝony momenem kręcającym 1 kn m. Dopuzczane napręŝenia na kręcanie ą równe k 1 Pa. Rozwiązanie Wkaźnik wyrzymałości na kręcanie je równy (.18): π d π d W δ,1d,5π d Warunek nośności zapizemy naępująco: τ max W,5π d k Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną średnicę pręa: d d,5π k,5π k Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy średnicę pręa: d 6 1 1,5 π 1 185, mm oraz grubość ścianki: δ,1d,1 185, 1,85 mm Przyjmujemy średnicę pręa d 186 mm oraz grubość ścianki δ mm. Da ak zaprojekowanego pręa makymane napręŝenia yczne ą równe: 1 1 τ max 9,1Pa < k W π d δ π 186 6
Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.1 Zadanie.1. Zaprojekować prę o przekroju cienkościennym o profiu zamknięym (ry..) z warunku nośności i/ub warunku uŝykowania. Prę ma długość obciąŝony momenem kręcającym 16 kn m. Dopuzczane napręŝenia na kręcanie ą równe k 1 Pa niŝ 1. Dane: G 8 Pa, δ, b. 1m i je, naomia ką kręcenia pręa nie moŝe być więkzy Ry.. Rozwiązanie Wkaźnik wyrzymałości na kręcanie je równy (.): δmin b,b, W b Warunek nośności zapizemy naępująco: τ max W,b k Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną zerokość pręa: b b,k,k Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy: b 6 16 1, 1 158,7 mm Wkaźnik zywności przekroju na kręcanie wyznaczamy z zaeŝności (.): I ( b ) b δ b,b b b i i 1, b δ δ Warunek uŝykowania zapizemy naępująco: i max,g b Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną zerokość pręa: b b,g,g
. Wyrzymałość maeriałów Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy ( 1,175 rad ): b 6 16 1 1, 8,175 15,61 mm Decydujący je warunek nośności. Przyjmujemy zerokość przekroju oraz grubość ścianki Ŝenia yczne ą równe: b 159 mm δ, mm. Da ak zaprojekowanego pręa makymane naprę- 16 1 τ max 98,89 Pa < k W, a całkowiy ką kręcenia wynoi: 6 δ min 159 6 max 16 1 1,155 rad, ( b ) G b δ 8 159, 89 G b δ <
Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie. Zadanie.11. Zaprojekować prę o przekroju cienkościennym o profiu owarym (ry..) z warunku nośności i/ub warunku uŝykowania. Prę ma długość obciąŝony momenem kręcającym N m. Dopuzczane napręŝenia na kręcanie ą równe k 1 Pa niŝ 1. Dane: G 8 Pa, δ, b. 1m i je, naomia ką kręcenia pręa nie moŝe być więkzy Ry.. Rozwiązanie Wkaźnik zywności przekroju na kręcanie je równy (.1): I 5 1 bi δ i 1 1 b (,b) 1 b δ b 1 bδ 6 bδ b 975 bδ b δ bδ a wkaźnik wyrzymałości na kręcanie (.): W I b b δmax 975δ 975,b b 1875 Warunek nośności zapizemy naępująco: τ max W 1875 b k Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną warość parameru b : b 1875 k 1875 b k Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy: b 1875 1 155,6 mm Warunek uŝykowania zapizemy naępująco: max 975 G b Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną warość parameru b : 975 b G
. Wyrzymałość maeriałów b 975 G Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy ( 1,175 rad ): b 975 1 8,175,19 mm Decydujący je warunek uŝykowania. Przyjmujemy warość parameru b 1mm oraz grubość ścianki δ 6,9 mm. Da ak zaprojekowanego pręa makymane napręŝenia yczne ą równe: a całkowiy ką kręcenia wynoi: τ max 9, Pa < k W bδ 1 6,9 1 max,167 rad, 96 G bδ 8 1 6,9 <
Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.5 Zadanie.1. Zaprojekować prę o przekroju cienkościennym o profiu zamknięym (ry..) z warunku nośności i/ub warunku uŝykowania. Prę ma długość obciąŝony momenem kręcającym 5 kn m. Dopuzczane napręŝenia na kręcanie ą równe k 1 Pa niŝ 1. Dane: G 8 Pa, δ, 1b. m i je, naomia ką kręcenia pręa nie moŝe być więkzy Ry.. Rozwiązanie Wkaźnik wyrzymałości na kręcanie je równy (.): W b δmin (b b),1b, Warunek nośności zapizemy naępująco: τ max W,b k Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną zerokość pręa: b b,k,k Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy: b 6 5 1, 1 18, mm Wkaźnik zywności przekroju na kręcanie wyznaczamy z zaeŝności (.): I (b b) 16 16 b δ b,1b b b b 5 5 i i 1, b δ δ δ i Warunek uŝykowania zapizemy naępująco: max,g b Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną zerokość pręa: b b,g,g
.6 Wyrzymałość maeriałów Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy ( 1,175 rad ): b 6 5 1, 8,175 18,78 mm Decydujący je warunek nośności. Przyjmujemy zerokość przekroju oraz grubość ścianki równą: δ,1b,1 185 1,85 mm b 185 mm Da ak zaprojekowanego pręa makymane napręŝenia yczne ą równe: 5 1 τ max 98,71Pa < k W δ (7 185) 1,85 min a całkowiy ką kręcenia wynoi: 6 max 5 16 (b ) G b δ G b 5 δ,167 rad,96 < 5 16 6 5 1 8 185 1,85
Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.7 Zadanie.1. Zaprojekować prę o przekroju cienkościennym o profiu owarym (ry..5) z warunku nośności i/ub warunku uŝykowania. Prę ma długość obciąŝony momenem kręcającym 1 N m. Dopuzczane napręŝenia na kręcanie ą równe k 1 Pa niŝ 1. Dane: G 8 Pa, δ, b.,8 m i je, naomia ką kręcenia pręa nie moŝe być więkzy Ry..5 Rozwiązanie Wkaźnik zywności przekroju na kręcanie je równy (.1): I 1 bi δ i 1 1 56 b (,b) 1 [ b(δ ) 8b 1 bδ 6 56 b(δ ) ] bδ 7b 6875 a wkaźnik wyrzymałości na kręcanie (.): W I 7b 7b δmax 6875 δ 6875,b 1b 565 Warunek nośności zapizemy naępująco: τ max W 565 1b k Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną warość parameru b : b b 565 1k 565 1k Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy: b 565 1 1 1 8,55 mm Warunek uŝykowania zapizemy naępująco: max 6875 7G b
.8 Wyrzymałość maeriałów Wykonując koejne przekzałcenia, wyznaczamy minimaną warość parameru b : b b 6875 7G 6875 7G Po podawieniu warości iczbowych orzymujemy ( 1,175 rad ): b 6875 1 8 7 8,175 15, 1 mm Decydujący je warunek uŝykowania. Przyjmujemy warość parameru b 15 mm oraz grubość ścianki: δ,b, 15,6 mm Zaokrągamy grubość ścianki w górę (z dokładnością do,1 mm) i przyjmujemy δ 1, równe: mm. Da ak zaprojekowanego pręa makymane napręŝenia yczne ą 9 9 1 τ max 15, Pa < k W 56 bδ 56bδ 56 15 (,1) δ a całkowiy ką kręcenia wynoi: 1 8 max,165 rad, 56 9 56 G bδ 8 15 1, <
Skręcanie pręów napręŝenia yczne, kąy obrou, projekowanie.9 Zadanie.1. Prę o długości 1m obciąŝono momenem kręcającym 1 N m. Przekrój pręa przedawiono na ry..6. Wyznaczyć makymane napręŝenia yczne τ max wywołane momenem kręcającym oraz całkowiy ką kręcenia pręa max. RozwaŜyć dwa wariany przekroju zamknięy i owary. Dane: b mm, h 6 mm, δ mm, G 8 Pa. Rozwiązanie Warian I przekrój zamknięy Ry..6 Poe powierzchni przekroju poprzecznego ograniczone inią średnią je równe: a minimana grubość ścianki: bh 6 mm δ min δ mm Wkaźnik wyrzymałości na kręcanie je zaem równy (.): W min 96 mm δ akymane napręŝenia yczne obiczamy korzyając ze wzoru (.11): τ 1 96 max W 1,5 Pa Wkaźnik zywności przekroju na kręcanie je równy (.): I i 1 8 δ 8 56 mm b b h b h b h 6 i δ δ δ δ δ i Całkowiy ką kręcenia pręa obiczamy korzyając z zaeŝności (.1): max 1 1 5,86 1 rad, 8 56 Warian II przekrój owary Wkaźnik zywności przekroju na kręcanie je równy (.1): I 1 bi δ i 1 i 1 [ b(δ ) 1 (9 6) h δ bδ 18 mm h δ 1 ] (9b h ) δ
. Wyrzymałość maeriałów a wkaźnik wyrzymałości na kręcanie (.): W δ I max 18 mm akymane napręŝenia yczne obiczamy korzyając ze wzoru (.11): τ 1 max W 75 Pa naomia ką kręcenia pręa w oparciu o zaeŝność (.1): max 1 1 1,17 rad 67, 1 8 18