Mierzalne liczby kardynalne

Podobne dokumenty
Ekstremalnie maªe zbiory

Podstawy matematyki dla informatyków

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji

Strategia czy intuicja?

Metodydowodzenia twierdzeń

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1

Metody dowodzenia twierdze«

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28

Wstęp do Matematyki (4)

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Podstawy matematyki dla informatyków. Funkcje. Funkcje caªkowite i cz ±ciowe. Deniowanie funkcji. Wykªad pa¹dziernika 2012

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±

Równoliczność zbiorów

Indeksowane rodziny zbiorów

Elementy geometrii w przestrzeni R 3

Zadanie 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M =

Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«.

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne

Materiaªy do Repetytorium z matematyki

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.

Zadania. 4 grudnia k=1

Zadania z forcingu. Marcin Kysiak. Semestr zimowy r. ak. 2002/2003

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Teoria mnogo±ci. Twierdzenia podziaªowe. Piotr Zakrzewski. Toru«, 31 sierpnia Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski

c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie

5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1

Matematyka dyskretna dla informatyków

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.

Zbiory i odwzorowania

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).

Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki

Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/

Preliminaria logiczne

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

Matematyka dyskretna

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Matematyka dyskretna dla informatyków

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych

Maªgorzata Murat. Modele matematyczne.

EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach. a) (6 pkt.) oblicz intensywno± pªaconych skªadek;

Wektory w przestrzeni

Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.

Zadania do Rozdziału X

Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne

Macierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,

Zadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej

Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

Funkcje wielu zmiennych

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

Elementarna statystyka

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

Przekroje Dedekinda 1

Ukªady równa«liniowych

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Ÿ1 Oznaczenia, poj cia wst pne

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska

EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

RACHUNEK ZBIORÓW 2 A B = B A

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

I kolokwium ze Wstępu do Teorii Miary

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki

Funkcje wielu zmiennych

Informacje pomocnicze:

Algorytmiczna teoria grafów

Zbiory liczbowe widziane oczami topologa

Teoria miary i całki

Logika intuicjonistyczna

i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach

Konstruowanie Baz Danych Wprowadzenie do projektowania. Normalizacja

Logika [dla Psychologii UW]

Funkcja. Poj cie funkcji i podstawowe wªasno±ci. Dziedzina

Kwantowa teoria wzgl dno±ci

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d

Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019

Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126

Funkcje wielu zmiennych

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Transkrypt:

czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007

Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna, znikaj ca na punktach, mierz ca wszystkie podzbiory X? Czy dodatkowo taka miara mo»e przyjmowa wyª cznie warto±ci 0 lub 1? wiczenie Na ka»dym zbiorze niesko«czonym X istnieje sko«czenie addytywna miara zerojedynkowa znikaj ca na punktach i mierz ca wszystkie podzbiory.

Konwencja terminologczna Wszystkie miary s σ-addytywne, probabilistyczne i znikaj na punktach. Miara uniwersalna na X to miara mierz ca wszystkie podzbiory zbioru X. Miara zerojedynkowa, to miara probabilistyczna przyjmuj ca wyª cznie warto±ci 0 lub 1. Miara jest κ-addytywna, gdy suma mniej ni» κ zbiorów miary zero ma miar zero (zatem miara σ-addytywna to to samo co ℵ 1 -addytywna, a sko«czenie addytywna to ℵ 0 -addytywna).

Liczby mierzalne Liczby rzeczywi±cie mierzalne Liczby mierzalne Twierdzenie Je»eli κ jest najmniejsz liczb kardynaln tak,»e na zbiorze mocy κ istnieje σ-addytywna zerojedynkowa miara uniwersalna, to na zbiorze mocy κ istnieje κ-addytywna zerojedynkowa miara uniwersalna. Denicja Liczb kardynaln κ > ℵ 0 nazwiemy mierzaln, gdy na zbiorze mocy κ istnieje κ-addytywna zerojedynkowa miara uniwersalna.

Liczby mierzalne Liczby rzeczywi±cie mierzalne Wªasno±ci liczb mierzalnych Twierdzenie Je»eli κ jest liczb mierzaln, to: zbiór mocy κ nie jest sum mniej ni» κ zbiorów mocy mniejszej ni» κ, λ < κ 2 λ < κ.

Liczby mierzalne Liczby rzeczywi±cie mierzalne Wªasno±ci liczb mierzalnych Dowód. Pierwsza wªasno± dla κ mierzalnej jest oczywista. Przypu± my,»e λ < κ, ale 2 λ κ. Niech S {0, 1} λ, S = κ; na S istnieje zerojedynkowa κ-addytywna miara uniwersalna. Dla α λ jeden ze zbiorów {x S : x(α) = 0} oraz {x S : x(α) = 1} ma miar 1, oznaczmy go przez X α ; α λ X α ma miar 1, ale jest co najwy»ej jednoelementowy.

Liczby mierzalne Liczby rzeczywi±cie mierzalne Uniwersalne miary zerojedynkowe i twarda matematyka Wniosek Na [0, 1] nie istnieje σ-addytywna zerojedynkowa miara uniwersalna. Wniosek W twardej matematyce nie stykamy si ze zbiorami mocy mierzalnej.

Liczby mierzalne Liczby rzeczywi±cie mierzalne Liczby rzeczywi±cie mierzalne Co b dzie, gdy opu±cimy zaªo»enie o dwuwarto±ciowo±ci miary? Twierdzenie Je»eli κ jest najmniejsz liczb kardynaln tak,»e na zbiorze mocy κ istnieje miara uniwersalna, to na zbiorze mocy κ istnieje κ-addytywna miara uniwersalna. Denicja Liczba kardynalna κ > ℵ 0 jest rzeczywi±cie mierzalna, gdy na zbiorze mocy κ istnieje κ-addytywna miara uniwersalna.

Liczby mierzalne Liczby rzeczywi±cie mierzalne Dychotomia Ulama Twierdzenie Je»eli κ jest rzeczywi±cie mierzalna, to zachodzi jeden z przypadków: κ jest mierzalna, κ c. Fakt Je»eli istnieje liczba rzeczywi±cie mierzalna κ c, to istnieje rozszerzenie miary Lebesgue'a do σ-addytywnej miary uniwersalnej na [0, 1].

Liczby mierzalne Liczby rzeczywi±cie mierzalne Dowód dychotomii Ulama Dowód. Zakªadamy,»e na zbiorze Z mocy κ istnieje κ-addytywna miara uniwersalna i rozwa»amy dwa przypadki. 1. Miara posiada atom, tzn. zbiór miary dodatniej, którego nie mo»na podzieli na dwa zbiory mniejszej miary. 2. Miara jest bezatomowa. Lemat Je»eli miara jest bezatomowa, to dla dowolnego zbioru A istnieje zbiór B A taki,»e µ(a) = 2 µ(b).

Liczby silnie nieosi galne Liczby sªabo nieosi galne O wielkich liczbach - podsumowanie Liczby silnie nieosi galne Denicja Liczb kardynaln κ > ℵ 0 nazwiemy silnie nieosi galn, gdy jest regularna, tzn. zbiór mocy κ nie jest sum mniej ni» κ zbiorów mocy mniejszej ni» κ; jest silnie graniczna, tzn. λ < κ 2 λ < κ. Wniosek Ka»da liczba mierzalna jest silnie nieosi galna.

Liczby silnie nieosi galne Liczby sªabo nieosi galne O wielkich liczbach - podsumowanie Status liczb silnie nieosi galnych Fakt Istnienie liczb silnie nieosi galnych implikuje Con(ZFC). Zatem nie mo»na udowodni istnienia liczb silnie nieosi galnych, tzn. Con(ZFC) Con(ZFC + nie istnieje liczba silnie nieosi galna). Czy liczby silnie nieosi galne mog istnie? Fakt Zdania Con(ZFC) Con(ZFC + istnieje liczba silnie nieosi galna)? nie mo»na udowodni, o ile ZFC jest niesprzeczna.

Liczby silnie nieosi galne Liczby sªabo nieosi galne O wielkich liczbach - podsumowanie Status liczb silnie nieosi galnych Dowód. Niech SI oznacza istnieje liczba silnie nieosi galna. Przypu± my,»e ZFC Con(ZFC) Con(ZFC + SI ), tym bardziej ZFC + SI Con(ZFC) Con(ZFC + SI ); ZFC + SI Con(ZFC), zatem ZFC + SI Con(ZFC + SI ) - sprzeczno± z tw. Gödla.

Liczby silnie nieosi galne Liczby sªabo nieosi galne O wielkich liczbach - podsumowanie Liczby sªabo nieosi galne Denicja Liczb kardynaln κ > ℵ 0 nazwiemy sªabo nieosi galn, gdy jest regularna, tzn. zbiór mocy κ nie jest sum mniej ni» κ zbiorów mocy mniejszej ni» κ; jest graniczna, tzn. nie jest nast pnikiem kardynalnym»adnej mniejszej liczby. Twierdzenie Ka»da liczba rzeczywi±cie mierzalna jest sªabo nieosi galna.

Liczby silnie nieosi galne Liczby sªabo nieosi galne O wielkich liczbach - podsumowanie Status istnienia liczb sªabo nieosi galnych Fakt Nast puj ce teorie s równo niesprzeczne: ZFC + istnieje liczba silnie nieosi galna, ZFC + istnieje liczba sªabo nieosi galna, ZFC + c jest liczb sªabo nieosi galn. Wniosek Status istnienia liczb sªabo nieosi galnych jest identyczny jak silnie nieosi galnych.

Liczby silnie nieosi galne Liczby sªabo nieosi galne O wielkich liczbach - podsumowanie Status wielkich liczb prostym j zykiem Ludzie u»ywaj istnienia wielkich liczb, np. mierzalnych, jako dodatkowego aksjomatu. W ka»dej chwili kto± mo»e udowodni,»e takich liczb po prostu nie ma. Specjali±ci nie wierz powa»nie w t ostatni mo»liwo±. Uwaga Mocno w tpi cy niech pomy±l o statusie niesprzeczno±ci matematyki.

Liczby silnie nieosi galne Liczby sªabo nieosi galne O wielkich liczbach - podsumowanie Motto [...] Obecnie nikt powa»nie nie szuka dowodu,»e liczby mierzalne nie istniej. Jednak niezadowoleni z przyjmowania zaªo»enia o istnieniu liczb mierzalnych mog traktowa badanie jego konsekwencji jako wst p do dowodu ich nieistnienia. Zapewniam,»e znalezienie takiego dowodu uczyni autora wystarczaj co sªawnym,»eby uzasadni wszelki trud wªo»ony w studiowanie konsekwencji takiego aksjomatu. - D. H. Fremlin - Real valued measurable cardinals