Logika intuicjonistyczna

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Logika intuicjonistyczna"

Transkrypt

1 9 listopada 2011

2 Plan

3 Plan

4 Intuicjonizm Pogl d w lozoi matematyki wprowadzony w 1912 L. E. J. Brouwera. Twierdzenia matematyczne powstaj dzi ki intuicjom naszego umysªu. Skupienie si na konstruktywnych dowodach twierdze«.

5 System logiczny oparty na wspomnianym wcze±niej koncepcie. W odró»nieniu od klasycznej logiki zamiast bezwzgl dnej prawdziwo±ci zda«istotna jest mo»liwo± ich konstruktywnego udowodnienia. Nie obowi zuje prawo wyª czonego ±rodka.

6 Istniej takie liczby niewymierne a i b,»e a b jest wymierna.

7 Niech y = 2, x = 2. Przypadek I: x y jest wymierna Wtedy stwierdzenie jest prawdziwe, bo mo»na wzi a = x, b = y. Przypadek II: x y jest niewymierna Wtedy mo»na wzi a = x y, b = x. Zachodzi: a b = ( 2) 2 2 = = 2 = 2

8 Niech y = 2, x = 2. Przypadek I: x y jest wymierna Wtedy stwierdzenie jest prawdziwe, bo mo»na wzi a = x, b = y. Przypadek II: x y jest niewymierna Wtedy mo»na wzi a = x y, b = x. Zachodzi: a b = ( 2) 2 2 = = 2 = 2 Podany dowód zawiera rozbicie na przypadki.

9 Jako konstruktywny dowód mo»na wskaza a = 2 i b = 2log 2 3. a b = ( 2) 2log 23 = 2 log 23 = 3

10 Interpretacja BHK Formuªy logiki intuicjonistycznej mo»emy interpretowa jako konstrukcje. Pochodzi od nazwisk: BrouwerHeytingKoªmogorow.

11 Interpretacja BHK Podstawowe spójniki logiczne: koniunkcja, alternatywa, implikacja. aden z podstawowych spójników nie wyra»a si przy pomocy pozostaªych. Jedna staªa oznaczaj ca faªsz. Negacja φ jest skrótem od φ

12 Interpretacja BHK Niech PV oznacza niesko«czony zbiór zmiennych zdaniowych. Denicja Zbiór Φ formuª to najmniejszy zbiór taki,»e: Φ, p Φ dla p PV, φ ψ, φ ψ, φ ψ dla φ, ψ Φ.

13 Interpretacja BHK Konstrukcje Konstrukcja φ 1 φ 2 skªada si z konstrukcji φ 1 oraz konstrukcji φ 2. Konstrukcja φ 1 φ 2 skªada si ze wska¹nika i {1, 2} oraz konstrukcji φ i. Konstrukcja φ 1 φ 2 to metoda na przeksztaªcenie konstrukcji φ 1 w konstrukcj φ 2. Konstrukcja nie istnieje. Konstrukcja negacji Konstrukcja φ to metoda na przeksztaªcenie konstrukcji φ w nieistniej cy obiekt.

14 Przykªad(y) p q p (p q r) (p q) p r (p q) ( p q)

15 Plan

16 Dedukcja naturalna System dowodzenia dla intuicjonistycznej logiki zdaniowej Operujemy na os dach Γ φ, gdzie Γ to sko«czony zbiór formuª, a φ to formuªa. Dowód Γ φ w dedukcji naturalnej to drzewo, w którym korze«to Γ φ, li±cie to aksjomaty, a kraw dzie odpowiadaj reguªom dedukcji.

17 Dedukcja naturalna

18 Interpretacja topologiczna Interpretacja topologiczna polega na przypisaniu formuªom warto±ci w postaci zbiorów otwartych. Przez int(a) oznaczam wn trze zbioru A. Warto±ciowanie zmiennych zdaniowych to funkcja σ : PV O, gdzie O jest rodzin wszystkich podzbiorów otwartych w R. Interpretacja topologiczna wynika z semantyki Heytinga.

19 Interpretacja topologiczna Warto±ci formuª = = R p = σ(p) φ = int(r φ ) φ ψ = φ ψ φ ψ = φ ψ φ ψ = int((r φ ) ψ )

20 Modele Kripkego Do pokazania semantyki Kripkego dla logiki intuicjonistycznej potrzebna jest denicja modelu Kripkego. Denicja Model Kripkego to trójka M = W,,, gdzie W jest niepustym zbiorem, jest cz ±ciowym porz dkiem na W, a jest relacj mi dzy elementami W a elementami PV speªniaj c warunek: Je±li w w i w p, to w p.

21 Sematyka Kripkego Znaczenie formuª dla modelu Kripkego c φ ψ wtw c φ lub c ψ, c φ ψ wtw c φ i c ψ, c φ ψ wtw c ψ dla ka»dego c c takiego,»e c φ, c nigdy nie zachodzi. Znaczenie negacji c φ wtw dla»adnego c c nie zachodzi c φ.

22 Plan

23 Izomorzm Curry'ego-Howarda Odpowiednio± mi dzy termami rachunku lambda a dowodami w logice intuicjonistycznej.

24 Answer set programming Rodzaj programowania w logice. Opisano zastosowanie logiki intuicjonistycznej i innych logik wielowarto±ciowych [1].

25 Plan

26 MINLOG System wspomagania dowodzenia dla logiki minimalnej. Mo»liwo± u»ycia dodatkowych aksjomatów dla logiki intuicjonistycznej i klasycznej. Automatyczne dowodzenie.

27 ileantap Program do automatycznego dowodzenia twierdze«napisany w Prologu. Korzysta z free-variable semantic tableaux [2]. 5 kb, 111 linijek.

28 Semantic tableaux

29 Literatura M Osorio, J A Navarro, and J Arrazola. Applications of intuitionistic logic in answer set programming. Technical Report cs.lo/ , May Jens Otten. ileantap: An intuitionistic theorem prover. In International Conference TABLEAUX'97, LNAI 1227, pages , M. H. Sørensen and P. Urzyczyn. Lectures on the Curry-Howard isomorphism. Elsevier, 2006.

Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019

Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019 Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019 Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Zdanie logiczne.

Bardziej szczegółowo

Logika matematyczna (16) (JiNoI I)

Logika matematyczna (16) (JiNoI I) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 15/16 lutego 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16

Bardziej szczegółowo

Logiki modalne. notatki z seminarium. Piotr Polesiuk

Logiki modalne. notatki z seminarium. Piotr Polesiuk Logiki modalne notatki z seminarium Piotr Polesiuk 1 Motywacja i historia Logika modalna rozszerza logikę klasyczną o modalności takie jak φ jest możliwe, φ jest konieczne, zawsze φ, itp. i jak wiele innych

Bardziej szczegółowo

Logika pierwszego rz du. Sposób u»ycia. Tautologie, sposoby u»ywania logiki pierwszego rz du, zwi zki z j zykiem naturalnym

Logika pierwszego rz du. Sposób u»ycia. Tautologie, sposoby u»ywania logiki pierwszego rz du, zwi zki z j zykiem naturalnym Logika pierwszego rz du. Sposób u»ycia. Tautologie, sposoby u»ywania logiki pierwszego rz du, zwi zki z j zykiem naturalnym Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ)

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki dla informatyków. Logika formalna. Skªadnia rachunku zda« Skróty i priorytety. Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011

Podstawy matematyki dla informatyków. Logika formalna. Skªadnia rachunku zda« Skróty i priorytety. Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011 Podstawy matematyki dla informatyków Logika formalna Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011 Skªadnia rachunku zda«symbole (zmienne) zdaniowe (p, q, r,...), oraz znaki i s formuªami zdaniowymi.

Bardziej szczegółowo

Logika intuicjonistyczna

Logika intuicjonistyczna Logika intuicjonistyczna Logika klasyczna oparta jest na pojęciu wartości logicznej zdania. Poprawnie zbudowane i jednoznaczne stwierdzenie jest w tej logice klasyfikowane jako prawdziwe lub fałszywe.

Bardziej szczegółowo

Wyra»enia logicznie równowa»ne

Wyra»enia logicznie równowa»ne Wyra»enia logicznie równowa»ne Denicja. Wyra»enia rachunku zda«nazywamy logicznie równowa»nymi, gdy maj równe warto±ci logiczne dla dowolnych warto±ci logicznych zmiennych zdaniowych. 1 Przykªady: Wyra»enia

Bardziej szczegółowo

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy

Bardziej szczegółowo

Indeksowane rodziny zbiorów

Indeksowane rodziny zbiorów Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

Programowanie funkcyjne Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi

Programowanie funkcyjne Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi Programowanie funkcyjne Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 1 Dowody konstruktywne Dedukcja naturalna

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner.

Adam Meissner. Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki dla informatyków

Podstawy matematyki dla informatyków Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru

Bardziej szczegółowo

Ekstremalnie maªe zbiory

Ekstremalnie maªe zbiory Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci

Bardziej szczegółowo

Geometria Algebraiczna

Geometria Algebraiczna Geometria Algebraiczna Zadania domowe: seria 1 Zadania 1-11 to powtórzenie podstawowych poj z teorii kategorii. Zapewne rozwi zywali Pa«stwo te zadania wcze±niej, dlatego nie b d one omawiane na wiczeniach.

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

Metoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych

Metoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych 1 Zarówno metoda tablic semantycznych, jak i rezolucji, to dosy sprawny algorytm do badania speªnialni±ci formuª, a wi c i tautologii. Chodzi w niej o wskazanie, je±li istnieje, modelu dla formuªy. Opiera

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 3 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 1 / 36 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań

Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań Instytut Informatyki Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 1 Systemy

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie 3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa

Bardziej szczegółowo

Paradygmaty dowodzenia

Paradygmaty dowodzenia Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii

Bardziej szczegółowo

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki i teorii mnogości Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy

Bardziej szczegółowo

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1 J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć

Bardziej szczegółowo

Systemy hybrydowe. Joanna Iwaniuk. 2 listopada 2010

Systemy hybrydowe. Joanna Iwaniuk. 2 listopada 2010 2 listopada 2010 Plan prezentacji 1. Co to jest system hybrydowy? 2. Liniowe systemy hybrydowe 3. Wyznaczanie stanów osi galnych Model checking 4. Podsumowanie Automaty hybrydowe System hybrydowy Komponent

Bardziej szczegółowo

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.

Bardziej szczegółowo

istnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,

istnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a, Ciaªo Denicja. Zbiór K z dziaªaniami dodawania + oraz mno»enia (których argumentami s dwa elementy z tego zbioru, a warto±ciami elementy z tego zbioru) nazywamy ciaªem, je±li zawiera co najmniej dwa elementy

Bardziej szczegółowo

Preliminaria logiczne

Preliminaria logiczne Preliminaria logiczne Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/dydaktyka pogon@amu.edu.pl MDTiAR Jerzy Pogonowski (MEG) Preliminaria

Bardziej szczegółowo

Automorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego

Automorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego Automorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego Krzysztof Kapulkin IX Warsztaty Logiczne 5 12 lipca 2008 1 Wst p W referacie tym przedstawiamy wyniki uzyskane przez Andrzeja Ehrenfeuchta i Andrzeja

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji

W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt

Bardziej szczegółowo

Rachunki sekwentów. Jerzy Pogonowski. MDTiAR 1xii2015

Rachunki sekwentów. Jerzy Pogonowski. MDTiAR 1xii2015 Rachunki sekwentów Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/dydaktyka pogon@amu.edu.pl MDTiAR 1xii2015 Jerzy Pogonowski (MEG)

Bardziej szczegółowo

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1. 3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

Logika matematyczna w informatyce

Logika matematyczna w informatyce Paweł Gładki Logika matematyczna w informatyce http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Piątek, 8:00-9:30 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go

Bardziej szczegółowo

i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017

i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017 i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie: Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na

Bardziej szczegółowo

Równowano modeli oblicze

Równowano modeli oblicze Równowano modeli oblicze Interpretacja rachunku 1 2 Twierdzenie Gödla o pełnoci Interpretacja jzyka FOL W 1931 K. Gödel udowodnił, e Jeeli formuła jest prawdziwa, to istnieje dowód tej formuły. Problem

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

Przekroje Dedekinda 1

Przekroje Dedekinda 1 Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2

Bardziej szczegółowo

Bisymulacje modeli Kripkego dla teorii intuicjonistycznych pierwszego rz du

Bisymulacje modeli Kripkego dla teorii intuicjonistycznych pierwszego rz du Uniwersytet l ski w Katowicach Wydziaª Matematyki, Fizyki i Chemii Instytut Matematyki Bisymulacje modeli Kripkego dla teorii intuicjonistycznych pierwszego rz du Autor: Maªgorzata Kruszelnicka Rozprawa

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Ci gªy fragment rachunku µ

Ci gªy fragment rachunku µ Ci gªy fragment rachunku µ Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 28 maja 2009 Motywacje 1. Rozwa»amy

Bardziej szczegółowo

Geneza intuicjonistycznego rachunku zdań i Twierdzenie Gliwienki

Geneza intuicjonistycznego rachunku zdań i Twierdzenie Gliwienki Geneza intuicjonistycznego rachunku zdań i Twierdzenie Gliwienki Piotr Urbańczyk Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych Uniwersytet Papieski Jana Pawła II w Krakowie The Origin of Intuitionistic

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Elementy logiki 1. Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa.

Bardziej szczegółowo

Mierzalne liczby kardynalne

Mierzalne liczby kardynalne czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna,

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna dla inżynierów

Logika pragmatyczna dla inżynierów Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny

Bardziej szczegółowo

http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/wstep.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wyksztaªcenie u studentów podstaw j zyka matematycznego, wypracowanie podstawowych umiej tno- ±ci przeprowadzania

Bardziej szczegółowo

1 Funktory i kwantyfikatory

1 Funktory i kwantyfikatory Logika, relacje v07 egzamin mgr inf niestacj 1 1 Funktory i kwantyfikatory x X x X Φ(x) dla każdego x X (= dla wszystkich x) zachodzi formuła Φ(x) Φ(x) istnieje x X takie, że (= dla pewnego x) zachodzi

Bardziej szczegółowo

Logika intuicjonistyczna semantyka Kripke go

Logika intuicjonistyczna semantyka Kripke go Logika intuicjonistyczna semantyka Kripke go Definicja 1 Strukturą częściowo uporządkowaną (ang. partially ordered set, w skrócie poset) nazywamy układ (W, ), gdzie W to dowolny zbiór niepusty, zaś jest

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017

Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017 Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum 17 lutego 2017 Liczby naturalne - Aksjomatyka Peano (bez zera) Aksjomatyka liczb naturalnych N jest nazwą zbioru liczb naturalnych, 1 jest nazwą elementu

Bardziej szczegółowo

Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty

Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

x y x y x y x + y x y

x y x y x y x + y x y Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią. Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14 Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne. J zykoznawstwo i Informacja Naukowa I, UAM, Jerzy Pogonowski

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne. J zykoznawstwo i Informacja Naukowa I, UAM, Jerzy Pogonowski Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne J zykoznawstwo i Informacja Naukowa I, UAM, 2002 Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Dwa zestawy pyta«egzaminacyjnych z Logiki Matematycznej:

Bardziej szczegółowo

AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium

AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH

ĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej

Zasada indukcji matematycznej Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )

Bardziej szczegółowo

W planie dydaktycznym założono 172 godziny w ciągu roku. Treści podstawy programowej. Propozycje środków dydaktycznych. Temat (rozumiany jako lekcja)

W planie dydaktycznym założono 172 godziny w ciągu roku. Treści podstawy programowej. Propozycje środków dydaktycznych. Temat (rozumiany jako lekcja) Ramowy plan nauczania (roczny plan dydaktyczny) dla przedmiotu matematyka w zakresie rozszerzonym dla klasy I liceum ogólnokształcącego uwzględniający kształcone i treści podstawy programowej W planie

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych

Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych Politechnika Gda«ska Wydziaª Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Wisªa, 3-7.12.2012 Przestrze«Biesowa Przestrze«Biesowa B s p,q, 1 p,

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS

Bardziej szczegółowo

First-order logic. Usage. Tautologies, using rst-order logic, relations to natural language

First-order logic. Usage. Tautologies, using rst-order logic, relations to natural language First-order logic. Usage Tautologies, using rst-order logic, relations to natural language A few important tautologies 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); A few important tautologies 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); 2 xϕ ϕ, o ile x

Bardziej szczegółowo

Paradoks wszechwiedzy logicznej (logical omniscience paradox) i wybrane metody jego unikania

Paradoks wszechwiedzy logicznej (logical omniscience paradox) i wybrane metody jego unikania Logika w zastosowaniach kognitywistycznych Paradoks wszechwiedzy logicznej (logical omniscience paradox) i wybrane metody jego unikania (notatki do wykładów) Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne

Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej

Bardziej szczegółowo

Technologie Informacyjne

Technologie Informacyjne Technologie Informacyjne Wykªad 5 Paweª Witkowski MIM UW Wiosna 2012 P. Witkowski (MIM UW) Technologie Informacyjne Wiosna 2012 1 / 1 WYSZUKAJ.PIONOWO WYSZUKAJ.PIONOWO(kryterium wyszukiwania; macierz;

Bardziej szczegółowo

Wektory w przestrzeni

Wektory w przestrzeni Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem

Bardziej szczegółowo

Motywuj cy przykªad. Logika intuicjonistyczna. Alternatywne rozwi zania: Jeszcze jeden przykªad. Wykªad lutego 2012

Motywuj cy przykªad. Logika intuicjonistyczna. Alternatywne rozwi zania: Jeszcze jeden przykªad. Wykªad lutego 2012 Motywuj cy przykªad Logika intuicjonistyczna Wykªad 1 16 lutego 2012 (Scripta Mathematica, 19:229, 1953) Alternatywne rozwi zania: Jeszcze jeden przykªad Udowodni,»e ( 2) 2 jest liczb niewymiern ; Zadanie:

Bardziej szczegółowo

Naukoznawstwo (Etnolingwistyka V)

Naukoznawstwo (Etnolingwistyka V) Naukoznawstwo (Etnolingwistyka V) Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 25 listopada 2006 Jerzy Pogonowski (MEG) Naukoznawstwo (Etnolingwistyka V) 25 listopada

Bardziej szczegółowo

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe

Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland 2011-18-02 Motywacja Liczby

Bardziej szczegółowo

4 Klasyczny rachunek zdań

4 Klasyczny rachunek zdań 4 Klasyczny rachunek zdań Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Spis najważniejszych tautologii: (a) p p prawo wyłączonego środka (b) ( p) p prawo podwójnej negacji (c) p q q p (d) p q q p prawo

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Struktury modelowe Przedstawimy teraz pewien

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZBIORÓW 2 A B = B A

RACHUNEK ZBIORÓW 2 A B = B A RCHUNEK ZIORÓW 2 DZIŁNI N ZIORCH Sum (uni ) zbiorów i nazywamy zbiór, którego elementami s wszystkie elementy nale ce do zbioru lub do zbioru. = {x : x x } ZDNIE = = = Wyznacz sumy:,, C, D, E, D E dla

Bardziej szczegółowo

Schematy Piramid Logicznych

Schematy Piramid Logicznych Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:

Bardziej szczegółowo

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy

Bardziej szczegółowo

Freyd, Abelian Categories

Freyd, Abelian Categories Algebra 2, zadania na wiczenia, seria II Króti wst p do ategorii i funtorów. W tej serii jest du»o zada«ale s (z reguªy) ªatwe lub bardzo ªatwe. Najpierw denicje, tóre zapewne Pa«stwo znaj lub pozna ªatwo

Bardziej szczegółowo

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:

Bardziej szczegółowo