Logika intuicjonistyczna

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Logika intuicjonistyczna"

Kacper Domagała
4 lat temu
Przeglądów:

1 9 listopada 2011

2 Plan

3 Plan

4 Intuicjonizm Pogl d w lozoi matematyki wprowadzony w 1912 L. E. J. Brouwera. Twierdzenia matematyczne powstaj dzi ki intuicjom naszego umysªu. Skupienie si na konstruktywnych dowodach twierdze«.

5 System logiczny oparty na wspomnianym wcze±niej koncepcie. W odró»nieniu od klasycznej logiki zamiast bezwzgl dnej prawdziwo±ci zda«istotna jest mo»liwo± ich konstruktywnego udowodnienia. Nie obowi zuje prawo wyª czonego ±rodka.

6 Istniej takie liczby niewymierne a i b,»e a b jest wymierna.

7 Niech y = 2, x = 2. Przypadek I: x y jest wymierna Wtedy stwierdzenie jest prawdziwe, bo mo»na wzi a = x, b = y. Przypadek II: x y jest niewymierna Wtedy mo»na wzi a = x y, b = x. Zachodzi: a b = ( 2) 2 2 = = 2 = 2

8 Niech y = 2, x = 2. Przypadek I: x y jest wymierna Wtedy stwierdzenie jest prawdziwe, bo mo»na wzi a = x, b = y. Przypadek II: x y jest niewymierna Wtedy mo»na wzi a = x y, b = x. Zachodzi: a b = ( 2) 2 2 = = 2 = 2 Podany dowód zawiera rozbicie na przypadki.

9 Jako konstruktywny dowód mo»na wskaza a = 2 i b = 2log 2 3. a b = ( 2) 2log 23 = 2 log 23 = 3

10 Interpretacja BHK Formuªy logiki intuicjonistycznej mo»emy interpretowa jako konstrukcje. Pochodzi od nazwisk: BrouwerHeytingKoªmogorow.

11 Interpretacja BHK Podstawowe spójniki logiczne: koniunkcja, alternatywa, implikacja. aden z podstawowych spójników nie wyra»a si przy pomocy pozostaªych. Jedna staªa oznaczaj ca faªsz. Negacja φ jest skrótem od φ

12 Interpretacja BHK Niech PV oznacza niesko«czony zbiór zmiennych zdaniowych. Denicja Zbiór Φ formuª to najmniejszy zbiór taki,»e: Φ, p Φ dla p PV, φ ψ, φ ψ, φ ψ dla φ, ψ Φ.

13 Interpretacja BHK Konstrukcje Konstrukcja φ 1 φ 2 skªada si z konstrukcji φ 1 oraz konstrukcji φ 2. Konstrukcja φ 1 φ 2 skªada si ze wska¹nika i {1, 2} oraz konstrukcji φ i. Konstrukcja φ 1 φ 2 to metoda na przeksztaªcenie konstrukcji φ 1 w konstrukcj φ 2. Konstrukcja nie istnieje. Konstrukcja negacji Konstrukcja φ to metoda na przeksztaªcenie konstrukcji φ w nieistniej cy obiekt.

14 Przykªad(y) p q p (p q r) (p q) p r (p q) ( p q)

15 Plan

16 Dedukcja naturalna System dowodzenia dla intuicjonistycznej logiki zdaniowej Operujemy na os dach Γ φ, gdzie Γ to sko«czony zbiór formuª, a φ to formuªa. Dowód Γ φ w dedukcji naturalnej to drzewo, w którym korze«to Γ φ, li±cie to aksjomaty, a kraw dzie odpowiadaj reguªom dedukcji.

17 Dedukcja naturalna

18 Interpretacja topologiczna Interpretacja topologiczna polega na przypisaniu formuªom warto±ci w postaci zbiorów otwartych. Przez int(a) oznaczam wn trze zbioru A. Warto±ciowanie zmiennych zdaniowych to funkcja σ : PV O, gdzie O jest rodzin wszystkich podzbiorów otwartych w R. Interpretacja topologiczna wynika z semantyki Heytinga.

19 Interpretacja topologiczna Warto±ci formuª = = R p = σ(p) φ = int(r φ ) φ ψ = φ ψ φ ψ = φ ψ φ ψ = int((r φ ) ψ )

20 Modele Kripkego Do pokazania semantyki Kripkego dla logiki intuicjonistycznej potrzebna jest denicja modelu Kripkego. Denicja Model Kripkego to trójka M = W,,, gdzie W jest niepustym zbiorem, jest cz ±ciowym porz dkiem na W, a jest relacj mi dzy elementami W a elementami PV speªniaj c warunek: Je±li w w i w p, to w p.

21 Sematyka Kripkego Znaczenie formuª dla modelu Kripkego c φ ψ wtw c φ lub c ψ, c φ ψ wtw c φ i c ψ, c φ ψ wtw c ψ dla ka»dego c c takiego,»e c φ, c nigdy nie zachodzi. Znaczenie negacji c φ wtw dla»adnego c c nie zachodzi c φ.

22 Plan

23 Izomorzm Curry'ego-Howarda Odpowiednio± mi dzy termami rachunku lambda a dowodami w logice intuicjonistycznej.

24 Answer set programming Rodzaj programowania w logice. Opisano zastosowanie logiki intuicjonistycznej i innych logik wielowarto±ciowych [1].

25 Plan

26 MINLOG System wspomagania dowodzenia dla logiki minimalnej. Mo»liwo± u»ycia dodatkowych aksjomatów dla logiki intuicjonistycznej i klasycznej. Automatyczne dowodzenie.

27 ileantap Program do automatycznego dowodzenia twierdze«napisany w Prologu. Korzysta z free-variable semantic tableaux [2]. 5 kb, 111 linijek.

28 Semantic tableaux

29 Literatura M Osorio, J A Navarro, and J Arrazola. Applications of intuitionistic logic in answer set programming. Technical Report cs.lo/ , May Jens Otten. ileantap: An intuitionistic theorem prover. In International Conference TABLEAUX'97, LNAI 1227, pages , M. H. Sørensen and P. Urzyczyn. Lectures on the Curry-Howard isomorphism. Elsevier, 2006.

Podobne dokumenty

Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019

Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019 Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Zdanie logiczne.