Teoria mnogo±ci. Twierdzenia podziaªowe. Piotr Zakrzewski. Toru«, 31 sierpnia Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski

Transkrypt

1 Teoria mnogo±ci Twierdzenia podziaªowe Piotr Zakrzewski Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Toru«, 31 sierpnia 2009

2 Istota twierdze«podziaªowych Jesli,du»y' zbiór podzielimy na,niewielk ' liczb cz sci, to jedna z tych cz ±ci b dzie 'spora' (W. Lipski, W. Marek). Podstawowe przykªady z kombinatoryki sko«czonej: Zasada szuadkowa Dirichleta. Twierdzenie Ramseya.

3 Istota twierdze«podziaªowych Jesli,du»y' zbiór podzielimy na,niewielk ' liczb cz sci, to jedna z tych cz ±ci b dzie 'spora' (W. Lipski, W. Marek). Podstawowe przykªady z kombinatoryki sko«czonej: Zasada szuadkowa Dirichleta. Twierdzenie Ramseya.

4 Istota twierdze«podziaªowych Jesli,du»y' zbiór podzielimy na,niewielk ' liczb cz sci, to jedna z tych cz ±ci b dzie 'spora' (W. Lipski, W. Marek). Podstawowe przykªady z kombinatoryki sko«czonej: Zasada szuadkowa Dirichleta. Twierdzenie Ramseya.

5 Istota twierdze«podziaªowych Jesli,du»y' zbiór podzielimy na,niewielk ' liczb cz sci, to jedna z tych cz ±ci b dzie 'spora' (W. Lipski, W. Marek). Podstawowe przykªady z kombinatoryki sko«czonej: Zasada szuadkowa Dirichleta. Twierdzenie Ramseya.

6 Istota twierdze«podziaªowych Jesli,du»y' zbiór podzielimy na,niewielk ' liczb cz sci, to jedna z tych cz ±ci b dzie 'spora' (W. Lipski, W. Marek). Podstawowe przykªady z kombinatoryki sko«czonej: Zasada szuadkowa Dirichleta. Twierdzenie Ramseya.

7 Podstawowe wersje niesko«czone Je±li zbiór niesko«czony podzielimy na sko«czenie wiele kawaªków, to jeden z nich b dzie niesko«czony. Ramsey: Je±li X jest zbiorem niesko«czonym, to dla dowolnego podziaªu [X ] 2 = P 1 P 2 istnieje niesko«czony Y X taki,»e [Y ] 2 P 1 lub [Y ] 2 P 2. Tzn., je±li pary elementów niesko«czonego X zbioru pokolorujemy na 2 kolory, to znajdzie si niesko«czony podzbiór Y, jednorodny ze wzgl du na to kolorowanie, tzn. taki,»e wszystkie pary elementów zbioru Y s tego samego koloru.

8 Podstawowe wersje niesko«czone Je±li zbiór niesko«czony podzielimy na sko«czenie wiele kawaªków, to jeden z nich b dzie niesko«czony. Ramsey: Je±li X jest zbiorem niesko«czonym, to dla dowolnego podziaªu [X ] 2 = P 1 P 2 istnieje niesko«czony Y X taki,»e [Y ] 2 P 1 lub [Y ] 2 P 2. Tzn., je±li pary elementów niesko«czonego X zbioru pokolorujemy na 2 kolory, to znajdzie si niesko«czony podzbiór Y, jednorodny ze wzgl du na to kolorowanie, tzn. taki,»e wszystkie pary elementów zbioru Y s tego samego koloru.

9 Podstawowe wersje niesko«czone Je±li zbiór niesko«czony podzielimy na sko«czenie wiele kawaªków, to jeden z nich b dzie niesko«czony. Ramsey: Je±li X jest zbiorem niesko«czonym, to dla dowolnego podziaªu [X ] 2 = P 1 P 2 istnieje niesko«czony Y X taki,»e [Y ] 2 P 1 lub [Y ] 2 P 2. Tzn., je±li pary elementów niesko«czonego X zbioru pokolorujemy na 2 kolory, to znajdzie si niesko«czony podzbiór Y, jednorodny ze wzgl du na to kolorowanie, tzn. taki,»e wszystkie pary elementów zbioru Y s tego samego koloru.

10 Ultraltr Ultraltr podzbiorów zbioru X to rodzina U P(X ) zamkni ta na sko«czone przeci cia i nadzbiory taka,»e dla dowolnego A X albo A U, albo X \ A U. Ultraltr U jest niegªówny, je±li zawiera wszystkie podzbiory kosko«czone w X. Dla dowolnego zbioru niesko«czonego istnieje ultraltr niegªówny jego podzbiorów.

11 Ultraltr Ultraltr podzbiorów zbioru X to rodzina U P(X ) zamkni ta na sko«czone przeci cia i nadzbiory taka,»e dla dowolnego A X albo A U, albo X \ A U. Ultraltr U jest niegªówny, je±li zawiera wszystkie podzbiory kosko«czone w X. Dla dowolnego zbioru niesko«czonego istnieje ultraltr niegªówny jego podzbiorów.

12 Dowód twierdzenia Ramseya N = {0, 1, 2,...} Niech U b dzie ultraltrem niegªównym w P(N). Niech [N] 2 = P 1 P 2. Ka»da liczba m jednoznacznie wyznacza indeks i {0, 1} taki,»e {l : {m, l} P i } U; niech A m = {l : {m, l} P i }. Deniujemy ci g (m n ) indukcyjnie m 0 = 0, m n+1 = min k n A m k. Ci g (m n ) ma nast puj c wªasno± : k, n(n > k m n A mk ); stosuj c zasad szuadkow wybieramy z niego zbiór jednorodny.

13 Dowód twierdzenia Ramseya N = {0, 1, 2,...} Niech U b dzie ultraltrem niegªównym w P(N). Niech [N] 2 = P 1 P 2. Ka»da liczba m jednoznacznie wyznacza indeks i {0, 1} taki,»e {l : {m, l} P i } U; niech A m = {l : {m, l} P i }. Deniujemy ci g (m n ) indukcyjnie m 0 = 0, m n+1 = min k n A m k. Ci g (m n ) ma nast puj c wªasno± : k, n(n > k m n A mk ); stosuj c zasad szuadkow wybieramy z niego zbiór jednorodny.

14 Dowód twierdzenia Ramseya N = {0, 1, 2,...} Niech U b dzie ultraltrem niegªównym w P(N). Niech [N] 2 = P 1 P 2. Ka»da liczba m jednoznacznie wyznacza indeks i {0, 1} taki,»e {l : {m, l} P i } U; niech A m = {l : {m, l} P i }. Deniujemy ci g (m n ) indukcyjnie m 0 = 0, m n+1 = min k n A m k. Ci g (m n ) ma nast puj c wªasno± : k, n(n > k m n A mk ); stosuj c zasad szuadkow wybieramy z niego zbiór jednorodny.

15 Dowód twierdzenia Ramseya N = {0, 1, 2,...} Niech U b dzie ultraltrem niegªównym w P(N). Niech [N] 2 = P 1 P 2. Ka»da liczba m jednoznacznie wyznacza indeks i {0, 1} taki,»e {l : {m, l} P i } U; niech A m = {l : {m, l} P i }. Deniujemy ci g (m n ) indukcyjnie m 0 = 0, m n+1 = min k n A m k. Ci g (m n ) ma nast puj c wªasno± : k, n(n > k m n A mk ); stosuj c zasad szuadkow wybieramy z niego zbiór jednorodny.

16 Twierdzenie van der Waerdena van der Waerden (1927): Je±li N podzielimy na sko«czenie wiele podzbiorów, to jeden z nich zawiera ci gi arytmetyczne dowolnej (sko«czonej) dªugo±ci.

17 Twierdzenie Hindmana Hindman (1974): Je±li N podzielimy na sko«czenie wiele podzbiorów, to jeden z nich zawiera wszystkie sumy sko«czone (bez powtórze«) elementów pewnego swojego niesko«czonego podzbioru.

18 Twierdzenie Hindmana Hindman (1974): Je±li N podzielimy na sko«czenie wiele podzbiorów, to jeden z nich zawiera wszystkie sumy sko«czone (bez powtórze«) elementów pewnego swojego niesko«czonego podzbioru.

19 Ultraltr prawie niezmienniczy Ultraltr niegªówny U w P(N) jest prawie niezmienniczy (ze wzgl du na przesuni cia w lewo), je±li A U {n N : A n U} U, gdzie A n = {m N : n + m A}. Glazer (1975): Istnieje ultraltr prawie niezmienniczy.

20 Ultraltr prawie niezmienniczy Ultraltr niegªówny U w P(N) jest prawie niezmienniczy (ze wzgl du na przesuni cia w lewo), je±li A U {n N : A n U} U, gdzie A n = {m N : n + m A}. Glazer (1975): Istnieje ultraltr prawie niezmienniczy.

21 Dowód twierdzenia Hindmana Galvin (1971): Niech U b dzie ultraltrem prawie niezmienniczym w P(N). Niech [N] 2 = P 1... P k. Wtedy P i U dla jednoznacznie wyznaczonego indeksu i; P i jest szukanym zbiorem. Niech B 1 = P i i we¹my x 1 B 1 taki,»e B 1 x 1 U, niech B 2 = B 1 (B 1 x 1 ). Dalej, indukcyjnie, maj c B n, wybieramy x n B n taki,»e B n x n U i deniujemy B n+1 = B n (B n x n ). Sprawd¹my np.,»e x 2 + x 7 + x 8 A i. Mamy x 8 B 8 ( x 7 + B 7 ), wi c x 7 + x 8 B 7 B 6... B 3 ( x 2 + B 2 ), sk d x 2 + x 7 + x 8 B 2 B 1 = P i.

22 Dowód twierdzenia Hindmana Galvin (1971): Niech U b dzie ultraltrem prawie niezmienniczym w P(N). Niech [N] 2 = P 1... P k. Wtedy P i U dla jednoznacznie wyznaczonego indeksu i; P i jest szukanym zbiorem. Niech B 1 = P i i we¹my x 1 B 1 taki,»e B 1 x 1 U, niech B 2 = B 1 (B 1 x 1 ). Dalej, indukcyjnie, maj c B n, wybieramy x n B n taki,»e B n x n U i deniujemy B n+1 = B n (B n x n ). Sprawd¹my np.,»e x 2 + x 7 + x 8 A i. Mamy x 8 B 8 ( x 7 + B 7 ), wi c x 7 + x 8 B 7 B 6... B 3 ( x 2 + B 2 ), sk d x 2 + x 7 + x 8 B 2 B 1 = P i.

23 Liczby kardynalne ℵ α = α-ta niesko«czona liczba kardynalna. W szczególno±ci: ℵ 0 = N, ℵ 1 = najmniejsza moc zbioru nieprzeliczalnego, je±li κ = ℵ α, to κ + = ℵ α+1.

24 Liczby kardynalne ℵ α = α-ta niesko«czona liczba kardynalna. W szczególno±ci: ℵ 0 = N, ℵ 1 = najmniejsza moc zbioru nieprzeliczalnego, je±li κ = ℵ α, to κ + = ℵ α+1.

25 Liczby kardynalne ℵ α = α-ta niesko«czona liczba kardynalna. W szczególno±ci: ℵ 0 = N, ℵ 1 = najmniejsza moc zbioru nieprzeliczalnego, je±li κ = ℵ α, to κ + = ℵ α+1.

26 Liczby kardynalne ℵ α = α-ta niesko«czona liczba kardynalna. W szczególno±ci: ℵ 0 = N, ℵ 1 = najmniejsza moc zbioru nieprzeliczalnego, je±li κ = ℵ α, to κ + = ℵ α+1.

27 Co to jest ℵ 1? Zbiór mocy ℵ 1 to zbiór nieprzeliczalny, dobrze uporz dkowany w taki sposób,»e wszystkie jego (wªa±ciwe) odcinki pocz tkowe s co najwy»ej przeliczalne. Uto»samienia: ℵ 0 = ω = N, ℵ 1 = ω 1 = namniejsza nieprzeliczalna liczba porz dkowa.

28 Co to jest ℵ 1? Zbiór mocy ℵ 1 to zbiór nieprzeliczalny, dobrze uporz dkowany w taki sposób,»e wszystkie jego (wªa±ciwe) odcinki pocz tkowe s co najwy»ej przeliczalne. Uto»samienia: ℵ 0 = ω = N, ℵ 1 = ω 1 = namniejsza nieprzeliczalna liczba porz dkowa.

29 Co to jest ℵ 1? Zbiór mocy ℵ 1 to zbiór nieprzeliczalny, dobrze uporz dkowany w taki sposób,»e wszystkie jego (wªa±ciwe) odcinki pocz tkowe s co najwy»ej przeliczalne. Uto»samienia: ℵ 0 = ω = N, ℵ 1 = ω 1 = namniejsza nieprzeliczalna liczba porz dkowa.

30 Co to jest ℵ 1? Zbiór mocy ℵ 1 to zbiór nieprzeliczalny, dobrze uporz dkowany w taki sposób,»e wszystkie jego (wªa±ciwe) odcinki pocz tkowe s co najwy»ej przeliczalne. Uto»samienia: ℵ 0 = ω = N, ℵ 1 = ω 1 = namniejsza nieprzeliczalna liczba porz dkowa.

31 Wspóªczynnik wspóªko«cowo±ci (konalno±ci) Pytanie: czy je±li zbiór niesko«czonej mocy κ podzielimy na mniej ni» κ kawaªków, to jeden z nich musi mie moc κ? Przykªad κ = ℵ 0 TAK, κ = ℵ 1 TAK, κ = ℵ α+1 TAK, κ = ℵ ω NIE. ℵ ω = n N({n} X n ), gdzie X n = ℵ n. Odpowied¹: TAK wtedy i tylko wtedy, gdy κ jest liczb regularn. W p.p. κ jest liczb nieregularn.

32 Wspóªczynnik wspóªko«cowo±ci (konalno±ci) Pytanie: czy je±li zbiór niesko«czonej mocy κ podzielimy na mniej ni» κ kawaªków, to jeden z nich musi mie moc κ? Przykªad κ = ℵ 0 TAK, κ = ℵ 1 TAK, κ = ℵ α+1 TAK, κ = ℵ ω NIE. ℵ ω = n N({n} X n ), gdzie X n = ℵ n. Odpowied¹: TAK wtedy i tylko wtedy, gdy κ jest liczb regularn. W p.p. κ jest liczb nieregularn.

33 Wspóªczynnik wspóªko«cowo±ci (konalno±ci) Pytanie: czy je±li zbiór niesko«czonej mocy κ podzielimy na mniej ni» κ kawaªków, to jeden z nich musi mie moc κ? Przykªad κ = ℵ 0 TAK, κ = ℵ 1 TAK, κ = ℵ α+1 TAK, κ = ℵ ω NIE. ℵ ω = n N({n} X n ), gdzie X n = ℵ n. Odpowied¹: TAK wtedy i tylko wtedy, gdy κ jest liczb regularn. W p.p. κ jest liczb nieregularn.

34 Wspóªczynnik wspóªko«cowo±ci (konalno±ci) Pytanie: czy je±li zbiór niesko«czonej mocy κ podzielimy na mniej ni» κ kawaªków, to jeden z nich musi mie moc κ? Przykªad κ = ℵ 0 TAK, κ = ℵ 1 TAK, κ = ℵ α+1 TAK, κ = ℵ ω NIE. ℵ ω = n N({n} X n ), gdzie X n = ℵ n. Odpowied¹: TAK wtedy i tylko wtedy, gdy κ jest liczb regularn. W p.p. κ jest liczb nieregularn.

35 Wspóªczynnik wspóªko«cowo±ci (konalno±ci) Pytanie: czy je±li zbiór niesko«czonej mocy κ podzielimy na mniej ni» κ kawaªków, to jeden z nich musi mie moc κ? Przykªad κ = ℵ 0 TAK, κ = ℵ 1 TAK, κ = ℵ α+1 TAK, κ = ℵ ω NIE. ℵ ω = n N({n} X n ), gdzie X n = ℵ n. Odpowied¹: TAK wtedy i tylko wtedy, gdy κ jest liczb regularn. W p.p. κ jest liczb nieregularn.

36 Wspóªczynnik wspóªko«cowo±ci (konalno±ci) Pytanie: czy je±li zbiór niesko«czonej mocy κ podzielimy na mniej ni» κ kawaªków, to jeden z nich musi mie moc κ? Przykªad κ = ℵ 0 TAK, κ = ℵ 1 TAK, κ = ℵ α+1 TAK, κ = ℵ ω NIE. ℵ ω = n N({n} X n ), gdzie X n = ℵ n. Odpowied¹: TAK wtedy i tylko wtedy, gdy κ jest liczb regularn. W p.p. κ jest liczb nieregularn.

37 Wspóªczynnik wspóªko«cowo±ci (konalno±ci) Pytanie: czy je±li zbiór niesko«czonej mocy κ podzielimy na mniej ni» κ kawaªków, to jeden z nich musi mie moc κ? Przykªad κ = ℵ 0 TAK, κ = ℵ 1 TAK, κ = ℵ α+1 TAK, κ = ℵ ω NIE. ℵ ω = n N({n} X n ), gdzie X n = ℵ n. Odpowied¹: TAK wtedy i tylko wtedy, gdy κ jest liczb regularn. W p.p. κ jest liczb nieregularn.

38 Wspóªczynnik wspóªko«cowo±ci (konalno±ci) Pytanie: czy je±li zbiór niesko«czonej mocy κ podzielimy na mniej ni» κ kawaªków, to jeden z nich musi mie moc κ? Przykªad κ = ℵ 0 TAK, κ = ℵ 1 TAK, κ = ℵ α+1 TAK, κ = ℵ ω NIE. ℵ ω = n N({n} X n ), gdzie X n = ℵ n. Odpowied¹: TAK wtedy i tylko wtedy, gdy κ jest liczb regularn. W p.p. κ jest liczb nieregularn.

39 Wspóªczynnik wspóªko«cowo±ci (konalno±ci) Pytanie: czy je±li zbiór niesko«czonej mocy κ podzielimy na mniej ni» κ kawaªków, to jeden z nich musi mie moc κ? Przykªad κ = ℵ 0 TAK, κ = ℵ 1 TAK, κ = ℵ α+1 TAK, κ = ℵ ω NIE. ℵ ω = n N({n} X n ), gdzie X n = ℵ n. Odpowied¹: TAK wtedy i tylko wtedy, gdy κ jest liczb regularn. W p.p. κ jest liczb nieregularn.

40 Ogólnie, najmniejsza liczba kardynalna λ taka,»e zbiór mocy κ jest sum λ swoich podzbiorów, z których ka»dy jest mocy mniejszej ni» κ, nazywa si wspóªczynnikiem wspóªko«cowo±ci liczby kardynalnej κ i jest oznaczana cf(κ). Je±li cf(κ) = λ, to mówimy te»,»e liczba kardynalna κ ma wspóªko«cowo± λ. Liczba κ jest regularna, je±li cf(κ) = κ, a nieregularna, je±li cf(κ) < κ. Przykªad cf(ℵ ω ) = ℵ 0, cf(2 ℵ 0 ) > ℵ 0, cf(2 κ ) > κ.

41 Ogólnie, najmniejsza liczba kardynalna λ taka,»e zbiór mocy κ jest sum λ swoich podzbiorów, z których ka»dy jest mocy mniejszej ni» κ, nazywa si wspóªczynnikiem wspóªko«cowo±ci liczby kardynalnej κ i jest oznaczana cf(κ). Je±li cf(κ) = λ, to mówimy te»,»e liczba kardynalna κ ma wspóªko«cowo± λ. Liczba κ jest regularna, je±li cf(κ) = κ, a nieregularna, je±li cf(κ) < κ. Przykªad cf(ℵ ω ) = ℵ 0, cf(2 ℵ 0 ) > ℵ 0, cf(2 κ ) > κ.

42 Ogólnie, najmniejsza liczba kardynalna λ taka,»e zbiór mocy κ jest sum λ swoich podzbiorów, z których ka»dy jest mocy mniejszej ni» κ, nazywa si wspóªczynnikiem wspóªko«cowo±ci liczby kardynalnej κ i jest oznaczana cf(κ). Je±li cf(κ) = λ, to mówimy te»,»e liczba kardynalna κ ma wspóªko«cowo± λ. Liczba κ jest regularna, je±li cf(κ) = κ, a nieregularna, je±li cf(κ) < κ. Przykªad cf(ℵ ω ) = ℵ 0, cf(2 ℵ 0 ) > ℵ 0, cf(2 κ ) > κ.

43 Ogólnie, najmniejsza liczba kardynalna λ taka,»e zbiór mocy κ jest sum λ swoich podzbiorów, z których ka»dy jest mocy mniejszej ni» κ, nazywa si wspóªczynnikiem wspóªko«cowo±ci liczby kardynalnej κ i jest oznaczana cf(κ). Je±li cf(κ) = λ, to mówimy te»,»e liczba kardynalna κ ma wspóªko«cowo± λ. Liczba κ jest regularna, je±li cf(κ) = κ, a nieregularna, je±li cf(κ) < κ. Przykªad cf(ℵ ω ) = ℵ 0, cf(2 ℵ 0 ) > ℵ 0, cf(2 κ ) > κ.

44 Ogólnie, najmniejsza liczba kardynalna λ taka,»e zbiór mocy κ jest sum λ swoich podzbiorów, z których ka»dy jest mocy mniejszej ni» κ, nazywa si wspóªczynnikiem wspóªko«cowo±ci liczby kardynalnej κ i jest oznaczana cf(κ). Je±li cf(κ) = λ, to mówimy te»,»e liczba kardynalna κ ma wspóªko«cowo± λ. Liczba κ jest regularna, je±li cf(κ) = κ, a nieregularna, je±li cf(κ) < κ. Przykªad cf(ℵ ω ) = ℵ 0, cf(2 ℵ 0 ) > ℵ 0, cf(2 κ ) > κ.

45 Ogólnie, najmniejsza liczba kardynalna λ taka,»e zbiór mocy κ jest sum λ swoich podzbiorów, z których ka»dy jest mocy mniejszej ni» κ, nazywa si wspóªczynnikiem wspóªko«cowo±ci liczby kardynalnej κ i jest oznaczana cf(κ). Je±li cf(κ) = λ, to mówimy te»,»e liczba kardynalna κ ma wspóªko«cowo± λ. Liczba κ jest regularna, je±li cf(κ) = κ, a nieregularna, je±li cf(κ) < κ. Przykªad cf(ℵ ω ) = ℵ 0, cf(2 ℵ 0 ) > ℵ 0, cf(2 κ ) > κ.

46 Pot gowanie liczb regularnych Easton: teoria mnogo±ci (ZFC) narzuca na warto±ci 2 κ dla liczb regularnych jedynie dwa ograniczenia: κ < λ 2 κ 2 λ, cf(2 κ ) > κ. Przykªad Ka»de z nast puj cych zda«jest niesprzeczne: 2 κ = κ + dla wszystkich liczb kardynalnych κ (GCH), 2 ℵn = ℵ n+1 dla n < 158 i 2 ℵ 158 = ℵ ω1 (ale nie ℵ ω ).

47 Pot gowanie liczb regularnych Easton: teoria mnogo±ci (ZFC) narzuca na warto±ci 2 κ dla liczb regularnych jedynie dwa ograniczenia: κ < λ 2 κ 2 λ, cf(2 κ ) > κ. Przykªad Ka»de z nast puj cych zda«jest niesprzeczne: 2 κ = κ + dla wszystkich liczb kardynalnych κ (GCH), 2 ℵn = ℵ n+1 dla n < 158 i 2 ℵ 158 = ℵ ω1 (ale nie ℵ ω ).

48 Pot gowanie liczb regularnych Easton: teoria mnogo±ci (ZFC) narzuca na warto±ci 2 κ dla liczb regularnych jedynie dwa ograniczenia: κ < λ 2 κ 2 λ, cf(2 κ ) > κ. Przykªad Ka»de z nast puj cych zda«jest niesprzeczne: 2 κ = κ + dla wszystkich liczb kardynalnych κ (GCH), 2 ℵn = ℵ n+1 dla n < 158 i 2 ℵ 158 = ℵ ω1 (ale nie ℵ ω ).

49 Pot gowanie liczb regularnych Easton: teoria mnogo±ci (ZFC) narzuca na warto±ci 2 κ dla liczb regularnych jedynie dwa ograniczenia: κ < λ 2 κ 2 λ, cf(2 κ ) > κ. Przykªad Ka»de z nast puj cych zda«jest niesprzeczne: 2 κ = κ + dla wszystkich liczb kardynalnych κ (GCH), 2 ℵn = ℵ n+1 dla n < 158 i 2 ℵ 158 = ℵ ω1 (ale nie ℵ ω ).

50 Pot gowanie liczb regularnych Easton: teoria mnogo±ci (ZFC) narzuca na warto±ci 2 κ dla liczb regularnych jedynie dwa ograniczenia: κ < λ 2 κ 2 λ, cf(2 κ ) > κ. Przykªad Ka»de z nast puj cych zda«jest niesprzeczne: 2 κ = κ + dla wszystkich liczb kardynalnych κ (GCH), 2 ℵn = ℵ n+1 dla n < 158 i 2 ℵ 158 = ℵ ω1 (ale nie ℵ ω ).

51 Pot gowanie liczb regularnych Easton: teoria mnogo±ci (ZFC) narzuca na warto±ci 2 κ dla liczb regularnych jedynie dwa ograniczenia: κ < λ 2 κ 2 λ, cf(2 κ ) > κ. Przykªad Ka»de z nast puj cych zda«jest niesprzeczne: 2 κ = κ + dla wszystkich liczb kardynalnych κ (GCH), 2 ℵn = ℵ n+1 dla n < 158 i 2 ℵ 158 = ℵ ω1 (ale nie ℵ ω ).

52 Pot gowanie liczb nieregularnych Magidor (1973): Niesprzecznie: 2 ℵn = ℵ n+1 dla n N, ale 2 ℵω > ℵ ω+1. Silver (1974): Je±li 2 ℵα = ℵ α+1 dla α < ω 1, to 2 ℵω 1 = ℵ ω1 +1. Shelah (198?): Je±li 2 ℵn < ℵ ω dla n N, to 2 ℵω < ℵ ω4.

53 Pot gowanie liczb nieregularnych Magidor (1973): Niesprzecznie: 2 ℵn = ℵ n+1 dla n N, ale 2 ℵω > ℵ ω+1. Silver (1974): Je±li 2 ℵα = ℵ α+1 dla α < ω 1, to 2 ℵω 1 = ℵ ω1 +1. Shelah (198?): Je±li 2 ℵn < ℵ ω dla n N, to 2 ℵω < ℵ ω4.

54 Pot gowanie liczb nieregularnych Magidor (1973): Niesprzecznie: 2 ℵn = ℵ n+1 dla n N, ale 2 ℵω > ℵ ω+1. Silver (1974): Je±li 2 ℵα = ℵ α+1 dla α < ω 1, to 2 ℵω 1 = ℵ ω1 +1. Shelah (198?): Je±li 2 ℵn < ℵ ω dla n N, to 2 ℵω < ℵ ω4.

55 Twierdzenie Ramseya, a porz dki liniowe Pytanie: Czy je±li pary elementów zbioru X niesko«czonej mocy κ pokolorujemy na 2 kolory, to znajdzie si podzbiór Y mocy κ, jednorodny ze wzgl du na to kolorowanie, tzn. taki.»e wszystkie pary elementów zbior Y s tego samego koloru? κ = ℵ 0 TAK, κ = ℵ 1 NIE, κ = ℵ α+1 NIE, κ nieregularna NIE.

56 Twierdzenie Ramseya, a porz dki liniowe Pytanie: Czy je±li pary elementów zbioru X niesko«czonej mocy κ pokolorujemy na 2 kolory, to znajdzie si podzbiór Y mocy κ, jednorodny ze wzgl du na to kolorowanie, tzn. taki.»e wszystkie pary elementów zbior Y s tego samego koloru? κ = ℵ 0 TAK, κ = ℵ 1 NIE, κ = ℵ α+1 NIE, κ nieregularna NIE.

57 Twierdzenie Ramseya, a porz dki liniowe Pytanie: Czy je±li pary elementów zbioru X niesko«czonej mocy κ pokolorujemy na 2 kolory, to znajdzie si podzbiór Y mocy κ, jednorodny ze wzgl du na to kolorowanie, tzn. taki.»e wszystkie pary elementów zbior Y s tego samego koloru? κ = ℵ 0 TAK, κ = ℵ 1 NIE, κ = ℵ α+1 NIE, κ nieregularna NIE.

58 Twierdzenie Ramseya, a porz dki liniowe Pytanie: Czy je±li pary elementów zbioru X niesko«czonej mocy κ pokolorujemy na 2 kolory, to znajdzie si podzbiór Y mocy κ, jednorodny ze wzgl du na to kolorowanie, tzn. taki.»e wszystkie pary elementów zbior Y s tego samego koloru? κ = ℵ 0 TAK, κ = ℵ 1 NIE, κ = ℵ α+1 NIE, κ nieregularna NIE.

59 Twierdzenie Ramseya, a porz dki liniowe Pytanie: Czy je±li pary elementów zbioru X niesko«czonej mocy κ pokolorujemy na 2 kolory, to znajdzie si podzbiór Y mocy κ, jednorodny ze wzgl du na to kolorowanie, tzn. taki.»e wszystkie pary elementów zbior Y s tego samego koloru? κ = ℵ 0 TAK, κ = ℵ 1 NIE, κ = ℵ α+1 NIE, κ nieregularna NIE.

60 Twierdzenie Ramseya, a porz dki liniowe Pytanie: Czy je±li pary elementów zbioru X niesko«czonej mocy κ pokolorujemy na 2 kolory, to znajdzie si podzbiór Y mocy κ, jednorodny ze wzgl du na to kolorowanie, tzn. taki.»e wszystkie pary elementów zbior Y s tego samego koloru? κ = ℵ 0 TAK, κ = ℵ 1 NIE, κ = ℵ α+1 NIE, κ nieregularna NIE.

61 Spostrze»enia Ka»dy niesko«czony zbiór liniowo uporz dkowany zawiera podzbiór typu ω lub podzbiór typu ω. Zbiór liczb rzeczywistych nie zawiera»adnego podzbioru typu ω 1 ani podzbioru typu ω 1.

62 Spostrze»enia Ka»dy niesko«czony zbiór liniowo uporz dkowany zawiera podzbiór typu ω lub podzbiór typu ω. Zbiór liczb rzeczywistych nie zawiera»adnego podzbioru typu ω 1 ani podzbioru typu ω 1.

63 Spostrze»enia Ka»dy niesko«czony zbiór liniowo uporz dkowany zawiera podzbiór typu ω lub podzbiór typu ω. Zbiór liczb rzeczywistych nie zawiera»adnego podzbioru typu ω 1 ani podzbioru typu ω 1.

64 Spostrze»enia Ka»dy niesko«czony zbiór liniowo uporz dkowany zawiera podzbiór typu ω lub podzbiór typu ω. Zbiór liczb rzeczywistych nie zawiera»adnego podzbioru typu ω 1 ani podzbioru typu ω 1.

65 Sierpi«ski (1933): Istnieje kolorowanie par elementów zbioru mocy 2 ℵ 0 na 2 kolory bez nieprzeliczalnego podzbioru jednorodnego. Ogólniej: Zbiór {0, 1} ωα wszystkich ci gów binarnych o dziedzinie ω α, uporz dkowany leksykogracznie, nie zawiera»adnego podzbioru typu ω α+1 ani podzbioru typu ω α+1. Sierpi«ski (1933): Istnieje kolorowanie par elementów zbioru mocy 2 ℵα na 2 kolory bez podzbioru jednorodnego mocy ℵ α+1.

66 Sierpi«ski (1933): Istnieje kolorowanie par elementów zbioru mocy 2 ℵ 0 na 2 kolory bez nieprzeliczalnego podzbioru jednorodnego. Ogólniej: Zbiór {0, 1} ωα wszystkich ci gów binarnych o dziedzinie ω α, uporz dkowany leksykogracznie, nie zawiera»adnego podzbioru typu ω α+1 ani podzbioru typu ω α+1. Sierpi«ski (1933): Istnieje kolorowanie par elementów zbioru mocy 2 ℵα na 2 kolory bez podzbioru jednorodnego mocy ℵ α+1.

67 Sierpi«ski (1933): Istnieje kolorowanie par elementów zbioru mocy 2 ℵ 0 na 2 kolory bez nieprzeliczalnego podzbioru jednorodnego. Ogólniej: Zbiór {0, 1} ωα wszystkich ci gów binarnych o dziedzinie ω α, uporz dkowany leksykogracznie, nie zawiera»adnego podzbioru typu ω α+1 ani podzbioru typu ω α+1. Sierpi«ski (1933): Istnieje kolorowanie par elementów zbioru mocy 2 ℵα na 2 kolory bez podzbioru jednorodnego mocy ℵ α+1.

68 Sierpi«ski (1933): Istnieje kolorowanie par elementów zbioru mocy 2 ℵ 0 na 2 kolory bez nieprzeliczalnego podzbioru jednorodnego. Ogólniej: Zbiór {0, 1} ωα wszystkich ci gów binarnych o dziedzinie ω α, uporz dkowany leksykogracznie, nie zawiera»adnego podzbioru typu ω α+1 ani podzbioru typu ω α+1. Sierpi«ski (1933): Istnieje kolorowanie par elementów zbioru mocy 2 ℵα na 2 kolory bez podzbioru jednorodnego mocy ℵ α+1.

69 Pytanie: Czy ka»dy nieprzeliczalny zbiór liniowo uporz dkowany zawiera podzbiór jednego z nast puj cych typów: ω 1, ω 1, nieprzeliczalny podzbiór typu rzeczywistego (tzn. jakiego± nieprzeliczalnego podzbioru R)? Specker: Istnieje typ Speckera czyli prosta Aronszajna, tzn. taki nieprzeliczalny zbiór liniowo uporz dkowany, który nie zawiera nieprzeliczalnego podzbioru»adnego z powy»szych typów. Uwaga Ka»da prosta Aronszajna ma moc ℵ 1. Wniosek Ka»dy zbiór liniowo uporz dkowany mocy wi kszej ni» ℵ 1 zawiera podzbiór jednego z nast puj cych typów: ω 1, ω 1, nieprzeliczalny podzbiór typu rzeczywistego (tzn. jakiego± nieprzeliczalnego podzbioru R).

70 Pytanie: Czy ka»dy nieprzeliczalny zbiór liniowo uporz dkowany zawiera podzbiór jednego z nast puj cych typów: ω 1, ω 1, nieprzeliczalny podzbiór typu rzeczywistego (tzn. jakiego± nieprzeliczalnego podzbioru R)? Specker: Istnieje typ Speckera czyli prosta Aronszajna, tzn. taki nieprzeliczalny zbiór liniowo uporz dkowany, który nie zawiera nieprzeliczalnego podzbioru»adnego z powy»szych typów. Uwaga Ka»da prosta Aronszajna ma moc ℵ 1. Wniosek Ka»dy zbiór liniowo uporz dkowany mocy wi kszej ni» ℵ 1 zawiera podzbiór jednego z nast puj cych typów: ω 1, ω 1, nieprzeliczalny podzbiór typu rzeczywistego (tzn. jakiego± nieprzeliczalnego podzbioru R).

71 Pytanie: Czy ka»dy nieprzeliczalny zbiór liniowo uporz dkowany zawiera podzbiór jednego z nast puj cych typów: ω 1, ω 1, nieprzeliczalny podzbiór typu rzeczywistego (tzn. jakiego± nieprzeliczalnego podzbioru R)? Specker: Istnieje typ Speckera czyli prosta Aronszajna, tzn. taki nieprzeliczalny zbiór liniowo uporz dkowany, który nie zawiera nieprzeliczalnego podzbioru»adnego z powy»szych typów. Uwaga Ka»da prosta Aronszajna ma moc ℵ 1. Wniosek Ka»dy zbiór liniowo uporz dkowany mocy wi kszej ni» ℵ 1 zawiera podzbiór jednego z nast puj cych typów: ω 1, ω 1, nieprzeliczalny podzbiór typu rzeczywistego (tzn. jakiego± nieprzeliczalnego podzbioru R).

72 Pytanie: Czy ka»dy nieprzeliczalny zbiór liniowo uporz dkowany zawiera podzbiór jednego z nast puj cych typów: ω 1, ω 1, nieprzeliczalny podzbiór typu rzeczywistego (tzn. jakiego± nieprzeliczalnego podzbioru R)? Specker: Istnieje typ Speckera czyli prosta Aronszajna, tzn. taki nieprzeliczalny zbiór liniowo uporz dkowany, który nie zawiera nieprzeliczalnego podzbioru»adnego z powy»szych typów. Uwaga Ka»da prosta Aronszajna ma moc ℵ 1. Wniosek Ka»dy zbiór liniowo uporz dkowany mocy wi kszej ni» ℵ 1 zawiera podzbiór jednego z nast puj cych typów: ω 1, ω 1, nieprzeliczalny podzbiór typu rzeczywistego (tzn. jakiego± nieprzeliczalnego podzbioru R).

73 Drzewo to zbiór cz ±ciowo uporz dkowany (T, ) taki,»e wszystkie odcinki pocz tkowe {y T : y < x}, wyznaczone przez wierzchoªki x T, s dobrze uporz dkowane. T α = {x T : typ({y T : y < x}) = α} = α-ty poziom drzewa. T jest ω 1 -drzewem, je±li poziomy T α dla α < ω 1 s niepuste i co najwy»ej przeliczalne oraz T ω1 =. Drzewo Aronszajna to ω 1 -drzewo bez nieprzeliczalnych ªa«cuchów.

74 Drzewo to zbiór cz ±ciowo uporz dkowany (T, ) taki,»e wszystkie odcinki pocz tkowe {y T : y < x}, wyznaczone przez wierzchoªki x T, s dobrze uporz dkowane. T α = {x T : typ({y T : y < x}) = α} = α-ty poziom drzewa. T jest ω 1 -drzewem, je±li poziomy T α dla α < ω 1 s niepuste i co najwy»ej przeliczalne oraz T ω1 =. Drzewo Aronszajna to ω 1 -drzewo bez nieprzeliczalnych ªa«cuchów.

75 Drzewo to zbiór cz ±ciowo uporz dkowany (T, ) taki,»e wszystkie odcinki pocz tkowe {y T : y < x}, wyznaczone przez wierzchoªki x T, s dobrze uporz dkowane. T α = {x T : typ({y T : y < x}) = α} = α-ty poziom drzewa. T jest ω 1 -drzewem, je±li poziomy T α dla α < ω 1 s niepuste i co najwy»ej przeliczalne oraz T ω1 =. Drzewo Aronszajna to ω 1 -drzewo bez nieprzeliczalnych ªa«cuchów.

76 Drzewo to zbiór cz ±ciowo uporz dkowany (T, ) taki,»e wszystkie odcinki pocz tkowe {y T : y < x}, wyznaczone przez wierzchoªki x T, s dobrze uporz dkowane. T α = {x T : typ({y T : y < x}) = α} = α-ty poziom drzewa. T jest ω 1 -drzewem, je±li poziomy T α dla α < ω 1 s niepuste i co najwy»ej przeliczalne oraz T ω1 =. Drzewo Aronszajna to ω 1 -drzewo bez nieprzeliczalnych ªa«cuchów.

77 Pytanie: Jak maªa mo»e by moc bazy nieprzeliczalnych porz dków liniowych? Sierpi«ski (1950): Przy CH nieprzeliczalna (nawet dla nieprzeliczalnych typów rzeczywistych). Baumgartner (1973): Niesprzecznie dla nieprzeliczalnych typów rzeczywistych jednoelementowa (dowolny zbiór ℵ 1 -g sty).

78 Pytanie: Jak maªa mo»e by moc bazy nieprzeliczalnych porz dków liniowych? Sierpi«ski (1950): Przy CH nieprzeliczalna (nawet dla nieprzeliczalnych typów rzeczywistych). Baumgartner (1973): Niesprzecznie dla nieprzeliczalnych typów rzeczywistych jednoelementowa (dowolny zbiór ℵ 1 -g sty).

79 Pytanie: Jak maªa mo»e by moc bazy nieprzeliczalnych porz dków liniowych? Sierpi«ski (1950): Przy CH nieprzeliczalna (nawet dla nieprzeliczalnych typów rzeczywistych). Baumgartner (1973): Niesprzecznie dla nieprzeliczalnych typów rzeczywistych jednoelementowa (dowolny zbiór ℵ 1 -g sty).

80 Shelah (1976): Istnieje porz dek Countrymana. tzn. taki nieprzeliczalny zbiór liniowo uporz dkowany, którego kwadrat kartezja«ski (z porz dkiem produktowym) jest przeliczaln sum ªa«cuchów. Uwaga Ka»dy porz dek Countrymana jest prost Aronszajna. Je±li C jest porz dkiem Countrymana, to C te» jest porz dkiem Countrymana, ortogonalnym do C. J. Moore (2006): Niesprzecznie istnieje 5-elementowa baza dla nieprzeliczalnych porz dków liniowych: ω 1, ω 1, X, C oraz C, gdzie X jest typem rzeczywistym mocy ℵ 1, a C dowolnym porz dkiem Countrymana.

81 Shelah (1976): Istnieje porz dek Countrymana. tzn. taki nieprzeliczalny zbiór liniowo uporz dkowany, którego kwadrat kartezja«ski (z porz dkiem produktowym) jest przeliczaln sum ªa«cuchów. Uwaga Ka»dy porz dek Countrymana jest prost Aronszajna. Je±li C jest porz dkiem Countrymana, to C te» jest porz dkiem Countrymana, ortogonalnym do C. J. Moore (2006): Niesprzecznie istnieje 5-elementowa baza dla nieprzeliczalnych porz dków liniowych: ω 1, ω 1, X, C oraz C, gdzie X jest typem rzeczywistym mocy ℵ 1, a C dowolnym porz dkiem Countrymana.

82 Shelah (1976): Istnieje porz dek Countrymana. tzn. taki nieprzeliczalny zbiór liniowo uporz dkowany, którego kwadrat kartezja«ski (z porz dkiem produktowym) jest przeliczaln sum ªa«cuchów. Uwaga Ka»dy porz dek Countrymana jest prost Aronszajna. Je±li C jest porz dkiem Countrymana, to C te» jest porz dkiem Countrymana, ortogonalnym do C. J. Moore (2006): Niesprzecznie istnieje 5-elementowa baza dla nieprzeliczalnych porz dków liniowych: ω 1, ω 1, X, C oraz C, gdzie X jest typem rzeczywistym mocy ℵ 1, a C dowolnym porz dkiem Countrymana.

83 Shelah (1976): Istnieje porz dek Countrymana. tzn. taki nieprzeliczalny zbiór liniowo uporz dkowany, którego kwadrat kartezja«ski (z porz dkiem produktowym) jest przeliczaln sum ªa«cuchów. Uwaga Ka»dy porz dek Countrymana jest prost Aronszajna. Je±li C jest porz dkiem Countrymana, to C te» jest porz dkiem Countrymana, ortogonalnym do C. J. Moore (2006): Niesprzecznie istnieje 5-elementowa baza dla nieprzeliczalnych porz dków liniowych: ω 1, ω 1, X, C oraz C, gdzie X jest typem rzeczywistym mocy ℵ 1, a C dowolnym porz dkiem Countrymana.

84 Shelah (1976): Istnieje porz dek Countrymana. tzn. taki nieprzeliczalny zbiór liniowo uporz dkowany, którego kwadrat kartezja«ski (z porz dkiem produktowym) jest przeliczaln sum ªa«cuchów. Uwaga Ka»dy porz dek Countrymana jest prost Aronszajna. Je±li C jest porz dkiem Countrymana, to C te» jest porz dkiem Countrymana, ortogonalnym do C. J. Moore (2006): Niesprzecznie istnieje 5-elementowa baza dla nieprzeliczalnych porz dków liniowych: ω 1, ω 1, X, C oraz C, gdzie X jest typem rzeczywistym mocy ℵ 1, a C dowolnym porz dkiem Countrymana.

85 Silne kontrprzykªady dla ℵ 1 Sierpi«ski (1933): Istnieje funkcja f : [ω 1 ] 2 {0, 1} taka,»e je±li A ω 1 jest zbiorem mocy ℵ 1, to f [A] 2 = {0, 1}. Todor evi (1987): Istnieje funkcja f : [ω 1 ] 2 ω 1 taka,»e je±li A ω 1 jest zbiorem mocy ℵ 1, to f [A] 2 = ω 1. Moore (2006): Istnieje funkcja f : [ω 1 ] 2 ω 1 taka,»e je±li A, B ω 1 s mocy ℵ 1 oraz ξ < ω 1, to istniej α A i β B takie,»e f (α, β) = ξ.

86 Silne kontrprzykªady dla ℵ 1 Sierpi«ski (1933): Istnieje funkcja f : [ω 1 ] 2 {0, 1} taka,»e je±li A ω 1 jest zbiorem mocy ℵ 1, to f [A] 2 = {0, 1}. Todor evi (1987): Istnieje funkcja f : [ω 1 ] 2 ω 1 taka,»e je±li A ω 1 jest zbiorem mocy ℵ 1, to f [A] 2 = ω 1. Moore (2006): Istnieje funkcja f : [ω 1 ] 2 ω 1 taka,»e je±li A, B ω 1 s mocy ℵ 1 oraz ξ < ω 1, to istniej α A i β B takie,»e f (α, β) = ξ.

87 Silne kontrprzykªady dla ℵ 1 Sierpi«ski (1933): Istnieje funkcja f : [ω 1 ] 2 {0, 1} taka,»e je±li A ω 1 jest zbiorem mocy ℵ 1, to f [A] 2 = {0, 1}. Todor evi (1987): Istnieje funkcja f : [ω 1 ] 2 ω 1 taka,»e je±li A ω 1 jest zbiorem mocy ℵ 1, to f [A] 2 = ω 1. Moore (2006): Istnieje funkcja f : [ω 1 ] 2 ω 1 taka,»e je±li A, B ω 1 s mocy ℵ 1 oraz ξ < ω 1, to istniej α A i β B takie,»e f (α, β) = ξ.

88 Silne kontrprzykªady dla ℵ 1 Sierpi«ski (1933): Istnieje funkcja f : [ω 1 ] 2 {0, 1} taka,»e je±li A ω 1 jest zbiorem mocy ℵ 1, to f [A] 2 = {0, 1}. Todor evi (1987): Istnieje funkcja f : [ω 1 ] 2 ω 1 taka,»e je±li A ω 1 jest zbiorem mocy ℵ 1, to f [A] 2 = ω 1. Moore (2006): Istnieje funkcja f : [ω 1 ] 2 ω 1 taka,»e je±li A, B ω 1 s mocy ℵ 1 oraz ξ < ω 1, to istniej α A i β B takie,»e f (α, β) = ξ.

89 Odpowiedzi pozytywne Erdös, Rado (1956): Je±li pary elementów zbioru mocy (2 ℵα ) + pokolorujemy na 2 kolory, to istnieje podzbiór jednorodny mocy ℵ α+1. Erdös, Dushnik, Miller (1941): Je±li pary elementów zbioru nieprzeliczalnej mocy κ pokolorujemy na 2 kolory, to istnieje podzbiór 0-jednorodny niesko«czony lub podzbiór 1-jednorodny mocy κ.

90 Odpowiedzi pozytywne Erdös, Rado (1956): Je±li pary elementów zbioru mocy (2 ℵα ) + pokolorujemy na 2 kolory, to istnieje podzbiór jednorodny mocy ℵ α+1. Erdös, Dushnik, Miller (1941): Je±li pary elementów zbioru nieprzeliczalnej mocy κ pokolorujemy na 2 kolory, to istnieje podzbiór 0-jednorodny niesko«czony lub podzbiór 1-jednorodny mocy κ.

91 Odpowiedzi pozytywne Erdös, Rado (1956): Je±li pary elementów zbioru mocy (2 ℵα ) + pokolorujemy na 2 kolory, to istnieje podzbiór jednorodny mocy ℵ α+1. Erdös, Dushnik, Miller (1941): Je±li pary elementów zbioru nieprzeliczalnej mocy κ pokolorujemy na 2 kolory, to istnieje podzbiór 0-jednorodny niesko«czony lub podzbiór 1-jednorodny mocy κ.

92 Je±li dla dowolnego kolorowania na 2 kolory par elementów zbioru nieprzeliczalnej mocy κ istnieje podzbiór jednorodny mocy κ, to liczba kardynalna κ nazywa si sªabo zwarta. Spostrze»enie: Je±li na zbiorze nieprzeliczalnej mocy κ istnieje ultraltr niegªówny, κ-zupeªny (tak liczb nazywa si mierzaln ), to κ jest sªabo zwarta. Dla nieprzeliczalnej liczby kardynalnej κ nast puj ce warunki s równowa»ne: κ jest sªabo zwarta, κ jest regularna, silnie graniczna (je±li λ < κ, to 2 λ < κ) oraz ka»de κ-drzewo ma gaª ¹ mocy κ (inaczej: nie istnieje κ-drzewo Aronszajna).

93 Je±li dla dowolnego kolorowania na 2 kolory par elementów zbioru nieprzeliczalnej mocy κ istnieje podzbiór jednorodny mocy κ, to liczba kardynalna κ nazywa si sªabo zwarta. Spostrze»enie: Je±li na zbiorze nieprzeliczalnej mocy κ istnieje ultraltr niegªówny, κ-zupeªny (tak liczb nazywa si mierzaln ), to κ jest sªabo zwarta. Dla nieprzeliczalnej liczby kardynalnej κ nast puj ce warunki s równowa»ne: κ jest sªabo zwarta, κ jest regularna, silnie graniczna (je±li λ < κ, to 2 λ < κ) oraz ka»de κ-drzewo ma gaª ¹ mocy κ (inaczej: nie istnieje κ-drzewo Aronszajna).

94 Je±li dla dowolnego kolorowania na 2 kolory par elementów zbioru nieprzeliczalnej mocy κ istnieje podzbiór jednorodny mocy κ, to liczba kardynalna κ nazywa si sªabo zwarta. Spostrze»enie: Je±li na zbiorze nieprzeliczalnej mocy κ istnieje ultraltr niegªówny, κ-zupeªny (tak liczb nazywa si mierzaln ), to κ jest sªabo zwarta. Dla nieprzeliczalnej liczby kardynalnej κ nast puj ce warunki s równowa»ne: κ jest sªabo zwarta, κ jest regularna, silnie graniczna (je±li λ < κ, to 2 λ < κ) oraz ka»de κ-drzewo ma gaª ¹ mocy κ (inaczej: nie istnieje κ-drzewo Aronszajna).

95 Je±li dla dowolnego kolorowania na 2 kolory par elementów zbioru nieprzeliczalnej mocy κ istnieje podzbiór jednorodny mocy κ, to liczba kardynalna κ nazywa si sªabo zwarta. Spostrze»enie: Je±li na zbiorze nieprzeliczalnej mocy κ istnieje ultraltr niegªówny, κ-zupeªny (tak liczb nazywa si mierzaln ), to κ jest sªabo zwarta. Dla nieprzeliczalnej liczby kardynalnej κ nast puj ce warunki s równowa»ne: κ jest sªabo zwarta, κ jest regularna, silnie graniczna (je±li λ < κ, to 2 λ < κ) oraz ka»de κ-drzewo ma gaª ¹ mocy κ (inaczej: nie istnieje κ-drzewo Aronszajna).

96 Je±li dla dowolnego kolorowania na 2 kolory par elementów zbioru nieprzeliczalnej mocy κ istnieje podzbiór jednorodny mocy κ, to liczba kardynalna κ nazywa si sªabo zwarta. Spostrze»enie: Je±li na zbiorze nieprzeliczalnej mocy κ istnieje ultraltr niegªówny, κ-zupeªny (tak liczb nazywa si mierzaln ), to κ jest sªabo zwarta. Dla nieprzeliczalnej liczby kardynalnej κ nast puj ce warunki s równowa»ne: κ jest sªabo zwarta, κ jest regularna, silnie graniczna (je±li λ < κ, to 2 λ < κ) oraz ka»de κ-drzewo ma gaª ¹ mocy κ (inaczej: nie istnieje κ-drzewo Aronszajna).

97 Je±li dla dowolnego kolorowania na 2 kolory par elementów zbioru nieprzeliczalnej mocy κ istnieje podzbiór jednorodny mocy κ, to liczba kardynalna κ nazywa si sªabo zwarta. Spostrze»enie: Je±li na zbiorze nieprzeliczalnej mocy κ istnieje ultraltr niegªówny, κ-zupeªny (tak liczb nazywa si mierzaln ), to κ jest sªabo zwarta. Dla nieprzeliczalnej liczby kardynalnej κ nast puj ce warunki s równowa»ne: κ jest sªabo zwarta, κ jest regularna, silnie graniczna (je±li λ < κ, to 2 λ < κ) oraz ka»de κ-drzewo ma gaª ¹ mocy κ (inaczej: nie istnieje κ-drzewo Aronszajna).

98 Wªasno± zbioru doskonaªego Przestrze«topologiczna X jest przestrzeni polsk, je±li jest o±rodkowa i metryzowalna w sposób zupeªny. Przykªady: R, zbiór Cantora ({0, 1} N ), przestrze«baire'a (zbiór liczb niewymiernych), o±rodkowe przestrzenie Banacha. Podzbiory borelowskie przestrzeni X to elementy najmniejszego σ-ciaªa podzbiorów X, zawieraj cego wszystkie zbiory otwarte. Ka»dy nieprzeliczalny podzbiór borelowski przestrzeni polskiej zawiera zbiór doskonaªy (tzn. domkni ty, niepusty, bez punktów izolowanych), a wi c ma moc 2 ℵ 0 (zawiera homeomorczn kopi zbioru Cantora).

99 Wªasno± zbioru doskonaªego Przestrze«topologiczna X jest przestrzeni polsk, je±li jest o±rodkowa i metryzowalna w sposób zupeªny. Przykªady: R, zbiór Cantora ({0, 1} N ), przestrze«baire'a (zbiór liczb niewymiernych), o±rodkowe przestrzenie Banacha. Podzbiory borelowskie przestrzeni X to elementy najmniejszego σ-ciaªa podzbiorów X, zawieraj cego wszystkie zbiory otwarte. Ka»dy nieprzeliczalny podzbiór borelowski przestrzeni polskiej zawiera zbiór doskonaªy (tzn. domkni ty, niepusty, bez punktów izolowanych), a wi c ma moc 2 ℵ 0 (zawiera homeomorczn kopi zbioru Cantora).

100 Wªasno± zbioru doskonaªego Przestrze«topologiczna X jest przestrzeni polsk, je±li jest o±rodkowa i metryzowalna w sposób zupeªny. Przykªady: R, zbiór Cantora ({0, 1} N ), przestrze«baire'a (zbiór liczb niewymiernych), o±rodkowe przestrzenie Banacha. Podzbiory borelowskie przestrzeni X to elementy najmniejszego σ-ciaªa podzbiorów X, zawieraj cego wszystkie zbiory otwarte. Ka»dy nieprzeliczalny podzbiór borelowski przestrzeni polskiej zawiera zbiór doskonaªy (tzn. domkni ty, niepusty, bez punktów izolowanych), a wi c ma moc 2 ℵ 0 (zawiera homeomorczn kopi zbioru Cantora).

101 Zasada szuadkowa dla podziaªów na kawaªki borelowskie Wniosek Je±li nieprzeliczaln przestrze«polsk X podzielimy na przeliczalnie wiele podzbiorów borelowskich, to jeden z nich zawiera podzbiór doskonaªy.

102 Twierdzenie Ramseya dla podziaªów na kawaªki borelowskie Galvin: Niech X b dzie nieprzeliczaln przestrzeni polsk bez punktów izolowanych. Niech [X ] 2 = P 1... P k b dzie podziaªem zbioru wszystkich par punktów przestrzeni X na kawaªki borelowskie (w tym sensie,»e ka»dy ze zbiorów P i = {(x, y) X 2 : {x, y} P i } jest borelowski w X 2 ). Wtedy istnieje doskonaªy podzbiór jednorodny.

103 Kolorowanie podzbiorów o wi cej ni» 2 elementach Ramsey: Je±li podzbiory m-elementowe (m > 0-ustalona liczba naturalna) zbioru niesko«czonego pokolorujemy na k kolorów, to istnieje niesko«czony zbiór jednorodny. Erdös, Rado: Dla dowolnego niesko«czonego zbioru X istnieje kolorowanie przeliczalnych podzbiorów tego zbioru na 2 kolory bez niesko«czonego podzbioru jednorodnego. Innymi sªowy, istnieje podziaª [X ] ℵ 0 = P 1 P 2 taki,»e dla»adnego niesko«czonego zbioru A X nie zachodzi ani [A] ℵ 0 P 1, ani [A] ℵ 0 P 2.

104 Kolorowanie podzbiorów o wi cej ni» 2 elementach Ramsey: Je±li podzbiory m-elementowe (m > 0-ustalona liczba naturalna) zbioru niesko«czonego pokolorujemy na k kolorów, to istnieje niesko«czony zbiór jednorodny. Erdös, Rado: Dla dowolnego niesko«czonego zbioru X istnieje kolorowanie przeliczalnych podzbiorów tego zbioru na 2 kolory bez niesko«czonego podzbioru jednorodnego. Innymi sªowy, istnieje podziaª [X ] ℵ 0 = P 1 P 2 taki,»e dla»adnego niesko«czonego zbioru A X nie zachodzi ani [A] ℵ 0 P 1, ani [A] ℵ 0 P 2.

105 dowód twierdzenia E-R Niech b dzie relacj równowa»no±ci w [X ] ℵ 0, zdeniowan nast puj co: A B A B < ℵ 0. Niech f b dzie funkcj wyboru dla zbioru ilorazowego. Niech P 1 = {A [X ] ℵ 0 : A f (A) jest liczb nieparzyst }, P 2 = [X ] ℵ 0 \ P 1.

106 dowód twierdzenia E-R Niech b dzie relacj równowa»no±ci w [X ] ℵ 0, zdeniowan nast puj co: A B A B < ℵ 0. Niech f b dzie funkcj wyboru dla zbioru ilorazowego. Niech P 1 = {A [X ] ℵ 0 : A f (A) jest liczb nieparzyst }, P 2 = [X ] ℵ 0 \ P 1.

107 dowód twierdzenia E-R Niech b dzie relacj równowa»no±ci w [X ] ℵ 0, zdeniowan nast puj co: A B A B < ℵ 0. Niech f b dzie funkcj wyboru dla zbioru ilorazowego. Niech P 1 = {A [X ] ℵ 0 : A f (A) jest liczb nieparzyst }, P 2 = [X ] ℵ 0 \ P 1.

108 Galvin, Prikry: Niech [N] ℵ 0 = P 1... P k b dzie podziaªem na kawaªki borelowskie (zbiór [N] ℵ 0, uto»samiony via funkcje charakterystyczne z podzbiorem zbioru Cantora {0, 1} N, jest przestrzeni polsk, homeomorczn z przestrzeni Baire'a). Wtedy istnieje niesko«czony podzbiór jednorodny (tzn. taki niesko«czony A N,»e [A] ℵ 0 P i dla pewnego i).

109 Galvin, Prikry: Niech [N] ℵ 0 = P 1... P k b dzie podziaªem na kawaªki borelowskie (zbiór [N] ℵ 0, uto»samiony via funkcje charakterystyczne z podzbiorem zbioru Cantora {0, 1} N, jest przestrzeni polsk, homeomorczn z przestrzeni Baire'a). Wtedy istnieje niesko«czony podzbiór jednorodny (tzn. taki niesko«czony A N,»e [A] ℵ 0 P i dla pewnego i).

110 Ideaªy Ideaª podzbiorów zbioru X to rodzina I P(X ) zamkni ta na sko«czone sumy i podzbiory. Ideaª I jest κ-zupeªny, je±li jest zamkni ty na sumy mniej ni» κ wielu swoich elementów (ℵ 1 -zupeªny = σ-zupeªny). Ulam: Niech I b dzie σ-zupeªnym ideaªem na ω 1, zawieraj cym wszystkie singletony. Wówczas ω 1 mo»na podzieli na ℵ 1 podzbiorów spoza I.

111 Ideaªy Ideaª podzbiorów zbioru X to rodzina I P(X ) zamkni ta na sko«czone sumy i podzbiory. Ideaª I jest κ-zupeªny, je±li jest zamkni ty na sumy mniej ni» κ wielu swoich elementów (ℵ 1 -zupeªny = σ-zupeªny). Ulam: Niech I b dzie σ-zupeªnym ideaªem na ω 1, zawieraj cym wszystkie singletony. Wówczas ω 1 mo»na podzieli na ℵ 1 podzbiorów spoza I.

112 P-ideaªy Niech S b dzie zbiorem niesko«czonym. Rodzina I [S] ℵ 0 jest ideaªem w [S] ℵ 0, je±li jest zamkni ta na sko«czone sumy i podzbiory przeliczalne. Ideaª I w [S] ℵ 0 jest P-ideaªem, je±li dla ka»dego ci gu X n elementów I istnieje pewien X I taki,»e wszystkie zbiory X n \ X s sko«czone. Przykªad Niech S b dzie σ-ciaªem podzbiorów miary dodatniej odcinka [0, 1] i niech I b dzie zbiorem zªo»onym ze wszystkich rodzin przeliczalnych {A n : n N} S takich,»e m( n k n A k) = 0. Wówczas I jest P-ideaªem.

113 P-ideaªy Niech S b dzie zbiorem niesko«czonym. Rodzina I [S] ℵ 0 jest ideaªem w [S] ℵ 0, je±li jest zamkni ta na sko«czone sumy i podzbiory przeliczalne. Ideaª I w [S] ℵ 0 jest P-ideaªem, je±li dla ka»dego ci gu X n elementów I istnieje pewien X I taki,»e wszystkie zbiory X n \ X s sko«czone. Przykªad Niech S b dzie σ-ciaªem podzbiorów miary dodatniej odcinka [0, 1] i niech I b dzie zbiorem zªo»onym ze wszystkich rodzin przeliczalnych {A n : n N} S takich,»e m( n k n A k) = 0. Wówczas I jest P-ideaªem.

114 P-ideaªy Niech S b dzie zbiorem niesko«czonym. Rodzina I [S] ℵ 0 jest ideaªem w [S] ℵ 0, je±li jest zamkni ta na sko«czone sumy i podzbiory przeliczalne. Ideaª I w [S] ℵ 0 jest P-ideaªem, je±li dla ka»dego ci gu X n elementów I istnieje pewien X I taki,»e wszystkie zbiory X n \ X s sko«czone. Przykªad Niech S b dzie σ-ciaªem podzbiorów miary dodatniej odcinka [0, 1] i niech I b dzie zbiorem zªo»onym ze wszystkich rodzin przeliczalnych {A n : n N} S takich,»e m( n k n A k) = 0. Wówczas I jest P-ideaªem.

115 PID Dychotomia dla P-ideaªów (PID): Niech S b dzie zbiorem niesko«czonym. Wówczas dla dowolnego P-ideaªu I [S] ℵ 0 zachodzi dokªadnie jedna z mo»liwo±ci: istnieje nieprzeliczalny zbiór Y S taki,»e [Y ] ℵ 0 I, S = n N S n, gdzie dla dowolnego X I ka»dy ze zbiorów S n X jest sko«czony (równowa»nie: [S n ] ℵ 0 I = ). Todor evi (2000): Dychotomia PID jest niesprzeczna.

116 PID Dychotomia dla P-ideaªów (PID): Niech S b dzie zbiorem niesko«czonym. Wówczas dla dowolnego P-ideaªu I [S] ℵ 0 zachodzi dokªadnie jedna z mo»liwo±ci: istnieje nieprzeliczalny zbiór Y S taki,»e [Y ] ℵ 0 I, S = n N S n, gdzie dla dowolnego X I ka»dy ze zbiorów S n X jest sko«czony (równowa»nie: [S n ] ℵ 0 I = ). Todor evi (2000): Dychotomia PID jest niesprzeczna.

117 PID Dychotomia dla P-ideaªów (PID): Niech S b dzie zbiorem niesko«czonym. Wówczas dla dowolnego P-ideaªu I [S] ℵ 0 zachodzi dokªadnie jedna z mo»liwo±ci: istnieje nieprzeliczalny zbiór Y S taki,»e [Y ] ℵ 0 I, S = n N S n, gdzie dla dowolnego X I ka»dy ze zbiorów S n X jest sko«czony (równowa»nie: [S n ] ℵ 0 I = ). Todor evi (2000): Dychotomia PID jest niesprzeczna.

118 PID Dychotomia dla P-ideaªów (PID): Niech S b dzie zbiorem niesko«czonym. Wówczas dla dowolnego P-ideaªu I [S] ℵ 0 zachodzi dokªadnie jedna z mo»liwo±ci: istnieje nieprzeliczalny zbiór Y S taki,»e [Y ] ℵ 0 I, S = n N S n, gdzie dla dowolnego X I ka»dy ze zbiorów S n X jest sko«czony (równowa»nie: [S n ] ℵ 0 I = ). Todor evi (2000): Dychotomia PID jest niesprzeczna.

119 Problem von Neumanna von Neumann (Ksi ga Szkocka nr 163; 1937r.): Czy ka»da ccc, sªabo dystrybutywna, zupeªna algebra Boole'a jest algebr miarow? von Neumann, Maharam: Czy ka»da ccc, sªabo dystrybutywna, zupeªna algebra Boole'a jest algebr Maharam, tzn. ma podmiar ±ci±le dodatni, ci gª )? Maharam: Niesprzecznie NIE (algebra Suslina). Balcar, Jech, Pazak (2003): Niesprzecznie TAK (wynika z PID).

120 Problem von Neumanna von Neumann (Ksi ga Szkocka nr 163; 1937r.): Czy ka»da ccc, sªabo dystrybutywna, zupeªna algebra Boole'a jest algebr miarow? von Neumann, Maharam: Czy ka»da ccc, sªabo dystrybutywna, zupeªna algebra Boole'a jest algebr Maharam, tzn. ma podmiar ±ci±le dodatni, ci gª )? Maharam: Niesprzecznie NIE (algebra Suslina). Balcar, Jech, Pazak (2003): Niesprzecznie TAK (wynika z PID).

121 Problem von Neumanna von Neumann (Ksi ga Szkocka nr 163; 1937r.): Czy ka»da ccc, sªabo dystrybutywna, zupeªna algebra Boole'a jest algebr miarow? von Neumann, Maharam: Czy ka»da ccc, sªabo dystrybutywna, zupeªna algebra Boole'a jest algebr Maharam, tzn. ma podmiar ±ci±le dodatni, ci gª )? Maharam: Niesprzecznie NIE (algebra Suslina). Balcar, Jech, Pazak (2003): Niesprzecznie TAK (wynika z PID).

122 Problem von Neumanna von Neumann (Ksi ga Szkocka nr 163; 1937r.): Czy ka»da ccc, sªabo dystrybutywna, zupeªna algebra Boole'a jest algebr miarow? von Neumann, Maharam: Czy ka»da ccc, sªabo dystrybutywna, zupeªna algebra Boole'a jest algebr Maharam, tzn. ma podmiar ±ci±le dodatni, ci gª )? Maharam: Niesprzecznie NIE (algebra Suslina). Balcar, Jech, Pazak (2003): Niesprzecznie TAK (wynika z PID).

123 Algebra Boole'a B jest: ccc, je±li nie ma nieprzeliczalnych antyªa«cuchów w B +, zupeªna, je±li dla ka»dego X B istnieje kres górny X oraz dolny X, sªabo dystrybutywna, je±li z tego,»e a n,0 a n,1... dla n N, wynika,»e a n,k = n k f :N N a n,f (n). n

124 Niech B b dzie zupeªn, ccc algebr Boole'a. Ideaª zbie»no±ci I skªada si ze wszystkich rodzin przeliczalnych {a n : n N} B + takich,»e m( n k n a k) = 0. Quickert: Algebra B jest sªabo dystrybutywna wtedy i tylko wtedy, gdy I jest P-ideaªem.

125 Niech B b dzie zupeªn, ccc algebr Boole'a. Ideaª zbie»no±ci I skªada si ze wszystkich rodzin przeliczalnych {a n : n N} B + takich,»e m( n k n a k) = 0. Quickert: Algebra B jest sªabo dystrybutywna wtedy i tylko wtedy, gdy I jest P-ideaªem.

126 Niech B b dzie zupeªn, ccc algebr Boole'a. Ideaª zbie»no±ci I skªada si ze wszystkich rodzin przeliczalnych {a n : n N} B + takich,»e m( n k n a k) = 0. Quickert: Algebra B jest sªabo dystrybutywna wtedy i tylko wtedy, gdy I jest P-ideaªem.

127 1 Zbiory stacjonarne. 2 Twierdzenia Erdösa, Erdösa-Dushnika-Millera oraz Todor evi a. 3 Twierdzenia Galvina oraz Galvina-Prikrego. 4 Uzupeªnienia.

128 I B. Balcar, T. Jech, Weak distributivity, a problem of von Neumann and the mystery of measurability. The Bulletin of Symbolic Logic (2) 12 (2006), B. Balcar, P. Stepanek, Teorie mnoºin. Academia, Praha (1986). A. Hajnal, P. Hamburger Set theory. Cambridge University Press (1999).

129 II A. S. Kechris, Classical descriptive set theory. Springer (1995). J. T. Moore, A ve element basis for the uncountable linear orders. Annals of Mathematics (2) 163 (2006), S. Shelah, Cardinal arithmetic for skeptics, Bulletin of the AMS (2) 26 (1992),