Logika [dla Psychologii UW]
|
|
|
- Kazimierz Wilk
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Logika [dla Psychologii UW] Tadeusz Ciecierski Uniwersytet Warszawski 24 pa¹dziernika 2011 Tadeusz Ciecierski (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
2 Plan wykªadu 1 Zbiory - podstawowe wiadomo±ci Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
3 Plan wykªadu 1 Zbiory - podstawowe wiadomo±ci 2 Wybrane zastosowania Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
4 Dwa poj cia zbioru Zbiór w sensie dystrybutywnym i zbiór w sensie kolektywnym Sªowo zbiór oraz jego odpowiedniki (mnogo±, klasa, agregat) ma dwa ró»ne u»ycia: Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
5 Dwa poj cia zbioru Zbiór w sensie dystrybutywnym i zbiór w sensie kolektywnym Sªowo zbiór oraz jego odpowiedniki (mnogo±, klasa, agregat) ma dwa ró»ne u»ycia: [1] Dystrybutywne (teoriomnogo±ciowe) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
6 Dwa poj cia zbioru Zbiór w sensie dystrybutywnym i zbiór w sensie kolektywnym Sªowo zbiór oraz jego odpowiedniki (mnogo±, klasa, agregat) ma dwa ró»ne u»ycia: [1] Dystrybutywne (teoriomnogo±ciowe) [2] Kolektywne (mereologiczne) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
7 Dwa poj cia zbioru Zbiór w sensie dystrybutywnym Poj cia zbioru w sensie dystrybutywnym zazwyczaj si nie deniuje na poziomie nieformalnym zakªada si zazwyczaj albo»e jest samo przez si zrozumiaªe, na poziomie formalnym charakteryzyje si zbiory aksjomatycznie jako przedmioty, o których mówi teoria zbiorów. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
8 Dwa poj cia zbioru Zbiór w sensie dystrybutywnym Poj cia zbioru w sensie dystrybutywnym zazwyczaj si nie deniuje na poziomie nieformalnym zakªada si zazwyczaj albo»e jest samo przez si zrozumiaªe, na poziomie formalnym charakteryzyje si zbiory aksjomatycznie jako przedmioty, o których mówi teoria zbiorów. Georg Cantor ( ) Zbiór jest zebraniem w caªo± okre±lonych i ró»nych od siebie przedmiotów naszej intuicji lub naszego umysªu. Przedmioty te nazywamy elementami zbioru Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
9 Zbiory w sensie dystrybutywnym Dwie metody tworzenia zbiorów Na poziomie nieformalnym mo»emy powiedzie,»e zbiór w sensie dystrybutywnym to abstrakcyjny przedmiot, który zawiera jako swoje elementy pewne przedmioty (które same mog by zbiorami). Tak poj te zbiory tworzy si oraz charakteryzuje poprzez podanie listy ich elementów lub wskazanie cechy, której posiadanie jest koniecznym i wystarczaj cym warunkiem przynale»no±ci do zbioru. Wyliczenie elementów Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
10 Zbiory w sensie dystrybutywnym Dwie metody tworzenia zbiorów Na poziomie nieformalnym mo»emy powiedzie,»e zbiór w sensie dystrybutywnym to abstrakcyjny przedmiot, który zawiera jako swoje elementy pewne przedmioty (które same mog by zbiorami). Tak poj te zbiory tworzy si oraz charakteryzuje poprzez podanie listy ich elementów lub wskazanie cechy, której posiadanie jest koniecznym i wystarczaj cym warunkiem przynale»no±ci do zbioru. Wyliczenie elementów {Monica Bellucci} Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
11 Zbiory w sensie dystrybutywnym Dwie metody tworzenia zbiorów Na poziomie nieformalnym mo»emy powiedzie,»e zbiór w sensie dystrybutywnym to abstrakcyjny przedmiot, który zawiera jako swoje elementy pewne przedmioty (które same mog by zbiorami). Tak poj te zbiory tworzy si oraz charakteryzuje poprzez podanie listy ich elementów lub wskazanie cechy, której posiadanie jest koniecznym i wystarczaj cym warunkiem przynale»no±ci do zbioru. Wyliczenie elementów {Monica Bellucci} {Gniezno, Pozna«, Kraków} Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
12 Zbiory w sensie dystrybutywnym Dwie metody tworzenia zbiorów Na poziomie nieformalnym mo»emy powiedzie,»e zbiór w sensie dystrybutywnym to abstrakcyjny przedmiot, który zawiera jako swoje elementy pewne przedmioty (które same mog by zbiorami). Tak poj te zbiory tworzy si oraz charakteryzuje poprzez podanie listy ich elementów lub wskazanie cechy, której posiadanie jest koniecznym i wystarczaj cym warunkiem przynale»no±ci do zbioru. Wyliczenie elementów {Monica Bellucci} {Gniezno, Pozna«, Kraków} {Merkury, Wenus, Ziemia, Mars, Jowisz, Saturn, Uran, Neptun, [a mo»e i Pluton]} Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
13 Zbiory w sensie dystrybutywnym Dwie metody tworzenia zbiorów Na poziomie nieformalnym mo»emy powiedzie,»e zbiór w sensie dystrybutywnym to abstrakcyjny przedmiot, który zawiera jako swoje elementy pewne przedmioty (które same mog by zbiorami). Tak poj te zbiory tworzy si oraz charakteryzuje poprzez podanie listy ich elementów lub wskazanie cechy, której posiadanie jest koniecznym i wystarczaj cym warunkiem przynale»no±ci do zbioru. Wyliczenie elementów {Monica Bellucci} {Gniezno, Pozna«, Kraków} {Merkury, Wenus, Ziemia, Mars, Jowisz, Saturn, Uran, Neptun, [a mo»e i Pluton]} Metoda maªo efektywna - niekiedy (zbiory bardzo liczne lub niesko«czone - niemo»liwa do zastosowania): {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14...} Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
14 Zbiory w sensie dystrybutywnym Operator abstrakcji Aby opisa wªasno± wspóln wszystkim (i tylko) elementom danego zbioru uzywa si tzw. operatora abstrakcji. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
15 Zbiory w sensie dystrybutywnym Operator abstrakcji Aby opisa wªasno± wspóln wszystkim (i tylko) elementom danego zbioru uzywa si tzw. operatora abstrakcji. {x: (...x)} Co czytamy: ogóª (zbiór wszystkich) takich x, które speªniaj warunek (wªasno± ): (... ). PRZYKŠADY Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
16 Zbiory w sensie dystrybutywnym Operator abstrakcji Aby opisa wªasno± wspóln wszystkim (i tylko) elementom danego zbioru uzywa si tzw. operatora abstrakcji. {x: (...x)} Co czytamy: ogóª (zbiór wszystkich) takich x, które speªniaj warunek (wªasno± ): (... ). PRZYKŠADY {x: x jest wªosk aktork, która graªa jedn z konkubin Draculi w ekranizacji Coppoli} Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
17 Zbiory w sensie dystrybutywnym Operator abstrakcji Aby opisa wªasno± wspóln wszystkim (i tylko) elementom danego zbioru uzywa si tzw. operatora abstrakcji. {x: (...x)} Co czytamy: ogóª (zbiór wszystkich) takich x, które speªniaj warunek (wªasno± ): (... ). PRZYKŠADY {x: x jest wªosk aktork, która graªa jedn z konkubin Draculi w ekranizacji Coppoli} {x: x jest przeszª stolic Polski} Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
18 Zbiory w sensie dystrybutywnym Operator abstrakcji Aby opisa wªasno± wspóln wszystkim (i tylko) elementom danego zbioru uzywa si tzw. operatora abstrakcji. {x: (...x)} Co czytamy: ogóª (zbiór wszystkich) takich x, które speªniaj warunek (wªasno± ): (... ). PRZYKŠADY {x: x jest wªosk aktork, która graªa jedn z konkubin Draculi w ekranizacji Coppoli} {x: x jest przeszª stolic Polski} {x: x jest planet Ukªadu Sªonecznego} Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
19 Zbiory w sensie dystrybutywnym Operator abstrakcji Aby opisa wªasno± wspóln wszystkim (i tylko) elementom danego zbioru uzywa si tzw. operatora abstrakcji. {x: (...x)} Co czytamy: ogóª (zbiór wszystkich) takich x, które speªniaj warunek (wªasno± ): (... ). PRZYKŠADY {x: x jest wªosk aktork, która graªa jedn z konkubin Draculi w ekranizacji Coppoli} {x: x jest przeszª stolic Polski} {x: x jest planet Ukªadu Sªonecznego} {x: x jest liczb naturaln parzyst } Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
20 Zbiory w sensie dystrybutywnym Przynale»no± do zbioru Fakt przynale»no±ci elementu do zbioru oznaczamy symbolem, formuª o postaci x A czytamy jako x jest elementem zbioru A"(x nale»y do zbioru A). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
21 Zbiory w sensie dystrybutywnym Przynale»no± do zbioru Fakt przynale»no±ci elementu do zbioru oznaczamy symbolem, formuª o postaci x A czytamy jako x jest elementem zbioru A"(x nale»y do zbioru A). PRZYKŠADY Monica Bellucci {x: x jest wªosk aktork, która graªa jedn z konkubin Draculi w ekranizacji Coppoli} Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
22 Zbiory w sensie dystrybutywnym Przynale»no± do zbioru Fakt przynale»no±ci elementu do zbioru oznaczamy symbolem, formuª o postaci x A czytamy jako x jest elementem zbioru A"(x nale»y do zbioru A). PRZYKŠADY Monica Bellucci {x: x jest wªosk aktork, która graªa jedn z konkubin Draculi w ekranizacji Coppoli} Gniezno {x: x jest przeszª stolic Polski} Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
23 Zbiory w sensie dystrybutywnym Przynale»no± do zbioru Fakt przynale»no±ci elementu do zbioru oznaczamy symbolem, formuª o postaci x A czytamy jako x jest elementem zbioru A"(x nale»y do zbioru A). PRZYKŠADY Monica Bellucci {x: x jest wªosk aktork, która graªa jedn z konkubin Draculi w ekranizacji Coppoli} Gniezno {x: x jest przeszª stolic Polski} Ziemia {x: x jest planet Ukªadu Sªonecznego} Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
24 Zbiory w sensie dystrybutywnym Przynale»no± do zbioru Fakt przynale»no±ci elementu do zbioru oznaczamy symbolem, formuª o postaci x A czytamy jako x jest elementem zbioru A"(x nale»y do zbioru A). PRZYKŠADY Monica Bellucci {x: x jest wªosk aktork, która graªa jedn z konkubin Draculi w ekranizacji Coppoli} Gniezno {x: x jest przeszª stolic Polski} Ziemia {x: x jest planet Ukªadu Sªonecznego} 9992 {x: x jest liczba naturaln parzyst } Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
25 Zbiory w sensie dystrybutywnym Przynale»no± do zbioru Fakt przynale»no±ci elementu do zbioru oznaczamy symbolem, formuª o postaci x A czytamy jako x jest elementem zbioru A"(x nale»y do zbioru A). PRZYKŠADY Monica Bellucci {x: x jest wªosk aktork, która graªa jedn z konkubin Draculi w ekranizacji Coppoli} Gniezno {x: x jest przeszª stolic Polski} Ziemia {x: x jest planet Ukªadu Sªonecznego} 9992 {x: x jest liczba naturaln parzyst } Przynale»no± do zbioru Wszystkie (sic!)poj cia zwi zne ze zbiorami w sensie dystrybutywnym mo»na zdeniowa posªuguj c si tym jednym symbolem [i standardowymi operacjami logicznymi]. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
26 Zawieranie si zbiorów Inkluzja Je±li ka»dy element zbioru A jest te» elementem zbioru B, to powiemy,»e zbiór A zawiera si w zbiorze B: Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
27 Zawieranie si zbiorów Inkluzja Je±li ka»dy element zbioru A jest te» elementem zbioru B, to powiemy,»e zbiór A zawiera si w zbiorze B: Dla ka»dego x: je±li x A, to x B = df A B Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
28 Zawieranie si zbiorów Inkluzja Je±li ka»dy element zbioru A jest te» elementem zbioru B, to powiemy,»e zbiór A zawiera si w zbiorze B: Dla ka»dego x: je±li x A, to x B = df A B INKLUZJA Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
29 Zawieranie si zbiorów Inkluzja Je±li ka»dy element zbioru A jest te» elementem zbioru B, to powiemy,»e zbiór A zawiera si w zbiorze B: Dla ka»dego x: je±li x A, to x B = df A B INKLUZJA Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
30 Zawieranie si zbiorów Inkluzja wªa±ciwa Je±li ka»dy element zbioru A jest te» elementem zbioru B oraz pewien element zbioru B nie jest elementem zbioru A, to powiemy,»e zbiór A zawiera si wªa±ciwie w zbiorze B: Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
31 Zawieranie si zbiorów Inkluzja wªa±ciwa Je±li ka»dy element zbioru A jest te» elementem zbioru B oraz pewien element zbioru B nie jest elementem zbioru A, to powiemy,»e zbiór A zawiera si wªa±ciwie w zbiorze B: Dla ka»dego x: je±li x A, to x B oraz dla pewnego x: x B oraz x / A = df A B Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
32 Zawieranie si zbiorów Inkluzja wªa±ciwa Je±li ka»dy element zbioru A jest te» elementem zbioru B oraz pewien element zbioru B nie jest elementem zbioru A, to powiemy,»e zbiór A zawiera si wªa±ciwie w zbiorze B: Dla ka»dego x: je±li x A, to x B oraz dla pewnego x: x B oraz x / A = df A B INKLUZJA Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
33 Zawieranie si zbiorów Inkluzja wªa±ciwa Je±li ka»dy element zbioru A jest te» elementem zbioru B oraz pewien element zbioru B nie jest elementem zbioru A, to powiemy,»e zbiór A zawiera si wªa±ciwie w zbiorze B: Dla ka»dego x: je±li x A, to x B oraz dla pewnego x: x B oraz x / A = df A B INKLUZJA Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
34 Identyczno± zbiorów Identyczno± Dwa zbiory s identyczne, gdy maj dokªadnie takie same elementy (AKSJOMAT EKSTENSJONALNO CI). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
35 Identyczno± zbiorów Identyczno± Dwa zbiory s identyczne, gdy maj dokªadnie takie same elementy (AKSJOMAT EKSTENSJONALNO CI). A = B = df A B oraz B A Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
36 Identyczno± zbiorów Identyczno± Dwa zbiory s identyczne, gdy maj dokªadnie takie same elementy (AKSJOMAT EKSTENSJONALNO CI). A = B = df A B oraz B A A = B = df dla ka»dego x: je±li x A, to x B oraz dla ka»dego x: je±li x B, to x A Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
37 Identyczno± zbiorów Identyczno± Dwa zbiory s identyczne, gdy maj dokªadnie takie same elementy (AKSJOMAT EKSTENSJONALNO CI). A = B = df A B oraz B A A = B = df dla ka»dego x: je±li x A, to x B oraz dla ka»dego x: je±li x B, to x A IDENTYCZNO Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
38 Operacje na zbiorach - suma zbiorów Suma Zbiór X jest sum zbiorów A i B (symbolicznie A B), gdy zawiera wszystkie elementy, które nale» przynajmniej do jednego z tych zbiorów. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
39 Operacje na zbiorach - suma zbiorów Suma Zbiór X jest sum zbiorów A i B (symbolicznie A B), gdy zawiera wszystkie elementy, które nale» przynajmniej do jednego z tych zbiorów. A B = df {x: x A lub x B} Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
40 Operacje na zbiorach - suma zbiorów Suma Zbiór X jest sum zbiorów A i B (symbolicznie A B), gdy zawiera wszystkie elementy, które nale» przynajmniej do jednego z tych zbiorów. A B = df {x: x A lub x B} Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
41 Operacje na zbiorach - suma zbiorów Suma Zbiór X jest sum zbiorów A i B (symbolicznie A B), gdy zawiera wszystkie elementy, które nale» przynajmniej do jednego z tych zbiorów. A B = df {x: x A lub x B} SUMA ZBIORÓW Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
42 Operacje na zbiorach - iloczyn zbiorów Iloczyn Zbiór X jest iloczynem zbiorów A i B (symbolicznie A B), gdy zawiera wszystkie elementy, które nale» jednocze±nie do obu tych zbiorów. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
43 Operacje na zbiorach - iloczyn zbiorów Iloczyn Zbiór X jest iloczynem zbiorów A i B (symbolicznie A B), gdy zawiera wszystkie elementy, które nale» jednocze±nie do obu tych zbiorów. A B = df {x: x A oraz x B} Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
44 Operacje na zbiorach - iloczyn zbiorów Iloczyn Zbiór X jest iloczynem zbiorów A i B (symbolicznie A B), gdy zawiera wszystkie elementy, które nale» jednocze±nie do obu tych zbiorów. A B = df {x: x A oraz x B} Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
45 Operacje na zbiorach - iloczyn zbiorów Iloczyn Zbiór X jest iloczynem zbiorów A i B (symbolicznie A B), gdy zawiera wszystkie elementy, które nale» jednocze±nie do obu tych zbiorów. A B = df {x: x A oraz x B} ILOCZYN ZBIORÓW Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
46 Operacje na zbiorach - iloczyn zbiorów RÓ NICA ZBIORÓW Zbiór X jest ró»nic zbiorów A i B (symbolicznie A B), gdy zawiera wszystkie elementy, które nale» do zbioru A, które zarazem nie nale» do zbioru B. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
47 Operacje na zbiorach - iloczyn zbiorów RÓ NICA ZBIORÓW Zbiór X jest ró»nic zbiorów A i B (symbolicznie A B), gdy zawiera wszystkie elementy, które nale» do zbioru A, które zarazem nie nale» do zbioru B. A B = df {x: x A oraz x / B} Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
48 Operacje na zbiorach - iloczyn zbiorów RÓ NICA ZBIORÓW Zbiór X jest ró»nic zbiorów A i B (symbolicznie A B), gdy zawiera wszystkie elementy, które nale» do zbioru A, które zarazem nie nale» do zbioru B. A B = df {x: x A oraz x / B} Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
49 Operacje na zbiorach - iloczyn zbiorów RÓ NICA ZBIORÓW Zbiór X jest ró»nic zbiorów A i B (symbolicznie A B), gdy zawiera wszystkie elementy, które nale» do zbioru A, które zarazem nie nale» do zbioru B. A B = df {x: x A oraz x / B} RÓ NICA ZBIORÓW Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
50 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMATY TEORII MNOGO CI - PRZEGL D (Ax1) AKSJOMAT EKSTENSJONALNO I (ju» go znamy) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
51 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMATY TEORII MNOGO CI - PRZEGL D (Ax1) AKSJOMAT EKSTENSJONALNO I (ju» go znamy) (Ax2) AKSJOMAT ZAST POWANIA (nie omawiamy) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
52 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMATY TEORII MNOGO CI - PRZEGL D (Ax1) AKSJOMAT EKSTENSJONALNO I (ju» go znamy) (Ax2) AKSJOMAT ZAST POWANIA (nie omawiamy) (Ax3) AKSJOMAT WYRÓ NIANIA Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
53 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMATY TEORII MNOGO CI - PRZEGL D (Ax1) AKSJOMAT EKSTENSJONALNO I (ju» go znamy) (Ax2) AKSJOMAT ZAST POWANIA (nie omawiamy) (Ax3) AKSJOMAT WYRÓ NIANIA (Ax4) AKSJOMAT PARY Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
54 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMATY TEORII MNOGO CI - PRZEGL D (Ax1) AKSJOMAT EKSTENSJONALNO I (ju» go znamy) (Ax2) AKSJOMAT ZAST POWANIA (nie omawiamy) (Ax3) AKSJOMAT WYRÓ NIANIA (Ax4) AKSJOMAT PARY (Ax5) AKSJOMAT SUMY Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
55 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMATY TEORII MNOGO CI - PRZEGL D (Ax1) AKSJOMAT EKSTENSJONALNO I (ju» go znamy) (Ax2) AKSJOMAT ZAST POWANIA (nie omawiamy) (Ax3) AKSJOMAT WYRÓ NIANIA (Ax4) AKSJOMAT PARY (Ax5) AKSJOMAT SUMY (Ax6) AKSJOMAT ZBIORU POT GOWEGO Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
56 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMATY TEORII MNOGO CI - PRZEGL D (Ax1) AKSJOMAT EKSTENSJONALNO I (ju» go znamy) (Ax2) AKSJOMAT ZAST POWANIA (nie omawiamy) (Ax3) AKSJOMAT WYRÓ NIANIA (Ax4) AKSJOMAT PARY (Ax5) AKSJOMAT SUMY (Ax6) AKSJOMAT ZBIORU POT GOWEGO (Ax7) AKSJOMAT NIESKO CZONO CI Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
57 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMATY TEORII MNOGO CI - PRZEGL D (Ax1) AKSJOMAT EKSTENSJONALNO I (ju» go znamy) (Ax2) AKSJOMAT ZAST POWANIA (nie omawiamy) (Ax3) AKSJOMAT WYRÓ NIANIA (Ax4) AKSJOMAT PARY (Ax5) AKSJOMAT SUMY (Ax6) AKSJOMAT ZBIORU POT GOWEGO (Ax7) AKSJOMAT NIESKO CZONO CI (Ax8) AKSJOMAT WYBORU Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
58 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMATY TEORII MNOGO CI - PRZEGL D (Ax1) AKSJOMAT EKSTENSJONALNO I (ju» go znamy) (Ax2) AKSJOMAT ZAST POWANIA (nie omawiamy) (Ax3) AKSJOMAT WYRÓ NIANIA (Ax4) AKSJOMAT PARY (Ax5) AKSJOMAT SUMY (Ax6) AKSJOMAT ZBIORU POT GOWEGO (Ax7) AKSJOMAT NIESKO CZONO CI (Ax8) AKSJOMAT WYBORU (Ax9) AKSJOMAT UFUNDOWANIA Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
59 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMAT WYRÓ NIANIA Prehistoria - fascynuj cy aksjomat o dramatycznej historii. W wersji klasycznej gªosiª,»e: Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
60 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMAT WYRÓ NIANIA Prehistoria - fascynuj cy aksjomat o dramatycznej historii. W wersji klasycznej gªosiª,»e: Dla dowolnego warunku W istniej zbiór dokªadnie tych przedmiotów, które speªniaj warunek W. ANTYNOMIA RUSSELLA W tej wersji prowadziª jednak do nast puj cej sprzeczno±ci: Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
61 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMAT WYRÓ NIANIA Prehistoria - fascynuj cy aksjomat o dramatycznej historii. W wersji klasycznej gªosiª,»e: Dla dowolnego warunku W istniej zbiór dokªadnie tych przedmiotów, które speªniaj warunek W. ANTYNOMIA RUSSELLA W tej wersji prowadziª jednak do nast puj cej sprzeczno±ci: Wystarczy,»e przyjmiemy,»e warunek W to: x nie jest wªasnym elementem (x / x) (speªnia warunek W = nie by wªasnym elementem).zgodnie z aksjomatem musi istnie zatem zbiór przedmiotów speªniaj cych warunek W a zatem zbiorów, które nie s wªasnymi elementami. Mo»emy nazwa ten zbiór POTWÓR. Zadajemy teraz zabójcze pytanie: czy POTWÓR jest wªasnym elementem czy te» nie? Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
62 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMAT WYRÓ NIANIA Prehistoria - fascynuj cy aksjomat o dramatycznej historii. W wersji klasycznej gªosiª,»e: Dla dowolnego warunku W istniej zbiór dokªadnie tych przedmiotów, które speªniaj warunek W. ANTYNOMIA RUSSELLA W tej wersji prowadziª jednak do nast puj cej sprzeczno±ci: Wystarczy,»e przyjmiemy,»e warunek W to: x nie jest wªasnym elementem (x / x) (speªnia warunek W = nie by wªasnym elementem).zgodnie z aksjomatem musi istnie zatem zbiór przedmiotów speªniaj cych warunek W a zatem zbiorów, które nie s wªasnymi elementami. Mo»emy nazwa ten zbiór POTWÓR. Zadajemy teraz zabójcze pytanie: czy POTWÓR jest wªasnym elementem czy te» nie? Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
63 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci ANTYNOMIA RUSSELLA - cd. Mo»liwo± pierwsza: JEST. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
64 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci ANTYNOMIA RUSSELLA - cd. Mo»liwo± pierwsza: JEST. Ale wtedy jest jednym ze zbioru przedmiotów, które nie s wªasnymi elementami. A zatem NIE JEST wªasnym elementem. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
65 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci ANTYNOMIA RUSSELLA - cd. Mo»liwo± pierwsza: JEST. Ale wtedy jest jednym ze zbioru przedmiotów, które nie s wªasnymi elementami. A zatem NIE JEST wªasnym elementem. Mo»liwo± druga: NIE JEST. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
66 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci ANTYNOMIA RUSSELLA - cd. Mo»liwo± pierwsza: JEST. Ale wtedy jest jednym ze zbioru przedmiotów, które nie s wªasnymi elementami. A zatem NIE JEST wªasnym elementem. Mo»liwo± druga: NIE JEST. Je±li nie jest, to speªnia warunek W. Jest zatem jednym z przedmiotów, które s wªasnymi elementami. Zatem JEST wªasnym elementem. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
67 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMAT WYRÓ NIANIA W wersji poprawionej gªosiª,»e: Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
68 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMAT WYRÓ NIANIA W wersji poprawionej gªosiª,»e: Dla dowolnego zbioru A oraz warunku W istnieje zbiór, który zawiera wyª cznie te elementy zbioru A, które speªniaj warunek W. ANTYNOMIA RUSSELLA - DLACZEGO JEJ NIE OTRZYMUJEMY? MUSIMY MIE NAJPIERW JU ISTNIEJ CY ZBIÓR A (z którego wybierzemy elementy speªniaj ce W). Antynomia Russella pozwala nam udowodni,»e nie ma zbioru wszystkich zbiorów nie b d cych wªasnymi elementami. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
69 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMAT PARY Gªosi,»e: Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
70 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMAT PARY Gªosi,»e: Dla dowolnych dwóch elementów a oraz b istnieje zbiór y, który zawiera jako swoje jedyne elementy a oraz b. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
71 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMAT PARY Gªosi,»e: Dla dowolnych dwóch elementów a oraz b istnieje zbiór y, który zawiera jako swoje jedyne elementy a oraz b. AKSJOMAT SUMY Gªosi,»e: Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
72 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMAT PARY Gªosi,»e: Dla dowolnych dwóch elementów a oraz b istnieje zbiór y, który zawiera jako swoje jedyne elementy a oraz b. AKSJOMAT SUMY Gªosi,»e: Dla dowolnego zbioru A istnieje taki zbiór, którego elementami s elementy elementów zbioru A i tylko one. A - suma wszystkich elementów elementów zbioru A. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
73 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMAT PARY Gªosi,»e: Dla dowolnych dwóch elementów a oraz b istnieje zbiór y, który zawiera jako swoje jedyne elementy a oraz b. AKSJOMAT SUMY Gªosi,»e: Dla dowolnego zbioru A istnieje taki zbiór, którego elementami s elementy elementów zbioru A i tylko one. A - suma wszystkich elementów elementów zbioru A. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
74 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci PRZYKŠAD {{Monica Bellucci}, {Paªac Kultury}, {Azja}} = {Monica Bellucci, Paªac Kultury, Azja} adeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
75 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci PRZYKŠAD {{Monica Bellucci}, {Paªac Kultury}, {Azja}} = {Monica Bellucci, Paªac Kultury, Azja} adeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
76 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMAT ZBIORU POT GOWEGO Gªosi,»e: Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
77 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMAT ZBIORU POT GOWEGO Gªosi,»e: Dla dowolnego zbioru X istnieje zbiór, którego elementami s wszystkie i tylko podzbiory X (oznaczamy go jako 2 X ) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
78 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMAT ZBIORU POT GOWEGO Gªosi,»e: Dla dowolnego zbioru X istnieje zbiór, którego elementami s wszystkie i tylko podzbiory X (oznaczamy go jako 2 X ) PRZYKŠAD je±li X = {Monica Bellucci, Paªac Kultury, Azja}, to: Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
79 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMAT ZBIORU POT GOWEGO Gªosi,»e: Dla dowolnego zbioru X istnieje zbiór, którego elementami s wszystkie i tylko podzbiory X (oznaczamy go jako 2 X ) PRZYKŠAD je±li X = {Monica Bellucci, Paªac Kultury, Azja}, to: 2 X = {, {Monica Bellucci}, {Paªac Kultury}, {Azja}, {Monica Bellucci, Paªac Kultury}, {Paªac Kultury, Azja}, { Monica Bellucci, Azja}, {Monica Bellucci, Paªac Kultury, Azja} } Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
80 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMAT NIESKO CZONO CI Gªosi,»e: Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
81 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMAT NIESKO CZONO CI Gªosi,»e: Istnieje przynajmniej jeden zbiór Z o nast puj cych wªa±ciwo±ciach: (1) Z (2) je±li x Z, to {x} Z Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
82 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMAT WYBORU Gªosi,»e: Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
83 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMAT WYBORU Gªosi,»e: Dla dowolnego zbioru, którego elementami s zbiory niepuste i rozª czne istnieje zbiór maj cy z ka»dym z tych zbiorów element wspólny. BUTY I R KAWICZKI Problem wyboru. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
84 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMAT UFUNDOWANIA Gªosi,»e: Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
85 Nieformalny przegl d aksjomatów teorii mnogo±ci AKSJOMAT UFUNDOWANIA Gªosi,»e: Ka»dy niepusty zbiór ma element rozª czny z tym zbiorem [dzi ki niemu dowodzimy,»e»aden zbiór nie jest wªasnym elementem]. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
86 Dwa poj cia zbioru Zbiór w sensie kolektywnym Zbiór w sensie kolektywnym (lub mereologicznym) to zyczna kolekcja przedmiotów, np. stos kamieni itp. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
87 Dwa poj cia zbioru Zbiór w sensie kolektywnym Zbiór w sensie kolektywnym (lub mereologicznym) to zyczna kolekcja przedmiotów, np. stos kamieni itp. Stanisªaw Le±niewski ( ) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
88 Dwa poj cia zbioru Zbiór w sensie kolektywnym a zbiór w sensie dystrybutywnym Podstawowa ró»nica mi dzy zbiorami w sensie kolektywnym oraz dystrybutywnym polega na tym,»e relacja bycia cz ±ci (elementem) jest w pierwszym wypadku przechodnia (cz ± cz ±ci jest cz ±ci caªo±ci), a w drugim nie jest przechodnia (element elementu nie musi by elementem caªo±ci) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
89 Dwa poj cia zbioru Zbiór w sensie kolektywnym a zbiór w sensie dystrybutywnym Podstawowa ró»nica mi dzy zbiorami w sensie kolektywnym oraz dystrybutywnym polega na tym,»e relacja bycia cz ±ci (elementem) jest w pierwszym wypadku przechodnia (cz ± cz ±ci jest cz ±ci caªo±ci), a w drugim nie jest przechodnia (element elementu nie musi by elementem caªo±ci) Zbiory w sensie kolektywnym versus zbiory w sensie dystrybutywnym 1 {1} {1} {x: x jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych} 1 / {x: x jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych} Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
90 Dwa poj cia zbioru Zbiór w sensie kolektywnym Teoria zbiorów w sensie kolektywnym nazywana jest mereologi. Ma ona ró»ne swoje wersje, aksjomatyki itd. My jej tu nie omawiamy (uf...). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
91 Zastosowania WYBRANE ZASTOSOWANIA (A) RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW Tadeusz Ciecierski (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
92 Zastosowania WYBRANE ZASTOSOWANIA (A) RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW (B) TEORIA DEFINICJI Tadeusz Ciecierski (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
93 Zastosowania WYBRANE ZASTOSOWANIA (A) RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW (B) TEORIA DEFINICJI (C) TYPOLOGIA I KLASYFIKACJA Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
94 RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW Jak pami tamy, zakresy (denotacje) nazw s zbiorami. Warszawa {miasto Warszawa}, Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
95 RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW Jak pami tamy, zakresy (denotacje) nazw s zbiorami. Warszawa {miasto Warszawa}, nietymczasowy prezydent III RP {Jaruzelski, Waª sa, Kwa±niewski, Kaczy«ski, Komorowski}, Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
96 RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW Jak pami tamy, zakresy (denotacje) nazw s zbiorami. Warszawa {miasto Warszawa}, nietymczasowy prezydent III RP {Jaruzelski, Waª sa, Kwa±niewski, Kaczy«ski, Komorowski}, planeta Ukªadu Sªonecznego {Merkury, Wenus, Ziemia, Mars, Jowisz, Saturn, Uran, Neptun, [a mo»e i Pluton]} Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
97 RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW Jak pami tamy, zakresy (denotacje) nazw s zbiorami. Warszawa {miasto Warszawa}, nietymczasowy prezydent III RP {Jaruzelski, Waª sa, Kwa±niewski, Kaczy«ski, Komorowski}, planeta Ukªadu Sªonecznego {Merkury, Wenus, Ziemia, Mars, Jowisz, Saturn, Uran, Neptun, [a mo»e i Pluton]} kuropatwa {tu wyliczamy wszystkie kuropatwy na ±wiecie} RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW Okre±laj c relacje mi dzy zakresami nazw faktycznie okre±lamy zatem, jakie relacje zachodz mi dzy odpowiednimi zbiorami. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
98 RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW Dla ka»dej pary nazw N 1 i N 2 istnieje pi mo»liwych relacji mi dzy ich zakresami. Oznaczmy zakres nazwy N jako Z[N]. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
99 RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW Dla ka»dej pary nazw N 1 i N 2 istnieje pi mo»liwych relacji mi dzy ich zakresami. Oznaczmy zakres nazwy N jako Z[N]. (i) Zakresy N 1 i N 2 s IDENTYCZNE Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
100 RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW Dla ka»dej pary nazw N 1 i N 2 istnieje pi mo»liwych relacji mi dzy ich zakresami. Oznaczmy zakres nazwy N jako Z[N]. (i) Zakresy N 1 i N 2 s IDENTYCZNE (ii) Zakres N 1 jest PODRZ DNY wzgl dem zakresu N 2 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
101 RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW Dla ka»dej pary nazw N 1 i N 2 istnieje pi mo»liwych relacji mi dzy ich zakresami. Oznaczmy zakres nazwy N jako Z[N]. (i) Zakresy N 1 i N 2 s IDENTYCZNE (ii) Zakres N 1 jest PODRZ DNY wzgl dem zakresu N 2 (iii) Zakres N 1 jest NADRZ DNY wzgl dem zakresu N 2 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
102 RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW Dla ka»dej pary nazw N 1 i N 2 istnieje pi mo»liwych relacji mi dzy ich zakresami. Oznaczmy zakres nazwy N jako Z[N]. (i) Zakresy N 1 i N 2 s IDENTYCZNE (ii) Zakres N 1 jest PODRZ DNY wzgl dem zakresu N 2 (iii) Zakres N 1 jest NADRZ DNY wzgl dem zakresu N 2 (iv) Zakresy N 1 i N 2 PRZECINAJ SI Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
103 RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW Dla ka»dej pary nazw N 1 i N 2 istnieje pi mo»liwych relacji mi dzy ich zakresami. Oznaczmy zakres nazwy N jako Z[N]. (i) Zakresy N 1 i N 2 s IDENTYCZNE (ii) Zakres N 1 jest PODRZ DNY wzgl dem zakresu N 2 (iii) Zakres N 1 jest NADRZ DNY wzgl dem zakresu N 2 (iv) Zakresy N 1 i N 2 PRZECINAJ SI (v) Zakresy N 1 i N 2 WYKLUCZAJ SI Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
104 RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW Dla ka»dej pary nazw N 1 i N 2 istnieje pi mo»liwych relacji mi dzy ich zakresami. Oznaczmy zakres nazwy N jako Z[N]. (i) Zakresy N 1 i N 2 s IDENTYCZNE (ii) Zakres N 1 jest PODRZ DNY wzgl dem zakresu N 2 (iii) Zakres N 1 jest NADRZ DNY wzgl dem zakresu N 2 (iv) Zakresy N 1 i N 2 PRZECINAJ SI (v) Zakresy N 1 i N 2 WYKLUCZAJ SI RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW (i) Z[N 1 ] = Z[N 2 ] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
105 RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW Dla ka»dej pary nazw N 1 i N 2 istnieje pi mo»liwych relacji mi dzy ich zakresami. Oznaczmy zakres nazwy N jako Z[N]. (i) Zakresy N 1 i N 2 s IDENTYCZNE (ii) Zakres N 1 jest PODRZ DNY wzgl dem zakresu N 2 (iii) Zakres N 1 jest NADRZ DNY wzgl dem zakresu N 2 (iv) Zakresy N 1 i N 2 PRZECINAJ SI (v) Zakresy N 1 i N 2 WYKLUCZAJ SI RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW (i) Z[N 1 ] = Z[N 2 ] (ii) Z[N 1 ] Z[N 2 ] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
106 RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW Dla ka»dej pary nazw N 1 i N 2 istnieje pi mo»liwych relacji mi dzy ich zakresami. Oznaczmy zakres nazwy N jako Z[N]. (i) Zakresy N 1 i N 2 s IDENTYCZNE (ii) Zakres N 1 jest PODRZ DNY wzgl dem zakresu N 2 (iii) Zakres N 1 jest NADRZ DNY wzgl dem zakresu N 2 (iv) Zakresy N 1 i N 2 PRZECINAJ SI (v) Zakresy N 1 i N 2 WYKLUCZAJ SI RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW (i) Z[N 1 ] = Z[N 2 ] (ii) Z[N 1 ] Z[N 2 ] (iii) Z[N 2 ] Z[N 1 ] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
107 RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW Dla ka»dej pary nazw N 1 i N 2 istnieje pi mo»liwych relacji mi dzy ich zakresami. Oznaczmy zakres nazwy N jako Z[N]. (i) Zakresy N 1 i N 2 s IDENTYCZNE (ii) Zakres N 1 jest PODRZ DNY wzgl dem zakresu N 2 (iii) Zakres N 1 jest NADRZ DNY wzgl dem zakresu N 2 (iv) Zakresy N 1 i N 2 PRZECINAJ SI (v) Zakresy N 1 i N 2 WYKLUCZAJ SI RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW (i) Z[N 1 ] = Z[N 2 ] (ii) Z[N 1 ] Z[N 2 ] (iii) Z[N 2 ] Z[N 1 ] (iv) Z[N 1 ] Z[N 2 ] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
108 RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW Dla ka»dej pary nazw N 1 i N 2 istnieje pi mo»liwych relacji mi dzy ich zakresami. Oznaczmy zakres nazwy N jako Z[N]. (i) Zakresy N 1 i N 2 s IDENTYCZNE (ii) Zakres N 1 jest PODRZ DNY wzgl dem zakresu N 2 (iii) Zakres N 1 jest NADRZ DNY wzgl dem zakresu N 2 (iv) Zakresy N 1 i N 2 PRZECINAJ SI (v) Zakresy N 1 i N 2 WYKLUCZAJ SI RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW (i) Z[N 1 ] = Z[N 2 ] (ii) Z[N 1 ] Z[N 2 ] (iii) Z[N 2 ] Z[N 1 ] (iv) Z[N 1 ] Z[N 2 ] (v) Z[N 1 ] Z[N 2 ] = Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
109 RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW Dla ka»dej pary nazw N 1 i N 2 istnieje pi mo»liwych relacji mi dzy ich zakresami. Oznaczmy zakres nazwy N jako Z[N]. (i) Zakresy N 1 i N 2 s IDENTYCZNE (ii) Zakres N 1 jest PODRZ DNY wzgl dem zakresu N 2 (iii) Zakres N 1 jest NADRZ DNY wzgl dem zakresu N 2 (iv) Zakresy N 1 i N 2 PRZECINAJ SI (v) Zakresy N 1 i N 2 WYKLUCZAJ SI RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW (i) Z[N 1 ] = Z[N 2 ] (ii) Z[N 1 ] Z[N 2 ] (iii) Z[N 2 ] Z[N 1 ] (iv) Z[N 1 ] Z[N 2 ] (v) Z[N 1 ] Z[N 2 ] = Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
110 RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW - PRZYKŠADY (i) N 1 =stolica Polski, N 2 = najwi ksze miasto le» ce nad Wisª. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
111 RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW - PRZYKŠADY (i) N 1 =stolica Polski, N 2 = najwi ksze miasto le» ce nad Wisª. (ii) N 1 = w±ciekªa tchórzofretka, N 2 = tchórzofretka Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
112 RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW - PRZYKŠADY (i) N 1 =stolica Polski, N 2 = najwi ksze miasto le» ce nad Wisª. (ii) N 1 = w±ciekªa tchórzofretka, N 2 = tchórzofretka (iii) N 1 = tchórzofretka, N 2 = w±ciekªa tchórzofretka, Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
113 RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW - PRZYKŠADY (i) N 1 =stolica Polski, N 2 = najwi ksze miasto le» ce nad Wisª. (ii) N 1 = w±ciekªa tchórzofretka, N 2 = tchórzofretka (iii) N 1 = tchórzofretka, N 2 = w±ciekªa tchórzofretka, (iv) N 1 =student psychologii, N 2 = kobieta Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
114 RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW RELACJE MI DZY ZAKRESAMI NAZW - PRZYKŠADY (i) N 1 =stolica Polski, N 2 = najwi ksze miasto le» ce nad Wisª. (ii) N 1 = w±ciekªa tchórzofretka, N 2 = tchórzofretka (iii) N 1 = tchórzofretka, N 2 = w±ciekªa tchórzofretka, (iv) N 1 =student psychologii, N 2 = kobieta (v) N 1 =»óªw, N 2 = nie-»óªw Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
115 TEORIA DEFINICJI TEORIA DEFINICJI Tadeusz Ciecierski (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
116 TYPOLOGIA I KLASYFIKACJA TYPOLOGIA I KLASYFIKACJA Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
117 Literatura [bardzo plecana] NN (ró»ne wydania) XYZ, PWN Tadeusz Ciecierski (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
118 KONIEC Tadeusz Ciecierski (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika / 34
Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu
➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje
Maªgorzata Murat. Modele matematyczne.
WYKŠAD I Modele matematyczne Maªgorzata Murat Wiadomo±ci organizacyjne LITERATURA Lars Gårding "Spotkanie z matematyk " PWN 1993 http://moodle.cs.pollub.pl/ m.murat@pollub.pl Model matematyczny poj cia
Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Logika [dla Psychologii UW]
![Logika [dla Psychologii UW]](/thumbs/93/114470105.jpg "Logika [dla Psychologii UW]")
Logika [dla Psychologii UW] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl Uniwersytet Warszawski 20 pa¹dziernika 2011 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 20 pa¹dziernika
x y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Zbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Metodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
RACHUNEK ZBIORÓW 2 A B = B A
RCHUNEK ZIORÓW 2 DZIŁNI N ZIORCH Sum (uni ) zbiorów i nazywamy zbiór, którego elementami s wszystkie elementy nale ce do zbioru lub do zbioru. = {x : x x } ZDNIE = = = Wyznacz sumy:,, C, D, E, D E dla
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
Indeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt
Logika [dla Psychologii UW]
![Logika [dla Psychologii UW]](/thumbs/94/118488875.jpg "Logika [dla Psychologii UW]")
Logika [dla Psychologii UW] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl Uniwersytet Warszawski 19 grudnia 2011 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011
Ekstremalnie maªe zbiory
Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci
Metody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Podstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Materiaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Elementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Zadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile
*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów
*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów I.1 Przestrze«towarów Podstawowe poj cia Rynek towarów
Przekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Mierzalne liczby kardynalne
czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna,
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_
Matematyczne podstawy kognitywistyki
Matematyczne podstawy kognitywistyki Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl Rachunek zbiorów Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne podstawy kognitywistyki Rachunek zbiorów 1
Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019
Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019 Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Zdanie logiczne.
Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki
Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a
Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Ukªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Zadania. 4 grudnia k=1
Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy
Podstawy modelowania w j zyku UML
Podstawy modelowania w j zyku UML dr hab. Bo»ena Wo¹na-Szcze±niak Akademia im. Jan Dªugosza bwozna@gmail.com Wykªad 8 Diagram pakietów I Diagram pakietów (ang. package diagram) jest diagramem strukturalnym,
3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Logika intuicjonistyczna
9 listopada 2011 Plan 1 2 3 4 Plan 1 2 3 4 Intuicjonizm Pogl d w lozoi matematyki wprowadzony w 1912 L. E. J. Brouwera. Twierdzenia matematyczne powstaj dzi ki intuicjom naszego umysªu. Skupienie si na
Matematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 2 Podstawowe zasady i prawa przeliczania
c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie
2: Drogi i Cykle Spis Zagadnie«drogi i cykle spójno± w tym sªaba i silna k-spójno± (wierzchoªkowa i kraw dziowa) dekompozycja grafu na bloki odlegªo±ci w grae i poj cia pochodne grafy Eulera i Hamiltona
Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Listy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.
Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki 10 marca 2008 Spis tre±ci Listy 1 Listy 2 3 Co to jest lista? Listy List w Mathematice jest wyra»enie oddzielone przecinkami i zamkni te w { klamrach }. Elementy
Logika [dla Psychologii UW]
![Logika [dla Psychologii UW]](/thumbs/60/44600090.jpg "Logika [dla Psychologii UW]")
Logika [dla Psychologii UW] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl Uniwersytet Warszawski 12 pa¹dziernika 2011 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 12 pa¹dziernika
Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Funkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych
Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych Wielomian: W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 wspóªczynniki wielomianu: a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n ; wyraz wolny: a 0
Programowanie wspóªbie»ne
1 Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 5 monitory cz. 1 Zadanie 1: Stolik dwuosobowy raz jeszcze W systemie dziaªa N par procesów. Procesy z pary s nierozró»nialne. Ka»dy proces cyklicznie wykonuje wªasnesprawy,
PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz
Lekcja 8 - ANIMACJA 1 Polecenia Za pomoc Baltiego mo»emy tworzy animacj, tzn. sprawia by obraz na ekranie wygl daª jakby si poruszaª. Do animowania przedmiotów i tworzenia animacji posªu» nam polecenia
Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego
Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Def.. Liczb m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb M ograniczeniem górnym zbioru X R gdy (i) x m; (ii) x M. Mówimy,»e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy
Kwantowa teoria wzgl dno±ci
Instytut Fizyki Teoretycznej Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 16 wrze±nia 2006 Plan wykªadu Grawitacja i geometria 1 Grawitacja i geometria 2 3 Grawitacja Grawitacja i geometria wedªug Newtona:
Juwenilia logiczne Romana Suszki
Juwenilia logiczne Romana Suszki Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 12 maja 2009 Jerzy Pogonowski (MEG) Juwenilia logiczne Romana Suszki 12 maja 2009 1
r = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/wstep.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wyksztaªcenie u studentów podstaw j zyka matematycznego, wypracowanie podstawowych umiej tno- ±ci przeprowadzania
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Prawa rachunku zbiorów to takie wyra enia j zyka tego rachunku, które staj si zdaniami prawdziwymi przy ka dym podstawieniu nazw zbiorów za zmienne.
Prawa rachunku zbiorów to takie wyra enia j zyka tego rachunku, które staj si zdaniami prawdziwymi przy ka dym podstawieniu nazw zbiorów za zmienne. PRAWA RACHUNKU ZBIORÓW LP PRAWO NAZWA 1 A B = B A A
Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach
Przetwarzanie sygnaªów
Przetwarzanie sygnaªów Wykªad 8 - Wst p do obrazów 2D Marcin Wo¹niak, Dawid Poªap Przetwarzanie sygnaªów Pa¹dziernik, 2018 1 / 27 Plan wykªadu 1 Informacje wstepne 2 Przetwarzanie obrazu 3 Wizja komputerowa
Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego
Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad
Geometria Algebraiczna
Geometria Algebraiczna Zadania domowe: seria 1 Zadania 1-11 to powtórzenie podstawowych poj z teorii kategorii. Zapewne rozwi zywali Pa«stwo te zadania wcze±niej, dlatego nie b d one omawiane na wiczeniach.
XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Podstawy modelowania w j zyku UML
Podstawy modelowania w j zyku UML dr hab. Bo»ena Wo¹na-Szcze±niak Akademia im. Jan Dªugosza bwozna@gmail.com Wykªad 2 Zwi zki mi dzy klasami Asocjacja (ang. Associations) Uogólnienie, dziedziczenie (ang.
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru
RZECZPOSPOLITA POLSKA. Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu. wszystkie
RZECZPOSPOLITA POLSKA Warszawa, dnia 11 lutego 2011 r. MINISTER FINANSÓW ST4-4820/109/2011 Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu wszystkie Zgodnie z art. 33 ust. 1 pkt 2 ustawy z dnia 13 listopada
Listy i operacje pytania
Listy i operacje pytania Iwona Polak iwona.polak@us.edu.pl Uniwersytet l ski Instytut Informatyki pa¹dziernika 07 Który atrybut NIE wyst puje jako atrybut elementów listy? klucz elementu (key) wska¹nik
Podstawa prawna: Ustawa z dnia 15 lutego 1992 r. o podatku dochodowym od osób prawnych (t. j. Dz. U. z 2000r. Nr 54, poz. 654 ze zm.
Rozliczenie podatników podatku dochodowego od osób prawnych uzyskujących przychody ze źródeł, z których dochód jest wolny od podatku oraz z innych źródeł Podstawa prawna: Ustawa z dnia 15 lutego 1992 r.
2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne
2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,
Logika pierwszego rz du. Sposób u»ycia. Tautologie, sposoby u»ywania logiki pierwszego rz du, zwi zki z j zykiem naturalnym
Logika pierwszego rz du. Sposób u»ycia. Tautologie, sposoby u»ywania logiki pierwszego rz du, zwi zki z j zykiem naturalnym Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ)
Podstawy Informatyki Gramatyki formalne
Podstawy Informatyki alina.momot@polsl.pl http://zti.polsl.pl/amomot/pi Plan wykładu 1 Języki i gramatyki Analiza syntaktyczna Semantyka 2 Podstawowe pojęcia Gramatyki wg Chomsky ego Notacja Backusa-Naura
Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Algorytmiczna teoria grafów
18 maja 2013 Twierdzenie Halla o maª»e«stwach Problem Wyobra¹my sobie,»e mamy m dziewczyn i pewn liczb chªopców. Ka»da dziewczyna chce wyj± za m», przy czym ka»da z nich godzi si po±lubi tylko pewnych
Eksperyment,,efekt przełomu roku
Eksperyment,,efekt przełomu roku Zapowiedź Kluczowe pytanie: czy średnia procentowa zmiana kursów akcji wybranych 11 spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie (i umieszczonych już
det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Model obiektu w JavaScript
16 marca 2009 E4X Paradygmat klasowy Klasa Deniuje wszystkie wªa±ciwo±ci charakterystyczne dla wybranego zbioru obiektów. Klasa jest poj ciem abstrakcyjnym odnosz cym si do zbioru, a nie do pojedynczego
Strategia czy intuicja?
Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),
Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Podstawy matematyki a mechanika kwantowa
Podstawy matematyki a mechanika kwantowa Paweł Klimasara Uniwersytet Śląski 9 maja 2015 Paweł Klimasara (Uniwersytet Śląski) Podstawy matematyki a mechanika kwantowa 9 maja 2015 1 / 12 PLAN PREZENTACJI
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci
Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu
Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na
Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9
Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s
Przypomnienie najważniejszych pojęć z baz danych. Co to jest baza danych?
Przypomnienie najważniejszych pojęć z baz danych. Co to jest baza danych? 1 Podstawowe pojęcia: 2 3 4 5 Dana (ang.data) najmniejsza, elementarna jednostka informacji o obiekcie będąca przedmiotem przetwarzania
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
OPIS PRZEDMIOTU. Podstawy edukacji matematycznej. Wydzia Pedagogiki i Psychologii
OPIS PRZEDMIOTU Nazwa przedmiotu Kod przedmiotu Wydzia Wydzia Pedagogiki i Psychologii Instytut/Katedra INSTYTUT PEDAGOGIKI, Zak ad Pedagogiki Wczesnoszkolnej i Edukacji Plastycznej Kierunek pedagogika,
Edycja geometrii w Solid Edge ST
Edycja geometrii w Solid Edge ST Artykuł pt.: " Czym jest Technologia Synchroniczna a czym nie jest?" zwracał kilkukrotnie uwagę na fakt, że nie należy mylić pojęć modelowania bezpośredniego i edycji bezpośredniej.
Rzut oka na zagadnienia zwi zane z projektowaniem list rozkazów
Rzut oka na zagadnienia zwi zane z projektowaniem list rozkazów 1 Wst p Przypomnijmy,»e komputer skªada si z procesora, pami ci, systemu wej±cia-wyj±cia oraz po- ª cze«mi dzy nimi. W procesorze mo»emy
Podzbiory Symbol Newtona Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada wª czania i wyª czania. Ilo± najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lema«ska
Kombinatoryka Magdalena Lema«ska Zasady zaliczenia przedmiotu Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to 100 punktów = 100 procent. Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to
2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Logika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji
Logika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji Rafał Gruszczyński Katedra Logiki Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011/2012 Spis treści 1 Zbiory 2 Pary uporządkowane 3 Relacje Zbiory dystrybutywne
Ekonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria
Logika I. Wykład 2. Działania na zbiorach
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 2. Działania na zbiorach 1 Suma zbiorów Niech A i B będą dowolnymi zbiorami. Definicja 2.1. (suma zbiorów) Suma zbiorów
Wnioskowanie Boolowskie i teoria zbiorów przybli»onych
Wnioskowanie Boolowskie i teoria zbiorów przybli»onych 4 Zbiory przybli»one Wprowadzenie do teorii zbiorów przybli»onych Zªo»ono± problemu szukania reduktów 5 Wnioskowanie Boolowskie w obliczaniu reduktów